Теорема Тейлора

Рассмотрим построение операторов для производных от одномерной функции f = f (х) (рис. 8.1, а). Участок отыскания решения аЬ разобьем на равные интервалы Д и воспользуемся теоремой Тейлора если функция / непрерывна вместо со своими производными па отрезке Хд + Д), то эта функция в точке х = -)- А может быть выражена через производные в точке х Xf, формулой [c.230]

Но на основании теоремы Тейлора мы знаем, что [c.361]

Теорема Тейлора о связи между теоремами Бертрана и Кельвина. Произведем мысленно три опыта а), Ь) и с). В каждом из них будем предполагать, что в начальный момент система находится в покое в некотором заданном положении. [c.254]

Теорема Тейлора утверждает, что т. е. что энергетический [c.254]

По теореме Тейлора находим [c.210]

По теореме Тейлора мы можем разложить f(z) в окрестности 2о в ряд [c.24]

Доказательство может быть проведено следующим образом. Согласно условиям теоремы мы можем положить где все аз суть функции времени, имеющие в промежутке ( о, Т) весьма малые числовые значения. Тогда теорема Тейлора дает [c.683]

Далее, а — х — малая величина обозначим ее через Подставляя в уравнение х = а — I и разлагая на основе теоремы Тейлора правую часть уравнения по степеням , получим [c.419]

Метод получения последовательных приближений тот же самый, что и в п, 502. Разложим на основе теоремы Тейлора каждый коэффициент уравнения в ряд по степеням переменной 9, которая выбрана так, что в положении равновесия 0=0. Для этого потребуются значения последовательных производных от этих коэффициентов до некоторого необходимого порядка, выраженные через начальные значения величин ф, n и г. Значения первых производных определяются вспомогательными уравнениями п. 501. Для нахождения других производных следует продифференцировать эти вспомогательные уравнения столько раз, пока не получим требуемого числа искомых производных. [c.447]

Заметим, что в положении равновесия имеем L=0 (и поэтому n = ij)). Пусть координата s выбрана так, что в положении равновесия она равна нулю. Разложим теперь Q и L по степеням s. Для этого воспользуемся теоремой Тейлора, согласно которой имеем [c.449]

Если u , Vf, — значения этих величин по истечении некоторого времени i, то по теореме Тейлора (см. т. I, п. 199) будем иметь [c.447]

Если С<(5) имеет п непрерывных производных при 5 = 0, то по теореме Тейлора [c.390]

Разлагая (15.23), согласно теореме Тейлора, с точностью до членов первого порядка н сравнивая (15.22) и (15.23), находим [c.489]

Представим / (Е) при помощи теоремы Тейлора, замечая, что / (0) = 0, (0) = 0, Р 0) = 2а [c.249]

Если парный потенциал ф имеет вид потенциала Леннарда-Джонса, то получение какой-либо полезной информации на основе точного решения задачи с этим гамильтонианом — дело безнадежно трудное. Поэтому задачу решают приближенно, исходя из предположения, что атомы не отклоняются существенно от своих равновесных положений. Если все величины и (К) малы ), потенциальную энергию и можно разложить в ряд вблизи ее равновесного значения, воспользовавшись теоремой Тейлора для трехмерного случая [c.52]

Чтобы вывести выражения, позволяющие определить точку, в которой достигается стационарное значение, и иметь возможность различать представленные на рис. 6.2 ситуации, рассмотрим сначала функцию П (Д), где Д — переменная величина. Согласно теореме Тейлора, разложение в ряд этой функции в окрестности точки имеет вид [c.161]

Но в силу теоремы Тейлора, для любого Х), [c.386]

Тейлора теорема для векторов 33 Тело абсолютно твёрдое 273 [c.653]

Весьма существенно выяснение условий сходимости ряда (5) и рядов для производных функций и, так как к уравнению (1) не применима теорема Коши-Ковалевской и обычно ряды Тейлора для параболических уравнений (например, для линейного уравнения теплопроводности) расходятся. Оказывается, что вырождение при и, = О уравнения (1) в гиперболическое уравнение и сильная нелинейность (1) позволяют при некоторых условиях на аналитические в окрестности нуля функции (р ш f решить вопрос о сходимости ряда (5) положительно. [c.278]

А. М. Ляпунов в своей работе Общая задача об устойчивости движения (1892) показал, что при исследовании устойчивости можно ограничиться изучением линеаризованного характеристического уравнения, полученного с помощью разложения в ряд Тейлора. Этот вывод сформулирован в двух теоремах Ляпунова. [c.97]

В теореме 3.2 устанавливается центральный результат настоящей работы — устойчивость вихревого семиугольника. Ее доказательство потребовало учета слагаемых ряда Тейлора относительного гамильтониана до четвертого порядка включительно. [c.245]

Тейлор 436 Теорема Якоби 180 Теория Луны Делонэ 233 [c.493]

В этой теореме нетипичные функции — это функции, для которых коэффициенты Тейлора членов, принадлежащих многограннику Ньютона, удовлетворяют некоторому нетривиальному алгебраическому уравнению. Если многогранник далёк (от нуля), то [c.34]

В предыдущих следствиях теоремы о нормальных формах не требуется сходимость рядов, задающих приводящие диффеоморфизмы, так как используется приведение только нескольких первых членов ряда Тейлора. Таким образом, для получения топологической информации о поведении характеристик, нет необходимости полностью доказывать теорему о нормальных формах достаточно нормализовать несколько [c.287]

Таким образом, Р(т)) представима в виде ряда Тейлора, схо-дяш,егося в некоторой окрестности точки т О. Разлагая в (3.5.2) t(Ti) и В(т)) в ряды Тейлора в окрестности точки т) = 0 и выполняя операцию перемножения рядов, получим представление P(ti) в виде ряда по целым степеням т). В силу теоремы единственности для аналитических функций [10] этот ряд и будет рядом Тейлора для Р(т)). Из теоремы 3.2 можно получить [c.132]

Доказательство. Рассуждения почти такие же, как в теореме З.Ь Разложение Тейлора вблизи начала координат дает и х) = Р (х) Р х), где Р — полином степени к — 1, а Я — остаточный член. Разбивая р сумму Рд + Рд, видим прежде всего, что Рд совпадает с Р [c.170]

Остаточный член формулы Тейлора оценен в предыдущей теореме остается оценить Rq [c.170]

Замечание 2. Для доказательства даже более простой теоремы нужна одна вспомогательная лемма. Разложение Тейлора, на котором основана поточечная аппроксимация, здесь применить нельзя функция и может иметь достаточно производных для определения ее интерполянта, но не для разложения Тейлора с остаточным членом Следовательно, нам необходимо привлечь функциональный анализ для построения полинома, настолько же близкого к функции и в среднем квадратичном, насколько были близки к и главные члены ряда Тейлора в поточечном смысле. Основной результат (см. работы [15] и [Б21]) таков для каждого элемента найдется такой полином Ри-, что остаточный член Я = и — Р -1 удовлетворяет неравенству [c.173]

Из этой теоремы вытекает, что при /г->0 каждая функция ведет себя, как кусочно квадратичная, т. е. функция ошибки после линейной аппроксимации локально подобна функции, изображенной на рис. 3.3. Другими словами, чем пристальней вы смотрите на функцию, тем больше она напоминает вам полином. Это лежит в основе разложений в ряд Тейлора. Поэтому постоянная Со асимптотически правильна при аппроксимации метр- [c.177]

ЭТИ постоянные уже были верны для функции образованной из оптимальных / на каждом подынтервале. Таким образом, теорема доказана для случая, когда функция и достаточно гладка, чтобы допустить разложение Тейлора (12). [c.179]

Чтйбы вычислить этот, предел, заметим, что согласно теореме Тейлора (Taylor) приращение Д р функции to равно [c.169]

При определении температуры в коре Земли нужно помнить, что тепло выделяется только в поверхностном слое тадщиной, меньшей чем 50 км, и следовательно, 13 (11.5) / мало по сравнению с 2] vi. Поэтому, воспользовавшись теоремой Тейлора, мы можем разложить выражение (11.5) по степеням I. Тогда для температуры в слоях, расположенных ниже радиоактивного слоя [39], получим ) [c.84]

Теория конечных разностей изложена в [6, 7]. Классическими работами по применению разностей к решению уравнений в частных производных считаются работы Р ичардсона [8]. Следует отметить, что. хотя знание основ теории конечных разностей очень желательно, в данном случае оно не обязательно, поскольку необходимые результаты (например, (3.4) данной главы) можно получить непосредственно из теоремы Тейлора. (См. также А. О. Г е л ь ф о н д, Исчисление конечных разностей, Физматгиз. 1959.) [c.455]

Его можно получить также, разлагая по степеням z, по теореме Тейлора (Taylor), произвольные функции (р, у>, входящие в выражение решения, которое представляет собой, как мы знаем, общий интеграл дифференциального уравне- [c.149]

Это уравнение можно записать в форме А, (б) йбф (б) = О, где ф (б) содержит только четные степени б. Поскольку р1 — корень уравнения Ах (б) = О, где 1— — 1, соответствующин корень этого нового уравнения представим как -I- г, где г — малая величина, вещественная или комплексная, квадратом которой можио пренебречь. Находим на основании теоремы Тейлора [c.268]

Полученные в последнем параграфе результаты показывают, что мы находимся на правильном пути. Теорема о релаксации напряжений — вот что мы ожидаем получить при определенных ограничениях на свойства материала, или на предыстории деформации, или и на то и на другое. Если бы мы не получили этого на основе нашего определения затухающей памяти, то наш подход был бы неудачен. Удостоверившись в правильности пути, мы можем обратиться к вопросу о том, как вычислить второе приближение для определяющего уравнения, если мы не удовлетворены первым, или упругим, приближением, выражаемым с помощью (XIII. 3-5). Более высокие приближения получаются способом, сводящимся к разложению реакции в ряд Тейлора в окрестности предыстории, соответствующей состоянию покоя. Однако классическая теорема Тейлора относится к функциям, а мы здесь> имеем дело с более общими отображениями. Я приведу некоторые результаты, не входя в подробности. [c.386]

Для вывода теоремы Стокса рассмотрим произвольную замкнутую к-риную С в такой области, в которой с достаточной точностью, как и раньше, можно пренебречь членами г во второй и высших степенях в разложении w в ряд Тейлора. Тогла в такой области аффинор Ф, однозначно определяющий скоростное поле, практически постоянен. [c.80]

Исследования явления генерации вихрей во вращающейся жидкости над локализованными возмущениями рельефа дна ведут свое начало от работы Дж.Праудмена [57], в которой им была доказана теорема о независимости не вязкого движения быстро вращающейся жидкости от координаты, параллельной оси вращения. Спустя семь лет Дж.Тейлор [66] воспроизвел эту ситуацию в эксперименте и обнаружил образование цилиндрического вихря над локализованным возмущением дна. Вплоть до 1961 года эти работы не имели продолжения. [c.624]

С. Ковалевская поставила перед собою задачу отыскать все случаи, когда общее решение системы уравнений (1) выражается однозначными функциями t, не имеющими отугих особенностей, кроме полюсов для всех конечных значений t. Тогда вблизи каждой обыкновенной точки решения системы будут представляться рядами Тейлора, вблизи полюса —рядами Лорана с конечным числом членов, содержащих отрицательные степени разности о- (Отметим, что особые точки системы (1) являются подвижными точками, т. е. зависяш 1ми от начальных условий.) Исследование привело Ковалевскую к следующей теореме. [c.159]

Найдем решение этого уравнения, соответствующее начальным условиям t = to, х = Хо- Нетрудно видеть, что при этом значении х функция f x) = 2g x — Хо) неголоморфна, так как производная / х) обращается в бесконечность при х = Хо и, следовательно, в этой точке не существует разложения в ряд Тейлора. Таким образом, на плоскости t, X вдоль прямой х = Хо условия теоремы Коши не соблюдены. Отсюда мы можем заключить, что в точках этой прямой возможны, случаи неединственности решений, случаи несуществования и т. -д. [c.242]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...