Бифуркационная точка

Р — / при наличии точки бифуркации. В случаях, соответствующих рис. 18.119, ц, б, а, первоначальная форма равновесия в критической (бифуркационной) точке сменяется другой, смежной с ней, новой формой равновесия (непрерывное изменение форм устойчивого равновесия). В случаях, соответствующих кривым типа изображенных на рис. 18.119,6,(9, смежных с первоначальной формой устойчивого равновесия в точке бифуркации не возникает. Однако может иметь место новая форма устойчивого равновесия, удаленная от точки бифуркации на конечную величину (рие. 18,119, е) переход в новое положение устойчивого равновесия происходит скачком. [c.467]

Нетрудно проверить, что бифуркационные точки, определяемые из соотношений [c.28]

Обратимся теперь к случаю, когда диаграмма а е с самого начала имеет выпуклость вниз [25] (рис. 25). В этом случае может оказаться, что бифуркационные точки отсутствуют. Так будет, например, в случае, если связь а е задается выражением [c.77]

В рамках наследственной теории (1.17) бифуркационная точка выделяется на основе концепции мгновенных движений, приводящей к вырождению (1.17) в соотношение линейной упругости, так что соответствующая матрица упругого эквивалента преД ставляется формулой (2.14). Матрица упругого эквивалента для ПБЛ/ получается, так же как в одномерном случае, последовательным дифференцированием (1.17) и разложением етп х) в ряд вблизи Соответствующие вычисления для изотропной нас- [c.139]

В нижней бифуркационной точке х возможны переходы с неустойчивой ветви /(д )-<0 на правую и левую устойчивые ветви 7(д )>0. Правая ветвь реализуется выбором положительных приращений параметров X и х. Отрицательные приращения этих величин преобразуют в точку возврата и выводят процесс на левую ветвь решения. [c.144]

Приведенные нами простые примеры позволяют дать общее определение представимости бифуркаций с помощью г параметров Ць Цг, , Цг. Именно, в окрестности бифуркационной точки ц пространства параметров или динамических систем М имеет место представимость с помощью г параметров, если в этой окрестности возможен такой выбор г переменных, что каждый пэ типов фазовых портретов соответствует одной или нескольким комбинациям знаков этих параметров. [c.101]

Из теоремы 5.1 следует, что основными простейшими бифуркационными точками состояния равновесия являются точки ц, для которых характеристическое уравнение имеет нулевой или два чисто мнимых сопряженных корня. Каждому из этих случаев в пространстве М отвечают поверхности Жо и Ма коразмерности единица. Их уравнения могут быть записаны в виде [c.102]

Таким образом, карта решений на плоскости параметров Ке, Ва достаточно проста. Решения расположены изолированными группами по четыре в каждой. Решения, принадлежащие одной группе, переходят друг в друга в бифуркационной точке В (т). Число решений с увеличением Ва растет асимптотически по закону [c.70]

Определение. Множество бифуркационных точек называется дискриминантом Е (особенности / или её версальной деформации F). [c.97]

Устойчивость состояний равновесия легко определить по бифуркационной диаграмме, которая получается из рис. 2.3 путем несложного дополнения. Заметив, что кривая / (х, к) = О разделяет плоскость хк на две области f х, Х)> О и f х, X) < О, заштрихуем область, в которой f х, к) > 0. Тогда, согласно смыслу производной f x (х, к), если точка, соответствующая состоянию равновесия х — [c.22]

Xk, лежит на кривой / (х, >.) == О справа от заштрихованной области, то fx Xh, t) < О, а если слева, то f x (х , к) > 0. В результате получаем бифуркационную диаграмму (рис. 2.4), на которой точками отмечены участки кривой / (х, X) = О, соответствующие устойчивым состояниям равновесия, а крестиками — неустойчивым состояниям равновесия. [c.23]

О С Я, < 1/4 система обладает двумя со- Рис. 2.14. стояниями равновесия устойчивым и не-, устойчивым, а при Я, < О (знак X изменяется при изменении направления одного из токов) — одним устойчивым состоянием равновесия. В точке Q-U, /4) производная ( , Я) == О, поэтому X == V4 есть бифуркационное значение параметра. Для построения фазового портрета рассматриваемой системы напишем интеграл энергии. В безразмерных величинах интеграл энергии имеет вид [c.35]

Для системы (3.4), содержащей лишь один параметр X, пространство параметров представляет собою прямую, а бифуркационные значения i = Xi — точки, разбивающие эту прямую на области, в каждой из которых изменение параметра X не приводит к изменению фазового портрета. Если система (3.4) содержит два параметра X и [i, тогда пространством параметров будет плоскость, разделенная на области одинакового поведения системы при помощи бифуркационных кривых. Зная структуру разбиения фазового пространства для какой-нибудь точки плоскости параметров Хц можно, непрерывно перемещаясь в этой плоскости, найти структуру фазового пространства для любой другой точки плоскости параметров. При этом нужно знать лишь характер бифуркации, которая происходит в фазовом пространстве при переходе той или другой бифуркационной границы. В этом заключается эвристическая ценность теории бифуркаций [7J. [c.52]

То, что этими случаями исчерпываются все возможности, можно убедиться путем следующего рассуждения. Пусть не имеет место ни один на иих, тогда при бифуркационном значении параметра кривая Г — не точка, расположена в ограниченной области, в ее достаточно малой окрестности net особых точек и поэтому для нее существует секущая S и 1 очечное отображение Т [le только при бифуркационном значении параметра, но и в его малой окрестности. Чего не должно быть. [c.262]

Выше предполагалось, что состояние равновесия, появляющееся на периодическом движении, простое. Рассмотрим теперь случай, когда это состояние равновесия сложное. Придерживаясь нашего принципа общности, оно должно быть таким, чтобы этой возможности в пространстве параметров отвечала бифуркационная поверхность размерности на единицу меньше, чем размерность пространства параметров, т. е. бифуркационная поверхность, отвечающая бифуркации общего типа. Из этого следует, что сложная особая точка должна быть простейшей и ей должна отвечать в пространстве параметров некоторая поверхность. В сколь угодно малой близости от нее эта сложная точка должна превратиться в простую или исчезнуть. Общие случаи превращения простых точек в сложные нам известны. Эти превращения происходят на поверхностях и /V,,-Поверхность не подходит, так как наличие у соответствующего ее точкам сложного состояния равновесия двоякоасимптотической траектории может быть лишь при выполнении некоторых дополнительных условий, поскольку для ->того требуется пересечение интегральных многообразий Sp и S.,, таких же, как и в ранее рассмотренном случае. На поверхности yv происходит слияние состояний равновесия О"" и Этот случай нас устроит, если наличие двоякоасимптотической фазовой кривой возможно в общем случае. Рассмотрим этот вопрос. Через точку О"" проходят интегральные многообразия Sp и S, и через точку 0/>+1, -I — интегральные многообразия Sp i и S i. Пересечение многообразий Sq и Sp,.i является общим. В силу того, что на поверхности /V,, состояния равновесия О -" и сливаются, до момента этого слияния поверхности Sg и Sp+i в окрестности этих точек в общем случае пересекаются по некоторой двоякоасимптотической фазо- [c.264]

Предельные значения i, определяющие интервал бифуркации в пределах упругости, равны г т= 121,7 для пластинки, сжатой в одном направлении, и 1 т = 86 —в двух направлениях. Хорошо видно снижение предела устойчивости по отношению к бифуркационной нагрузке по мере уменьшения и приближения ее значений к предельным. Для i = it точка бифуркации является сама предельной. После бифуркации при зависимость между q и f — падаю- [c.360]

С позиции неравновесной динамики это условие характеризует достижение критической точки, параметры которой характеризуют бифуркационную неустойчивость трещины при ее росте в условиях плоской деформации. [c.294]

По аналогии с бифуркационными, точки, определяемые условиями (11.5) и (11-4), могут быть названы псевдобифуркацион-ными точками соответственно нулевого и первого порядка (сокращенно, ПБО и ПБ1). Сохраняя за бифуркационными параметрами наименование критические в силу их непосредственной связи с устойчивостью, параметры, отвечающие псевдобифуркацион-ным точкам, будем называть характерными. Очевидно, что с повышением порядка определяющего соотношения могут быть выделены псевдобифуркационные точки более высокого порядка. При этом полезно воспользоваться тем, что для получения условий, подобных (11.3) — (11.5), можно обойтись без составления урав- [c.27]

Очевидно, что поскольку БМ совпадает с ПБЛ/ , если условно положить iN==M, то последнее соотношение совпадает с (11.8), на. чем и основано сделанное выше утверждение о неизменности (формализма для огфеделения бифуркационных точек. Нетрудно проверить, что при М = 2 для псевдобифуркации опять следуют условия (11.4) и (11.5). [c.29]

Теорема 5.4. Точка ц е М является бифуркационной точкой в том и только в том случае, когда уравнение (3.4) имеет корень, лежащий на единичной окружности, т. е. если точка ц лежит на одной из поверхностей iV+i, iV i или N . [c.110]

Покажем, что бифуркационных точек типа В счетное мнон е-ство B i), В 2),. .., В т),. .., где ттг —число участков вытекания. [c.69]

Они устойчивы при О < о < 62°. В бифуркационной точке ао 53° 17 (рис. 2) рождаются два семейства (устойчивых и неустойчивых) двенадцатизвенных траекторий. [c.212]

Вопрос о влиянии начальных неправильностей формы на устойчивость сферических оболочек уже обсуждался в ряде работ [4, 5]. В статье [5] задача решалась методом В. 3. Власова. Прогибы и функция напряжений в области локальной вмятины задавались специально подобранными затухающими функциями, в которые входил некоторый параметр, дающий возможность варьировать размеры вмятины. Этот параметр определялся из условия минимума нагрузки в предположении, что прогибы будут малы и тогда это условие совпадает с условием минимума энергии системы. На самом деле это не совсем так. Как было показано X. М. Муштари [3], оба условия совпадают лишь при бесконечно малых прогибах, т. е. вблизи бифуркационной точки. При наличии же начальных искривлений оболочка в докритиче-ском состоянии получает значительные перемещения, сравнимые с ее толщиной, и принятое автором допущение могло привести к некоторому занижению критической нагрузки. [c.323]

Первичные точки (/1,2 = 2л т + 1/2) 0i,2 = л/2 при /С С 1) неустойчивы для любых Д", поскольку 0i л/2. Первые бифуркационные точки возникают при К = 4, когда неподвижная точка (/i = 2лт2, 01 = я) становится неустойчивой, и остаются устойчивыми при 4[c.253]

В окрестности бифуркационной точки клетки Ш коразмерности а /- -1-параметрическое семейство грассмановых расширений можно превратить в семейство кривых в 1а -мерной трансверсали к клетке (при помощи гладко зависящего от ]а1 параметров диффеоморфизма многообразия Грассмана, сохраняющего стратификацию). [c.151]

Наконец, последний тип бифуркации проиллюстрирован на рис. 3.5, где показан случай рождения устойчивого предельного цикла из петли сепаратрисы седла. Пусть сепаратрисы седла при некотором значении X имеют расположение, представленное на рис. 3.5, а. Предположим, что при увеличении параметра X ветви сепаратрисы сближаются и при некотором значении Х == Яц сливаются, образуя петлю (рис. 3.5, б). Если при дальнейшем увеличе-1И1И X сепаратрисы седла вновь разделяются так, как показано на рис. 3.5, б, то из петли рождается предельный цикл. Значение А. = в этом случае является бифуркационным. [c.52]

Теперь рассмотрим оставшиеся возможности для изменения периодического движения Г, т. е. те, при которых наруилается существование гладкого взаимно однозначного отображения секущей. Для таких изменений есть следующие возможности замкнутая кривая Г стягивается в точку, на ней появляется состояние равновесия, она уходит в бесконечность ). Замкнутая кривая может стянуться только к особой точке — состоянию равновесия — и поэтому этот случай уже был изучен при рассмотрении бифуркаций состояний равновесия. Он соответствует переходу через бифуркационную поверхность Л/, . Второй случай новый, хотя он тоже связан с бифуркацией состояния равновесия, но не был замечен, поскольку раньше рассмотрение относилось только к окрестности состояния равновесия и не выходило за ее пределы. Перейдем к его рассмотрению. Третий случай оставим без внимания ввиду очевидности связанных с ним изменений. В рассматриваемом случае при бифуркационном значении параметра имеется состояние равновесия О и фазовая кривая Г, выходящая и вновь входящая в него. Пусть это состояние равновесия простое, типа О ". Так как фазовая кривая Г выходит из О" , то она лежит на инвариантном многообразии S,,, а так как она в него еще и входит, то она принадлежит еще и многообразию S l,. Отсюда следует, что многообразия Sp и 5 пересекаются по кривой Г. Соответствующая картинка представлена на рис. 7.14. Как нетрудно понять, пересечение поверхностей S,, и не является общим случаем и при общих сколь угодно малых изменениях параметров динамической системы должйо исчезнуть. Это означае т, что в пространстве параметров этому случаю вообще не отвечают области, а, как можно обнаружить, в общем случае только некоторые поверхности на едирплцу меньшей размерности. Таким образом, исследование этой бифуркации периодического движения свелось к следующему вопросу когда фазовая кривая, идущая из простого седлового дви- [c.262]

Выше была изложена созданная к настоящему времени локальная теория состояний равновесия и периодических движений, а также попутно и отчасти неподвижных точек преобразования. При этом полностью рассмотрены все основные типы равновесий и периодических движений и их основные бифуркации. Это рассмотрение носит в некотором смысле законченный и завершенный характер. Точнее, можно думать, что рассмотрение более сложных случаев не даст ничего принципиально нового для общего понимания и общего качественного изучения динамических систем. Это естественно в предположении, что речь идет об изучении классов динамических систем, в котором только этим бифуркациям соответствуют в пространстве параметров разделяющие его бифуркационные поверхности. Вместе с тем эта надежда уже ни в коей мере не оправдывается для специальных классов динамических систем и в первую очередь для так называемых консервативных систем, где понятие общности совсем друп е, Когсерва-тивные системы требуют своего, во многом специфического исследования. Эта специфичность проявляется не всегда, многие вопросы и, в частности те, которым в значительной мере будет посвящен дальнейший текст, в полной мере относятся и к консервативному случаю. [c.267]

Из приведенных выше определений устойчивости вытекает по существу одинаковый метод исследования элементов конструкций— метод проб на устойчивость путем возмущения исходного состояния при достигнутом уровне нагружения. Этот метод обладает существенным недостатком. Он не рассматривает процесс нагружения, с помощью которого достигнут данный уровень внешних сил, и ограничивает анализ устойчивости системы малой окрестностью точки бифуркации. Такой анализ почти никакой информации о после-бифуркационном процессе деформирования конструкции и ее элементов дать не может, а потому он не определяет их индивидуль-ного поведения. Судить об устойчивости или неустойчивости конструкции без исследования послебифуркационного поведения невозможно. Отмеченное еще в большей мере относится к неупругим системам, поскольку их деформация существенно зависит от истории наг жения. [c.319]

Достижение условий, при которых реализуется ветвление трещины, отвечает реализации бифуркационной неустойчивости трещины. В этой критической точке реализуется принцин подчинения, когда множество переменных подчиняется одной (или нескольким) переменным. Его реализация связана с достижением верхней границы разрушения отрывом и перес фойкой диссипативных струкгур. На этой границе система сама выбирае оптимальные механизмы диссипации энергии, так что процесс носит автомодельный характер -на ег о развитие не требуется внешняя энергия, а перестройка диссипативных структур носит самоорганизующий характер (за счет накопленной внутренней энергии). В этих условиях динамика свободного разрушения определяется самоподобным ростом микротрещины, обеспечивающим локальный отток энтропии из системы. [c.299]

Смотреть страницы где упоминается термин Бифуркационная точка : [c.250] [c.13] [c.25] [c.26] [c.38] [c.253] [c.254] [c.254] [c.356] [c.221] [c.22] [c.31] [c.33] [c.35] [c.49] [c.50] [c.55] [c.70] [c.304] [c.304] [c.305]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...