Интеграл Гельмгольца

III.2. ИНТЕГРАЛ ГЕЛЬМГОЛЬЦА—КИРХГОФА [c.242]

Если интеграл Гельмгольца — Кирхгофа берется по поверхности 5, характеризуемой поверхностным импедансом 2 , то величину ди/дп можно представить как функцию только от и [см. уравнение [c.255]

В областях с постоянным показателем преломления интеграл Гельмгольца — Кирхгофа может быть представлен в виде (4.2.15). Поскольку это соотношение верно для любой декартовой компоненты поля Е, в области без источников, окруженной замкнутой поверхностью 5, мы имеем [c.260]

Поля, удовлетворяющие условию (4.4.2), называются полями излучения. Для них интеграл Гельмгольца — Кирхгофа можно вычислять по бесконечной незамкнутой поверхности S, отделяющей точки наблюдения от источников. Условие (4.4.2) выполняется для полей, имеющих следующее асимптотическое поведение [c.263]

Рассмотрим теперь случай, когда плоскость П отделяет область I, содержащую источники, от однородной области II, в которой вычисляется поле. В этом случае функцию Грина О удобно выбирать в таком виде, чтобы либо О, либо дО/дп были равны нулю в плоскости П. При этом интеграл Гельмгольца — Кирхгофа принимает более простой вид, поскольку одно из двух слагаемых подынтегрального выражения исчезает. Нетрудно построить необходимую функцию Грина, если к мнимому источнику в точке г добавить другой мнимый источник той же интенсивности с тем же или с противоположным знаком, расположенный в точке г , представляющей собой зеркальное изображение точки г относительно плоскости П [c.263]

То, что мы показали на примере облучения препятствия сферической волной, остается справедливым и для более общих лучевых полей. Это легко доказать непосредственным вычислением интеграла Гельмгольца — Кирхгофа [27] с использованием хорошо известных формул [24, 28]. [c.394]

Формула Гельмгольца определяет звуковое давление в виде суммы вкладов двойных (дипольных) источников расположенных на поверхности тела, и простых источников (монополей). Для того чтобы воспользоваться этой формулой, необходимо знать одновременно две функции -звуковое давление и колебательную скорость на поверхности тела. Вместе с тем известно, что для определения функции в пространстве по ее значению на поверхности достаточно знать лишь одну из указанных функций, вторую однозначно можно определить из решения задачи. Таким образом, интеграл Гельмгольца является переопределенным соотношением. [c.61]

Запишем теперь интеграл Гельмгольца для рассеянного поля [c.188]

Таким образом вычисление энергии Гельмгольца, а следовательно, и всех термодинамических функций многочастичной системы сводится к вычислению ее конфигурационного интеграла [c.200]

Гельмгольц заметил, что если интеграл S берется в виде (16 ) и функция Н рассматривается в нем выраженной через р, д и, возможно, через t и если в соответствующей синхронной вариации 3S вариации Вр рассматриваются как произвольные наравне с 8д (при = 0 при = 0 и при t = t , но без какого бы то ни было ограничения для 8р), то условие 8S = О будет все еще эквивалентно лагранжевой системе (31) или, что одно и то же, в предположении Д О, гамильтоновой системе [c.453]

В своей очень интересной статье О физическом значении принципа наименьшего действия Г. Гельмгольц ) называет взятый по времени интеграл [c.460]

Вот общая формулировка принципа наименьшего действия в той форме, в какой она была дана Гельмгольцем между всеми переходами какого-либо подверженного внешним воздействиям физического образа, которые могли быть совершены им в определенное время из определенного начального в определенное конечное положение, переход, в действительности происходящий в природе, подчиняется тому условию, что интеграл [c.572]

Для своих расчетов Гельмгольц избрал гамильтонову форму принципа как наиболее удобную, снабдив ее некоторыми дополнениями, скорее формального характера. Величину, интеграл по времени которой представляет действие Гамильтона, он назвал кинетическим потенциалом . При этом, однако, он еще сохранил предпосылку, что принцип наименьшего действия по существу является механическим но это ограничение в его анализе уже несколько отступило на задний план, так как при рассмотрении многих систем, например гальванических токов, магнитов, ему не надо было входить в рассмотрение их специальных механических свойств. Зато Гельмгольц уже тогда предпринял решительный шаг, заключающийся в том, что кинетический потенциал он не стал выводить из энергии как разность кинетической и потенциальной энергий, что делалось до него, а, наоборот, взял за основу кинетический потенциал в качестве первичной величины и из него определил как все другие законы движения, так и величину энергии. [c.586]

К более точному предложению для величины энергия-время мы придем, если будем следовать термину квант действия , весьма удачно выбранному Планком. Этот термин указывает на временной интеграл J (Т — V) (И, который встречается в принципе Гамильтона это — так называемое действие. Здесь Т — кинетическая, 17 — потенциальная энергия рассматриваемой механической системы. В случаях, когда нельзя провести разделение энергии на кинетическую и потенциальную, Планк пишет вместо этого Н (11 к называет величину Н вместе с Гельмгольцем кинетическим потенциалом. [c.779]

Развитая Лагранжей точка зрения на принцип наименьшего действия разделялась рядом ученых того времени. Например, Лаплас, который расширил сферу приложения принципа в оптике, применив его к преломлению света в кристаллах, говорит о механическом содержании этого принципа Интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы ). Ограниченность этого толкования в настоящее время, после работ Гамильтона, Гельмгольца и др., после теории относительности и квантовой механики совершенно очевидна. [c.800]

Подставляя эти формулы в интегральное уравнение Гельмгольца, получим его приближенное выражение для высоких частот — интеграл Кирхгофа [c.246]

Что касается формулы для фтп то она основывается на том, что если X приближается к значению 1, то полный эллиптический интеграл первого рода, обозначаемый Гельмгольцем через F, становится [c.70]

Теорема Гельмгольца. Рассмотрим бесконечное количество частиц жидкости, образующих в момент I = д замкнутую кривую Со, в момент I эти частицы образуют другую замкнутую кривую С (2). Интеграл [c.15]

Указанная форма интеграла отличается от формы Гельмгольца, первоначально введенной им в своей теореме, но, как мы увидим далее, эквивалентна последней. [c.15]

Действительно, согласно вышесказанному, в начальный момент времени = О интеграл 1 равен нулю для занятой этими частицами поверхности. По теореме Гельмгольца J остается постоянным. Таким образом, этот интеграл будет равен нулю в любой другой момент времени, а занятая частицами в этот момент времени поверхность снова будет вихревой. [c.22]

Первый интеграл, взятый по замкнутому контуру, равен нулю по теореме Гельмгольца (6). Следовательно, остается [c.149]

Теорема Гельмгольца показывает, что интеграл [c.158]

Рассмотрим некоторые следствия, вытекающие из формулы Гельмгольца — Рэлея. Предположим сначала, что течение v имеет на ё такое же распределение скорости, как и исходное течение, т. е. что v = О на . Тогда в формуле (75.2) интеграл по поверхности обратится в нуль и, так как g О, мы получаем следующую теорему. [c.244]

По первой теореме Гельмгольца о вихрях Г есть величина постоянная по длине ви.хря поэтому Г можно вынести за знак криволинейного интеграла, распространенного по длине вихревой линии таким образом, окончательно получаем [c.266]

Первое из этих соотношений дает 1тЯ > 0. (Если 2 = 0. то, предположив, что 1тЯ==0, можно показать, что Е = 0 в V , пользуясь тем, что компоненты вектор-функции Е удовлетворяют уравнению Гельмгольца и условию излучения для этого уравнения ср. [23], стр. 284.) При 2 < О переходим к пределу при R oo и получаем — 2 = Im Я р, — fej а < Re Я р < fej а, где а—интеграл от Е Р-f Н Р по V , р—интеграл от I N X Н р по 5. Отсюда следует нужное неравенство для I Re Я /Im Я. [c.403]

Коши — Гельмгольца формула 9 Коши интеграл 110, 114 Коши — Римана условие 133 Коэффициент приведенных масс 316 [c.580]

В тех случаях, когда область поля ограничена апертурой, для удобства вычислений и для более ясного интуитивного представления дифрагированной волны удобно выразить двумерные дифракционные интегралы через интеграл по соответствующим контурам, ограничивающим апертуры. Для этого можно использовать свойства вектора Гельмгольца [выражение (4.2.11)], рассматриваемого в виде функции координаты г, для заданной координаты г точки, в которой определяется поле V G(r r (4.14.1) [c.313]

Если зафиксировать теперь плоскость х, у, то левая сторона этого равенства становится функцией координат х, у, г, выраженной через интеграл, аналогичный интегралу (4.15.10). Поскольку функция, определяемая выражением (4.15.10), представляет собой поле, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца, мы приходим к следующему уравнению [c.325]

Оставшийся интеграл по объёму легко вычислить, если воспользоваться условием кулоновской калибровки V и/ = О и уравнением Гельмгольца (10.22), которые дают [c.305]

Теорема Стокса сводит, таким образом, количественное определение интенсивности вихревой трубки к вычислению циркуляции скорости. Непосредственное измерение поля скоростей специальными приборами ие представляет в настоящее время особых трудностей, а суммирование слагаемых, входящих в интеграл (29), определяющий циркуляцию, является операцией, несравнимо более точной, чем дифференцирование распределения скоростей, требуемое для вычисления значений вихря скорости, и последующее суммирование, связанное с определением потока вихря. Вместе с тем понятие циркуляции является и более наглядным с физической стороны. Рассмотрим, например, следующее широко наблюдаемое явление. Жидкость вытекает из большого резервуара сквозь отверстие малого диаметра. Благодаря какой-то случайной причине жидкость в резервуаре получила слабое вращательное движение. При этом всю жидкость в сосуде можно рассматривать как вихревую трубку, выходящую сквозь отверстие в резервуаре. По теореме Гельмгольца интенсивность вихревой трубки, а следовательно, и циркуляция скорости по контуру, опоясывающему трубку, одинаковы как вдалеке [c.68]

В принципе общее решение интегро-дифференциального уравнения (23) можно получить, приведя его к системе двух связанных интегральных уравнений Фредгольма для Q и d(X dv на поверхности. Тогда величину Q в любой точке внутри среды можно получить, решая уравнение (10) при условии, что Q принимает указанные значения на границе. Это нетрудно сделать обычными методами, используя функции Грина или интегральную формулу Гельмгольца — Кирхгофа (см, уравнение (8,3.7)) [c.109]

В заключение заметим, что при преобразовании с помощью этой формулы Мэгги — Рабиновича интеграла Гельмгольца — Кирхгофа в контурный интеграл отверстие, освещаемое сферической волной, дает поле, которое представляет собой суперпозицию вкладов поля геометрической оптики ( р, стационарных граничных точек 1) и углов (если таковые имеются) J) [c.393]

Интеграл Гельмгольца. Основной исходной формулой для вычисления звуковых полей, излучаемых или дифраги,рованных телами сложной формы, является интеграл Гельмгольца, определяющий звуковое поле в пространстве по значениям звукового давления и его нормальной производной (пропорциональной нормальной составляющей колебательной скорости) на поверхности тела (рис. 2.4) [c.60]

Излучение звука тонким осциллирующим телом. Решение на основе интеграла Гельмгольца. Рассмотрим излучение звука осциллирующим телом, толщина которого мала по сравнению с другими размерами и длиной волньг. На поверхности задана нормальная составляющая колебательной скорости, причем на противоположных сторонах поверхности скороста совпадают. Возьмем сначала тело толщиной, не равной нулю (рис. 2.22), и запишем излучаемое звуковое давление в точке х в виде суммы интегралов Гельмгольца (2.11) по обеим сторонам поверхноста [c.109]

Заметим, что звуковое давление в дальнем поле, определяемое формулой (2.142), в точности совпадает с выражением (2.113), полученным при помощи интеграла Гельмгольца. Для того чтобы это показать, составим разность звуковых давлений на внещней и внутренней сторонах с использованием представлений (2.119) и (2.122) при г =а . Для интегрирования по s используем выражения (2.126) и (6Й71.2) из работы [16] [c.120]

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из 83 = 0 следуют уравнения (ЗГ), потому что 8S обращается в нуль при всяком возможном выборе 8р (и Ьд ), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от 8 , Ъд, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариайия интеграла S геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого, произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве (между теми же крайними значениями для д, но не необходимо для р). [c.453]

Обратимся теперь к продольному фазовому множителю в выражении (4.95). Вначале сделаем замечание относительно того, что, как и в интеграл Френеля — Кирхгофа (4.73), в выражение (4.95) не входит временная зависимость электромагнитного поля. Интеграл Френеля — Кирхгофа можно рассматривать как интегральное представление дифференциального уравнения Гельмгольца [см. (2.5а)]. Следовательно, как и в последнем случае, зависящая от времени и пространственных координат напряженность поля получается простым умножением части выражения (4.95), которая зависит от пространственных координат, на зависящий от времени множитель ехр [ (t2nv0]. в котором величина v дается выражением (4.94). Выбор знака + или — в экспоненте отвечает, как это следует из (4.95), волне, распространяющейся соответственно в положительном или отрицательном направлении оси z. Поэтому стоячую волну внутри резонатора можно рассматривать как суперпозицию двух этих волн. Таким образом очевидно, что входящая в (4.95) функция т з (г) = kz — (1 + т + I) ф г) = Аг — (1 + от + /) ar tg (2z/L) описывает изменение фазы волнового фронта в зависимости от координаты Z. Следовательно, с помощью этой величины можно найти, например, набег фазы, который приобретает волна при ее распространении в положительном направлении оси z от левого до правого зеркала на рис. 4.31. Заметим, что этот набег фазы не равен точно набегу фазы плоской волны, который равен kz. Данное обстоятельство приводит к двум взаимо.связан- [c.204]

Гельмгольц заметил, что при tl — г о)=сопз1 среднее значение интеграла [c.129]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...