Функции сложные Производные частные

В общем случае задания и (х), как некоторой произвольной функции, уравнения в частных производных (89) не могут быть сведены к обыкновенному. Существующие методы интегрирования уравнений (89), основанные на разложении и х) в степенной ряд и разыскании неизвестных функций и и V также в виде степенных рядов, сложны с вычислительной стороны и мало точны. В последнее время широкое практическое применение получили приближенные методы, сводящие решение общей задачи к вычислению простых квадратур. Изложению этих методов и посвящен настоящий параграф. [c.549]

Здесь А, В, С, В являются искомыми функциями переменных t, х, у, 2, тп, 8, и, V, го, О, Э, К, Б, М, N, /, д, к. Символ д/д означает частную производную сложной функции в системе переменных 1, х, У, 2. [c.29]

Найдем частную производную от потенциальной энергии системы /7 по обобщенной координате д/, рассматривая /7 как сложную функцию обобщенных координат, определяемую зависимостями (72.5) и (112.1) Эта производная определяется суммой 3 слагаемых. Каждое слагаемое равно произведению частной производной от П по одной из Зп декартовых координат точек Xj, [c.331]

Найдем частные производные кинетической энергии по обоб-щепной координате q, и обобщенной скорости [c.341]

Частная производная является функцией тех же переменных, от которых, согласно (125.1), зависит радиус-вектор точки Г/. Дифференцируем как сложную функцию времени [c.342]

Частные производные, входящие в соотношения (2.25) и (2.26), не всегда могут быть взяты аналитически. Часто не удается разрешить исходную задачу в явном виде относительно искомой величины У или же функция ср(Х1, Х2,Х ) имеет чрезвычайно сложный вид. В этих случаях предпочтительным или даже единственно возможным оказывается численный метод определения производных. [c.47]

В общем случае изгиба прямоугольных пластинок дело обстоит значительно сложнее. Внутренние силовые факторы и прогибы являются функциями двух независимых переменных х н у в прямоугольной системе координат. Совместное рассмотрение уравнений статики, геометрических и физических зависимостей позволяет выразить все внутренние силовые факторы через функцию прогиба W (х, у). Отыскание этой функции сводится к интегрированию дифференциального уравнения четвертого порядка в частных производных с постоянными коэффициентами. Это основное дифференциальное уравнение технической теории изгиба пластинок имеет следующий вид [c.508]

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Выражение в первой скобке уравнения (в) представляет собой производную по направлению нормали V от функции и (л , у, г). Действительно, вычисляя частную производную сложной функции и (.X, у, г) по V, получаем [c.44]

Задача о расчете пластин с прямоугольным очертанием контура оказывается значительно более сложной, чем симметричных круглых пластин. Получается это, прежде всего, потому, что прогибы и напряжения несимметричной пластины определяются в функции не одного, а двух независимых переменных. Для прямоугольной пластины (рис. 10.28) в качестве таких переменных берут обычно х иув прямоугольной системе координат. Дифференциальное уравнение некруглой пластины является уравнением в частных производных и решается, как правило, в рядах. Не останавливаясь на этой задаче, приведем только некоторые окончательные результаты теории прямоугольных пластин. [c.421]

Уравнение Шредингера является линейным уравнением в частных производных, т. е. более сложным, чем уравнения Гамильтона. Так как уравнение (1.35) — первого порядка по времени, то с его помощью по заданным значениям Ч " г, 0) волновой функции в момент t = О можно найти ее значение г, t) в момент t. [c.23]

Перейдем теперь непосредственно к установлению тождества Пуассона 4°. После раскрытия сложных скобок любой член в левой части 4° будет содержать в качестве множителя частную производную второго порядка от одной из функций ср, ф, у. Но ((tpt )/) не содержит частных производных второго порядка от а сумма [c.99]

В обычно применяемых методах определение движения свободной точки в пространстве под влиянием ускоряющих сил состоит в интегрировании трех обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, а определение движения системы свободных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся, — в интегрировании системы подобных уравнений, число которых втрое больше числа притягивающихся или отталкивающихся точек, если только мы предварительно не уменьшим это последнее число на единицу, рассматривая только относительные движения. Таким образом, в солнечной системе, если мы рассматриваем только взаимные притяжения Солнца и десяти известных планет [ ], определение движений последних относительно первого при помощи обычных методов сводится к интегрированию системы тридцати обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, связывающих координаты и время, или же, при помощи преобразования Лагранжа, — к интегрированию системы шестидесяти обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, связывающих время и эллиптические элементы. При помощи этих интегрирований тридцать переменных координат или шестьдесят переменных элементов могут быть найдены, как функции времени. В методе, предложенном в данной работе, задача сводится к отысканию и дифференцированию единственной функции, которая удовлетворяет двум уравнениям в частных производных первого порядка и второй степени подобным же образом всякая другая динамическая задача, относящаяся к движениям (как бы многочисленны они не были) любой системы притягивающихся или отталкивающихся точек (даже если мы предполагаем, что эти точки ограничены какими-либо условиями связи, совместными с законом живой силы), сводится к изучению одной центральной функции, форма которой определяет и характеризует свойства движущейся системы и определяется двумя дифференциальными уравнениями в частных производных первого порядка в сочетании с некоторыми простыми соображениями. Таким образом, по крайней мере интегрирование многих уравнений одного класса заменяется интегрированием двух уравнений другого класса, и даже если считать, что этим не достигается никакого практического облегчения, тем не менее можно получить некое интеллектуальное наслаждение от сведения, пожалуй, самого сложного из всех исследований. [c.176]

Иногда, по крайней мере для некоторых классов движений, исключение скоростей может привести к еще более сложным формам функции Я подобные случаи я разобрал в моей первой статье о моноциклических движениях ). Здесь мы можем условия исключения взять еще несколько более общими. Предположим, что имеется некоторая группа координат таких, что соответствующие входят в выражение живой силы лишь в форме произведений с другими скоростями той же группы, но не встречаются умноженными на скорости др не принадлежащие к упомянутой группе, так что все частные производные вида [c.437]

Найдём градиент функции (/ ). Воспользуемся формулой (18.50), причём частные производные будем вычислять по правилу дифференцирования сложных функций, принимая за промежуточно переменное расстояние г имеем [c.172]

Однако общая теория изгиба пластин существенно сложнее, чем теория осесимметричного изгиба. Так как прогиб является теперь функцией не одной, а двух независимых координат, задача сводится к решению дис еренциальных уравнений в частных производных. [c.52]

В практике инженерных расчетов могут также встретиться случай, когда функция возмущения W имеет вид, достаточно сложный для ее аппроксимации на всем кинематическом цикле. В этом случае ее следует либо аппроксимировать на отдельных участках более простыми функциями, либо, выделив характерные участки, определить частное решение и его производную методами численного интегрирования. При этом для участка j i [c.94]

Простейшие алгоритмы случайного поиска, вроде описанного выше, по-видимому, применимы к выпуклым функциям. Существует много более сложных алгоритмов случайного поиска, чем описанный выше, рассчитанных на те или иные классы задач. В целом метод случайного поиска надо рассматривать как эвристический с эффективностью, зависящей от удачного выбора алгоритма применительно к особенности заданной функции. Судя но опубликованным данным, случайный поиск менее эффективен, чем направленные поиски с использованием частных производных при числе аргументов функции 3 и менее [22]. Для функций с числом аргументом свыше 3, судя по опубликованным данным, в определенных условиях случайный поиск требует меньше вычислений, чем направленные детерминированные поиски. Но можно с уверенностью сказать, что метод направленного перебора с исходной точкой, удаленной в направлении каждой из координат от точки минимума не более, чем на два шага, всегда выгоднее случайного поиска. Это обстоятельство будет рассматриваться в следующем параграфе. [c.177]

Частные производные сложной функции [c.155]

Частные производные сложной функции. Если т=/(х, у, г), где х = = X щ V), У (Щ V), 2 = 2 (и, -у), то [c.145]

Правила дифференциального исчисления о производной суммы, произведения, частного, сложной и обратной функции остаются верными и для функций комплексного переменного. Сумма, произведение, частное регулярных в О функций также регулярны в О (частное— за исключением точки, где знаменатель обращается в нуль). [c.196]

Подробное изложение аналитического решения уравнений динамики и описание свойств функций U приводятся в [Л. 52]. Для практических целей имеются таблицы или номограммы этих функций. Разработаны алгоритмы вычисления значений таких функций на ЭВМ. Аналитическое решение в таком виде удается, как правило, получить для моделей, описываемых двумя уравнениями в частных производных с постоянными коэффициентами. К ним относятся модели конвективного теплообменника с несжимаемой средой и тонкой стенкой, радиационного теплообменника и трубопровода с теплоаккумулирующей стенкой и несжимаемой средой, радиационного теплообменника со сжимаемой средой без аккумулирующей стенки и ряд других моделей. Для более сложных моделей аналитические решения в виде временных характеристик не определены. Поэтому построение модели всего парогенератора с использованием аналитических решений практически неосуществимо. [c.82]

Частные производные сложной функции. Если w = f х, у, 2), где х = х и. v), у = у (и, v). 2 = Z (а, v), то [c.145]

Из курса высшей математики известны формулы для определения частных производных сложной функции двух переменных [c.380]

Как установлено, для решения широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных существует метод, позволяющий найти функцию q it) =Д<7](0) при одном и том же t. В этом случае переменная 2 подчинена переменной q (принцип подчинения). Это позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.19]

В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями возможности сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этих случаях решение представляется в функции от одного аргумента, который является некоторым сочетанием основных аргументов задачи. Постоянным значениям этого сложного аргумента соответствуют целые многообразия решений по отдельным аргументам, которые можно рассматривать как подобные между собой. По этой причине вообще решение дифференциального уравнения в частных производных, выраженное в функции одного сложного аргумента, представляющего одночленную совокупность аргументов, содержащихся в постановке задачи, и удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению, к которому в этом случае приводится основное уравнение в частных производных, носит наименование автомодельного (в заграничной литературе — подобного) решения, а сама задача называется автомодельной. [c.153]

Уравнение (8.25) является интегродифференциальным уравнением в частных производных, поскольку производная d/ds содержит частные производные по пространственным координатам, если записать ее в явном виде для данной системы координат ), а интенсивность I (s, 2) входит под знак интеграла в функции источника. Поэтому решение уравнения (8.25)—задача очень сложная даже для одномерного случая. Однако весьма полезно проследить за формальным интегрированием уравнения (8.25) вдоль пути S в направ.дении 2 при формальном граничном условии [c.277]

Ниже будут рассмотрены решения уравнений динамики идеального газа, для которых щ, энтропийная функция W и функция Q = где р — плотность, 7 — показатель адиабаты в уравнении состояния р = Wp , линейно зависят от части пространственных координат. Задача изучения таких движений, в отличие от [1], сводится в общем случае к исследованию совместности переопределенных систем уравнений в частных производных достаточно сложной структуры. [c.168]

Основное содержание работы связано с изложением концепции построения оптимальных сеток, развиваемой в работах уральских ученых в течение 30 лет. В качестве критериев оптимальности выбраны требования близости криволинейной сетки к равномерной, ортогональной и адаптации к заданной функции или решению уравнений в частных производных. Приведены конструкции функционалов, используемых для построения структурированных и блочно-структурированных сеток. Описаны эффективные алгоритмы и программы построения двумерных оптимальных сеток с различными топологиями в сложных многосвязных областях. Описан ряд приложений геометрически оптимальных сеток к расчету гидродинамических и газодинамических течений в осесимметричных каналах сложных геометрий. [c.512]

Основное содержание работы связано с изложением иной концепции построения сеток, развиваемой, главным образом, в работах российских ученых в течение 30 лет [1]. Главная особенность подхода связана со специальным способом формализации критерия (Р), приводящему к нелинейному вариационному функционалу, в который входят как первые, так и вторые частные производные функций, реализующих отображение. Этот непрерывный функционал появляется естественным образом после рассмотрения дискретного функционала, минимизирующего меру относительной погрешности неравномерной сетки по сравнению с равномерной. Такая формализация приводит к системе уравнений Э-0 четвертого порядка, гиперболической в широком смысле. Это позволило рассмотреть новые более широкие типы краевых условий, а также разработать эффективные алгоритмы и программы построения сеток для весьма сложных областей. Экономичные и эффективные процедуры расчета сеток связаны с применением итерационных процессов, использующих как специальную нестационарную модификацию уравнений Э 0, так и прямые геометрические способы минимизации дискретных функционалов, формализующих все три критерия оптимальности. [c.513]

Как установлено [7] для широкого класса стохастических нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными су- шествует метод, позволяющий найти функцию q2(t)=f(qi(t)) при одном и том же t. В этом случае переменная q2 подчинена переменной qi (принцип подчинения), что позволяет существенно упростить сложную задачу. [c.64]

Итак, компоненты скорости сложного движения определяются как частные производные некоторой функции координат X и у, а поэтому эта функция является потенциалом скорости, а само сложное движение — движением потенциальным. [c.115]

Оптимальный закон управлспия не является непрерывной функцией параметров ф и 0, поскольку приращения обобщенных координат претерпевают разрывы на границах, разделяющих область В и области А и Б. Разрывность оптимальных по объему движения законов управления имеет место и для более сложных манипуляционных систем и обусловлена наличием разрывов частных производных функционала Й объема движения. Поэтому можно поставить задачу синтеза непрерывных законов управления, в той или иной степени приближающихся к оптимальным. Естественным подходом к ее решению представляется введение достаточно близкой к (2) гладкой функции [c.20]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

В разд. 18.6 мы установили необходимость какого-то систематического метода работы с заменой переменных, используемой при выводе более сложных выражений для термодинамических характеристик через частные производные, вычисленные по характеристическому уравнению состояния. Такое уравнение определяет трехмерную поверхность, которую можно назвать характеристической поверхностью. В принципе любую заранее выбранную термодинамическую характеристику простой системы можно представить как функцию двух других термодинамических характеристик, что даст еще одну трехмерную поверхность. Однако, как мы видели, все термодинамические характеристики взаимосвязаны, так что между площадью некоторого элементарного участка характеристической поверхности и площадью аналогичного участка другой возможной поверхности должна существовать какая-то связь. Как будет выяснено в дальнейшем, эта связь устанавливается соответствующей теоремой о якобианах, что и обусловливает целесообразность их использования. Некоторые дополнительные простые теоремы облегчат нащу задачу. [c.333]

Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неиз-иестной функции граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей. плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью V , плотностью р , давлением и т. д. [c.325]

В общем случае крутящий момент m является сложной функцией исходных свойств материала (зависимость от тензора и его произ-всд 1ых), геометрии искажений, вносимых в материал при его деформации (зависимость от и его производных), и ориентации площадки п. В частном случае однородной упругой деформации неоднородного материала (е = onst, (г)) удельный момент отличен от нуля [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...