Синусоидальная волна упругая

Распространение волн этого вида можно представить следующим образом. Пусть тп (рис. 237)—тонкое волокно, выделенное из упругой среды. Когда вдоль оси х распространяется синусоидальная волна (м), элемент А испытывает перемещения и искажения, последовательные изменения которых показаны с помощью [c.495]

Вместо того чтобы изучать индивидуальные колебания отдельных частиц, рассматривают их коллективное движение в кристалле как в пространственно упорядоченной системе. Такой подход основан на том, что вследствие действия сил связи колебание, возникшее у одной частицы, немедленно передается соседним частицам и в кристалле возбуждается коллективное движение в форме упругой волны, охватывающей все частицы кристалла. Такое коллективное движение может быть представлено как совокупность синусоидальных волн, называемых нормальными колебаниями решетки. Число различных нормальных колебаний решетки равно числу ее колебательных степеней свободы. Так как кристалл, состоящий из N атомов, представляет собой связанную колебательную систему, обладающую 3N степенями свободы, то в нем может быть возбуждено в общем случае 3N нормальных колебаний, различающихся частотами, направлением распространения и т. д. [c.125]

Частотный анализ отклика служит эффективным методом нахождения установившегося отклика на синусоидальное возбуждение. В этом анализе нагрузкой является синусоидальная волна, для которой заданы амплитуда, фаза и частота. Применение частотного анализа ограничивается упругими линейными конструкциями. [c.51]

Здесь — амплитуда синусоидальной волны, а ( oi — + с) — фаза. Величины а, с фиксированны и не зависят ни от х, ни от t. Перемещение данное формулой (21.1), в общем не может удовлетворять уравнению движения нелинейного упругого материала ни в точной, ни в линеаризованной форме. Однако оно может быть решением линеаризованных уравнений движения, если тело однородно и подвержено однородной начальной деформации. Значение решения (21.1) является результатом того, что локально всегда материал и начальная деформация однородны. В связи с этим в малой окрестности избранной точки перемещение (21.1) является решением линеаризованных уравнений движения. [c.145]

Плоская синусоидальная волна в упругом материале. Выше было показано, что если материал и деформация однородны, то в декартовых системах координат линейные уравнения движения будут иметь вид [c.152]

Рассмотренное выше относится как к совершенно упругой, так и к рассеивающей среде. Однако если среда является рассеивающей, т. е. ее упругие свойства изменяются с частотой, интерпретация результатов становится еще более неопределенной, так как нет больше единой скорости распространения, и скоростью переноса энергии является групповая скорость Сд, которая отличается от фазовой скорости Ср на величину А йСр йК), где Л — длина волны. Когда рассеяние среды велико, как у многих высоких полимеров, эта разница может быть очень существенной. При этих условиях необходимо также, чтобы импульс содержал большое количество синусоидальных волн, иначе его спектр Фурье будет содержать широкую область частот, которые будут распространяться с различными скоростями, и длина импульса будет возрастать по мере распространения вдоль образца. Изменение затухания с частотой будет еще более осложнять дело, так как, вообще говоря, высокочастотные компоненты будут демпфировать интенсивнее, чем низкочастотные, и будут распространяться быстрее, так что они окажутся в голове импульса. [c.136]

Представим этот вид распространения волн следующим образом. Пусть тп (фиг. 203) будет тонкой нитью в упругой среде. Когда по оси X распространяется синусоидальная волна [с1], любой элемент А н ти испытывает перемещения и искажения, последовательные значения которых показаны на чертеже заштрихованными площадками 1, 2, 3, 4, [c.437]

Такое положение, однако, представляет собой идеализацию. Даже для сколь угодно малых амплитуд волн принцип суперпозиции не выполняется. Вопрос лишь в том, насколько существенно в той или иной задаче проявление всегда имеющейся нелинейности в исходных уравнениях движения и в уравнении состояния. Когда необходимо учитывать конечность амплитуды упругой волны и становятся заметными отклонения от принципа суперпозиции, возникает большое число разнообразных нелинейных эфс )ектов. К их числу можно отнести искажение формы вначале синусоидальной волны и образование гармоник, превращение такой волны в пилообразную волну, возникновение комбинационных частот (в случае распространения нескольких волн), нелинейное поглощение, различные параметрические эффекты, рассеяние звука на звуке, трансформацию спектра интенсивных шумов, взаимодействие сигнала с шумом, акустические течения, радиационное давление, кавитацию и многие другие. Весь этот круг вопросов принято называть нелинейной акустикой. [c.65]

Если реакция стенок трубы не чисто упругая, как в разобранном выше случае, то изменение сечения трубы зависит не только от величины давления, но и от формы волны. Тогда понятие постоянной эффективной сжимаемости для любой волны ввести нельзя и оно будет годиться только для гармонических процессов. Эффективная сжимаемость будет зависеть от частоты, сможет менять знак, и появится дисперсия скорости звука без изменения формы в такой трубе смогут распространяться только синусоидальные волны. [c.227]

Сдвиговые волны в жидкостях так сильно затухают, что их трудно наблюдать непосредственно. Однако имеются различные способы, которые позволяют обнаружить реакцию этих волн на источник (см. гл. 4, 4, п. 3). Из этих данных можно вычислить вязкость жидкости. Вообще говоря, можно показать, что получаемые результаты нельзя объяснить одной лишь вязкостью необходимо ввести в рассмотрение также сдвиговую упругость. В случае синусоидальных волн этот эффект формально может быть описан комплексным коэффициентом вязкости. [c.86]

Пусть в упругой среде распространяются плоские синусоидальные продольные волны. Выделим мысленно в волновом поле столь малый объем с У, что деформацию в каждой части этого объема, а также скорости частиц в не.м мо.ъмо приближенно считать одинаковыми. При прохождении волны этот объем среды приобретает кинетическую и потенциальную энергии. Если р — плотность среды, [c.209]

Все акустические методы отличаются друг от друга по способам ввода, приема и регистрации упругих колебаний в импульсном и синусоидальном режиме. Акустические методы используются при определении физико-механических характеристик строительных материалов, толщины, напряженного состояния, а также дефектоскопии. В настоящее время разработаны и серийно выпускаются различные электронно-акустические приборы, позволяющие регистрировать параметры распространения упругих волн как в импульсном, так и синусоидальном режимах [102, 105, 114, 120, 144, 148, 152, 153, 155, 158]. Использование упругих колебаний чрезвычайно малой интенсивности делает эти методы совершенно безопасными. [c.60]

Реальные тела никогда не бывают совершенно упругими, так что при распространении в них возмущений часть механической энергии превращается в тепло несколько различных механизмов этих превращений объединены общим названием — внутреннее трение. При прохождении в теле цикла напряжений обнаруживается, вообще говоря, петля гистерезиса кривая напряжение — деформация для возрастающих напряжений не повторяется точно ее нисходящей ветвью. Даже в том случае, когда влияние этого эффекта незначительно при статическом нагружении, оно может быть существенным фактором затухания упругих волн, так как при прохождении импульса давления через материал каждый слой поочередно проходит через такой цикл, а для синусоидальных колебаний число циклов гистерезиса зависит от частоты и может достигать порядка миллионов в секунду. Градиенты скорости, создаваемые волной напряжения, приводят ко второму виду потерь, связанному с вязкостью материала. Природа затухания различна для этих двух типов внутреннего трения, и экспериментальные данные показывают, что оба типа имеют место. [c.8]

Элементарная теория распространения упругих волн вдоль цилиндрических стержней, описанная в начале этой главы, может быть распространена на стержни любого поперечного сечения, если только длина волны велика по сравнению с его поперечными размерами. Согласно этой теории, продольные волны распространяются с постоянной скоростью Со = (f/p) , а скорость крутильных волн должна зависеть от формы поперечного сечения, но для любой данной формы она постоянна. Изгибные же волны испытывают дисперсию фазовая скорость синусоидальных изгибных волн с длиной волны А равна 2т Л Со/Л, где К—радиус инерции поперечного сечения стержня относительно оси, перпендикулярной оси стержня и лежащей в нейтральной поверхности [см. уравнение (3.26)]. Когда длины волн становятся сравнимыми с поперечными размерами стержня, написанное соотношение теряет силу и для исследования природы распространения надо использовать точные уравнения теории упругости. Точная теория для цилиндрических стержней была рассмотрена в предыдущих параграфах, но для стержней некругового поперечного сечения анализ становится чрезвычайно сложным, и лишь в немногих случаях были сделаны попытки найти решения. [c.74]

С целью уменьшения растягивающих напряжений и создания условий для больших по величине упругих деформаций изгиба осуществляют гофрировку мембран. Гофры имеют форму концентричных волн различного профиля (синусоидального, пильчатого, трапецеидального и др.). Гофрированные мембраны имеют боль-щую чувствительность (меньшую жесткость), чем плоские. [c.470]

При возбуждении пластинками X- и У-срезов кварца амплитуда рэлеевской волны зависит от ширины 2а пластинки синусоидально (см. первые слагаемые в (2.7) и (2.8) и рис. 2.4, на котором приведены теоретические (1) и экспериментальные (2) кривые упругое полупространство предполагается здесь и в дальнейшем алюминиевым ). [c.109]

Синусоидальные бегущие волны. Очень важным случаем волны, удовлетворяющей уравнению (6.5), является синусоидальная упругая бегущая волна [c.187]

Упругие волны отсутствуют, если сила, действующая на тело, постоянна. Упругие волны малы, если сила меняется медленно, так что передача возмущения по телу успевает происходить за малую долю времени, характерного для изменения силы. При синусоидальном действии силы за характерный промежуток времени можно считать ее период, при импульсном действии — время нарастания [c.10]

Рассмотрение плотности энергии и интенсивности для плоской продольной волны в упруго й среде при выводе формулы (2.10) применимо и к плоской продольной волне в теле Фойгта. Начнем с синусоидальной плоской волны [c.96]

При использовании продольной моды, изменяющейся по синусоидальному закону сила прикладывается к одному концу тонкого цилиндрического стержня, а продольные колебания измеряются на противоположном конце стержня. Датчик другой конструкции применяется для генерирования крутильных колебаний на возбуждаемом конце стержня на противоположном конце в этом случае измеряется амплитуда угловой скорости вращения. На самой низкой частоте резонанса стержень имеет длину в несколько полуволн, а его диаметр мал по сравнению с длиной волны. В этом низкочастотном диапазоне продольные волны в отсутствии поглошения распространяются без дисперсии со скоростью, определяемой модулем Юнга Су—( /р) / -. Можно показать, что в почти упругом тонком стержне продольные волны распространяются практически с такой же скоростью, а поглощение проявляется в экспоненциальном уменьшении амплитуды с расстоянием [см. формулу (4.32)]. Если, например, сила действует на один конец стержня (рис. 4.16), то волна распространяется в положительном направлении оси х, вызывая силу, пропорциональную лух На свободном конце волна отражается отра- [c.118]

Интересно оценить вертикальное упругое перемещение и остаточную скорость V на уровне у=0 долины. Примем среднее значение модуля сдвига горных пород 0=80 000 кг см ), высоту гор Л= 3000 м, а = л/г/2=4,713 н и удельный вес горных пород у 0.002 кг1см , так что -давление равно р=Лу/2 = 405 кг1см . Тогда для амплитуды синусоидальной волны упругих вертикальных перемещений получим [c.250]

ЧАСТОТА (биений циклическая — частота негармонических колебаний, получающихся в результате наложения двух одинаково направленных гармонических колебаний с близкими частотами волны — частота гармоническая (синусоидальная), соответствующая упругой волне колебаний частиц среды вращения — величина, равная отношению числа оборотов, совершенных телом, ко времени вращения линейная— частота гармонических колебаний обращения—частота периодического движения точки по замкнутой траектории несущая — частота модулируемой волны резонансная — частота колебаний, при которой наступает явление резонанса собственная—частота гармонических колебаний системы, не подвергающейся действию внешних сил характеристическая—частота колебаний определенной группы атомов в молекулах, соответствующая определенной химической связи щжлическая — частота гармонических колебаний, умноженная на два пи циклотронная — частота обращения заряженных частиц в постоянном магнитном поле в плоскости, перпендикулярной к вектору напряженности этого поля) ЧИСЛО [Авогадро — число молекул (или атомов) в одном моле вещества (6,022136 10 моль ) волновое — отношение циклической частоты к скорости волны вращательное квантовое определяет энергию ротатора квантовое (главное—целое число, определяющее энергетические уровни водородного атома в стационарном состоянии магнитное— целое число, определяющее проекцию вектора орбитального момента импульса электрона на направление внешнего магнитного поля орбитальное — целое число, определяющее орбитальный момент импульса электрона в атоме спиновое определяет спиновой момент импульса электрона в атоме) координационное — число ближайших к данному атому соседних атомов в кристаллической решетке] [c.296]

В монографии с привлечением теории двухточечных полей и метода конвективных координат изложены основы нелинейной теории упругости. Приведены решения задач устойчивости равновесия шара, сферической оболочки, параллелепипеда, цилиндра. Детально исследованы акустические волны различного рода, в том числе волны ускорения, плоские синусоидальные волны и др. Решены задачи о бесконечно малых и конечн1 1х колебаниях при заданных начальных деформациях. В приложении даны необходимые сведения по тензорному анализу, теории поверхностей. [c.4]

Хилье [51] рассмотрел распространение продольных синусоидальных волн вдоль вязко-упругой нити и вывел соотношения для тела Максвелла, тела Фохта и тела, поведение которого подобно поведению моделей на фиг. 27. Для максвелловского тела зависимость между напряжением и деформацией (5.23) можно записать в следующей форме [c.113]

Скорости распространения всех этих упругих волн зависят наряду с другими факторами от упругих постоянных и плотности тела, так что динамические значения упругих постоянных можно определить по скорости распространения. Если тело не вполне упруго, часть энергии волны напряжения рассеивается в процессе распространения в среде и, как показано в главе V, величину этого затухания можно поставить в соответствие с внутренним трением, определенным иным путем. Несколько измерений скорости распространения и затухания синусоидальных волн было проведено при низких частотах на образцах в форме полос и нитей, причем определяющей упругой постоянной здесь является модуль Юнга. При высоких частотах импульсы расширения и искажения возбуждались в массивных блоках материала. Преимущества, которыми обладают методы распространения волн по сравнению с другими методами, описанными ранее, состоят, во-первых, в том, что необходимая область частот может быть перекрыта на одном образце, во-вторых, в том, что при измерении внутреннего трения этим методом легче уменьшить внешние потери на опорах, и, наконец, в том, что в нерассеивающей среде метод позволяет достигнуть чрезвычайно высокой степени точности. Бредфилд [14] установил, что упругие постоянные металлов можно измерить с помощью ультразвуковых импульсов с точностью до 1/400000. [c.132]

В 1914 г. Рэлей [10] теоретически показал, что может существовать особый тип упругих волн, распространяющихся вдоль поверхности земли или вообще вдоль границы сплошного упругого тела. Он начал с простой модели, неучитывавшей кривизну Земли, где волновой фронт был плоским, бесконечный цуг синусоидальных волн распространялся вдоль плоской поверхности, а амплитуда смещения экспоненциально убывала с глубиной. Он показал, что скорость распространения этих волн зависит от коэффициента Пуассона, который дается выражением [c.372]

Звуковая волна, как и всякая упругая волна, представляет собой волны смещений, скоростей и деформаций,. связанные между собой и распространяющиеся вместе в среде. В гармонической звуковой волне в каждой точке смещения, скорости и деформации (сжатия) меняются по синусоидальному закону. Вместе с тем в каждой точке происходят изменения давления, обусловленные изменением степени сжатия газа. Изменения давления, вызванные звуковой волной, накладываются на то среднее давление, которое существует в газе (в случае свободной атмосферы — атмосферное давление). Эти изменения давления называют избыточным звуковым давлением или просто звуковым давлением. Единицей звукового давления служит бар — давление в 1 дн1см . Бар составляет, следовательно, около 10 атмосферного давления ). [c.722]

Динамика колебаний. Свободные, пли собственные, К. являются движением системы, предоставленной самой себе, в отсутствие внеш. воздействий. При малых отклонениях от состояния равновесия движения системы удовлетворяют суперпозиции принципу, согласно к-рому сумма двух произвольных движений также составляет допустимое движение системы такие движения описываются линейными (в частности, дифференц.) ур-ниями. Если система ещё и консервативна (т. е. в ней нет потерь или притока энергии извне), а её параметры не изменяются во времени (о переменных параметрах будет сказано ниже), то любое собств. К. может быть однозначно представлено как сумма нормальных колебаний, синусоидально изменяющихся во времени с определ. собств. частотами. В колебат. системах с сосредоточенными параметрами, состоящих из JY связанных осцилляторов напр., цепочка из колебат, электрич. контуров или из соединённых упругими пружинками шариков), число нормальных К. (мод) равно 7V. В системах с распреде лёнными параметрами (струна, мембрана, полый или открытый резонатор) таких К. существует бескопечное множество. Напр,, для струны с закреплёнными концами длиной L моды отличаются числом полуволн , к-рые можно уложить на всей длине струны L — nX 2 (д=0, 1, 2,. . ., оо). Если скорость распространения волн вдоль струны равна v, то спектр собств. частот определится ф-лой [c.401]

В этой главе и гл. 3 будут рассмотрены процессы нелинейного искажения и взаимодействия упругих волн. Нели-вейное искажение волн (изменение формы профиля волны конечной амплитуды) происходит из-за того, что к скорости распространения волны добавляется скорость смещения частиц, а также из-за того, что локальная скорость звука в разных точках волны различна. Это приводит к тому, что сжатия движутся быстрее, чем разрежения еслп волна имела первоначально синусоидальную форму, то постепенно передние фронты ее становятся все более и более крутыми. При некоторых условиях, рассмотренных далее, возможно образование чрезвычайно узкого фронта волны, который может рассматриваться как слабый разрыв место образования разрыва, таким образом, можно считать периодическим источником слабых разрывов. Такая волна со слабыми разрывами на каждой длине волны, занимающими весь фронт, иногда называется пилообразной. В спектральных терминах искажение волны может быть интерпретировано как появление, рост и взаимодействие в процессе распространения гармонических составляющих (обертонов) волны. [c.48]

В настоящее время имеется несколько методов исследования нелинейного искажения и взаимодействий, позволяющих определять самые не(значительные отклонения формы профиля упругой волны от синусоидальной. Для всех методов чрезвычайно важным является возможность исключения нелинейных искажений в любой другой части излучающего и приемного трактов, кроме искажений в среде. Клирфактор генератора и электроакустического преобразователя, так же как и нелинейные искажения в приемных устройствах, должны быть минимальны. В некоторых случаях для исключения возможного влияния [c.139]

Формула (3.91) справедлива, когда длина волны велика по сравнению с толщиной пластинки й. Когда же длина волны становится сравнимой с толщиной, распределение напряжений по сечению пластинки, перпендикулярному фронту волны, перестает быть равномерным. Тогда надо использовать точные уравнения теории упругости (2.8), (2.9), (2.10) и граничные условия, выражающие, что поверхности пластинки свободны от напряжений, причем анализ совершенно аналогичен тому, который описан в гл. II для волн Релея. Лемб [78] рассмотрел распространение синусоидальных плоских волн в бесконечной пластинке и показал, что при симметрии движения относительно срединной плоскости пластинки уравнение частот имеет вид [c.80]

Применение акустооптич е с к о й дифракции. Д.с. на у. позволяет определять по изменению интенсивности света в дифракционных спектрах характеристики звукового поля (звуковое давление, интенсивность звука и т. п.), практически не возмуш ая поля. С помо-ш,ью Д.с. на у. измеряют поглош ение и скорость ультразвука в дхшпазоне частот от нескольких МГц до нескольких ГГц (в жидкостях) и до нескольких десятков ГГц (в твёрдых телах), модули упругости 2-го и 3-го порядков, упругооптич. и магнитоупругие свойства материалов. Возможность спектрального анализа звукового сигнала акустооптич. методами позволяет исследовать отклонение формы профиля звуковой волны от синусоидальной из-за нелинейных искажений (см. Нелинейные эффекты). Для низкочастотного звука такое отклонение связано с асимметрией в пнтенсив-ностях спектров положительных и отрицательных порядков при дифракции Рамана—Ната. В случае высокочастотного звука нелинейные эффекты проявляются в появлении дифракционных максимумов 2-го и более высоких порядков при брэгговской дифракции. Д. с. на у. применяется для модуляции и отклонения света, в различных устройствах акустооптики (в модуляторах света, дефлекторах, фильтрах). Широко используется Д. с. на у. при оптико-акустич. обработке сигналов, для приёма сигналов в УЗ-вых линиях задержки и др. [c.131]

Математическое введение. Мы рассматривали в 3, 7, 8 синусоидальные собстве1шые колебания (их называют также нормальными колебаниями, ср. 3) некоторых упругих тел стержней, пластин, столбов газа, струн. Эти колебания имеют вид стоячих волн, удовлетворяющих волновому уравнению. Длина волны, а также расположение узлов и пучностей определяются условиями на границах упругого тела. [c.219]

Возбуждение струн дискантового регистра. В дискантовом (верхнем) регистре (примерно 61...88 хоры) периоды колебаний струн не только сравнимы со временем удара молотка, но и могут быть меньше его. В дискантовом регистре за время удара к месту касания молотком струны успевают вернуться отраженные опорами волны не только от ближней, но и от дальней опоры. Анализ показывает, что влияние отрал<енных волн на ускорение молотка, а следовательно, и характер силы, действующей на струну, практически незначительно. Поэтому можно считать, что сила, действующая на молоток, изменяется по закону, близкому к синусоидальному. Поскольку время касания молотком струны больше периода ее собственных колебаний, реакция струны на молоток имеет упругий характер. Амплитуды колебаний струны малы по сравнению с величиной сжатия фильцевой подушки молотка (он более гибкий, чем струны). Зависимость ускорения молотка от времени имеет форму, близкую к синусоидальной. Тогда силу воздействия молотка па струну, если пренебречь трением фильцевой подушки (/ = 0), можно представить в виде [c.138]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...