Ляпуновские показатели

Сумма ляпуновских показателей определяет среднее вдоль траектории изменение элементарного объема в пространстве состояний. Локальное относительное изменение объема в каждой точке траектории дается дивергенцией div х = с1)У = Л, (0. Можно показать, что среднее вдоль траектории значение дивергенции ) [c.168]

Линии тока 24, 35 Ляпуновские показатели 168 [c.731]

Ляпуновские показатели. Размерность в энтропия стохастического аттрактора [c.227]

Поскольку, как уже неоднократно говорилось, все траектории, образующие стохастический аттрактор, неустойчивы по Ляпунову, они должны иметь хотя бы один положительный ляпу-новский показатель. Наличие положительного ляпуновского показателя является одним из основных критериев стохастичности движения. [c.227]

Ляпуновские показатели определяются следующим образом [101, 240, 297]. Пусть задана динамическая система, описываемая уравнением [c.227]

Чтобы вычислить /-Й ляпуновский показатель, нужно на каждом г-м шаге проводить операцию ортогонализации по отноше- [c.228]

Ляпуновский показатель Kj определяется по формуле [c.229]

В работах [688, 689] предложена еще одна формула для оценки размерности аттрактора, также содержащая ляпуновские показатели [c.232]

Для расчета метрической энтропии удобно использовать формулу, связывающую ее с ляпуновскими показателями. Я. Б. Пе-синым [301] установлено, что энтропия К на аттракторе равна сумме положительных ляпуновских показателей, т. е. [c.234]

Вычислим далее ляпуновский показатель X для рассматриваемого отображения, используя в качестве исходной формулу (4.5). При этом существенным может оказаться следующий член разложения отображения на участке 7, содержащий нечетную степень г. [c.252]

В случае стохастического движения после перехода ляпуновский показатель % плавно нарастает по закону (1-1Л) несмотря на то, [c.253]

Величину ляпуновского показателя для рассматриваемого отображения можпо вычислить по формуле, аналогичной (4 31) [c.258]

При м- < Цоо система уравнений (4.19) не имеет положительных ляпуновских показателей, а при ц = ц такой показатель появляется. Зависимость максимального отличного от нуля ляпуновского показателя % от параметра (X не является монотонной (рис. 9.43) [618]. По своему характеру она очень напоминает аналогичную зависимость для одномерного квадратичного отображения (ср. с рис. 8.14). [c.303]

На рис. 9.79 показаны зависимости от ляпуновской размерности йъ И метрической энтропии К, вычисленных на основе спектра ляпуновских показателей. Видно, что размерность хаотического аттрактора больше трех, как и в случае воздействия внешней гармонической силы на один генератор (см. 5), а энтропия монотонно растет с ростом [c.332]

Несмотря на периодический по времени характер течения, частицы жидкости в потоке экспоненциально разбегаются, т. е. происходит перемешивание. Разбегание частиц можно характеризовать величиной Я, аналогичной ляпуновскому показателю [c.342]

Наличие положительного ляпуновского показателя говорит о том, что наблюдаемый режим являлся хаотическим. [c.345]

Таким образом, закон изменения параметра порядка со аналогичен соответствующему закону в случае фазового перехода II рода с критическим индексом V. При Х - Ц ) V/( X - Ц )< -v) по другую сторону перехода, при ц > Х , в качестве параметра "беспорядка принимают либо величину положительного ляпуновского показателя X, либо топологическую энтропию А, либо порог синхронизации В [186]. Вблизи значения для показателя X выполняется следующая степенная зависршость [186] [c.107]

Чтобы вычислить другие ляпуновские показатели, в работах [397—400, 647] предлагается использовать аналогичную процедуру, но с обязательной ортогонализацией по методу Грама — Шмидта. Поясним это на примере вычисления следующего по величине ляпуновского показателя Хг 1- Обозначим вектора у< я угМ-, вычисленные при счете Я,1, через и соответственно = wpУdJ). В качестве начального для уравнения (2.2) зададим вектор ортогональный вектору т. е. удовлетворяющий условию = 0. Через время т вектор перейдет в вектор Составим линейную комбинацию векторов и так, чтобы она была ортогональна вектору Для этого положим где — неопределенный множитель, и потребуем, чтобы = 0. Отсюда находим р = = — В качестве начального вектора для второго шага возьмем вектор где = 1 . Поступая аналогичным образом на каждом г-м шаге, вычислим все <4 . Ляпуновский показатель Я,г определяется выражением [c.228]

Для систем большой размерности, в том числе бесконечномерных, отыскание численных значений показателей Ляпунова, как и непосредственное вычисление величин а, d ж К, является сложной задачей. Поэтому представляет интерес сравнительно простая вычислительная процедура, которая позволяет оценить ляпуновские показатели, размерность аттрактора и метрическую энтропию, зная реализацию лишь одной из координат фазового пространства. Эта процедура была предложена Паккардом [600] и Такенсом [657]. Использование такой процедуры особенно удобно при обработке экспериментальных результатов для распределенных систем, где знать весь бесконечномерный вектор x(i) просто невозможно [681]. [c.235]

Пусть Xi, Xi,. .Хп — последовательные значения одной из координат фазового пространства системы x[t) через промежутки времени т, т. е. xi==x i%). Из этих значений можно сконструировать новую динамическую систему размерности пъ, взяв в качестве г-го значения вектора у " , описывающего положение точки в новом фазовом пространстве, уXj+i,. .., Xj+m-i . Теорему Такенса можно сформулировать следующим образом. Ддя почти любых наблюдаемой реализации x(t) ж времени задержки т аттрактор сконструированной динамической системы размерности т будет иметь те же свойства (например, ту же размерность и тот же спектр ляпуновских показателей), что и исходный, если только тп > 2 н + 1, где dg — хаусдорфова размерность исходного аттрактора. Эта теорема является следствием теоремы Манье [571]. [c.235]

Для трехмерных систем энтропия отождествлялась с положительным ляпуновским показателем Я" ", который вычислялся на основе алгоритма Бенеттина. Зависимость (3.1) при х = 0,33 и найденные численно точки для всех исследованных трехмерных систем представлены на рис. 8.11. (На этом рисунке Vo — частота внешнего воздействия, соответствующая порогу синхронизации, С = vo). Постоянная С определялась по минимуму среднеквадратичного отклонения Ва/С от С точностью до [c.238]

Чтобы убедиться в том, что в формулу (3.1) входит именно энтропия, а не максимальный ляпуновский показатель, в работе (224] была исследована синхронизация хаотических колебаний в системе Маккея—Гласса (см. уравнения (9.3), (9.21) гл. 9). Эта система, описываемая уравнением с запаздывающим аргументом, замечательна тем, что для нее, начиная с некоторого значения времени запаздывания т, максимальный ляпуновский показатель с ростом т уменьшается, а энтропия остается примерно постоянной. В (224] получено, что в этой области значений т порог синхронизации практически не меняется, что указывает на его связь именно с энтропией. [c.239]

По другую сторону перехода, когда х> Хоо, в качестве параметра беспорядка можно принять либо величину положительног ляпуновского показателя К, либо топологическую энтропию к [303], либо порог синхронизации Вш. Хотя для систем, описываемых одномерным точечным отображением с гладким максимумом, при (х, большем (Хоо, почти везде существуют устойчивые предельные циклы [576], расчеты, про-веденйые, например, в [518, 643, [c.241]

Поскольку, как уже говорилось в цредыдущем параграфе, порог синхронизации Ва связан с ляпуновским показателем К [c.243]

В работе [210] получены некоторые универсальные закономерности при малом внешнем периодическом воздействии на систему, описываемую одномерным точечным отображением типа параболы. Показано, что с ростом величины воздействия значения бифуркационного параметра [х , соответствующие ге-й бифуркации удвоения периода, монотонно растут. (В случае нерезонансного воздействия найденные значения соответствуют бифуркациям удвоения квазипериода тора.) Отметим, что распространение полученных результатов на область хаоса, возможно, позволит объяснить наличие порога синхронизации и его связь с положительным ляпуновским показателем. [c.247]

Слёдует заметить, что выражение (4.31) определяет величину ляпуновского показателя весьма приближенно, поскольку основной вклад в интеграл дают далекие от нуля значения х, при которых ошибка, возникающая при переходе от разностного уравнения к дифференциальному, больше, и следовательно, значения ю х) вычислены менее точно. [c.253]

Из (4.47) видпо, что в этом случае ляпуновский показатель может быть положительным даже при достаточно малых А 1. [c.258]

Это связано с тем, что при е > О весь участок отобра-гкепия I является растягивающим. При достаточно малых е, как следует из (4 47) и (4.44), величина X с ростом е нарастает пропорционально Зависимости Я, от 8 при различ-гшх значениях (а) и от при 8 = 0 (б) показаны на рис. 8 26. Отметим, что в отличие от ранее рассмотренного случая внешний шум дестабилизирует поведение системы, существенно увеличивая ляпуновский показатель. Это отличие также связано с тем, что при е > О отображение в области I не имеет сжимающих участков. [c.258]

В области стохастичности спектр колебаний в системе Лорепца является сплошным и достаточно широким (рис. 9.30), что свидетельствует о наличии сильного перемешивания 441]. Приближенный расчет спектра выполнен в работе [567. Емкость аттрактора Лоренца близка к двум. Так, при Ь = 4, о = 16, г = 40 она равна й = 1,98 0,02 [578, 579] (ляпуновская размерность, вычисленная по формуле Каплана — Йорке, ь = 2,06 [587]). Зависимость максимального ляпуновского показателя от параметра г для указанных значений Ь и о, на основе которой в [587] вычислялась ляпуновская размерность, приведена на рис. 9.31 [686]. Интересно отметить, что в области значений г вблизи г р 33,45 эта зависимость имеет такой же вид, как на рис. 8.28. Штрих-пунктирная кривая на рис. 9.31 соответствует метастабильпому хаосу. [c.290]

Характер решения уравнений (5.2) качественно соответствовал наблюдаемым экспериментально явлениям перехода к хаосу. В области хаоса для системы (5.2) на основе алгоритма Бенеттина вычислялся положительный ляпуновский показатель Я. Зависимость Я от 7о при V = 2,8 10 показана на рис. 9.57. Качественно она повторяет зависимость порога синхронизации Вп [c.316]

Зависимость порога синхронизации от знтропии К, равной положительному ляпуновскому показателю, для всех исследованных систем показана на рис. 8.11 (А — для системы (5.5), X — [c.328]

X = 1,58), Соответствующий спектр показан на рис. 9.78, а. Несмотря на то, что /1 (2/5)/о, процесс является квазипериоди-ческим, т. е. обмотка соответствующего двумерного тора является незамкнутой. Об этом свидетельствует спектр ляпуновских показателей, содержащий два нулевых значения. При дальнейшем увеличении квазипериод тора удваивается (рис. 9.78, б), и колебания становятся хаотическими (рис. 9.78, в). Наблюдавшееся число удвоений тора конечно и тем меньше, чем больше коэф-, фициент связи Г. Этот факт согласуется с результатами работы [538]. Возникающий после разрушения тора хаотический аттрактор является несимметричным, т. е. выполняется по крайней мере одно из неравенств Представляет [c.332]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...