Весовые функции стационарного

Для того чтобы отыскать весовую функцию стационарного объекта, необходимо, как и в нестационарном случае, решить краевую задачу для уравнений в частных производных, подобную задаче (3.2.5), (3.2.6), хотя и с постоянными во времени коэффициентами. Решить такую задачу, конечно, гораздо сложнее, чем обыкновенное дифференциальное уравнение (3.2.16) с граничным условием (3.2.17). Таким образом, при исследовании стационарных объектов, математическая модель которых включает дифференциальные уравнения в частных производных (объекты с распределенными параметрами), передаточная функция является наиболее простым и эффективным средством описания оператора. Ее отыскание — главная задача при исследовании динамики объекта. [c.101]

Таким образом, соотношения (10.110)—(10.112) дают характеристики выходной переменной, если известны весовая функция стационарного объекта и действующая на него входная переменная. [c.349]

Пусть на вход стационарного линейного объекта подается в момент времени t = х входное воздействие в виде S-функции (единичный импульс) Ut( =S( — т) Выходная функция объекта Vx(i) определяется весовой функцией Vx(t) =Aur t) =G t,x). Поскольку оператор А является однородным, временной сдвиг — т не изменяет правила действия оператора. Согласно (2.2.25), должно быть G t,x) =Vx i) =v t — т), где v t) соответствует несмещенной входной функции u t) =8(t), т.е. v t) = [c.68]

Для доказательства соотношения (2.2.77) воспользуемся представлением (2.2.43) для выходной функции v(t) с помощью весовой функции. Для стационарного объекта G(t, %) = g(t — т). Кроме того, u t)= О при t < О, поэтому получим [c.70]

Приведенный пример ясно показывает, что наиболее важной характеристикой стационарных объектов является передаточная функция W p). Это связано, во-первых, с тем, что она легко может быть получена из уравнений математической модели после применения к ним преобразования Лапласа по времени, и, во-вторых, с тем, что с помощью W р) легко может быть получена весовая функция g t) и переходная функция h t). [c.75]

Передаточная функция стационарного объекта, описываемого уравнением (3 1.1), является дробно-рациональной функцией вида (3.1.35). Поскольку для дробно-рациональных функций переход к оригиналам осуществляется весьма просто, выражение (3.1.35) часто используют для определения весовой и переходной функций стационарного объекта. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для определения весовой функции g t) требуется применить обратное преобразование Лапласа к функции W p), а для определения переходной функции h(t) — K функции W p)/p. Необходимо разложить дробно-рациональные функции W (р) и р)/р на простейшие дроби и осуществить переход к оригиналам в каждом слагаемом. [c.92]

Для операторов, задаваемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, весовая и параметрическая передаточная функции являются равноценными характеристиками, причем способы их нахождения весьма похожи. Чтобы найти весовую или параметрическую передаточную функцию оператора, задаваемого общим уравнением (3.1.1), необходимо решать либо уравнение (3.1.15) с начальными условиями (3.1.16), либо уравнение (3.1.31). Эти уравнения имеют одинаковую структуру и в каждом конкретном случае можно определить, какую из функций G t, т) или F i, р) проще искать. Некоторое различие в процедурах нахождения характеристических функций появляется только для стационарных объектов. В этом случае для нахождения весовой функции по-прежнему необходимо решать дифференциальное уравнение (3.1.17), в то время как для отыскания передаточной функции используется тривиальное алгебраическое уравнение (3.1.34), решение которого (3.1.35) имеет очень простой вид. [c.97]

Однако больщинство химико-технологических объектов являются стационарными коэффициенты описывающих их уравнений не зависят от времени. Для стационарных объектов процедура определения весовой функции остается в целом той же, что и в случае нестационарных объектов необходимо решать краевую задачу типа (3.2.5), (3.2.6), в которой коэффициенты уравнения [c.99]

После построения передаточной функции стационарного объекта можно определить и другие его характеристики весовую и переходную функции. В соответствии с соотношениями (2.2.74) и (2.2.76) для их нахождения нужно применить обратное преобразование Лапласа к функциям W p) и W p)/p. [c.101]

Получение передаточной функции является, как правило, первым шагом в исследовании динамики технологического объекта. Несмотря на то, что знание передаточной функции W(p) дает полную информацию о динамических свойствах объекта, часто в различных конкретных задачах бывает удобно использовать для характеристики объекта не W (р), а весовую функцию g t) или переходную функцию h(t). Выше уже отмечалось, что h t), например, является самой естественной характеристикой процесса перехода объекта из одного стационарного режима работы в другой, поскольку непосредственно описывает изменение выходного параметра при таком переходе. Поэтому, после того как получено аналитическое выражение для передаточной функции, возникает задача применения к ней обратного преобразования Лапласа с тем, чтобы получить весовую функцию g t) и переходную функцию h t). Такая задача часто оказывается трудноразрешимой, поскольку аналитическое выражение передаточных функций объектов с распределенными параметрами имеет очень сложный вид. В связи с этим применяются различные методы получения приближенного выражения для весовой и переходной функций с помощью точного аналитического выражения для передаточной функции W p). Указанные методы можно разделить на две группы. [c.107]

Отметим, что (3.3.9) и (3.3.12) представляют собой разложения функций g t) и h t) в ряд Тейлора около точки = 0 (ряд Маклорена). Поэтому приближенное представление g t) с помощью (3.3.11) и h t) с помощью (3.3.13) справедливы вблизи точки = 0, причем чем больше взято членов в (3.3.11) и (3.3.13) [соответственно, чем больше членов в (3.3.10)], тем больше интервал вблизи точки = О, на котором gN t) и Лл/(0 дают достаточно точную аппроксимацию для g t) и h t). В реальных технологических объектах весовая функция g t) экспоненциально стремится к нулю, а переходная функция h(t) при t oo стремится к конечному пределу /г(оо), соответствующему выходу объекта на стационарный режим работы. Фактически за конечное время to происходит изменение g t) от начального значения до нуля и h t) от начального нулевого значения до стационарного значения /2(00) (рис. 3.1), поэтому для получения полной информации о переходных процессах в объекте достаточно выбрать в (3.3.10) столько слагаемых, сколько нужно для того, чтобы соответствующие функции gN t) и hN(t) с необходимой для практических целей точностью аппроксимировали g(t) и h t) в интервале [О, о]. [c.112]

Тарельчатая ректификационная колонна 19, 20, 221 сл. динамическая модель 20 сл. часть, состоящая из двух тарелок весовые функции для различных каналов связи 234, 235 входные параметры 229 сл. выходные параметры 229 сл. каналы связи для приращений входных и выходных параметров 229 сл. передаточные функции для различных каналов связи 230 сл. стационарный режим 229, 235 Теплообменник(и) [c.302]

Функция G (X) называется передаточной функцией объекта. Для стационарных линейных объектов передаточная функция представляет собой преобразование Лапласа от весовой функции [c.327]

Сущность постановки задачи построения типовых динамических характеристик заключается в том, что динамические модели технологических процессов, имеющих одинаковые характеристики входных и выходных переменных, очевидно, формально могут быть представлены одной и той же математической моделью. Например, ясно, что если для двух одномерных линейных стационарных технологических процессов, независимо от их физической природы, корреляционные функции входной случайной функции равны и, кроме того, равны также взаимные корреляционные функции входной и выходной случайных функций, то такие два процесса должны иметь идентичное математическое описание, т. е. их весовые функции должны совпадать. Естественно, что это относится не только к объектам, выполняющим одни и те же технологические операции, но и к технологическим процессам, где, выполняются разные по своей природе операции. Известно, что для различных электрических, тепловых, механических и других явлений существует одно и то же математическое описание, дающее возможность решать с достаточной точностью практические задачи. [c.336]

Для стационарного технологического процесса заданного весовой функцией g (т) [c.348]

Эффективность метода конечных элементов при определении динамических коэффициентов интенсивности напряжений в телах со стационарными трещинами можно значительно повысить за счет использования так называемых весовых функций, позволяющих по сравнительно простой процедуре строить решения задач для различных типов нагружения, если известно решение хотя бы для одного (базового) типа нагружения. [c.62]

Для статистически независимых р1( ) и р2(0 в ряде случаев при выполнении дополнительного условия, сформулированного В. И. Тихоновым [52], вместо нестационарного случайного процесса р 1) вводят в рассмотрение некоторый вспомогательный стационарный процесс Ро(0 с корреляционной функцией (х), получаемой из функции временной статистической связи Кр (т, I, 0), уравнение (1.15), путем осреднения по всем возможным случайным фазам модулирующего множителя при Яр (т). Если плотность фаз распределена равномерно в интервале О - 2л (т. е. весовая функция распределения фаз на интервале равна единице), то [c.13]

Ц, Ь ), зададим вид функций, определяющих характер изменения пространственной стационарности. Пусть изменение однородности турбулентности в направлении и ц описывается некоторыми весовыми функциями, структура которых аналогична функциям влияния, уравнение (3.8) [c.156]

В Р-представлении стационарные операторы плотности соответ ствуют функциям Р (а), которые зависят только от а . Это еле дует из выражения (7.2), которое показывает, что такие функции Р (а) приводят к функциям Я (Р, у), не изменяющимся при изменении общей фазы Р и у- Это также хорошо видно и из соотношения (7.12), которое показывает, что п т) приводится к диагональному виду, когда весовая функция не зависит от фазы. [c.91]

Если отдельные источники стационарны, то их весовые функции р (а) зависят только от а . Поэтому функцию преобразования [c.96]

Получение энергетического спектра из корреляционной функции для полей, представляемых стационарными операторами плотности, еще проще. Для таких полей весовая функция Р ( а ) зависит только от абсолютных значений а, так что [c.109]

Стационарный характер функции р означает, что такие моменты равны нулю при к Ф к. Можно повторить наши рассуждения и показать, что многомерное фурье-преобразование Р имеет вид произведения гауссовых функций вида (8.6), соответствующих каждой моде. Отсюда сразу же следует, что весовая функция Р всего поля дается произведением гауссовых множителей вида (8.8) [c.111]

Наличие в этом выражении множителя п несовместимо с условием факторизации (10.4) для функций корреляции п-то порядка при п, большем единицы. Таким образом, отсутствие когерентности второго и более высокого порядка является общим свойством стационарных полей, описываемых гауссовой весовой функцией (10.23). Другими [c.113]

Важный класс стационарных полей, возникающих всегда, когда источник по природе своей хаотичен, представляют поля, для которых весовая функция в Р-представлении есть произведение гауссовых функций по одной на каждую моду. Оператор плотности представляется для этого случая в виде [c.138]

Когда функция Р ( а ) представима в виде произведения независимых весовых функций по одной на каждую моду, а число возбужденных мод велико, легко показать, используя метод, подобный тому, который был применен в разделе 8 вышеприведенной статьи автора, что функция W Ш хи 2 2) принимает гауссову форму по двум переменным комплексным амплитудам и Ш2. Для доказательства мы просто покажем, что двойное преобразование Фурье функции W ( 1Хи 2Х2) по переменным амплитудам и ёг есть асимптотическая форма гауссова распределения для бесконечного числа возбужденных мод. Тогда обратное преобразование приведет к результату, который для случая стационарных полей можно записать в виде [c.149]

В нестационарной теории, как уже было отмечено в предыдущей главе, многие этапы необходимых математических расчетов требуют использования волновых пакетов для обеспечения сходимости соответствующих выражений. В стационарной теории невозможно использовать волновые пакеты, не вводя сложных весовых функций и очень громоздких интегрирований по энергии. Без этого же в стационарной теории неизбежны трудности, связанные с вопросами сходимости. [c.171]

Исходя из установленных свойств, не зависящих от времени стационарных состояний Ч " Е, а), проследим изменение во времени точного вектора состояния (а, /). Образуем из векторов Е, а), нормированных согласно (7.19), волновой пакет путем интегрирования с соответствующей весовой функцией / ( ). В реальных случаях квантовые числа а обычно образуют непрерывный спектр (в а входит, например, квантовое число, отвечающее направлению импульса). Следовательно, в условии нормировки (7.19) вектора ( , а) б-символ Кронекера нужно заменить б-функцией Дирака. Поэтому для получения волнового пакета нужно интегрировать также и по а. Если только мы не рассматриваем случай рассеяния частицы на неподвижной мишени, то, согласно рассмотрению гл. 7, 2, п. 2, в качестве индексов у векторов состояний нужно помимо полной энергии Е брать также полный импульс частицы Р. Остальные квантовые числа обозначим через а. Тогда выражение для произвольного волнового пакета запишется в виде [c.206]

Как и следовало ожидать, при /оо эта вероятность стремится к нулю, так как поскольку волновой пакет описывает конечное число частиц, то скорость перехода должна убывать. Для получения постоянной скорости перехода нужно перейти к идеализированному случаю, когда в начальном состоянии весовая функция имеет ост.рый максимум, т. е. когда начальное состояние является моноэнергетическим и имеет квантовые числа Конечно, в этом случае мы имеем уже дело не с волновым пакетом, а с бесконечным пучком. Именно потому, что получающееся состояние является стационарным, существует постоянная вероятность перехода. Таким образом, заменяя / на [c.207]

Подставив весовую функцию, определяемую формулой (2.7.48) или (2.7.49), в зависимость (2.7.45), можно вычислить мгновенные значения напряжения трения на стенке. Удобнее преобразовать зависимость (2.7.45), выделив член, характеризующий напряжение стационарного трения, [c.119]

Второе слагаемое правой части зависимости (2.7.50) учитывает влияния предыстории изменения скорости с определенным весом, а для вычисления весовой функции используются выражения (2.7.48) или (2.7.49). Для стационарного ламинарного течения напряжение трения и гидравлическое сопротивление линейно зависят от скорости, решение же (2.7.50) получено д ш напряжения трения как функции безразмерного времени 1. Поэтому уравнения на характеристиках (2.5.9) и (2.5.10) удобнее записать в следующей форме [c.119]

Функция q х—т) в операторах (80) и (82), согласно определению, данному в работе [11], является весовой функцией. С помощью специальных мер, рассмотренных ниже, можно добиться стационарности системы. В этом случае изображение весовой функции представляет собой передаточную функцию объекта управления. Поскольку последняя обычно имеет вид дробно-рационального выражения, для аппроксимации закона распределения удельных давлений можно воспользоваться следующими выражениями [c.156]

Соотношения (2.2.74) и (2.2.76), связывающие передаточную функцию с весовой и переходной функциями, очень часто используются при описании стационарных объектов. Они позволяют по одной из функций W p), h t) или g t) найти две другие. Как правило, исходной, наиболее просто определяемой, является передаточная функция W p). [c.70]

В конце раздела 2.2. уже был приведен простой пример отыскания весовой и передаточной функций объекта, описываемого обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Теперь будут изложены основные способы определения весовой, переходной и передаточной функции линейных объектов с сосредоточенными параметрами, математическая модель которых включает только обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим общий случай, когда коэффициенты уравнений являются произвольными функциями времени, т. е. объект не является стационарным. [c.82]

Практически все объекты химической технологии можно считать стационарными, поэтому, как показано в гл. 3, наиболее просто для них определяется передаточная функция W p). В связи с этим, как правило, именно определение передаточной функции будет являться первой задачей при исследовании каждого процесса. Две другие характеристические функции весовая и переходная, будут определяться чаще всего с помощью обратного преобразования Лапласа уже после того как получена передаточная функция W p). Будем рассматривать различные модели теплообменников, введенные в гл. 1, [c.114]

Разложение (3.51) вводится затем или в функционал энергии, соответствующий исходной краевой задаче (3.40), или в условие ортогональности невязки этой задачи и выбранных в качестве весовых функций формы, входящих в разложение. Минимизация функционала энергии относительно узловых перемещений й, разложения в первом случае и условие ортогональности во втором позволяют получить дискретные для стационарных задач и полудискретные для задач, зависящих от времени, соотношения МКЭ. Такой подход будет использован ниже (в гл. 5) для решения задач теплопроводности (3.39). [c.105]

Если весовые функции выбирают идентичными базисным функциям, т. е. фр= /р, то данная разновидность метода мо(мен-тов йазывается методом Галеркина. Достоинством этого метода является то, что )ряд интегральных характеристик решения (например, излучаемая мощность и др.) обладает стационарными свойствами (см. 6.4), т. е. слабо зависит от точности представления (ИСКОМОГО тока. [c.105]

При исследовании динамики стационарных объектов с распределенными параметрами, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, различие между методами нахождения весовой и передаточной функций сгановится более заметным. [c.97]

От ЛИШНИХ стационарных точек можно избавиться, прибавляя к функционалу интегралы от квадратов (или перекрестных произведений, если граничные условия парные) левых частей граничных условий, естественных для функционала. Исключение составляет случай, когда допустимые функции удовлетворяют уравнению во всем объеме V. В этом случае свойством достаточности обладают функционалы, представляющие собой просто сумму интегралов (с произвольными весовыми коэффициентами) от квадратов левых частей всех граничных условий, которым допустимые функции не удовлетворяют. Для самосопряженных задач эти же функционалы возникают в методе наименьших квадратов. Применение метода Ритца к таким функционалам приводит к матрицам с попарно близкими (сливающимися в пределе) собственными значениями. [c.183]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...