Теорема Коши интегральная

Поскольку функция ф( ) есть функция, аналитическая в области 0+, то правая часть (3.2) оказывается краевым значением функции, аналитической в области 0+. Согласно интегральной теореме Коши (1.6) гл. I получаем [c.378]

Значение этого шага состоит в том, что он устанавливает связь с интегралами такого рода, используемыми в хорошо изв< стной интегральной теореме Коши—Гурса и интегральной формуле Коши ). Согласно этим теоремам (приводимым ниже в 70) первый интеграл в (102) определяется следующим образом [c.217]

Контур интегрирования в выражении (V.53) можно преобразовать из действительной оси в указанную гиперболу путем использования интегральной теоремы Коши и леммы Жордана [58]. После замены переменной интегрирования на т при помощи соотношения (V.54) находим, что [c.119]

Интегральная теорема Коши. Пусть С —простой замкнутый контур, так что функция f(z) аналитична в каждой точке С и внутри С ). Тогда имеем [c.134]

Интегральная теорема Коши. Интеграл функции комплексного переменного в пределах 2= а и z=b зависит не толь- [c.141]

Можно показать, что интегральная теорема Коши справедлива и тогда, когда функция /(г) нерегулярна вдоль кривой С, при условии, если она регулярна в области, ограниченной кривой С, и значения ее неразрывны с принятыми на границе. Это распространение теоремы особенно важно для двухмерного потока, обусловленного размещением источников или вихрей вдоль границы. [c.143]

Интегральная теорема Коши может быть сформулирована также для многосвязных областей. Если Со, Сь..., С — простые (непересекающиеся) замкнутые кривые, расположенные целиком в области О таким образом, что Сь---, С лежат внутри кривой Со, но вне друг друга (см. рис. 46), а функция [(г) регулярна и однозначна на границах многосвязной области, содержащей кривые Со, Сь...,С , то [c.143]

Теорема доказывается введением разрезов, показанных на рис. 46, и обходом всех участков кривых по направлениям, указанным стрелками. Поскольку при наличии разрезов область становится односвязной, может быть применена интегральная теорема Коши. Интегралы по самим разрезам берутся дважды в противоположных направлениях, так что они взаимно уничтожаются и полученное выше уравнение представляет конечный результат. [c.143]

Другой вывод интегральной теоремы Коши известен как теорема о вычете. Коэффициент а 1 при (г—а) в разложении аналитической функции в ряд Лорана называется вычетом функции в точке г = а. Теорема читается так если С есть простая замкнутая кривая и функция (г) однозначна и регулярна на кривой С и внутри нее, за исключением конечного числа особых точек внутри кривой, в которых вычеты составляют Яи Яп, то [c.144]

Методы теории вычетов могут быть использованы и для задач, в каком-то смысле обратных рассмотренным выше. Часто оказывается полезным выразить какую-либо функцию через контурный интеграл. При этом интегральное представление сложной функции может оказаться удобным для исследования, если подынтегральное выражение в контурном интеграле имеет простой вид и содержит элементарные функции. Кроме того, деформируя контур в соответствии с теоремой Коши, можно получить различные приближенные оценки для интегралов, например их асимптотические оценки. В частности, если функция задана рядом, то представление суммы ряда через контурный интеграл позволяет в некоторых случаях найти сумму ряда в конечном виде. [c.550]

I ется краевым значением функции, аналитической в й ", то на основании интегральной теоремы Коши можно утверждать, что интеграл [c.21]

По интегральной формуле Коши функция < +(2) аналитична в диске В,, и (р (г) аналитична при 1/г е В,.. По теореме Коши р = -Ь Кроме того, с ( [c.410]

К теореме Коши и ее значению для исследования поведения интегральных кривых мы еще вернемся в дальнейшем (см. также Дополнение 1). [c.41]

ВИЙ непрерывности, и следовательно, для этого уравнения условия теоремы Коши нарушены на прямых f x)=0. Мы рассматриваем одно и то же дифференциальное уравнение (2.3), только с различных точек зрения. Полученные нами при этом различные результаты отнюдь не противоречивы, так как условия Коши только достаточны, но не необходимы для единственности. Следовательно, мы можем утверждать, что через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна интегральная кривая, за исключением, может быть, точек, где одновременно у = 0 и /(х) = 0, т. е. за исключением особых точек. Как мы увидим дальше, для рассматриваемого случая консервативной системы в особых точках интегральные кривые либо пересекаются и имеют, вообще говоря, различные касательные, либо [c.106]

Рассмотрим изображающую точку, двигающуюся по интегральной кривой, проходящей через особую точку, по направлению к особой точке. Скорость ее движения, как мы уже говорили, уменьшается и стремится к нулю при неограниченном приближении к состоянию равновесия. Спрашивается, может ли изображающая точка в конечное время достигнуть состояния равновесия или же она, как мы указали, может лишь асимптотически к нему приближаться, никогда его не достигая Предположим, что имеет место первый случай, т. е. что изображающая точка, двигаясь по закону x — x t), y=y t), находится вне состояния равновесия в момент времени t — и достигает состояния равновесия с координатами дг = дг , у=у в некоторый определенный момент времени t ), т. е. что х = х (ij), =у (ii). Но тогда мы получили бы два решения, удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям при t = t х = х , у = —одно х = х , у=у , другое x — x t),y=y t). Последнее невозможно, так как в точке дг , у , как это только что отмечалось для системы уравнений (2.2), выполняются условия теоремы Коши. [c.108]

Так как условия теоремы Коши для системы уравнений (5.1) выполнены, то через каждую точку пространства х, у, t проходит единственная интегральная кривая этой системы уравнений, т. е. [c.290]

Заметим для сравнения, что интегральные кривые неавтономной системы х = Р(х, у, ), у = Q (х, у, по-прежнему не пересекаются в пространстве X, у, <, если выполнены условия теоремы Коши, но их проекции на плоскость X, у, вообще говоря, будут пересекаться. [c.290]

Тогда согласно известной теореме из интегрального исчисления Ф л ) и F(x) — непрерывные функции на [а, Ь]. При этом F [х) =g x) ), V х а, Ь) (по условию 1) Изложенное позволяет использовать теорему Коши, с помощью / которой находим [c.137]

Первый интеграл в левой части равенства на основании интегральной формулы Коши равен (g). Второй же интеграл равен постоянной на основании следующей теоремы теории аналитических функций для того чтобы непрерывная на окружности у функция / (х) была граничным значением аналитической функции внутри окружности у, необходимо и достаточно, чтобы [c.171]

Будем предполагать, что для обоих написанных уравнений (151) и функции (180) выполнены условия теоремы суш,ествования и единственности решения задачи Коши тогда одна и та же интегральная поверхность, описываюш,ая нарастание толщины пограничного слоя, удовлетворяет обоим уравнениям (151). [c.166]

Будем, как и ранее при рассмотрении трехмерного пограничного слоя на торцовой стенке, предполагать, что для обоих написанных уравнений (281) и функции (283) выполнены условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши тогда одна и та же интегральная поверхность, описывающая [c.233]

Временно будем считать функцию ф(х) известной тогда решение сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши (7.28), обладающее указанной в условии теоремы структурой, будет иметь вид [6] [c.379]

У истоков теории обыкновенных дифференциальных уравнений во всех трактатах по механике лежит первый метод — непосредственное построение уравнений интегральных кривых, решений дифференциальных уравнений. К первому методу дело сводилось долгое время и после того, когда стало ясно, что решения, получаемые в квадратурах — это явление редкое, случайное. И теоремы существования Пикара и Коши, и теория Фукса строились также на фактическом построении решений в виде сходящихся рядов. [c.80]

Если комплексные функции напряжений известны, то действительная и мнимая части соотношений (6.3) дают реальные физические величины, т. е. напряжения и перемещения. Для определения комплексных функций напряжений привлекаются общие теоремы теории аналитических функций, причем важным вспомогательным средством при расчетах являются так называемые интегралы типа Коши. Решения получаются частично элементарным способом, частично сводятся к сложным интегральным уравнениям. Для многих задач способ комплексных функций напряжений может рассматриваться как прямой метод решения. [c.121]

Эта теорема дает, таким образом, интегральный признак аналитичности функции, эквивалентный условиям Коши — Римана. [c.528]

Остальные рассуждения настоящего пункта построены в предположении, что для сингулярного интегрального уравнения (39.1) с обобщенным ядром Коши сохраняют силу теоремы Нетера ([94], 53, 102). Отметим, что если точки оси симметрии не принадлежат участкам границы, где заданы внешние силы, то справедливость указанного утверждения очевидна, так как тогда в уравнении (39.4), эквивалентном (39.1), ядро Кц, имеет лишь слабую особенность и к этому уравнению полностью применима теория сингулярных уравнений с обыкновенным ядром Коши. [c.380]

Следуя [38], воздействуем на обе части уравнения оператором Кощи при 1 1 < 1. Поскольку функция ф( ) аналитична в области 51< 1, то по интегральной теореме Коши получаем, что интеграл от первого слагаемого восстанавливает функцию ф( ). [c.387]

Первые два результата следуют сразу же из интегральной теоремы Коши для единичного круга, когда обозначает точку пне его. Выражение для третьего интеграла следует из теоремы Коши для внешней области или из теоремы о вычетах для внутренней области. Отсюда 1 fio)da [c.226]

При выполнении условий теоремы о существовании и единственности решения (теорема Коши, см. ниже) через задан1 ую точку (хо, Уо) проходит единственная интегральная кривая. [c.45]

Интегральная формула Коши. Подчеркнем, что условие односвязности в теореме Коши существенно—если область течения О имеет дырку, как на рис. 18, то интеграл по замкнутому контуру у, охватывающему эту дырку, не обязан равняться нулю. (Это физически очевидно в дырке могут находиться источники и вихри, а потому циркуляция и расход на V могут быть отличными от нуля.) Легко, однако, понять, что при непрерывной деформации у внутри области О величина интеграла не меняется. Мы проверим этот факт в его простейшей математической постановке пусть область О ограничена двумя кусочно гладкими кривыми уо и Уь которые обходятся в одинаковом направлении (скажем, против часовой стрелки), и функция / аналитична в какой-нибудь области, содержащей замыкание О (так называется область вместе с ее границей) мы покажем, что в этих условиях [c.78]

Теорема Морера. Эта теорема является обратной для интегральной теоремы Коши, и она устанавливает тот факт, что если [c.134]

Особые точки. Центр. Уравнение (1.11) непосредственно определяет в каждой точке плоскости единственную касательную к соответствующей интегральной кривой, за исключением точки х = = 0, у = 0, где направление касательной становится неопределенным. Как известно из обычной теории дифференциальных уравнений, через те точки, для которых соблюдаются условия теоремы Коши ) (в числе последних имеется условие, что дифференциальное уравнение даег определенное направление касательной к интегральной кривой), проходит одна и только одна интегральная кривая относительно точек же, в которых направление касательной становится неопределенным и в которых, следовательно, условия теоремы Коши не соблюдаются, уже нельзя утверждать (на основании этой теоремы), что через них проходит одна и только одна интегральная кривая. Такие точки, в которых направление касательной неопределенно, носят название особых точек данного дифференциального уравнения. Однако теорема Коши не дает права утверждать, что через особую точку проходит больше или меньше одной интегральной кривой (т. е. либо ни одной кривой, либо много). Но для тех простейших особых точек (особых точек первого порядка), с которыми нам придется главным образом сталкиваться, это обратное утверждение оказывается правильным. Именно, как мы убедимся при рассмотрении этих особых точек, через особую точку первого порядка либо не проходит ни одной, либо проходит больше чем одна интегральная кривая. [c.41]

Интегральные кривые уравнения (2.3) не пересекаются, так как Р Q подчиняются условиям теоремы Коши о существовании и единствен ности решения. Исключения могут составить только особые точки, в ко торых, вообще говоря, эти условия нарушаются. Таким образом, чере каждую неособую точку плоскости х,у проходит одна и только одна ин тегральная кривая уравнения (2.3). [c.50]

В целях облегчения усвоения материала в книге изложены элементы тензорного исчисления, теория интеграла типа Коши, теорема Гарнака, краевая задача Римана и некоторые сведения об интегральном преобразовании Фурье. [c.4]

С.Б. Вигдергаузом [24] обратная задача теории упругости сведена с помощью интегралов типа Коши к интегральному уравнению Фредгольма, для решеция которого предложено использовать метод н1аименьшнх квадратов. Этим же автором в работе [25] доказана теорема о наибольшей прочности равнопрочных контуров в случае постоянной нагрузки. Н.В. Баничук [26] доказал, что оптимальными являются отверстия с равно напряженными границами. В монографии [27] значительное внимание уделено задачам оптимизации с неизвестными границами теории упругости. [c.193]

Бесконечную сумму по q можно представить в замкнутой форме, если снова написать интегральное уравнение, решаемое при помощи теоремы вычетов Коши. Как и в предыдущей задаче, необходиью представить некоторую функцию в виде двух множителей. Один из них должен быть свободен от сингулярностей и нулей в верхней полуплоскости и по абсолютной величине возрастать там до бесконечности, а другой должен обладать такими же характеристиками в нижней полуплоскости. Более подробно с этими множителями можно познакомиться в статьях Карлсона и Хейнса, на которые мы уже ссылались. [c.544]

Однако нет необходимости делать это. Теория систем одномерных сингулярных интегральных уравнений с ядрами типа Коши общего вида была разработана достаточно подробно еще в сороковых годах и изложена в [246] и в [13а]. Было показано, что, в отличие от систем уравнений Фредгольма, для систем сингулярных уравнений, вообще говоря, не имеет места теорема о равенстве нулю разности чисел линейно-независимых решений данной и сопряженной систем доказывается, что эта разность равна так называемому индексу системы, введенному в простейшем случае одного уравнения Неттером и распространенному для систем уравнений Мусхелишвили [246]. Таким образом, только в том частном случае, когда индекс системы сингулярных уравнений равен нулю, мы имеем случай Фредгольма и теорию разрешимости, аналогичную теории Фредгольма. Ниже будет показано, что уравнения (D ), (DJ, (Г,), (7 J относятся именно к этому типу и для них, в частности, остаются справедливыми основные теоремы и альтернатива Фредгольма кроме того, уравнения (D ), и (DJ, (7 г) являются попарно взаимно-сопряженными. Основываясь на этих свойствах полученных уравнений, в следующем параграфе мы докажем теоремы существования для первой и второй задач. [c.266]

В [12]. Основная идея состоит в том, что как только мы вычислим явно область голоморфности, мы можем выразить функцию У через ев граничные значения, воспользовавшись обобщенной интегральной формулой Коши. Надежда возлагается на то, что исследование таких интегральных представлений легче, чем непосредственное изучение операторных обобщенных функций, удовлетворяющих требованию локальной коммутативности. Полная характеристика функций W со свойствами, заданными различными теоремами этого раздела, важна, поскольку, как показывает теорема реконструкции (теорема 3-7), эти функции могут быть использованы для построения теории поля, удовлетворяющей всем аксиомам, кроме аксиомы асимптотической полноты. Исследование последнего свойства приводит к нелинейным интегральным уравнениям, связывающим различные вакуумные средние. Тем самым мы приходим к нелинейной программе (см. (16]). [c.164]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...