Процессы со стационарными приращениями

В случае случайного процесса со стационарными приращениями eR его С. ф. /)(Ть Тз) не меняется при любом сдвиге промежутков ij, Т2 [c.7]

Рассмотрим аддитивный случайный нестационарный процесс со стационарным приращением, для которого среднее значение является линейной функцией времени [c.11]

В математике такие случайные функции называются случайными процессами со стационарными приращениями, если речь идет о функциях времени, и локально однородными случайными функциями, если говорят о функциях пространственных координат. Такие функции удобнее всего описывать на основе так называемых структурных функций , которые рассматриваются в данном приложении (см. [275, 392]). [c.275]

Б.1. Структурная функция и случайные процессы со стационарными приращениями [c.275]

Случайный процесс, удовлетворяющий (Б.1а) и (Б. 16), называется случайным процессом со стационарными приращениям [c.276]

Стационарный процесс можно рассматривать как частный случай процесса со стационарными приращениями. В этом случае имеется взаимно-однозначное соответствие между структурной функцией и вторым моментом [c.276]

Подставляя это выражение в (Б.5), снова приходим к (Б.11), откуда следует, что (Б.11) применимо как к процессам со стационарными приращениями, так и к стационарным процессам. [c.278]

Тем не менее между корреляционной и структурной функциями имеется существенное различие. Спектральное представление (Б. 13) корреляционной функции имеет смысл лишь для стационарных процессов, в то время как спектральное представление (Б.11) структурной функции имеет смысл как для стационарных процессов, так и для процессов со стационарными приращениями. Для пояснения этого утверждения рассмотрим поведение спектра Ф(А.) вблизи значения А, = 0. При Я->-0 для сходимости интеграла (Б. 13) необходимо, чтобы [c.278]

Отсюда делаем вывод, что если спектр удовлетворяет условию (Б.14), то процесс стационарен и существуют как корреляционная, так и структурная функции. Однако если условие (Б. 14) не выполняется, но условие (Б. 15) выполнено, то процесс является процессом со стационарными приращениями, и существует только структурная функция, а корреляционная функция не существует. Этот вывод играет важную роль в теории распространения волн в турбулентной среде. [c.279]

Трехмерный эквивалент процесса со стационарными приращениями называется локально однородной случайной функцией. Рассмотрим случайную функцию /(г). Заметим, что, вообще говоря, /(г) не является однородной функцией, но/(г14-г) — [c.279]

Так как мы предположили, что / (О — процесс со стационарными приращениями и, следовательно, Рт t) — стационарный процесс, то Вр не должно зависеть от i и может зависеть лишь от XVI Т. Это условие будет выполнено, если 2 1 , зависит лишь от tl — 2, т. е. если [c.28]

Очень часто приходится иметь дело с процессами со стационарными приращениями, для которых среднее значение постоянно (к этому типу будут относиться локально изотропные случайные поля, рассматриваемые ниже). В этом случае формула (12) упрощается и принимает вид [c.28]

Структурная функция является основной характеристикой случайного процесса со стационарными приращениями, заменяю- [c.28]

Формула обращения для (14) аналогична соответствующей формуле для процессов со стационарными приращениями (20.3) и имеет вид [c.43]

Процессы со стационарными приращениями [c.74]

Ясно, что любой стационарный случайный процесс является одновременно и процессом со стационарными приращениями. Существуют, однако, и нестационарные процессы со стационарными приращениями. Таким процессом является, в частности, упоминавшийся выше процесс изменения во времени координаты диффундирующей частицы. Широкий класс процессов того же рода составляют также неопределенные интегралы от стационарных процессов v t), т. е. процессы [c.75]

Напомним, что в случае стационарного процесса u t) среднее значение H t) должно быть постоянным (см. формулу (4.59) на стр. 202 части 1) поэтому стационарные процессы могут использоваться для описания турбулентности лишь в случае установившихся течений, все осредненные характеристики -которых не меняются во времени. Привлекая же процессы со стационарными приращениями, мы получаем возможность описывать также и турбулентность в неустановившихся течениях (правда, лишь в течение промежутков времени, на протяжении которых изменения всех осредненных характеристик потока можно приближенно считать линейными )) одно это обстоятельство уже объясняет значительный интерес процессов со стационарными приращениями для теории турбулентности. [c.76]

Вообще говоря, в теории процессов со стационарными приращениями допустимо считать, что для самих значений рассматриваемого процесса даже не существуют распределения вероятностей, а одномерные и многомерные распределения существуют лишь для разностей значений процесса (<) в двух точках. Отсюда, в частности, вытекает, что распределения вероят- [c.76]

Рассмотрим еще частный случай, когда u(t) — не только процесс со стационарными приращениями, но и стационарный в обычном смысле процесс как обычно, будем считать, что u(i) = 0. В этом случае функция D(x) просто выражается через корреляционную функцию В(х) раскрыв в (13.9) квадратные скобки, получим [c.78]

Заметим, что в силу условия (13.18) функция ( ) может быстро стремиться к бесконечности при приближении к нулю тем не менее формула (13.19) всегда имеет смысл, так как возрастание Я ( ) компенсируется стремлением к нулю функции 1 — os т (пропорциональной 0)2 при малых ю). Функция Е ( ) (или F( ) — E ( )/2) называется спектральной плотностью (или, короче, спектром) процесса со стационарными приращениями и (/). а представления (13.15) и (13.19) — спектральными разложениями этого процесса и его структурной функции. [c.81]

Покажем теперь, что из спектрального разложения процессов со стационарными приращениями можно вывести также и ограничения на скорость роста D(t) при т->со, полученные на стр. 78 другим способом. В самом деле, применяя первое из элементарных неравенств [c.82]

Поскольку функции (13.24) положительные и удовлетворяющие условиям (13.20), отсюда вытекает, что функции (13.23) действительно могут являться структурными функциями процессов со стационарными приращениями. Отметим, что при т->-оо все эти функции неограниченно возрастают. [c.83]

Перейдем теперь к многомерным случайным процессам со стационарными приращениями, т. е. к многомерным процессам (t) = =. .... nWl> лля которых плотность распределения вероятности для разностей значений каких-либо компонент в произвольной совокупности пар точек не меняется при любом одновременном сдвиге всех рассматриваемых точек вдоль оси времени. Будем считать, что средние значения разностей — u t) равны нулю при всех [c.84]

Аналогом понятия процесса со стационарными приращениями в применении к случайным функциям от точки х является понятие локально однородного случайного поля (иначе — случайного поля с однородными приращениями). Под этим понимается такое случайное поле и (л ), все распределения вероятностей для разностей значений которого в некоторой совокупности пар точек не меняются при любом параллельном переносе всех рассматриваемых точек ). Аналогично случаю процесса со стационарными приращениями доказывается, что среднее значение приращений А,и(дс) = и(л - -г)—й(х) поля и(х) является линейной функцией вектора г [c.86]

Ясно, что любая функция D r), являющаяся структурной функцией локально изотропного случайного поля в трехмерном пространстве, будет также и структурной функцией подобного же поля на прямой (т. е. иными словами, структурной функцией некоторого процесса со стационарными приращениями). Так же, как и в п. 12.1, доказывается, что соответствующая одномерная спектральная плотность Ех (Aj), входящая в одномерное спектральное представление функции Ь(г), имеющее вид [c.91]

Пространственным аналогом случайного процесса со стационарными приращениями является л о к а л ь-но однородное С. п., для к-рого разность ср. значений [c.562]

СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ — случайный процесс [5к ЛЧ, у к-рого распределение вероятностей приращений Д 1= 1 — на промежутке времени т= (1,1 ), 1 < Г не зависит от выбора начала отсчёта времени 1. Более точно это означает, что для любого набора моментов времени [c.565]

Спектральное представление локально однородной случайной функции получается как трехмерное обобщение результата для процесса со стационарными приращениями. Выпищем спектральные представления для случайной функции / (г) и ее структурной функции )/ (г) [c.279]

Сравнивая методы описания стационарных случайных процессов и процессов со стационарными приращениями, можно также заметить, что их описание ири помощи спектральных функций W (й) имеет преимущества перед описанием прн помощи корреляционных и структурных функций. Это преимущество заключается в том, что, ислользуя функцию W (м), можно пе заботиться о том, является ли процесс стационарным или обладает лишь стационарными приращениями,— в обоих случаях функция (ю) существует н имеет тот же самый физический смысл спектральной плотности энергии. И лишь на окончательно.м этапе вычислепин, когда мы хотим найти В (т) или D (т), мы пользуемся формулой (17-2) или (17) в зависимости от того, имеет W ( >) интегрируемую особенность в нуле или нет. Второе преимущество спектрального описания заключается в том, что функция W (оз) имеет более прямой физический смысл, чем В (т) или D (т). [c.31]

Подобно тому как сам стационарный случайный процесс /(i) может быть представлен в виде стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса (19.2), процесс со стационарными приращениями также может быть представлен в виде спектрального разложения. Проще всего это разложение можно получить, используя то обстоятельство, что производная (t) — от процесса со стационарными приращениями / (i) сама является стационарным случайным процессом. Следовательно, (<) можно представить в виде разложения (19.2) [c.32]

Сравнивая рассмотренные примеры, мы видим, что структурная функция вида (37), которая в первом примере являлась асимптотическим видом структурной функции (31) стационарного случайного процесса, сама может являться структурной функцией процесса со стационарными нриращениями. В теории турбулентности мы имеем дело как раз с таким случаем, когда нам известен лишь асимптотический вид структурных функций для достаточно малых значений аргумента т и неизвестно поведение этих функций при больших т. В таких случаях оказывается целесообразным рассматривать случайный процесс как процесс со стационарными приращениями и в тех случаях, когда зто допустимо, распространять асимптотический вид структурных функций, известный лишь при малых т, на весь интервал значений т. [c.36]

Для действительных процессов со стационарными приращениями в случае = onst [c.529]

В этом случае не будут меняться при одновременном произвольном сдвиге всей группы точек t , 2.....tin вдоль оси времени. Случайные процессы u t), удовлетворяющие последнему условию, сравнительно часто встречаются в прикладных задачах (в том числе и во многих задачах теории турбулентности) следуя Колмогорову (1940а), мы будем называть их процессами со стационарными приращениями. [c.74]

В тех случаях, когда предположение о линейности закона изменения осредненных характеристик течения представляется недостаточно точным, можно пользоваться математической теорией случайных процессов со стационарными приращениями высшего порядка (см., например, Яглом (1955) или Гельфанд и Виленкин (1961)). Мы здесь, однако, на этом не будем останавливаться, поскольку в дальнейшем такие процессы нам нигде не понадобятся. [c.76]

Спектральная теория локально однородных полей, родственная спектральной теории процессов со стационарными приращениями, была развита в работе Яглома (1957) (см. также Гельфанд и Виленкин (1961)). Основную роль в этой теории играет доказательство [c.86]

Аналогично тому, как это делалось при рассмотрении процессов со стационарными приращениями, мы с самого начала предполагаем, что существует спектральная плотность поля и (х) (для чего достаточно, чтобы коэффициент корреляции между приращениями Д ы(Х1) и и(х- -х ) разлагался в интеграл Фурье по х, т. е. достаточно быстро стремился к нулю при 1XI -> со). Из этого предположения, в част юсти. вытекает, что точка А = О пространства волновых векторов не может являться точкой дискретного спектра, т. е. не вносит в значения и (х) конечнрго вклада. В противном же случае правую часть (13.38) надо быдо бы еще дополнить слагаемым щх, где 1 — постоянный вектор (ср. первую сноску иа стр. 80). [c.87]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...