Стокса нулевое

В соответствии с парадоксом Стокса задача об обтекании равномерным на бесконечности потоком пластинки конечной длины при нулевом числе Рейнольдса не имеет аналитического всюду решения. Корректная постановка задачи об обтекании полубесконечной пластинки при том же условии на бесконечности не известна. [c.217]

Рассматриваемый тип движения газовых пузырьков в жидкости соответствует области 2 рис. 5.6. В этой области строгий анализ требует, вообще говоря, решения полного уравнения Навье—Стокса (1.4г) или (1.4д). Однако интерпретация границы сферического пузырька как свободной поверхности жидкости с нулевым касательным напряжением на ней позволяет использовать следующий приближенный подход. При обтекании газового пузырька чистой (без поверхностно-активных веществ) жидкостью, как уже отмечалось, практически отсутствует зона отрыва потока от поверхности раздела фаз (в отличие от обтекания твердой сферы, которое при Re > 1 сопровождается отрывом потока практически сразу за ее миделе-вым сечением). В силу этого вихревое движение локализуется в весьма тонком пограничном слое на поверхности обтекаемого пузырька и в следе за пузырьком. Во всей остальной области течение может рассматриваться как потенциальное. Толщина пограничного слоя 5 на границе пузырька радиуса а по порядку величины должна [c.216]

В отличие от уравнений Эйлера уравнения Навье — Стокса (2.50) описывают движение не идеальной, а реальной вязкой жидкости, характер движения которой наиболее заметно меняется вблизи обтекаемых твердых поверхностей. Теперь на твердых стенках, находящихся в покое, не только нормальные, но и касательные составляющие скорости потока с должны быть равны нулю. Условие нулевой скорости жидкости на стенках канала или поверхностях обтекаемых тел вытекает из гипотезы прилипания , согласно которой при соприкосновении вязкой жидкости с неподвижными стенками непосредственно на них частицы жидкости имеют нулевую скорость. Опыты показывают, что эта гипотеза хорошо соответствует действительности и нарушается только при обтекании твердых поверхностей сильно разреженными газами. [c.145]

В случае когда скорость должна обращаться в нуль на бесконечности, мы должны ограничиться рассмотрением гармонических функций только отрицательного порядка. Задача об определении поля скорости, которое не исчезает на бесконечности, а обращается в V = V x) (г, 0, ф), всегда может быть сведена к предыдущей задаче с нулевой скоростью на бесконечности, когда это заданное поле удовлетворяет уравнениям Стокса и неразрывности. [c.83]

В результате такого предельного перехода уравнения Навье — Стокса, составленные для всех подобластей, упрощаются, принимая тот или другой, зависящий от специфических особенностей движения в данной подобласти вид (уравнения Эйлера, уравнения Прандтля, уравнения медленного вязкого движения). Решения таких упрощенных уравнений, найденные для каждых двух смежных областей, сшиваются друг с другом. Наглядным примером может служить классическая теория пограничного слоя Прандтля. Предельный переход Ре —оо, что соответствует исчезновению вязкости (V 0), превращает уравнения Навье — Стокса в уравнения Эйлера. Но уравнения Эйлера не допускают интегрирования при граничных условиях, соответствующих прилипанию среды к поверхности твердого тела (нулевая относительная скорость на твердой поверхности). [c.701]

Указанные явления отчетливо наблюдались в экспериментах [48]. Импульсы накачки с длительностью 30 пс и пиковой мощностью 300 Вт перестраивались по частоте в диапазоне 1,17—1,35 мкм. При длине волны накачки Х ==1,2б мкм на выходе волоконного световода (L==250 м) регистрировались стоксовы импульсы со сдвигом частоты 450 см 1, соответствующим центру линии усиления. По мере отстройки от длины волны, соответствующей нулевой дисперсии групповой скорости, величина стоксова сдвига уменьшалась (рис. 3.15). В экспериментах [49] измерения производились при фиксированной длине волны ь = 1,32 мкм, варьируемым параметром была длина световода, а регистрируемым — стоксов сдвиг частоты, который уменьшался с увеличением длины световода. [c.139]

Последняя формула показывает, что первое слагаемое правой части получается из второго дифференцированием по времени t и заменой фо на фо. Стокс доказал, что такая же связь существует и в общем случае между составляющими свободных колебаний, которые зависят от начальных смещений системы, и составляющими, которые зависят от начальных скоростей. Это означает, что для рассматриваемой линейной задачи достаточно построить решение, соответствующее заданным начальным скоростям и нулевым смещениям, чтобы получить общее решение. [c.278]

Итак, мы пришли к основному вопросу всюду ли абсолютно справедлива линеаризация около максвелловского распределения с нулевой массовой скоростью относительно тела. Очевидно что ответ отрицательный, поскольку при достаточном удалении от тела отброшенные квадратичные члены не малы по сравнению с пространственными производными в уравнении Больцмана-Положение точно такое же, как и в классических течениях Стокса, ибо при кинетическом описании единственное отличие состоит в наличии кинетического слоя (который может быть очень большим, но всегда конечен). Толщина этого кинетического, или кнудсеновского, слоя примерно равна средней длине свободного пробега вблизи тела (г < г , где I — средняя длина сво- [c.162]

Отметим, что это приближение нулевого порядка точнее решения уравнений сплошной среды (даже если для уравнений сплошной среды использовать граничные условия со скольжением). В самом деле, даже в нулевом приближении 1) кинетические пограничные -слои суш ествуют вблизи стенок, 2) в основной части потока массовая скорость удовлетворяет уравнению количества движения Навье — Стокса, но соответствуюш ие граничные условия на стенке, полученные экстраполяцией, пе являются обычными условиями скольжения, а содержат в себе члены второго порядка [c.189]

Третья задача связи (ударный слой) должна привести к вычислению поправки к классическим соотношениям Рэнкина — Гюгонио, необходимой для того, чтобы вычисления на континуальном уровне давали те же самые результаты, что и решение уравнения Больцмана вдали от ударного слоя. Та же необходимость возникает в теории Навье — Стокса [40], когда требуется учесть взаимодействие между ударным и пограничным слоями. Несмотря на то что уравнения Навье — Стокса дают гладкую структуру ударной волны, они должны допускать разрывы, чтобы описать кинетические эффекты. Для разложения Гильберта кинетическое решение задачи связи трудно уже в нулевом приближении (задача о структуре скачка см. разд. 6 гл. VII), но условия сращивания тривиальны (соотношения Рэнкина — Гюгонио) аналогичная задача для теории Чепмена — Энскога (или модифицированного разложения, рассмотренного в разд. 4) пока еще не сформулирована. [c.291]

Теперь обычно заявляют, что подобные парадоксы возникают из-за отличия реальных жидкостей, имеющих малую, но конечную вязкость, от идеальных жидкостей, имеющих нулевую вязкость ). Из этого, по существу, следует, что утверждение Лагранжа (см. прим. 2 на стр. 16) можно подправить, поставив Навье — Стокс вместо Эйлер . [c.17]

В численных расчетах предполагалось, что zq = 2 7 = 1,4 а = 0,71 д о = 0,5 и а = 0 0,3. На рис. 5.32 представлены результаты расчета давления вдоль оси симметрии крыла (z = 0). Значения р са = —0,3 соответствуют распределению давления на верхней поверхности крыла (кривая 3), а с а = 0,3 — на нижней (кривая 1). Кривая 2 (а = 0) соответствует обтеканию крыла при нулевом угле атаки. Как и следовало ожидать, значения давления на наветренной поверхности крыла значительно больше, чем на подветренной так, при ж = 0,5 давление на нижней стороне почти в 2 раза больше, чем на верхней, что качественно совпадает с результатами решения уравнений Навье-Стокса [Дудин Г.Н., 1988]. Как показали численные расчеты, изменение величины давления на задней кромке оказывает влияние на течение вверх по потоку примерно на 30+40% хорды крыла. Таким образом, на поверхности крыла от вершины до значений продольной координаты ж = 0,6 распределение давления зависит только от угла атаки (а также величин zq, 7, а и д ), но не зависит от распределения давления, заданного на задней кромке, если это заданное давление не слишком велико, чтобы вызвать отрыв пограничного слоя на крыле. [c.239]

Течения в суживающемся и расширяющемся каналах. Дальнейший класс Т очных решений уравнений Навье — Стокса получается следующим образом. Предположим, что в плоском течении все лучи, проходящие через некоторую точку, являются линиями тока. Пусть, далее, скорость течения на отдельных лучах различная, т. е. изме-ляется вместе с полярным углом ф. Те лучи, на которых скорость равна нулю, могут рассматриваться как стенки суживающегося или расширяющегося канала. Уравнение неразрывности выполняется, если скорость на каждом луче изменяется обратно пропорционально расстоянию от нулевой точки. Следовательно, радиальная скорость и должна удовлетворять соотношению [c.106]

Покажем, что решение уравнений Прандтля представляет первое приближение в асимптотическом (при больших Re) разложении решения уравнений Стокса по степеням ранее указанного [формула (9)] малого параметра е= l/l/Re. Мы называем это приближение первым , хотя оно выражается членом асимптотического ряда, содержащим малый параметр е в нулевой степени. [c.566]

Реализация указанной профаммы дает решение для р (а следовательно, выраженные через микроскопические величины коэффициенты вязкости щ и 772, диффузии В, теплопроводности х), приводит к уравнениям гидродинамики (в нулевом приближении — к уравнениям идеальной жидкости Эйлера, в первом — к уравнениям вязкой жидкости Навье—Стокса), т. е. все, что необходимо для дальнейшего уже макроскопического описания системы в рамках задач математической физики с начальными, фаничными и т. п. условиями. [c.329]

Ответ на вопрос о направлении подхода разделяющей линии тока к обтекаемому контуру лежит вне возможностей численного решения задач. В то же время расчеты течений вязкой жидкости создают представление о различных возможностях. Так, например, на рисунках работы [1] разделяющие линии тока подходят к контуру жесткой стенки либо по касательной, либо под малым углом. Интегрирование уравнений Навье - Стокса в [1] проведено на сетках, адаптированных к модулю градиента искомой функции, и выполнено с точностью, обеспечивающей правильность рисунков. В статье [2] по той же разностной схеме, что и в [1], получен подход разделяющих линий тока к стенке под конечным углом, отличным от нулевого. Неясность с точным значением такого угла всегда вызывает у авторов расчетов сомнения при вычерчивании иллюстраций. [c.76]

Гиперболическое приближение для внешних течений. Построим гиперболическое приближение уравнений Навье-Стокса для внешних течений. Будем рассматривать стационарное течение вязкого, теплопроводного совершенного газа в ударном слое у гладкого осесимметричного или плоского затупленного тела, обтекаемого под нулевым углом атаки. Возьмем в качестве исходной систему уравнений полного вязкого ударного слоя [33], которая при умеренных и больших числах Рейнольдса дает описание течения, близкое к описанию с помощью уравнений Навье-Стокса [34, 351. В криволинейных координатах Т) она имеет вид [c.36]

Модель щелевого пробоотборника для нулевого угла между направлениями ветрового потока и скорости аспирации в приближениях потенциального безотрывного и отрывного течений несжимаемой жидкости рассмотрена в [2,4—6]. В [2,4] вычисление коэффициента аспирации основано на приближенном решении уравнений движения частиц, пригодном при больших или малых числах Стокса. Коэффициент аспирации численным интегрированием уравнений движения частиц в поле течения несущей среды в рамках модели отрывного обтекания определен в [5, 6]. При аспирации аэрозольных частиц из движущейся воздушной среды ось пробоотборника может занимать различные положения относительно направления ветрового потока, в том числе и такое, когда скорость аспирации направлена противоположно движению газа. Коэффициент аспирации в тонкостенную трубку при таком положении пробоотборника в приближении вязкого газа исследован в [7]. [c.108]

Выражения, аналогичные (1-36) — (1-41), можно получить и для проекций на оси у и г. Эта система уравнений при нулевой концентрации твердых частиц превратится в и звесгные уравнения движения Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости. [c.40]

При обтекании вязкой жидкостью неподвижных твердых поверхностей распределение скоростей всегда неравномерное, так как помимо вытесняющего влияния на жидкость твердая поверхность оказывает еще тормозящее действие, являющееся следствием прилипания к ней жидких частиц. При малых числах Рейнольдса переход от нулевых скоростей на стенке к их конечным значениям может происходить постепенно так, что область тормозящего влияния стенки оказывается сравнимой со всей областью течения. Рассчитать такое течение можно, используя полные уравнения Навье—Стокса (или уравнения Рейнольдса, если поток турбулентный), решение которых является непростой задачей. Однако при больших числах Рейнольдса течение приобретает некоторые особенности, позволяющие эту задачу упростить. Так, по мере возрастания Re область вблизи стенки, где происходит интенсивное нарастание скоростей, становится все более узкой в этой области сосредоточивается основное влияние вязкости в ней локализуется интенсивное вихреобразование, а за ее пределами поток оказывается слабозавихренным и может приближенно считаться потенциальным. [c.325]

В.В. Струминским [80, 81]. В нулевом приближении решение этой системы уравнений аппроксимируется одномерным уравнением Бюргерса. Турбулентная модель Бюргерса изучалась аналитическими методами в [82]. Линеаризованные уравнения Навье-Стокса с аппроксимацией пульсационного движения у стенки моногармоническим колебанием решены в [83]. Турбулентные решения линеаризованных уравнений Павье-Стокса найдены в [84]. Уравнения пульсаций скорости и давления применялись в расчете турбулентных течений в областях с крупными локальными вихрями [85]. [c.37]

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Хотя его и можно использовать для оправдания закона Стокса, но нельзя непосредственно применить для получения поправки первого порядка к этому закону того же типа, что и в уравнении (2.6.5). Если обозначить решение уравнения Озеена через (vq, Ро), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмуш,ений типа Уайтхеда, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда — Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это — внутреннее и внешнее решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости. [c.63]

Из-за сложности аргументов, лежащих в основе метода, все еще оказывается невозможным точно установить область применимости этой асимптотической формулы. Совпадение с формулой Озее-на (2.6.5) до членов порядка О (iVRe) случайно. Причина этого состоит, как было показано, в том, что теория Озеена сама по себе недостаточна для вывода формулы сопротивления с точностью до членов выше нулевого порядка по числу Рейнольдса, т. е. для уточнения закона Стокса. [c.64]

Начиная с поля нулевого порядка, каждое поле более высокого порядка можно последовательно получить путем удовлетворения соответствующим граничным условиям на поверхности недефор-мированной сферы. Так как для осуществления этой программы развиты общие методы (разд. 3.2), задача может быть в принципе решена вплоть до любого порядка по е, но на практике, конечно, число алгебраических операций резко возрастает. Мы ограничимся поэтому вычислением только поправки первого порядка к закону Стокса. Более того, здесь не делается попытка обоснования предложенного метода возмущений. Вопросы сходимости также слишком сложны, чтобы быть исследованными здесь. [c.243]

Рассматриваемое в предыдущем разделе приближение нулевого порядка можно трактовать как аналог закона Стокса по отношению к степени взаимодействия частиц. При седиментации однородной суспензии результат для перепада давления или диссипации энергии, вызванных только силами сопротивления, оказывается одинаковым независимо от того, мала или велика по сравнению с единицей величина allf Rja), В случае сдвигового течения, по-видимому, уже невозможно получить одни и те же результаты для этих двух предельных значений отношения поверхности частиц к площади стенок. Эта неопределенность, касающаяся поведения сферы в сдвиговом течении с произвольными границами, порождает сомнения относительно дальнейших обобщений метода Эйнштейна на более концентрированные системы. [c.512]

Точное численное решение задачи для БГК-модели было получено Лииманом и др. [43] на основе интегральной формы уравнений. Они пришли к трем интегральным уравнениям для трех макроскопических величин р, V, Т. Эти уравнения решались методом последовательных приближений с решением Навье —Стокса в качестве нулевого приближения. БГК-реше-ние не дает отмеченного выше максимума температурной кривой, а профили плотности и скорости значительно менее анти- [c.417]

Практика точного численного интегрирования полных (без линеаризации путем откидывания илл упрощения формы конвективных членов) уравнений Стокса на ЭВЦМ подтвердила уже давно обнаруженный экспериментальный факт, заключающийся в том, что с ростом рейнольдсова числа область изменения продольной компоненты- скорости потока от нулевого ее значения на стенке ( прилипание вязкой жидкости к твердой поверхности) до некоторого конечного значения в удалении от стенки уменьшается по своему поперечному к потоку размеру. В этой весьма тонкой при больших рейнольдсовых числах пристеночной области, носящей наименование пограничного слоя , сосредотачивае тся главная часть изменения скорости, а вне этой области —во внешнем потоке — остаются лишь сравнительно слабые количественные различия между продольнр>1ми скоростями в отдельных точках потока. [c.556]

Изучение движения вязкой жидкости в области пограничного слоя основывается, как уже упоминалось, на интегрировании уравнений пограничного слоя, представляющих уравнения Стокса, существенно упрощенные за счет принятия в расчет малости толщины пограничного слоя. Решение этих, носящих имя своего создателя Л. Прандтля ) уравнений, как будет показано в следующем параграфе, представляется первым членом разложения решения уравнения Стокса в ряд по степеням малого безразмерного параметра — отношения масштаба толщины пограничного слоя к характерному для потока в целом масштабу обтекаемого тела (например, хорде крыла) — имеющего порядок обратной величины корня квадратного из рейнольдсового числа. Этот первый член содержит малый параметр в нулевой степени, поэтому уравнения пограничного слоя можно рассматривать как нулевое приближение в асимптотическом (при больших рейнольдсовых числах) разложении болееобщих уравнений движеиия вязкой жидкости — уравнений Стокса. [c.557]

Получено асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, описывающее влияние тонкого продольного вихря постоянной циркуляции на развитие двумерного стационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской пластине. Установлено, что в узкой области на поверхности пластины, вытянутой вдоль вихревой нити, вязкое течение описывается уравнениями трехмерного пограничного слоя. Изучено решение этих уравнений при малых значениях циркуляции вихревой нити. Обнаружен коллапс решения уравнений двумерного предотрывного пограничного слоя, вызванный сингулярным поведением трехмерных возмущений вблизи точек нулевого продольного трения. [c.97]

Особое место в многообразии течений со взаимодействием занимает теория кромочного (marginal) отрыва, созданная при анализе пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля, установленного под углом атаки [2]. Обнаружено критическое значение угла атаки, при котором градиент давления неблагоприятен, а напряжение трения на поверхности тела обращается в нуль лишь в одной точке, оставаясь во всех остальных положительным. Решение уравнений пограничного слоя имеет в этой точке слабую особенность, но является продолжимым через нее вниз по потоку. Как было показано в [3, 4], в окрестности точки нулевого трения вследствие реакщ1и внешнего потенциального потока на сингулярное поведение в ней гидродинамических функций формируется область взаимодействия пограничного слоя с внешним течением протяженностью Аде = 0(Re ), где Re - характерное число Рейнольдса. При этом задачу о взаимодействии удается свести к нелинейному интегродифференциальному уравнению относительно поверхностного трения Л(лг). Численное решение уравнения выявило два важнейших его свойства несуществование решений при превышении критического угла атаки и неединственность [4-6]. Теория кромочного отрыва, объяснившая структуру решения уравнений Навье-Стокса вблизи точки бифуркации по параметру, инициировала исследование целого ряда схожих физических задач. [c.97]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...