Теорема о разложении функций

Пользуясь теоремой о неявных функциях, примененной нами уже в 66 и 181, из этих уравнений можно выразить EJ в виде рядов, расположенных по степеням А . Из предыдущих формул следует, что когда изменяется знак величины Е , будет изменяться знак Ак- Отсюда вытекает, что разложение Е по степеням А должно делиться на и отношение [c.276]

Этот тензор, хотя и не допускает непосредственной геометрической интерпретации, является не менее важным в частности, он играет существенную роль в теореме о представлении функции реакции для тензора напряжений Коши (теорема 3.6-2). Пока лишь отметим, что матрицы С = и В = РР имеют один и тот же характеристический многочлен, так как это верно вообще для произведений РС и СР любых матриц Р я О одинакового порядка. При С = Fт последнее утверждение вытекает непосредственно из теоремы о полярном разложении (теорема 3.2-2). [c.77]

Для рациональных алгебраических функций удобно пользоваться теоремой о разложениях Ващенко — Захарченко (Хевисайда), а для периодических, видимо, более удобны родственные преобразования Фурье или Гильберта. [c.76]

Теорема о разложении. Предположим, что функция F(p) представляет собой рациональную дробь [c.61]

Теорема о разложении является весьма эффективным средством построения начальной функции операторного выражения, имеющего вид рациональной дроби. Теорема может быть обобщена на случай, когда F(p) — мероморфная функция с простыми полюсами Pj О. Такую функцию можно представить в виде отношения двух целых трансцендентных функций [c.64]

Второе слагаемое является мероморфной функцией с простыми полюсами. Здесь оно трактуется как рациональная дробь, причем используется теорема о разложении дроби, когда знаменатель ее имеет простые корни. [c.90]

Для форм поперечных колебаний пластинки также имеет место теорема о разложении в ряд по собственным формам однородной задачи, т. е. по функциям ы ,- (л , у), удовлетворяющим уравнениям [c.353]

Теорема 4.5.1. Если полны-О дифференциал функции / разложить по базисным формам шо,... то коэффициенты разложения совпадут с результатом применения операторов А к этой функции [c.326]

В первую очередь имеет место так называемая теорема о среднем значении, которая остается в силе для любой векторной функции, конечной и непрерывной, вместе со своей первой производной в интервале (1, 1 ). Соответствующая формула (которую можно также установить, применяя разложение Тэйлора к компонентам), гласит [c.65]

Разложение по собственным функциям для полного диапазона, ортогональность 387 ------- теорема о полноте разложения 386 [c.610]

Из всех математических процедур в рассматриваемых задачах получение замкнутых аналитических выражений температурных функций как для изображений, так и для оригиналов с двумя и более слоями и при сложных граничных и начальных условиях представляет определенные трудности, поэтому в математических моделях, описывающих теплоперенос в многослойных системах, предпочтение отдается таким краевым условиям, которые позволяют переход от изображений к действительным функциям осуществить посредством простых приемов (использование теоремы разложения, теоремы о свертке и т.д.). [c.289]

Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете. Коэффициент а 1 при (г—а) в разложении аналитической функции в ряд Лорана называется вычетом функции в точке г = а. Теорема читается так если С есть простая замкнутая кривая и функция (г) однозначна и регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Яи Яп, то [c.144]

Из (5.14) и (5.18) следует, что преобразование Фурье корреляционной функции В х) всегда неотрицательно. Этот факт, составляющий содержание важной теоремы о спектральном разложении корреляционных функций, впервые был доказан Хинчиным [c.212]

Используя интеграл Зоммерфельда — Отта из предыдущей задачи и разложение, следующее из теоремы Графа о сложении функций Бесселя, [c.332]

По этой формуле р изменяется периодически между О и 2/ о Рй есть среднее значение давления р. Конечно, сделанное нами предположение о законе изменения давления р довольно далеко от действительности мы его сделали для упрощения дальнейших вычислений. Следует, однако, иметь в виду, что на основании теоремы Фурье о разложении произвольной периодической функции в тригонометрический ряд действительный закон изменения давления р может быть представлен формулой, подобной принятой нами, но содержащей не один, а несколько тригонометрических членов. [c.108]

Как известно, зачастую еще и теперь первичность синусоидальных колебаний сводят к простоте круговых функций. Рэлей отлично знает эту аргументацию ( 27), но никоим образом ею не ограничивается. Он приводит гораздо более существенные и убедительные соображения, связанные с теоремой Фурье и свойствами реальных анализаторов звука, давая тем самым основы современного понимания роли спектрального аппарата в вопросе о разложении колебаний. Неразложимость простого тона связана с тем, является ли сама физическая система, на которую действует колебание, гармонической. Поэтому Рэлей здесь же указывает Мы, однако, не доверяемся целиком общим соображениям, подобным вышеизложенным. В главе о колебаниях струн (см. стр. 193.— Ред.) мы увидим, что теория во многих случаях заранее осведомляет нас о природе колебания, совершаемого струной... Здесь мы уже располагаем решающим критерием (стр. 39). [c.16]

Числовые приложения этих рассмотрений к планетной системе сопряжены с немалыми трудностями. Метод Коши, использованный в теореме о существовании, в общем случае дает слишком малые значения радиуса сходимости. Он все-таки будет, вероятно, достаточным, чтобы можно было доказать, что разложения по степеням фактически встречающихся в планетной системе масс остаются сходящимися не только в весьма малой области. Вероятно, можно отыскивать лучшие вспомогательные функции, которые позволяют более точно определить область сходимости. [c.499]

В силу теоремы о свертке в теории фурье-разложений. Как принято у физиков, мы используем один и тот же символ для обозначения самой функции и ее фурье-образа, различая две величины по их аргументу. [c.338]

Большая часть формул книги получена на основе эвристических соображений, другими словами, выведена из дополнительных по отношению к математической постановке задачи предположений. Эти предположения обычно просты и наглядны. К ним, например, относится высказанный В. А. Фоком принцип локальности в теории высокочастотной дифракции, требование существования у-решения фазы уходящей волны и ряд других. Все математические построения, ведущие от этих исходных предположений к конечным результатам, мы старались при этом выполнить так, чтобы они удовлетворяли обычным требованиям математической строгости. Ряд результатов, полученных на основе эвристических соображений, может быть строго обоснован, но из-за громоздких оценок эти доказательства в книге не приводятся. Исключением является теорема, устанавливающая асимптотический характер разложений для собственных значений в задаче о собственных функциях, сосредоточенных в окрестности границы области. Доказательство этой короткой и изящной теоремы дано в главе 6., [c.19]

В этой главе рассматривается разложение периодических функций в ряды Фурье, ведущее к более общему представлению преобразования Фурье-функций. Обсуждаются основные операции, необходимые при системном анализе (умножение, свертка, дифференцирование и интегрирование) как во временной, так и частотной областях. С помощью вводимых понятий и системы обозначений формируется теорема о выборке. И, наконец, обсуждается аналитический сигнал в связи с комплексным представлением вещественных сигналов и понятием огибающей. [c.133]

Вариационный принцип в статистической механике 350, 423 Вариация свободной энергии и корреляционной функции 382, 383 Вина закон смещения 194 Вириал, Теорема о 129, 131, 133, 304 Вириальное разложение 134, 306, 309, 390, 394 [c.428]

Величина (9.4), путем использования теоремы Котельникова о разложении случайной функции, может быть сведена от интеграла к сумме. [c.117]

В данном случае функция неуравновешенности, точнее эксцентриситета, не является истокообразной, но в большинстве случаев она обладает необходимыми свойствами для применения обобщенной теоремы о разложении, в которой не предполагается, что разлагаемая функция удовлетворяет граничным условиям. [c.143]

Естественно, что научные вопросы составляют если не наибольшую по объему, то, во всяком случае, наиболее существенную часть переписки. И здесь, прежде всего, необходимо отметить, что, несмотря на достаточное разнообразие затрагиваемой в переписке научной тематики, есть одна доминирующая тема, к которой чаще всего обращается Софья Васильевна — это вопрос об интегрировании уравнений при помощи аналитических функций, главным образом при помощи абелевых функций, и прежде всего вопрос об интегрировании уравнений движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки — это задача, прославившая С. В. Ковалевскую. Школа Вейерштрасса — это, конечно, школа теории функций комплексного переменного здесь разбираются и изучаются общие теоремы и общие методы теории, идет сравнение методов самого Вейерштрасса, алгебраизированных методов, основанных на систематическом применении степенных рядов, и методов, основанных на теоремах Коши это работы Миттаг-Леффлера , юного Рунге, начинающего Гурвица. А кстати изучаются вопросы об области существования аналитических функций, о разложении функций в ряд — это работы Бендиксона, Фрагмена. [c.17]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

Формальный аспект доказательства основан на том простом факте, что если решение х 1) может быть разложено в ряды (10), все его сдвиги х 1 — 11),..., х 1 — 1о) могут быть переразложены в аналогичные ряды с тем же самым главным членом. Для того, чтобы доказать, что ряды (10) являются асимптотическим разложением для некоторого фактического решения, нужно использовать технику абстрактной теоремы о неявной функции. Полезно заметить, что в случае произвольного знака запаздываний (например, для систем опережающего типа) ряды типа (10) тоже могут быть формально построены, но теорема о неявной функции в этой ситуации неприменима, и не представляется возможным заключить, описывают ли они какое-либо настоящее решение рассматриваемой системы. [c.106]

При помощи теоремы Тэйлора и пспользуя выражения для г, г, / и / через эксцентрические или средние аномалии, можно выразить Д" через эти же переменные. Если мы ограничимся классическим способом обозначения для функций и их производных, то разложения примут очень сложную форму, которая затруднит и запись и понимание. Для того чтобы упростить выражения, целесообразно ввести сокращенные обозначения. Труд, затраченный на изученпе таких обозначений, окупается с лихвой. Поэтому мы отклоняемся от основной темы для изложения вопроса о разложении функций посредством символических операторов. [c.410]

Рассмотрение общей задачи о распространении импульса произвольного вида очень упрощается тем, что любую функцию можно представить в виде суммы (вообще говоря, с бесконечным числом членов) некоторых определенных функций. Физически это означает, что произвольный импульс может быть представлен как сумма (бесконечно большого числа) импульсов определенного вида. Подавляющее большинство приемных устройств подчиняется принципу суперпозиции, который означает, что результат нескольких одновременных воздействий представляет собой просто сумму результатов, вызванных каждым воздействием в отдельности. Принцип суперпозиции применим в том случае, когда свойства принимающей системы не зависят от того, находится ли она уже под действием принимаемого возбуждения или нет, а эта независимость всегда имеет место, если воздействие не становится слишком сильным ). Поскольку принцип суперпозиции применим, мы можем заменить произвольный импульс суммой его слагающих и рассматривать действие каждой слагаюпгей отдельно. Рациональный выбор этих слагающих, т. е. рациональный выбор метода разложения сложного импульса, позволяет чрезвычайно упростить рассмотрение задачи. Таким рациональным разложением является разложение на монохроматические волны, т. е. представление произвольной функции в виде совокупностей косинусов и синусов, введенное Фурье. Согласно теореме Фурье любая функция ) может быть представлена с какой угодно точностью в виде суммы синусоидальных и косинусоидальных функций с соответственно подобранными амплитудами, периодами и начальными фазами. При этом, если исходная функция периодична (с периодом Т), то периоды слагающих синусов и косинусов находятся в простом кратном отношении Т, 1 ,Т, /.1Т,. .. (представление в виде ряда Фурье). Если же функция не периодична, то в разложении содержатся не только кратные, но и все возможные периоды (представление в виде интгг- [c.32]

Первый подход предложил Л. М. Зубов [71. В этом подходе принцип стационарности потенциальной энергии был обобщен с использованием тензоров напряжений Пиолы ) и тензоров градиентов перемещений. Второй подход предложил Фрайш де Вебеке 181. Его формулировка основана на теореме о полярном разложении матрицы Якоби. В подходе использованы технические тензоры деформаций и сопряженные с ними тензоры напряжений, которые рассматриваются как функции тензоров напряжений Пиолы и материальных вращений. Таким образом, функционал [c.368]

В трактате Юнга единственное описание результатов эксперимента, касающихся высоты модуля, содержалось в Комментарии, следующем за теоремой о поперечных колебаниях призматических и цилиндрических стержней (см. Young [1807,1], 398, т. II, стр. 84). При рассмотрении этой задачи Юнг использует разложение искомой функции в ряд при решении уравнения Бернулли — Эйлера для балок. Это позволило ему вывести зависимость между высотой модуля и частотой колебаний для консольных и свободно опертых балок. Приводим указанное описание. [c.255]

Впервые исследовал поведение собственных чисел и функций, а также сходимость разложений по ним для некоторых пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами, по-видимому, Я.Д. Тамаркин [279]. Постановка основных задач и первые важные результаты содержатся в работах М.В. Келдыша [160, 161. Здесь были введены понятия присоединенных векторов, кратность собственного числа, кратной полноты собственных и присоединенных векторов. Для некоторого класса пучков, порожденных обыкновенными дифференциальными операторами были доказаны теоремы о полноте, асимптотике собственных значений и сходимости кратных разложений. [c.8]

Для определения нормальных колебаний примем, что и и V пропорциональны os( + e). Далее, поскольку кольцо образует полный круг, м и у являются периодическими функциями 0 с периодом 2я и, согласно теореме О урье, могут быть разложены в ряд по синусам и косинусам углов, кратных 9. Более того, легко показать, что каждый член любого порядка в разложении должен в отдельности удовлетворять каждому уравнению. Действительно, оказывается, что решение можно выбрать в виде [c.177]

Воспользовавшись теоремой о среднем Боннэ и разложениями функции Римана и ее производных в окрестности неособой точки М = Mq, L = Lq, [c.275]

В силу теоремы Дирихле разложение (11.35) единственно и ряд сходится (но не абсолютно ) для всякого значения 2 в промежутке (О, 2я) и представляет в этом промежутке заданную функцию г). [c.545]

Очень часто бывают нужны как широко известные, так и весьма специальные результаты из теории матриц, например теорема о полярном разложении (теорема 3.2-2) или знаменитая теорема Ривлина—Эриксена о представлении (теорема 3.6-1). Вряд ли можно было ожидать, что при исследовании широкого класса реальных функций запасённой энергии естественно возникает потребность в неравенстве 1гЛД К 11гУ (Л)о (Д), где [c.9]

Как правило, даются полные доказательства всех утверждений. В частности, доказательствами сопровождаются все математические результаты, особо важные для теории упругости, например теорема о полярном разложении матриц, теорема Ривлина—Эриксена о представлении (редко доказываемая в книгах по теории матриц), свойство выпуклости функции Р [c.13]

Полученные в последнем параграфе результаты показывают, что мы находимся на правильном пути. Теорема о релаксации напряжений — вот что мы ожидаем получить при определенных ограничениях на свойства материала, или на предыстории деформации, или и на то и на другое. Если бы мы не получили этого на основе нашего определения затухающей памяти, то наш подход был бы неудачен. Удостоверившись в правильности пути, мы можем обратиться к вопросу о том, как вычислить второе приближение для определяющего уравнения, если мы не удовлетворены первым, или упругим, приближением, выражаемым с помощью (XIII. 3-5). Более высокие приближения получаются способом, сводящимся к разложению реакции в ряд Тейлора в окрестности предыстории, соответствующей состоянию покоя. Однако классическая теорема Тейлора относится к функциям, а мы здесь> имеем дело с более общими отображениями. Я приведу некоторые результаты, не входя в подробности. [c.386]

Условие о(г/)=0 при у<0 будет выполнено, если а(р) является аналитической функцией комплексного переменного в пижней полуплоскости Im р< 0. Действительно, дополним при у <0 интеграл (6.2) интегралом по кругу бесконечно большого радиуса в нижней полуплоскости р. Значение такого интеграла, очевидно, равно нулю, так как подынтегральная функция убывает пропорционально ехр (—р" г/1). В то же время интеграл по замкнутому контуру от аналитической внутри контура функции равен нулю по теореме о вычетах. Мы приходим к выводу о том, что а р) = = К- р), где iT (p) — аналитическая функция при Im р < О, ограниченная при р- °о. Подставим теперь разложение (6.2) в (6.1) и выполним интегрирование по у от — до используя разложение Фурье Oi iy — y ), даваемое формулой (2.16) с = 1. Получаем [c.208]

Общий член разложения зтого произведения представляет со- ой кумулянтное среднее от произведений / j по ансамблю двойных связей. По основной теореме о статистической независимости ку мулянтов такое среднее обращается в нуль, если только указанные линии не образуют связной диаграммы. Так как каждая из функций fij зависит лишь от относительного расположения пары атомов, нам надо учесть только неприводимые диаграммы, т. е. такие, которые нельзя разделить на части, перерезав лишь одну связь. Учитывая различные способы размещения (к + 1) атома по к + 1) узлу такой диаграммы, можно разложить выражение (6.40) в следуюпцш ряд [c.266]

Теорема S. Интегральный критерий (экстремальный признак) устойчивости ). Каждой точке грубого минимума ) функции D D (ai,..., а ) = - (Л + 5) при достаточно малых значениях ц соответствует единственное асимптотически устойчивое решение (2.6) исходной системы (2.1), (22), об-ращающееся при ц = О в порождающее. Отсутствие минимума, обнаруживаемое путем анализа членов Z o порядка в разложении функции D по степеням о вблизи стащюнарной точки, свидетельствует о неустойчивости соответствующего синхронного решения прочие случаи требуют дополнительного исследования. [c.76]

Этим мы не хотим утверждать абсолютно, что ш существует других первых интегралов напротив, для всякой нормальной дифференциальной системы первого порядка с п неизвестными функциями от одного перемен-яого из теоремы существования общего решения, зависящего от п произвольных постоянных, необходимо следует существование и первых интегралов, которые теоретически можно получить, разрешая относительно произвольных постоянных уравнения общего решения. Если из этих п первых интегралов, зависящих от t, исключим это переменное, то придем во всяком случае к л — 1 первых интегралов, связывающих только неизвестные величины задачи. Но во все теоремы существования входят разложения в степенные ряды или другие виды последовательных приближений, т. е. бесконечные алгоритмы, которые, вообще говоря, не приводят к функциям, выражающимся элементарно (алгебраическим, показательным или тригонометрическим), а когда в механике говорят о первых интегралах, известных или подлежащих определению (если нет явно выраженной оговорки о противном), то подразумеваются именно интегралы, выражаемые в этой Элементарной форме. [c.100]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...