Функциональный оператор

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА [c.38]

Выделение входных и выходных параметров весьма важно при исследовании динамики процессов химической технологии. Используя эти понятия, можно сказать, что математическая модель, описывающая динамику технологического объекта, должна предсказывать, как будут меняться во времени выходные параметры при произвольном изменении во времени входных параметров (рис. 2.1). При этом любой технологический объект целесообразно интерпретировать как некоторый функциональный оператор, ставящий в соответствие каждому набору входных функций Ui t), U2 t),. .., Un(t) соответствующий набор выходных функций Vi t), V2(t).....Oft (О- в результате задача исследования динамики технологического процесса сводится к исследованию свойств функционального оператора, который задается математической моделью процесса. Поэтому прежде чем рассматривать методы исследования динамических свойств процессов [c.39]

Понятие функционального оператора является обобщением понятий функции и функционала. Функция есть правило, по которому каждому числу t из определенного интервала [О, о] ставится в соответствие некоторое другое вещественное число у — fit). Функционал есть правило, по которому каждой функции f(t) заданной на интервале [О, У ставится в соответствие вещественное число /о, на- [c.40]

Дадим строгое определение функционального оператора. Функциональным оператором называется правило, по которому каждой функции u(t) из некоторого множества функций U ставится в соответствие некоторая функция v(t) из множества функций V. Для обозначения оператора обычно используется одна из следующих записей v = Aw, А и U v V) , А и v, и v. Обычно говорят, что оператор А действует из множества U в множество V или что оператор А переводит функции из множества U в множество V. Множество U называют множеством задания оператора. [c.40]

Для краткости иногда будем называть функциональный оператор просто оператором, хотя последний термин имеет более широкий смысл. [c.40]

Рассмотрим теперь наиболее часто встречающиеся функциональные операторы. [c.42]

Интегральные операторы вида (2.1.8) играют большую роль в теории функциональных операторов, представляя собой универсальную форму записи линейных операторов. Часто задача исследования свойств оператора некоторого объекта решается с помощью представления этого оператора в форме (2.1.8) и дальнейшего изучения свойств функции Q t,x), которая является важной характеристикой всякого технологического объекта, поскольку знание ядра интегрального оператора Q( , т) позволяет по любой входной функции объекта u(t) с помощью соотношения (2.1.8) определить соответствующую выходную функцию у( ). [c.43]

Приведенный пример показывает, что функциональный оператор объекта, математическая модель которого включает систему уравнений в частных производных, является многомерным оператором. Если система состоит из п уравнений первого порядка, то в математическую модель должно входить п граничных условий, которые содержат п входных функций. Таким образом, пространство задания оператора U будет пространством -мерных вектор-функций. Это обстоятельство существенно усложняет исследование функционального оператора. Поскольку все методы исследования, излагаемые далее, относятся только к одномерным операторам, возникает необходимость сведения задачи исследования многомерного оператора объекта к задаче исследования одномерных операторов. [c.46]

Б предыдущем разделе были рассмотрены различные типы функциональных операторов, наиболее часто встречающихся в технических приложениях. Теперь подробно опишем методы исследования и основные характеристики этих операторов. Нужно отметить, что далеко не для любого оператора существует достаточно эффективный метод исследования. Наиболее просто и полно исследуется только класс операторов, называемых линейными. Фактически только для линейных операторов и существуют исчерпывающие и универсальные методы, позволяющие достаточно точно выяснить все их характеристики. [c.48]

Каждому изменению во времени выходной концентрации Свх(0 соответствует определенное изменение во времени выходной концентрации Свых(0. Функциональный оператор А определяет правило перехо-ДЗ от Свх (t) к Свых(0 А Свх(0 вых(0 [c.73]

Реальные объекты химической технологии, как правило, не обладают свойством линейности, и поэтому для их описания приходится применять нелинейные операторы. Нелинейность функциональных операторов значительно усложняет теоретическое исследование динамики объектов. Это связано прежде всего с необходимостью рассматривать нелинейные дифференциальные уравнения, для которых нет универсальных методов решения (таких, например, как метод сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим с помощью преобразования Лапласа) и которые в большинстве случаев вообще не могут быть решены в квадратурах. [c.77]

Характеристические функции объектов с сосредоточенными параметрами, описываемых многомерными операторами. Выясним теперь, как можно получить характеристические функции стационарных объектов с сосредоточенными параметрами, которые имеют по несколько входных и выходных параметров, т. е. описываются многомерными функциональными операторами. Эти операторы задаются с помощью систем обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых имеет вид (3.1,1). Исследование таких систем в общем виде будет достаточно громоздким, поэтому для простоты [c.93]

Как И В одномерном случае, передаточные функции стационарного объекта имеют дробно-рациональный вид. Отметим одну характерную особенность передаточных функций объекта, описываемого многомерным функциональным оператором. Передаточная функция стационарного объекта, описываемого одним уравнением вида (3.1.1) с постоянными коэффициентами, представляет собой дробно-рациональное выражение (3.1.35), в числителе которого стоит многочлен порядка т, где т — наивысший порядок дифференцирования в правой части уравнения (3.1.1). В том случае, когда в правую часть (3.1.1) входит только функция u t), а не ее производные, этот многочлен вырождается в константу, и передаточная функция принимает вид (3.1.45). В многомерном случае, когда объект имеет по несколько входных и выходных параметров, все передаточные функции также являются дробно-рациональными. Однако порядок многочлена, стоящего в числителе этих дробно рациональных функций, отличен от нуля даже тогда, когда в уравнения входят только параметры Ui i) и не входят их производные. [c.96]

Найденную передаточную функцию удобно использовать для исследования действия функционального оператора объекта на различные входные функции. В рассматриваемом случае можно выразить правило действия оператора на произвольную u(t). Действительно, соотношение (3.2.20) можно представить в виде [c.100]

Как видим, для стационарных объектов, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных, процедура определения передаточной функции U (p) имеет достаточно простой вид и в приведенном примере позволяет до конца решить задачу исследования функционального оператора объекта. Из свойства (2.2.77) следует, что для определения передаточной функции достаточно получить выражение преобразования Лапласа вых(р) выходной функции через й р) — преобразование Лапласа входной функции. Чтобы найти такое выражение Увых(р) через й(р) достаточно применить преобразование Лапласа к уравнению и граничным условиям математической модели, затем решить получившееся обыкновенное дифференциальное уравнение относительно функции х, р) — преобразования Лапласа от внутреннего параметра v x, t), и подставить в решение х = I. [c.101]

В заключение опишем процедуру определения характеристических функций объекта, математическая модель которого включает систему дифференциальных уравнений в частных производных. Функциональный оператор такого объекта является многомерным. Математическая модель многих химико-технологических объектов включает два дифференциальных уравнения в частных производных первого порядка [c.103]

В гл. 4 и 5 будут исследованы динамические свойства ряда основных процессов химической технологии. В соответствии с общей теорией функциональных операторов, изложенной в гл. 2, основное внимание при этом будет уделено получению характеристических функций, с помощью которых удобно описывать динамические свойства технологического объекта. [c.114]

Уравнение (4.1.1) линейно по входному параметру T t) и внутреннему параметру Т х, t). Но поскольку начальное условие (4.1.3) не является нулевым, функциональный оператор Л 2 7bx( )i 7 с ) 7 вых(0, задаваемый с помощью уравнения [c.115]

Применяя к обеим частям этого равенства функциональный оператор А объекта и учитывая, что А — линеен, находим следующее представление для выходной функции 7 вых(0 [c.145]

Таким образом, будем считать, что функциональный оператор противоточного теплообменника А Ti ВХ (О, т, ВХ вых it), [c.180]

Таким образом, динамика процесса абсорбции в насадочном аппарате в режиме идеального вытеснения без труда может быть описана с помощью формул, аналогичных уже полученным для противоточного теплообменника. Значительно сложнее исследовать динамику насадочного абсорбера в том случае, когда нельзя пренебречь продольным перемешиванием. При использовании одно-параметрической диффузионной модели абсорбер описывается уравнениями (1.2.30), (1.2.31) с граничными условиями (1.2.37) (считаем, что расходы по жидкости и газу постоянны). Как и раньше, будем полагать, что функция 0 (0 ) имеет линейный вид 0д = Г01. При этом функциональный оператор А, задаваемый с помощью уравнений (1.2.30), (1.2.31), граничных условий (1.2.37) и нулевых начальных условий будет линейным. Но поскольку уравнения математической модели являются уравнениями в частных производных второго порядка, исследовать этот линейный оператор очень трудно. С помощью применения преобразования Лапласа по t к уравнениям и граничным условиям можно получить выражение для передаточных функций. Однако они будут иметь столь сложный вид по переменной р, что окажутся практически бесполезными для описания динамических свойств объекта. Рассмотрим математическую модель насадочного абсорбера с учетом продольного перемешивания при некоторых упрощающих предположениях. Предположим, что целевой компонент хорошо растворяется в жидкости, и поэтому интенсивность процесса массообмена между жидкостью и газом пропорциональная концентрации целевого компонента в газе. В этих условиях можно считать 0 (в ) 0. Физически такая ситуация реализуется, например, при хемосорбции, когда равновесная концентрация поглощаемого компонента в газовой фазе равна нулю. При eQ( i,) = 0 уравнение (1.2.30) становится независим мым от уравнения (1.2.31), поскольку в (1.2.30) входит только функция 0g(->i , t)- При этом для получения решения o(Jf, t), системы достаточно решить одно уравнение (1.2.30) функцию L x,t), после того как найдена функция можно найти [c.206]

Уравнение (5.2.17) с начальным условием (5.2.18) определяет правило действия функционального оператора i-й тарелки для канала (О->0 (О- Здесь 0 . j (/) играет роль входной [c.225]

Кроме тарелок в состав ректификационной колонны входят и другие элементы (дефлегматор и куб-испаритель), поэтому, строго говоря, прежде чем исследовать динамические свойства всей колонны, необходимо рассмотреть (подобно тому, как это было сделано для отдельной ректификационной тарелки) динамику каждого из элементов. Однако, как отмечалось в разделе 1.2, динамические процессы, протекающие в дефлегматоре и кубе-испарителе, осуществляются значительно быстрее, чем в собственно колонне. Все возмущения передаются через эти элементы практически без искажений, т. е. можно с большой степенью точности считать, что их функциональным оператором является тождественный оператор. Таким образом, задача исследования динамики колонны сводится к исследованию динамики последовательности нескольких тарелок. [c.228]

Уравнение (5.4.14) с условием (5.4.15) задает функциональный оператор рассматриваемого химического реактора А Свх( )->-- (t). Входной функцией является Свх(0—концентрация вещества X во входящем в реактор потоке. Эту концентрацию можно задавать независимо от протекающего в реакторе процесса. Выходной функцией является текущая концентрация с(() вещества X в реакторе. Поскольку коэффициенты уравнения (5.4.14) не зависят от времени, оператор А — однородный. Однако если пфО и tt=/=l, он является нелинейным, так как уравнение (5.4.14) содержит нелинейный по выходному параметру член k ". Достаточно просто исследовать динамику можно только при /г = О и /г = 1, т. е. когда в реакторе идет реакция нулевого или первого порядка. Рассмотрим эти случаи. [c.247]

С помощью математической модели (5.4.42) — (5.4.44) задается функциональный оператор реактора А Свх(0 >Свых(0> где вых(0 определяется по формуле [c.253]

Приведем простой пример технологического объекта, функциональным оператором ко- орого является оператор сдвига. [c.42]

В данном примере выходным параметром системы служит текущая температура нагреваемого тела T t). С помощью уравнения (2.1.12) и начального условия (2.1.13) задается функциональный оператор А, ставящий в соответствие каждой входной функции Тви () выходную функцию Т(t) = AT (t). В рассматриваемом процессе теплообмена, который описывается обыкновенным дифференциальным уравнением (2.1.12), различие между температурой нагревателя Твх(0 как входным параметром и температурой нагреваемого тела Т(t) как выходны,м параметром носит условный характер. Фактически при таком описании пренебрегают реальным распределением всех параметров по пространственной координате, поэтому здесь неприменимы понятия вход и выход, если понимать их в строгом простаатотвенном смысле. Разница между 7 вх(<) и Т ( ) = Гвых(0 состоит в том, что 7 вх(0 может произвольно меняться во времени, а Т (t) зависит от выбора [c.44]

Функциональный оператор А теплообменника ставит в соответствие каждому набору входных функций 7" вх( ), T2 (t), Wi(t), Ш2( ) набор выходных функций (Г1аь1х(0. 2вых(<) , получаемых по формулам (2.1.19) из решений Ti(x, t), l (x, 1) уравнений (2.1.16) с начальными и граничными условиями (2.1.17), [c.46]

Рассмотрим еше одну важную разновидность функциональных операторов — однородные операторы. Пусть имеется линейный или нелинейный оператор А Входные воздейстрия u t) [c.53]

С технологической точки зрения однородными операторами вписываются те объекты, свойства которых не меняются с течением времени, т. е. эти объекты реагируют одинаково иа одинаковые возмущения, подаваемые в разное время. Такие объекты принято называть стационарными. Заметим, что в реальных условиях никакой физический объект нельзя описывать, строго говоря, однородным функциональным оператором. Любая технологическая установка меняет свои свойства с течением времени. Так, например, в теплобменнике коэффициент теплопередачи со временем уменьшается из-за образования накипи, ржавчины и т. п. Однако такие изменения свойств объектов со временем происходят весьма медленно, и поэтому, как правило, технологические объекты в пределах некоторого промежутка времени можно считать стационарными и описывать их однородными операторами. [c.56]

Поскольку функции Wuip) и Wii p) из-за их сложного вида неудобны для исследования действия функционального оператора объекта на различные входные функции Uux(0 (и, кроме того, трудно непосредственно осуществить обратное преобразование Лапласа, необходимое для отыскания весовой и передаточной функции), часто после получения точного аналитического выражения для передаточных функций используют различные методы, позволяющие найти приближенные выражения для двух других характеристических функций. [c.107]

С помощью системы уравнений (4.3.1), (4.3.2) с граничными условиями (4.3.3), (4.3.4) и нулевыми начальными условиями определяется функциональный оператор объекта Л (7 вх(0> Т а вх(/) (Ti вых(/), 7 2вых(/) , где Г вых(/) И вых(Оопределяют-ся по формулам [c.179]

В общем случае функция во(в ) имеет весьма сложный нелинейный вид, поэтому уравнения (5.1.1), (5.1.2) являются нелинейными. В связи с этим нелинейным является и функциональный оператор объекта А 0овх( ), 0l вх(/) о вых(0. вг.вых(0 -Выходные функции 0овых(О и 0 .вых(О определяются с помощью решения о(х, t), 0z.(a , t) системы уравнений (5.1.1), (5.1.2) с условиями (5.1.3) — (5.1.5) [c.204]

Функциональный оператор адсорбера А 1вх(0> 0 вх(0. G t), 0свх(О, ф(0 0t p(O. 0свых(О , очевидно, является нелинейным, поскольку в уравнения (5.3.1) — (5,3.3) входят нелинейные члены произведения входных, выходных и внутренних параметров и нелинейная функция х(0,ф). Произведем линеаризацию системы уравнений (5.3.1) — (5.3.3). В предыдущем разделе была подробно описана процедура линеаризации системы уравнений, описывающих процесс ректификации на отдельной тарелке ректификационной колонны. Метод линеаризации математической модели процесса адсорбции в общих чертах совпадает с аналогичным методом, использованным при линеаризации математической модели процесса ректификации. В связи с этим в настоящем разделе процедура линеаризации системы уравнений (5.3.1) —(5.3.3) будет изложена более сжато, без подробного разъяснения каждо- [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...