Моменты инерции симметричных волчков

Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, который также вращается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо в оси первого волчка. М и М — массы верхнего и нижнего волчков, С н С — их моменты инерции относительно осей симметрии А и /1 —моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия с и с — расстояния центров масс волчков от соответствующих остриев k— расстояние между остриями. Угловые скорости волчков S2 и й. Вывести условия устойчивости системы. [c.436]

Каждая плоскость симметрии относительно распределения масс является, конечно, и плоскостью симметрии эллипсоида инерции нормаль к этой плоскости определяет одну из главных осей этого эллипсоида. Распределению масс с симметрией вращения соответствует эллипсоид инерции, являющийся эллипсоидом вращения следовательно, это распределение масс наряду с главной осью, совпадающей с осью симметрии тела, имеет еще бесчисленное множество экваториальных главных осей инерции. Примерами могут служить обыкновенный игрушечный волчок и волчок в форме маховичка, которым обычно пользуются для демонстраций (рис. 40а и б). У первого волчка момент инерции относительно оси симметрии минимален поэтому соответствующая главная ось (в силу соотношения р = 0 /2) длиннее экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет продолговатым. У второго волчка, напротив, момент инерции относительно оси симметрии максимален поэтому (в силу того же соотношения) соответствующая главная ось короче экваториальных главных осей эллипсоид инерции будет сплюснутым. В обоих случаях мы имеем дело с симметричными волчками. [c.166]

Рассмотренную только что форму движения симметричного волчка можно было бы описать короче (хотя, быть может, менее наглядно). Для этого через конец вектора N момента импульса проводим перпендикулярно к нему неизменяемую плоскость i (ср. стр. 99) и строим эллипсоид кинетической энергии с центром в начале вектора N, подобный эллипсоиду инерции и касающийся плоскости Е. Точка касания является концом вектора угловой скорости вращения и). Мгновенное движение волчка состоит во вращении этого эллипсоида вокруг и). При этом эллипсоид катится без скольжения по плоскости . Если эллипсоид обладает симметрией вращения, то кривая качения будет окружностью, описанной вокруг вектора N поэтому конус, описанный вектором о , равно как и конус, описанный осью фигуры, будет круговым конусом. Таким образом, мы снова пришли к регулярной прецессии симметричного волчка. [c.181]

Наконец, в случае Гесса речь идет о движении, аналогичном простому движению маятника (сферического или, в частном случае, обыкновенного маятника). При этом центр тяжести должен лежать на определенной оси в эллипсоиде инерции, а начальное возбуждение волчка должно быть определенным образом специализировано, подобно тому, как это делается в случае симметричного волчка центр тяжести последнего только тогда совершает маятникообразное движение в чистом виде, когда начальный момент импульса не имеет слагающей по оси фигуры. [c.185]

Первое условие выполняется для гексафторидов вследствие идентичности строения их молекул. Известно, что молекулы этих соединений, относящиеся к типу A Fg, неполярны и имеют форму правильного неискаженного октаэдра с атомом элемента в центре и атомами фтора в его вершинах. Параметры октаэдра (межатомные расстояния X — YI) для большинства гексафторидов точно измерены и имеют множитель подобия а = = 1И, близкий к единице с разбросом в пределах 8% [9]. По своей структуре молекулы гексафторидов относятся к типу симметричный волчок , у которого моменты инерции по трем осям равны друг другу и имеют для всех соединений близкие значения с разбросом в пределах 10—15% [9]. Это свидетельствует о выполнимости для данной группы соединений четвертого условия подобия. [c.98]

Здесь ради простоты за элементарный объем принят шар с равномерно распределенными массами (симметричный волчок). В случае несимметричного волчка 2/ заменяется тензором момента инерции. [c.20]

Выражение (8.62) заметно упрощается, если моменты инерции относительно двух главных осей равны друг другу (в этом случае тело называется симметричным волчком). Действительно, направляя по этим главным осям оси О х и О у и полагая Jx — Jy, из (8.62) найдем [c.368]

Если моменты инерции всех рамок положить равными нулю, то уравнения (1)-(3) соответствуют уравнениям движения симметричного волчка. Исключая из (3) ф, получим уравнение ф2 — Е ер2), правая часть которого содержит рациональную алгебраическую дробь. Наличие рамок приводит к новым эффектам. Из уравнений (1), (2) находим [c.291]

Для симметричного волчка, подвешенного в центре тяжести, получаем, если /д равно моменту инерции для оси симметрии (равно принятой за ось г-ов) и вследствие /1 =/2- [c.318]

В особом случае симметричного волчка, когда Jз — JJ (моменты инерции равны для всех осей), говорят о шаровом волчке, у которого всякая ось является главною или свободною. [c.318]

Для симметричного волчка, не обладающего симметрией, т. е. для которого имеет место лишь случайное совпадение двух главных моментов инерции, ядерный спин увеличивает статистический вес в (2/51) (24 1) (2/з 1) раз, причем данный множитель одинаков для всех уровней. Если не учитывать этот постоянный множитель и инверсионное удвоение, то статистический вес уровней с К—О будет равен 2У- -1 и статистический вес уровней с Л >0 —2(2У-(-1). [c.39]

Вращательный комбинационный спектр. Если молекула случайно является симметричным волчком, то оси эллипсоида поляризуемости молекулы (см. гл. III, , б к Молекулярные спектры 1, гл. III, 1) в общем случае не совпадают с главными осями инерции, т. е. дипольный момент, индуцируемый внешним полем, меняется как при вращении молекулы вокруг оси волчка, так и при прецессии вокруг вектора ]. Следовательно, при комбинационном рассеянии света оба квантовых числа J К могут изменяться. Плачек и Теллер [701] вывели следующие правила отбора [c.47]

Эллипсоид поляризуемости, подобно эллипсоиду инерции (см. стр. 25), отличается тем свойством, что ось симметрии совпадает с одной из его осей. Поэтому, если молекула является симметричным волчком в силу ее симметрии, одна из осей эллипсоида поляризуемости совпадает с осью волчка, а так как другие две оси эллипсоида одинаковы, то эллипсоид поляризуемости является эллипсоидом вращения подобно эллипсоиду инерции. Следовательно, в этом случае вращение вокруг оси волчка по классическим представлениям е связано с изменением индуцированного дипольного момента, и поэтому с точки зрения квантовой механики рассеяние света не может вызвать изменения квантового числа К. Тогда вместо (1,42) мы имеем правила отбора [c.47]

Исследование вращательных комбинационных и инфракрасных спектров аммиака (см. г.ч. I) показало, что молекула NH,, является симметричным волчком, обладающим постоянным электрическим дипольным моментом. Наиболее простое объяснение этого экспериментального факта состоит в предположении, что молекула аммиака образует пирамиду с атомом азота в вершине. Однако возможны и другие предположения. Хотя результаты исследования вращательного инфракрасного спектра совершенно исключают возможность плоской симметричной структуры (точечная группа D,/,, см. фиг. 1, S), так как такая структура не обладает дипольным моментом, но они не исключают несимметричную структуру, при которой молекула имеет два равных или почти равных момента инерции (например, плоскую несимметричную модель с симметрией или пирамидальную несимметричную модель с симметрией С ). Однако в этом случае молекула должна была бы иметь шесть основных частот, в то время как при предположении о симметричной пирамидальной структуре (точечная группа Сз,,) получаются только четыре частоты две полностью симметричные Ai и две дважды вырожденные Е (см. табл. 36). На основе последнего предположения может быть дано удовлетворительное истолкование большого числа полос в обычной и фотографической областях инфракрасного спектра, а также линий комбинационного спектра. Не имеется никаких данных о [c.318]

Как мы видели ранее, если для перпендикулярного колебания (тип симметрии П) Б линейной молекуле возбужден один квант, то в качестве двух составляющих движения мы можем выбрать либо а) колебания в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, либо б) круговые колебания по часовой стрелке и против часовой стрелки вокруг оси симметрии (см. фиг. 27, а) с моментами количества движения 1== . Если в первом случае молекула вращается, то при колебании в плоскости aJ, параллельной оси вращения, не будет происходить изменения момента инерции молекулы, пока колебания являются гармоническими, так как ядра движутся параллельно оси вращения. Однако для колебания, совершающегося в плоскости а -, перпендикулярной оси вращения, момент инерции относительно оси будет изменяться, так как он слагается из начального момента инерции и момента инерции относительно оси симметрии молекулы (который для смещенной конфигурации молекулы не равен нулю). Таким образом, для двух составляющих колебаний следует ожидать несколько отличающихся между собой эффективных значений постоянной В. Если применять схему б), то при колебании атомов вокруг оси симметрии мы получим по существу такую же картину, как и для молекулы со слегка изогнутой равновесной конфигурацией, т. е. мы получим слегка асимметричный волчок, для которого снято вырождение уровней с характерное для соответствующего симметричного волчка, причем расщепление этих уровней увеличивается с увеличением вращательного квантового числа J (см. фиг. 18). В данном случае К идентично I. Таким образом, согласно любой из схем, а) или б), мы должны ожидать удвоения на основании того, что при смещении атомов молекула становится слегка асимметричным волчком. [c.406]

В табл. 132 собраны вращательные постоянные Л[о] и 5[0] всех до сих пор исследованных симметричных волчков. Даны также соответствующие моменты инерции и 1% В большинстве случаев определялись и некоторые другие постоянные или (ср. ссылки в примечании к таблице), но нет ни одного случая, в котором были бы известны все постоянные af или a.f, и поэтому нельзя определить значения Bg и А . К счастью, величины а малы, и поэтому моменты инерции и расстояния между атомами, вычисленные из постоянных Л[о] и Д[ ], представляют достаточно хорошее приближение к соответствующим равновесным значениям (ср. таблицы 129 и 130). [c.465]

Невозмущенные уровни энергии. Как и следовало ожидать по аналогии с линейными молекулами или молекулами, являющимися симметричными и сферическими волчками, хорошим приближением к энергии колеблющейся и одновременно вращающейся молекулы является сумма чисто колебательной (см. гл. II) и вращательной энергии (см. гл. I), вычисленной при эффективных значениях вращательных постоянных (моментов инерции), т. е. [c.489]

Конечно, структура получающейся полосы сильно зависит от относительного значения моментов инерции. Мы можем ожидать более или менее простых закономерностей только в случаях, близких к предельным случаям симметричного волчка или линейной молекулы. Деннисон [279] вычислил уровни энергии с У=0, 1, 2, 3 и 4 плоской молекулы, для которой при десяти [c.499]

Для молекул с симметрией С,, и осью второго порядка, совпадающей с осью среднего момента инерции (ось Ь), чередование интенсивности непосредственно получается из фиг. 149, если принять во внимание, что отношение интенсивностей переходов между уровнями А и переходов между уровнями В равно отношению статистических весов этих уровней (1 3 для Н О, 2 1 для В О, см. стр. 494 и табл. 10). Как можно непосредственно видеть из фиг. 149, в описанной выше серии дублетов более интенсивна попеременно коротковолновая и длинноволновая составляющие дублетов. Это ясно видно в случае полосы Н О, воспроизведенной на фиг. 151. В предельном случае молекулы, весьма близкой к симметричному волчку, в случае, когда ось а совпадает с осью волчка (вытянутый волчок), [c.504]

ВрашАшельниг постоянные и моменты, инерции симметричных волчков в основных состояниях [c.465]

Другой вид компенсационного баланса, предложенный П1. Воле, изображен на фиг. 24. В нем металлы разделены перекладина а—ин-варная, а обод б—латунный. При изменении 1° обод принимает эллинтич. форму и тем самым изменяет момент инерции. Симметричной пере- [c.422]

Вращательные уровни энергии — это уровни, связанные с вращательным движением молекулы как целого. Вращение молекул приближенно рассматривают как свободное вращение твердого тела с тремя моментами инерции вокруг трех взаимно перпендикулярных осей. При этом возможны три случая 1) сферический волчок (все три момента инерции одинаковы) 2) симметричный волчок (два момента инерции одинаковы, третий отличен от них) 3) асимметричный волчок (все три момента инерции различны). Разности энергий соседних вращательных уровней составляют от сотых долей электрон-вольта для самых легких молекул до стотысячных долей электрон-вольта для наиболее тяжелых молекул. Вращательные переходы непосредственно изучаются методами инфракрасной спектроскопии и комбинационного рассеяния света, а также методами радиоспектроскопии. Колебательно-вращательные спектры получаются в ре-дультате того, что изменение колебательной энергии сопровождается одновременными изменениями вращательной энергии. Такие изменения происходят и при электронно-колебательных переходах, что и обусловливает вращательную структуру электронно-колебательных спектров. [c.228]

После введения углов Эйлера выводятся два уравнения движения твердого тела одно —описывающее его поступательное движение, другое — его вращательное движение. Получено выражение для кинетической энергии твердого тела, записанное через его моменты инерции и угловые скорости, отнесенные к главным осям тела. Выведены уравиенпя Эйлера и прилагаются к рассмотре-н по твердых тел, на которые не действуют внешние силы, и к рассмотрению тяжелого симметричного волчка. Обсуждается прецессия и нутация земной оси, обусловленная солнечными и лунными силами тяготения. В последнем параграфе рассматриваются силы Кориолиса и их влияние на свободное падение тел и движение сферического маятника (маятник Фуко). [c.98]

Были рассчитаны моменты инерции комплексов ацетона и эфира с HG1 для случаев I и II и комплекса ацетонитрила с HG1. При расчете длина водородной связи принималссь на 0.1 А меньше суммы вандерваальсовых радиусов G1 и О или G1 и N (см., например, [ ]). Враш ательные постоянные приведены в таблице. А — вра-ш ательная постоянная относительно оси 00 (рис. 1), В я С — враш ательные постоянные относительно осей, перпендикулярных оси 00. Из таблицы видно, что вращательные постоянные В ж С близки между собой, поэтому все исследованные комплексы можно рассматривать как симметричные волчки. [c.205]

Мо.текулы типа сферич. волчка (У.,. = ]у -— ие об,надают врал1,ат. спект1)ами и но представляют интереса для С. м. В молекуле типа симметричного вол 1-ка два из трех моментов инерции совпадают. Симметричный полчок иаз, вытянутым, если [c.31]

Молекулу, имеющую три различных главных момента инерции, называют (по отношению к вращению) асимметричным волчком (или асимметричным ротатором). При равенстве двух главных моментов инерции молекулу называют симметричным во.гчком (симметричным ротатором). В этом случае эллипсоид ннэрции превращается в эллипсоид вращения. Если все три главных момента инерции равны между собой, молекулу называют сферическим (шаровым) волчком эллипсоид инерции превращается в сферу. Другой специальный случай симметричного волчка мы имеем тогда, когда один из главных моментов инерции равен нулю или ничтожно мал, тогда как два других равны между собой. [c.25]

Кроме молекул с осями симметрии порядка выше второго, которые являются симметричными волчками в силу их симметрии, два главных момента инерции могут оказаться одинаковыми и для молекул более низкой симметрии или дйже вовсе не обладающих симметрией. Такие молекулы, разумеется, также являются симметричными волчками, однако более важен случай молекул, являющихся симметричными волчками в силу симметрии. И в том и другом случае мы обозначаем два равных момента инерции через /в, а третий момент инерции— через /д. Ось, соответствующую этому третьему моменту инерции, обычно называют собственной осью симметричного волчка, независимо от того, является ли эта ось осью симметрии или не является. [c.35]

В классической механике движения, соответствуюп1,ие одному и тому же значению полного момента количества движения, получаются из движения, изображенного на ф1П. 16, а, если одновременно сдвигать неподвижную плоскость и менять размеры эллипсоида энергии так, чтобы величина 2Г/ ( = Р оставалась постоянной. Согласно квантовой механике из бесконечного числа таких движений может происходить лишь 2У-1-1 соответственно 2У-1-1 положениям неподвижной плоскости и 2У- -1 размерам эллипсоида энергии. При наинизшем положении плоскости (наибольшем расстоянии (1) и наибольшем значении энергии (наибольшем значении 2Т) наибольшая ось эллипсоида энергии перпендикулярна плоскости, т. е. мы имеем простое вращение вокруг оси, которой соответствует наименьший момент инерции. Хотя самый высокий квантовый уровень = 4-У и пе обладает в точности наибольшим классическим значением энергии, мы можем заключить, что этот уровень приближенно соответствует вращению вокруг оси, для которой получается наименьший момент инерции (в предельном случае симметричного волчка, для которого эта ось является осью волчка этот уровень соответствует и изображен в правой части фиг. 17). Точно так же мы видим, что самый низкий уровень -г = — У приближенно соответствует простому вращению вокруг оси, для которой получается наибольший момент инерции К=3 в предельном случае симметричного волчка, у которого эта ось является осью волчка, что изображено -В левой части фиг. 17). [c.58]

Так как свойства симметрии собственных функций не изменяются при изменении момента инерции, то изложенные выше соображения позволяют определить соответствующие свойства симметрии уровней симметричного волчка, имеющего два одинаковых ядра, т. е. случайно являющегося симметричным волчком (например, молекулы типа ХУ с определенным углом между связями см. работу Мелликена [6 5]). [c.67]

Так же как и для молекул, являющихся симметричными волчками, правило (1,75) играет роль лйшь если нельзя пренебречь инверсионным удвоением. Помимо этого, мы имеем некоторые правила отбора, зависящие от ориентации собственного дипольного момента относительно главных осей инерции. [c.69]

Невырожденные колебательные состояния. Как мы видели, в нулевом приближении энергия симметричного волчка, колеблющегося и вращающегося, равна просто сумме колебательной и вращательной энергии (1,20) жесткого, симметричного волчка. В более высоком приближении мы должны учитывать, что во время колебания периодически меняются оба момента инерции в и /д. В первом приближении (точно так же, как и в случае линейных молекул) можно применять формулы для жесткого симметричного волчка, беря в качестве вращательных постоянных В н А средние значения и Л[ ] за время колебания, которые, вообще говоря, отличаются от равновесных значений Ве — к/8 к с1ве и Ag — h/S K lAe. Как и в случае линейных молекул, мы предполагаем, что справедливы следующие соотношения [c.428]

Изложенные выше соображения применимы как к случаю молекулы, являющейся симметричным волчком в силу своей симметрии (как, например, молекулы КНз и молекулы галоидозамещенных метана), так и к случаю несимметричной молекулы, для которой два главных момента инерции случайно равны друг другу. Сильвер и Шефер [790] и Шефер [776] с помощью квантовой механики более строго доказали справедливость формул (4,38) и (4,39) для плоских и пирамидальных молекул ХУд. То же самое было выполнено Шефером [777] для случая молекул типа Х 2д с аксиальной симметрией и Нильсеном [666] — для общего случая. Эти авторы также дали точные формулы для и а , выраженные через потенциальные постоянные и геометрические параметры молекулы. Аналогично случаю линейных молекул, постоянные а,- слагаются из трех частей гармонической, ангармонической и части, обусловленной кориолисовым взаимодействием [см. уравнение (4,12)]. Сильвер, Шефер и Нильсен также наи ли, что в правые части выражений (4,38—39) необходимо добавить постоянные члены — и —а . Однако эти члены имеют тот же порядок величины, что и вращательные постоянные йу и поэтому практически ими можно всегда пренебречь ). [c.429]

Как отмечалось ранее, перпендикулярная полоса может возникнуть в результате перехода между невырожденными состояниями только в случае молекулы, не имеющей осей симметрии выше второго порядка, т. е. молекулы, случайно являющейся симметричным волчком. Молекулы, о которых может итти речь, это молекулы Н СО, С2Н4 и подобные им, для которых момент инерции относительно одной главной оси значительно меньше, чем моменты инерции относительно двух других осей. Однако эти молекулы недостаточно близки [c.455]

Очень поучительный пример такой смешанной полосы, а следовательно, и перпендикулярной полосы, был найден Герцбергом, Пата и Ферлегером [438] в фотографической области инфракрасного спектра ЫзН и впервые был правильно интерпретирован Эйстером [318]. Этот спектр с обозначенными ветвями Q показан на фиг. 129. Молекула НдН, несомненно, не является точно симметричным волчком, однако широкая структура полосы указывает на то, что один из моментов инерции очень. мал, т. е. на то, что все три атома N расположены почти на прямой, причем атом Н находится на конце цепочки, но не на оси, а под некоторым углом [c.456]

Анализ инфракрасных полос, моменты инерции и междуатомные расстояния симметричных волчков. Если в параллельной полосе не разрешена тонкая структура К (т. е. при совпадении всех подполос), полоса имеет в основном ту же структуру, что и перпендикулярная полоса линейной молекулы, и мы можем найти значения вращательных постоянных В и В" таким же способом, как и ранее, а именно из комбинационных разностей (]) = = R J) — P J) и J) = R J— ) — P J- - ) соответственно (см. стр. 419). Применяя этот способ к параллельным полосам, воспроизведенным на фиг. 123 и 124, мы получаем постоянные В 1 наряду с другими величинами, собранными в приводимой ниже табл. 132. Разумеется, разность А,Р" ), полученная иэ различных параллельных полос одной и той же молекулы, должна быть одинаковой при каждом из значений У, если нижнее состояние является общим. Помимо этого, сумма частот двух последовательных линий в чисто вращательном спектре также должна быть точно равна соответствующему значеник> разности во вращательно-колебательном спектре [c.462]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...