Измеримое пространство

Статистикой на статистической структуре (X, Вх, Р) называют измеримое отображение т-пространства X, Bj в измеримое пространство (Т Вг)- Причем t не должно зависеть от Р или от в параметрическом случае. Для всякого распределения Р е Р статистика т как отображение (X, Вх, Р) ъ (Т, Вт, Р-,) является случайной величиной, закон распределения которой Р, зависит от Р и т. Полагая Я, = = Р Р е Р), получаем статистическую структуру Т, Вт, Я,), индуцируемую статистикой т. [c.496]

Определение 2.1 . Абстрактной динамической системой (М, //, (pt) называется набор, состоящий из измеримого пространства М с мерой /i и группы (pt автоморфизмов mod О, сохраняющих меру [c.15]

Приложение 6 Измеримые пространства [c.122]

Пусть (М, /i), (М , i ) — два измеримых пространства. Говорят, что отображение ip М М — гомоморфизм по модулю нуль, если [c.123]

Пример П15.2. Выберем в качестве S эргодический автоморфизм измеримого пространства (X, р), в качестве Y — окружность = = х (mod 1) . Если а х) — измеримая функция, определенная на X, со значениями в У, то [c.144]

Пусть (М, fj,) — измеримое пространство. Обозначим через 1 ал- [c.151]

Измеримое пространство 122 Изометрия 28 Изоморфизм 20, 34, 123 Инвариант Пуанкаре 232 Инвариантные торы 92, 97 Индуцированный оператор 29, 145 Интегралы в инволюции 208, 210 Интегрируемые системы 93, 107, 208 [c.278]

В общем случае случайный процесс определяется как семейство измеримых отображений g, пространства элементарных событий 2 в некоторое измеримое пространство А (фазовое пространство процесса точки А называют состояниями процесса),, параметризованных параметром t ( время ), который в нашем случае пробегает R, R+,Z или N. Нас интересуют стационарные (в узком смысле) процессы (условие стационарности — аналог изолированности или автономности). К числу таковых принадлежат процессы, которые получаются так имеются измеримая [c.158]

Измеримым пространством называется пара где [c.7]

М — произвольное множество, а — выделенная ст-алгебра его подмножеств. В дальнейшем М будет фазовым пространством динамической системы. Что касается Jt, то выбор ее во всех конкретных случаях не вызывает затруднений. Мы будем пользоваться ниже понятиями прям ого произведения измеримых пространств и. й -измеримой функции. [c.7]

Измеримое преобразование Т называют также эндоморфизмом измеримого пространства (М,Л). Всякий эндоморфизм порождает циклическую полугруппу эндоморфизмов 7 " , = = 0, 1..... [c.7]

Если Т обратимо и Т — также измеримое преобразование, то Т называют автоморфизмом измеримого пространства (М, Ж). Всякий автоморфизм порождает циклическую группу автоморфизмов Г" , —оо<гг<оо. [c.7]

Пусть теперь О — произвольная группа или полугруппа, которая сама является измеримым пространством (G, ), причем операция левого умножения есть измеримое преобразование. [c.8]

Приведем некоторые примеры гильбертовых пространств. Рассмотрим пространство Li(Q). Зададим на измеримом множестве й евклидова пространства некоторой размерности т множество функций, определенных почти везде и квадратично суммируемых. Скалярное произведение определим формулой [c.124]

Построение пространства 2 в векторном случае очевидно. Каждая из вектор-функций будет иметь на измеримом множестве й некоторое количество п скалярных компонент. Скалярное произведение определяется так [c.124]

НАБЛЮДАЕМАЯ (измеримая, или физическая, величина) в квантовой механике — физ. величина, удовлетворяющая след, требованиям 1) для физ. систем существуют состояния, в каждом из к-рых рассматриваемая величина с достоверностью имеет вполне определённое характерное для этого состояния значение (наз. собственным значением данной величины) 2) в результате измерения рассматриваемой величины в любом произвольном состоянии физ. системы получается одно из её собств. значений. Состояние, в к-ром физ. величина принимает то или иное собств. значение, наз. её собственным состоянием, отвечающим (или принадлежащим) данному собств. значению. Одному и тому же собств. значению может принадлежать неск. собств. состояний рассматриваемой физ. величины, отличающихся значениями, к-рые принимают в них к.-л. др. величины. В этом случае собств. значение величины наз. вырожденным. (Так, собств. значению квадрата угл. момента принадлежит неск. собств. состояний, отличающихся значениями проекции момента на произвольную ось в пространстве.) Требование 1 представляет собой условие повторяемости измерения физ. величины по крайней мере для не- [c.234]

Обозначим через Я . р(/ +) пространство измеримых на R+ функций с конечной нормой [c.218]

Я =(0), где G— измеримое открытое множество в — пространство Соболева, [c.6]

Пространства интегрируемых функций. Пусть G — измеримое открытое множество в J с мерой dx. Определенные на G функции будем считать эквивалентными и не будем различать, если они почти всюду на G (т. е. всюду на G, кроме множества меры нуль) совпадают. Далее, когда речь пойдет о пространствах интегрируемых функций, под функциями, строго говоря, нужно понимать классы эквивалентных друг другу функций. [c.26]

Здесь под областью подразумевается не область в математическом смысле слова, а просто измеримое (в смысле математической теории меры) подмножество фазового пространства.— При. ред. [c.380]

Пабор (М, //), или проще (М, /х), называется измеримым пространством — семейство измеримых множеств, х — мера (относительно всех этих понятий см. Халмош (Halmos [2]) и Рохлин [3]). [c.122]

Пусть (М, fi) и (М, J, ) — два измеримых пространства. Гомоморфизм (измеримых пространств) ip М М есть сюръекция, сохраняющая меру. [c.123]

Определение П18Л. Пусть (М, /i) — измеримое пространство разбиением а = Ai i j пространства М называется набор непустых измеримых множеств таких, что [c.156]

Пусть теперь М, Ж, ц) — пространство с мерой т. е. М Ж)—измеримое пространство, а ц — неотрицательная мера на -Ж. Всюду в дальнейшем, если не о1говорено противное, мера ц считается нормированной [ , М)—, т. е. (М,Ж,11) — вероятностное пространство. Введем меру V на Ж, определенную равенством у(С) =ц(Г 1С) для любого СеЖ. Говорят, что преобразование Г переводит меру ц в меру V, и -V называют образом меры р. под действием Т. Часто также обозначают V через Т ц. [c.9]

Определение 2.1. Измеримым линейньш расслоением называется тройка (N,M,n), где N,M—измеримые пространства, я N M — измеримое отображение и существует изоморфизм tfi N- MxR такой, что 1) переводит разбиение N на множества х М, в разбиение MxR на множества [c.21]

В теории косых произведений естественно возникает понятие коцикла. Пусть Т — автоморфизм пространства (Mi, Jii, ni), G — измеримая группа, т. е. множество, наделенное согласованными друг с другом структурами группы и измеримого пространства. Коциклом для Т со значениями в G называется измеримое отображение 0 MiXZWG, удовлетворяющее соотношению Ф хиТП- -п)=Ф хит) Ф Т Хип). Коциклы i и Фг когомологичны, если найдется такое измеримое отображение if Mi- G, что Oi(Xi, п) = [ lp Tl Xl)]- Ф2 xu п) -tl3(A i). [c.31]

Определим о-алгебру Л подмножеств М как о-алгебру, порожденную функциями v 7x , где (У — произвольное ограниченное борелевское подмножество, а С — произвольное борелевское подмножество Нетрудно показать, что Л есть боре -левская 0-алгебра подмножеств М по отношению к введенной выше топологии. Фазовым пространством системы частиц в R будем называть измеримое пространство (М, Ж). [c.245]

В Э. т. осн. объект исследования—динамич. система (ДС), понимаемая как группа (или полугруппа) преобразований нек-рого пространства с мерой, сохраняющих эту меру. В применении к консервативным ДС, описываемым дифференц. ур-ниями, речь идёт о семействе сдвигов вдоль фазовых траекторий, а роль сохраняющейся (инвариантной) меры играет фазовый объём. В общем случае пространство с мерой—это тройка (X, si, ц), в к-рой X— произвольное множество с выделенным семейством j/ его подмножеств (ст-алгеброй измеримых подмножеств), содержащим само X в качестве одного из элементов и замкнутым относительно теоретико-множественных операций (объединения и пересечения конечного или счётного числа множеств и перехода от любого множества к его дополнению). Мера 1—это неотрицательная ф-ция, заданная на. 5/ и обладающая свойством счётной аддитивности если Ai, Ai,...— множества из. af, к-рые попарно не пересекаются, то мера их объединения равна сумме мер. Если ц(Л <со, то ц можно нормировать, поделив на х(А , и считать (X,, ц) вероятностным пространством (см. Вероятностей теория). Для ДС, отвечающей гамильтоновой системе дифференциальных ур-ний, в качестве X можно взять любую гиперповерхность постоянной энергии, а в качестве ц—меру, индуцированную на этой гиперповерхности фазовым объёмом. Всюду в дальнейшем предполагается, что рассматриваемые ДС определены на вероятностном пространстве. [c.625]

Особое место среди эргодич. теорем занимает мультипликативная эргодическая теорема В, И. Оселедеца (1968), играющая важную роль в приложениях Э. т. Как и классич. эргодич. теоремы, она описывает, поведение ф-ций, заданных на фазовом пространстве ДС, вдоль типичных траекторий. Однако на этот раз речь идёт не о скалярных, а о матричных ф-циях, значения к-рых вдоль траектории не складываются, а перемножаются. Если на фазовом пространстве X, ц) каскада Г задана измеримая ф-ция М со значениями в множестве квадратных матриц к-го порядка, то для любого xsX и любого целого / О естественно рассмотреть произведение М, х) = М(х)М(Т х)... М(Т х). Аналогом индивидуальной эргодич, теоремы служит утверждение, что при условии [c.627]

Это направление Э.т. возникло в кон. 50-х — нач. 60-х гг. после того, как А. Н. Колмогоровым было введено понятие энтропии ДС, близкое к теоретико-информац. энтропии К. Э. Шеннона (С. Е. Shannon) (см. Теория информации), Пусть измеримые множества А i, образуют разбиение а вероятностного пространства (X, ц). Энтропией этого разбиения наз. число [c.630]

Большая часть материала предыдущих разделов может быть изложена без обращения к фазовому пространству ДС, а с использованием вместо него тех или иных пространств ф-ций, заданных на X, напр, пространства L ограниченных измеримых комплекснозначных ф-ций. Это пространство допускает наряду с линейными операциями также операщ1ю перемножения любых двух его элементов и операцию комплексного сопряжения. Тем самым оно является С -алгеброй, к-рая коммутативна, т. к. этим свойством обладает операция умножения. Всякая мера ц, заданная на X, определяет на этой алгебре положит, линейный функционал (состояние) рц, к-рый ставит в соответствие ф-ции / число fd iu, а ДС 7 задаёт группу U её [c.636]

Пусть X — банахово пространство с нормой, обозначаемой kiepes II-IU. Через 1оо(0,/ Х) будем обозначать пространство (классов) функций t—>-ф(0 (измеримых относительно меры dt) из [О, t ] в X и таких, что конечна норма [c.154]

В основе указанных сомнений лежали рассуждения следующего типа. Рассмотрим какой-нибудь, отличный от энергии интеграл движения и выберем две точки поверхности заданной энергии, в которых значения этого интеграла различны (такие точки должны найтись, так как иначе этот интеграл не был бы независимым от интеграла энергии). Пользуясь непрерывностью этого интеграла, молено выделять такие, достаточно малые окрестности этих точек, что интервалы изменения рассматриваемого интеграла в этих двух окрестностях не перекрываются. Тогда, выбирая за ту функцию, для которой образуется среднее по времени, характеристическую функцию первой из окрестностей, т. е. функцию, равную единице в точках этой окрестности и нулю вне ее, получим, что среднее по времени значение этой функции для всех траекторий, исходящих из точек второй окрестности, равно нулю. Для эргодических же систем это среднее почти для всех начальных состояний должно быть равно фазовому среднему, т. е. отношению меры первой окрестности к мере всей поверхности заданной энергии. Совершенно аналогичное противоречие констатировалось также в другой форме для систем, обладающих свойством метрической транзитности,— свойством эквивалентным (для систем с фазовым пространством конечной меры) эргодичности на основе непрерывности интегралов движения (точнее говоря, их измеримости) показывалось, что метрически транзитивные системы невозможны [23]. [c.120]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...