Неустойчивость стохастическая

Таким образом, основное отличие многомерных динамических систем от двумерных состоит в появлении у них нового типа установившихся движений, движений очень сложных, неустойчивых по Ляпунову и имеющих стохастический характер. Можно, не вдаваясь в тонкую структуру этих движений, говорить об их возникновении, переходе друг в друга и в другие более простые установившиеся движения так же, как об этом говорилось ранее. При этом их области притяжения трансформируются непрерывно при мягких переходах и скачком при жестких. Сложным установившимся движениям можно дать при достаточно грубом подходе приближенные стохастические описания в виде некоторых марковских процессов. [c.377]

Этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от учета членов разложения в ряд Фурье по малому параметру правых частей уравнений (5.5). В дальнейшем ограничимся, как уже отмечалось, первым приближением, что соответствует исследованию основного резонанса и позволит определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмуш,ений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой вывод является вполне оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмуш,ениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений % и г[ значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превосходит (но не превосходит величины /Ро), то возможно применение стохастических методов на основе замены реального процесса возмуш,ений % и if] эквивалентными S-коррелированными и использование аппарата процессов Маркова и уравнения ФПК [81 ]. Стохастические методы, связанные с использованием процессов Маркова, могут быть использованы при любом времени корреляции, если уменьшать интенсивность флюктуаций возмущений, оставляя скорость ее изменения постоянной. В этом случае время релаксации амплитуды и фазы будет увеличиваться и условие < Тр будет выполненным. [c.201]

Следует отметить, что этот метод позволяет исследовать параметрический резонанс любого порядка в зависимости от числа учитываемых членов разложения по малому параметру. Для упрощения выкладок в настоящей работе принято первое приближение (6.3), которое позволяет исследовать основной резонанс и определить нижнюю границу динамической неустойчивости исследуемой системы. Так как при широкополосном спектре возмущений избежать возникновения основного параметрического резонанса невозможно, то такой подход является оправданным, а резонансы более высокого порядка для системы со случайными возмущениями в известной степени теряют смысл. Считаем, что время корреляции возмущений Xf, t) и y t) значительно меньше времени релаксации Тр амплитуды или фазы системы. Если время наблюдения за системой значительно превышает (но не превышает величины l/Po)i то можно применить стохастические методы на основе замены реального процесса возмущений x t) и г/о (О [c.233]

Следует отметить, что области устойчивости по среднему скорости амплитуды (6.67) и дисперсии (6.60) совпадают. На границе неустойчивости (6.66), (6.67) дисперсия стремится к бесконечности со скоростью, равной v . В работе [81 ] для при Sg (2Q) = О получено значение в 1,5 раза меньше значения, полученного по выражению (6.64). Расхождение в результате объясняется тем, что в [81 ] исследуется среднее значение логарифма скорости амплитуды. Для р. = О в уравнении (6.56) методом стохастических функций Ляпунова получено = 2а [94], а из результатов работы (56 ] следует = 2,5а . В более общем случае, используя методику, приведенную выше и в работе [59], можно показать, что граница области абсолютной устойчивости (о понятии абсолютной стохастической устойчивости см. работу [14]) по первым двум моментам удовлетворяет характеристическому уравнению [c.252]

Таким образом, при отсутствии внешних возмущений флюктуации стохастической нелинейности (нелинейного затухания) делают систему неустойчивой. [c.254]

Если двухкомпонентная система (15) колебательно неустойчива, то при D = 0 в ней могут возникать простые автоколебания. При D t0 могут появляться более сложные нестационарные режимы — вплоть до стохастических. Поскольку происхождение этих режимов связано с диффузией, их наз. диффузионным хаосом. [c.256]

Общая характеристика метода. Классический метод функций Ляпунова используют для получения строгих достаточных (иногда необходимых и достаточных) условий устойчивости и неустойчивости. В основе метода лежит идея построения таких функций, по знаку производных которых вдоль фазовых траекторий можно судить об устойчивости невозмущенного движения. Если система является стохастической, то необходимо исследовать поведение всего множества реализаций, смежных с невозмущенным движением [56, 142]. [c.301]

Для анализа случайных колебаний нелинейных стохастических систем важную роль играет стационарная плотность распределения амплитуды, получающаяся из совместной плотности распределения амплитуды и фазы интегрированием по фазе О. Стационарным точкам этой плотности соответствуют устойчивые или неустойчивые амплитуды случайных колебаний в зависимости от достижения в этой точке соответственно [c.137]

Таким образом, формирование дислокационных субструктур с ростом ПД, по-видимому, является неравновесным стохастическим процессом. При переходе от одного типа субструктур к другому на стадии структурной неустойчивости важны оценки флуктуаций плотности дислокаций, характеризующие области неоднородности субструктуры. Считая места структурной неоднородности (области локализации ПД) источником изменения типа субструктур [150, 151], в работах [150, 153] в качестве меры склонности к структурным перестройкам введен коэффициент вариации плотности дислокаций К. Как известно, в общем случае он определяется отношением стандартного отклонения параметра к его среднему значению. [c.92]

Если внешние нагрузки являются случайными функциями времени, то задача об устойчивости движения системы приобретает особый смысл по сравнению со случаем регулярных воздействий. Допустим, что внешние силы представляют собой гауссовские случайные процессы. Тогда обобщенные координаты и скорости системы будут иметь распределения в неограниченной области своих значений независимо от устойчивости или неустойчивости исследуемых режимов. Строго говоря, задача об устойчивости движения по Ляпунову вырождается. Тем не менее аппарат теории устойчивости может быть эффективно использован в стохастических задачах. Исследование устойчивости при этом, по существу, трансформируется в изучение свойств распределений, которые будут иметь качественно различный характер для разных областей пространства параметров. [c.135]

Как следует из проведенного анализа, среди неоднозначных ветвей решения нелинейной стохастической задачи появляются неустойчивые стационарные режимы. При этом наряду с аналитическим исследованием для определения устойчивости можно использовать известные топологические правила теории бифуркаций. [c.157]

Задача об устойчивости (неустойчивости) тривиального решения стохастических уравнений (5.94) сведена, таким образом, к исследованию поведения во времени детерминированных функций (pj ( ) и % (со, /), удовлетворяющих системе (5.97), (5.99). Характер частных решений этой системы определяется структурой характеристических показателей. Решение становится неустойчивым, если вещественная часть какого-либо характеристического показателя становится положительной. [c.164]

Заметим в заключение, что условие неустойчивости колебаний массы (6.85) аналогично условию неустойчиво сти в системе, описываемой стохастическим аналогом уравнения Матье [c.281]

Однако роль неустойчивых движений в действительности значительно шире. Оказалось (и это было неожиданностью), что именно неустойчивые движения порождают турбулентность и сложные хаотические и стохастические движения динамических систем. Тем самым два основных вида, две основные тенденции эволюционирования — синхронизация (включая равновесие) и стохастичность — представляют собой пе что иное, как проявления устойчивости и неустойчивости. [c.44]

Приведенные примеры можно продолжить им полностью посвящена последняя глава. А сейчас постараемся дать общий ответ, в чем причина стохастического поведения рассмотренных систем, каковы основные общие условия его возникновения. Как уже отмечалось, при устойчивости генерация стохастичности невозможна. Это обусловлено тем, что при устойчивости установившимися движениями могут быть только устойчивые состояния равновесия и устойчивые периодические движения. В этих случаях даже при случайности начального условия в дальнейшем со временем случайность исчезает, так как плотность вероятностей в пределе при оо обращается в нуль всюду вне состояния равновесия или вне замкнутой кривой, отвечающей периодическому движению. В случае периодического движения некоторый след от случайности начального условия все же остается в виде случайности фазы периодических колебаний. Но при этом вероятностное описание этой фазы зависит от распределения вероятностей начального условия и им определяется. Таким образом, для генерации стохастичности необходима локальная неустойчивость при общей ограниченности движений, лри некотором глобальном сжатии или, во всяком случае, отсутствии расширения. [c.73]

В настоящей главе рассказывается о простейших установившихся движениях — состояниях равновесия и периодических движениях. Излагается классификация состояний равновесия и периодических движений, устанавливаются и исследуются основные типы их бифуркации. Рассматриваются не только устойчивые состояния равновесия и периодические движения, но и неустойчивые седловые состояний равновесия и периодические движения. Если первые играют роль основных простейших установившихся движений, то вторые играют определяющую роль в формировании границ их областей притяжения и в формировании хаотических и стохастических движений, а также всего фазового портрета динамической системы. [c.93]

Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227]

Исследование стохастической устойчивости (неустойчивости) решений системы (10.25), (10.26) относительно малых случайных возмущений начнем с напоминания некоторых основных понятий. [c.314]

Асимптотическая устойчивость и стохастическая неустойчивость. Рассматривается невозмущенная детерминированная кинетическая система (10.25), (10.26) [c.314]

Примечание. Система Лоренца была получена при составлении математической модели конвективного движения в подогреваемом слое жидкости. Вопрос адекватности такой модели конвективного движения не является предметом нашего обсуждения, но также может быть рассмотрен с позиций предлагаемого подхода. Большой объём исследований, посвящённых системе (1), сделал её по сути классическим математическим объектом (см., например, [59, 73]) среди решений этой системы есть отвечающие устойчивым и неустойчивым положениям равновесия, регулярные колебания и хаотические движения с широким сплошным спектром, стохастические колебания. К уравнениям Лоренца при некоторых предположениях исследователи сводят (см., например, [73]) уравнения для медленных амплитуд напряжённости поля, поляризации и разности населённостей в лазерах и мазерах, уравнения генераторов с нелинейностью. Исследуются различные комплексные формы уравнений Лоренца и т. д. [c.199]

Действительно, вид траектории зависит от энергии Е как от параметра. Зафиксируем типичный цикл , соответствующий энергии Е, и возмутим теперь в нем паралхетр Е на малую величину АЕ. Поскольку типичному циклу соответствует, как уже отмечалось, некоторое типичное время цикла т, то возникает следующий вопрос как прп сколь угодно малых возмущениях параметра траектории (АЕ -> 0) получить на конечном интервале времени ( т) конечное изменение действия >2я Ясно,, например, что это невозмоншо в случае устойчивых траекторий, так как изменение действия Д5 прп переходе от значения энергии Е Е + АЕ должно стремиться к нулю при АЕ О и никаким образом нельзя удовлетворить неравенству (5.5). Существенную роль в устойчивом (не стохастическом) случае играет также то обстоятельство, что время цикла т(Е) однозначно определено. Уже из приведенных рассуждений ясно, почему расталкивание уровней должно быть сильнее в устойчивом случае (т. е. при существовании полного набора интегралов движения), чем в неустойчивом (стохастическом) случае, где время циклов т( ) распределено случайным образом (см. формулу (5.1)) и, кроме типичных циклов с типичным временем возврата т, есть любые нетипичные циклы с произвольными % Е). Поэтому чем сильнее неустойчивость траектории относительно малых возмущений ее параметров, тем слабее расталкивание уровней. [c.227]

Притягивающие гомоклинические структуры и стохастические колебания. Перейдем теперь к описанию возможных общих механизмов самогенерирования стохастичности динамической системой. Они связаны с появлением в фазовом пространстве динамической системы гомоклини-ческих структур, появление которых так же, как и возникновение автоколебаний и многопериодических колебаний, вызвано возникновением в системе неустойчивости [24, 25, 42]. [c.331]

Притягивающее множество неустойчивых траекторий в пространстве состояний диссипативной системы действительно может существовать Е. Lorenz, 1963) его принято называть стохастическим, или странным аттрактором ). [c.164]

Аналитическое исследование параметров кестационарных турбулентных пульсаций потока во входных патрубках насосов, зависящих в первую очередь от внутренней геометрии патрубка, проведем, пренебрегая зависимостью этих параметров от числа Rey усредненного потока и неустойчивости режима. Стохастические модели, описывающие зависимости параметров нестационарных пульсаций от геометрических факторов, приведены в табл. 1, [c.104]

Устойчивые и неустойчивые сепаратрисы равновесия и (пли) периодич. движений могут пересекаться. Траектории, принадлежащие пересечению устойчивых и неустойчивых сепаратрис разных периодич. движений, наз. гетероклиническими. Траектория, принадлежащая пересечению устойчивой и неустойчивой сепаратрис периодич. движения L (и отличная от L), наз. гомоклинической. Как правило, в её окрестности имеется бесконечное множество разнообразных траекторий, среди к рых содержится счётное множество седловых периодич. движений. Наличие гомоклинич. траекторий может служить критерием существования сложных режимов в Д. с. (см. Стохастические колебания, Странный аттрактор), а также яв- [c.627]

В ходе эволюции динамич. системы, обладающей аттрактором, объём фазовой капли неограниченно уменьшается—капля сжимается к аттрактору. Однако сам аттрактор, имея нулевую меру в исходном фазовом пространстве, может оказаться нетривиальным множеством, движение на к-ром является стохастическим. Это значит, что 1) на таком аттракторе движение является локально неустойчивым и для него может быть введена К-энтропия и 2) это движение обладает свойствами эргодичности и перемешивания. Аттрактор, на к-ром реализуется стохастич. динамика, наз. стохастическим или странным аттрактором. Последний термин предложен Д. Рюэ-лем и Ф, Таксисом (D. Ruelle, F. Takens). [c.401]

Из представленного анализа можно сделать вывод, что закономерности образования в процессе ПД низкоэнергетических субструктур следует рассматривать как с позиций их организации при достижении критической плотности дислокаций, так и с точки зрения самоорганизации диссипативных структур в точках бифуркационной неустойчивости системы. В первом случае движущей сщюй процесса является стремление системы в виде пластически деформируемого твердого тела к локальному минимуму свободной энергии. При этом для большого числа сплавов, независимо от внутреннего строения их кристаллической решетки и внешних условий нагружения [137, 139], последовательность образующихся субструктур дефектов практически детерминирована (см. рис. 68). Во втором случае процесс образования той или иной доминирующей диссипативной структуры контролируется стремлением системы к минимуму производства энтропии. При этом особо важную роль в областях бифуркационной неустойчивости системы приобретают внутренние термодинамические флуктуации и внешние шумы, обусловливающие стохастические эффекты [16]. [c.101]

Вопрос об устойчивости или неустойчивости стационарного случайного процесса и (t) решается в зависимости от характера корней уравнения (5.65). Корням с положительными вещественными частями в пространстве оригиналов ср (со, t) соответствуют неограниченно возрастающие частные решения. Исследование стохастической устойчивости приводит, таким образом, к классической процедуре Раусса—Гурвица — проверке знаков определителей [c.156]

Далее рассмотрим нелинейные уравнения (5.93), описывающие смещения панели, сопоставимые с ее толщиной. Приближенные решения нелинейных стохастических задач могут приводить к неоднозначным зависимостям для статистических характеристик, особенно при узкополосных случайных воздействиях. Среди неоднозначных решений необходимо выделить ветви, соответствующие устойчивым и неустойчивым режимам. Эта задача решается на основе уравнений в вариациях, составленных по отношению к исходным нелинейным уравнениям. Проиллюстрируем этот под-ход на примере одночленного приближения в смысле метода Га-леркина. [c.166]

При ссставлении композиций по предлагаемому методу следует учитывать, что некоторые из условных решений могут оказаться неустойчивыми з стохастическом смысле. Эти решения соответствуют подмножествам, компоненты которых не могут быть реализованы физически. Соответствующие им вероятности гипотез aj должны быть равны нулю. [c.205]

В 6.3.3 было отмечено, что колебания массы, равномерно движущейся по периодически-неоднородной упругой системе, эквивалентны колебаниям данной массы на пружине с периодически изменяющейся во времени жесткостью. Очевидно, что эквивалентной моделью, описывающей колебания массы при ее движении по случайнонеоднородной направляющей, является масса на пружине, жесткость которой изменяется во времени случайным образом. Как известно 6.1,6.4], колебания массы на такой пружине могут быть неустойчивы вследствие стохастического параметрического резонанса. Следовательно, зоны неустойчивости должны существовать и в пространстве параметров системы движущаяся масса-случайно-неоднородная направляющая. [c.276]

Первая возможность приводит к устойчивым состояниям равновесия и устойчивым периодическим движениям, вторая — к стохастическим движениям, первая к порядку, вторая — к хаосу. Таким образом, две осповные, повсеместно наблюдаемые тенденции в эволюционировании — порядок и хаос, соответствуют двум общим возможностям 1говедения фазовых траекторий с одной стороны, общему сжатию и локальной устойчивости и общему сжатию и локальной неустойчивости — с другой стороны. [c.45]

В предыдущей главе были рассмотрены простейшие тпповыв ситуации, приводящие к существованию сложных нетривиальных сеДловых инвариантных множеств /. Если такое сложное инвариаптное множество / еще и притягивающее, то оно — странный аттрактор, обладающий свойством локальной неустойчивости, по устойчивый в целом. Наряду с таким статическим изучением сложных седловых множеств / представляют интерес и исследования, выясняющие, как они возникают в динамике — при изменении параметров. Сочетание статического и динамического подходов позволяет не только полнее исследовать стохастические и хаотические движешя, но во многих случаях облегчает их обнаружение и изучение. [c.162]

Физическая точка зрения исходит из анализа причин возникновения локальной неустойчивости, ведущих к нарастанию колебаний, и причин, которые могут затормозить это нарастание и привести в конечном счете к эффекту глобального сжатия. Специфика условий возникновения хаотических и стохастических колебаний, в отличие от условий возникновения периодических колебаний, состоит в различии механизмов глобального сжатия. Для периодических автоколебаний — это плавное ограничение колебаний, а для хаотических автоколебаний — относительно резкий их сброс или переходы на другие режимы движепия. Причины же неустойчивости могут быть одни и те же в случае возникновения как периодических, так и стохастических колебаний. [c.162]

При отделении от состояния равновесия О" ° устойчивого периодического движенин или устойчивых состояний равповесия происходит мягкий переход от прежнего установившегося движения (состояния равновесия) к новым установившимся движениям (устойчивому периодическому движению или одному из устойчивых состояний равповесия). Напротив, при слиянии с состоянием равповесия О" неустойчивого периодического движепия, неустойчивого равповесия или равновесий переход к новому установившемуся движению носит жесткий характер. К какому именно новому установившемуся движению происходит жесткий переход, локальная теория бифуркаций не указывает. Это может быть равновесие, периодическое, хаотическое или стохастическое автоколебание. Это может быть и уход в бесконечность. Отметим, что общими являются только бифуркации 1 и 3, бифуркация 2 является общей только при часто встречающейся симметрии динамической системы. Подчеркнем, что все эти бифуркации были уже рассмотрены в гл. 5. Теперь они собраны вместе и представлены на дереве возможных бифуркаций, изображенном на рис. 7.1. Они соответствуют переходам через бифуркационные границы УУо н [c.164]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

В основе возникновения стохастических и хаотических движений лежат гомоклинические структуры, именно они порождают сочетание неустойчивости, локального разбегания и общего сжатия. Вместе с тем переход от устойчивости к неустойчивости требует исчезновения устойчивых состояний равновесия и устойчивых периодических движений или достаточно большого увеличения их иериодов, точнее, длин соответствующих фазовых кривых. Устойчивые периодические движения и состояния равновесия могут потерять устойчивость или исчезнуть лишь несколькими вполне определенными способами. В этом смысле можно говорить о различных путях перехода к хаосу и стохастичности. Эти возможные пути были описаны в 1 этой главы. Позволим себе их вкратце перечислить. [c.214]

В работе [682] рассмотрена схема генератора с двумя туннельными диодами (рис. 9.6). Численное решение уравнений такого генератора показало, что в определенной области параметров колебания оказываются стохастическими, причем соответствующее точечное отображение является разрывным и зкс-поненциально неустойчивым (рис. 9.7,а), а спектр колебаний — сплошным (рис. 9.7,6). Интересно отметить, что точечное отображение на рис. 9.7, а полностью совпадает с приведенным на рис. 3.14, б. [c.267]

Пункт 8.3 посвящен исследованию процесса взрывной кристаллизации, представляющего результат самоорганизуемой критичности в стохастическом распространении тепла по узлам иерархического дерева. Исследование эффективного уравнения движения показывает, что в согласии с предьщущим пунктом неустойчивость развивается только в том случае, когда тепловой эффект кристаллизации (или энергия, вводимая извне) превышают критическое значение, величина которого определяется температуропроводностью. Стационарная функция распределения тепла кристаллизации определяется уравнением Фоккера—Планка, решение которого приводит к выражениям для потока тепла, вьщеляющегося в результате кристаллизации, и вероятности спонтанной кристаллизации в пленке докритической толщины (см. п. 8.4). Оказывается, что эта веро- [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...