Стокса линии

Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить линь нему (по сравнению со случаем идеальной жидкости) граничному условию обращения в нуль тангенциальной скорости. Математически это связано с более низким (первым) порядком этого уравнения по координатным производным, чем порядок (второй) уравнения Навье — Стокса. [c.75]

Согласно теореме Стокса преобразование осуществляется заменой элемента интегрирования по линии dx оператором [c.151]

Средняя линия крылового профиля 5 Стокса формула 145 Струхаля число 206 [c.300]

Выбрав ось 2 параллельно образующей боковой поверхности, в силу прямолинейности линий тока получим и = Uy = Q Uj = и. Пренебрегая действием массовых сил, представим уравнения Навье—Стокса и неразрывности в виде [c.295]

Потери напора на начальном участке строго не подчиняются формуле Пуазейля, ибо здесь не выполняется основная предпосылка о прямолинейности линий тока. Расчет этих потерь может быть выполнен методами непосредственного решения уравнений Навье—Стокса или методами теории пограничного слоя, излагаемой в гл. 8. Для ориентировочной оценки падения давления на начальном участке трубы можно в первом приближении принять, что потери на трение определяются формулой Пуазейля. Тогда уравнение Бернулли, составленное для сечений О—О и 2—2 (см. рис, 69), дает [c.167]

Согласно теореме Жуковского сила действует на обтекаемый профиль только в том случае, если циркуляция скорости не равна нулю. По формуле Стокса (4.5) циркуляция не равна нулю, только если имеется завихренность. Поскольку поток потенциальный, и завихренность в нем всюду равна нулю, то остается предположить, что завихренность располагается бесконечно тонким слоем по профилю, т. е. на границе жидкости. Другими словами твердый профиль исключается, а воздействие его на поток заменяется воздействием вихревого слоя, расположенного по контуру. Если подобрать интенсивность этого слоя так, что контур станет линией тока, то граничные условия будут удовлетворены. [c.70]

Для доказательства этой теоремы расположим на боковой поверхности вихревой трубки замкнутый жидкий контур I, как показано на рис. 4.17. Поверхность, ограниченную указанным контуром, не пересекает ни одна вихревая линия, так как эти линии направлены по касательной к поверхности вихревой трубки. Тогда по теореме Стокса в рассматриваемый момент времени t—ta) Гг=0. Согласно теореме Томсона циркуляция скорости по замкнутому жидкому контуру с течением времени не меняется. Следовательно, и в произвольный момент времени [t—tn) Гг=0. Это означает, что через рассматриваемый жидкий контур никогда не пройдут вихревые линии и он останется лежать на боковой поверхности вихревой трубки, т. е. вихревая трубка не разрушается и всегда остается вихревой трубкой. [c.96]

Для уравнений плоского двумерного нестационарного движения вязкой среды построен скалярный потенциал - аналог линии частицы жидкости - являющийся переменной лагранжева типа. Дано применение уравнений гидродинамики, записанных в этих переменных, к различным классам конвективных динамических и тепловых процессов. Рассматривались реологические модели жидкостей ньютоновская несжимаемая и сжимаемая, нелинейно-вязкая, вязкоупругая, а также турбулентный поток. Для изотермического процесса удалось построить простое преобразование уравнений А.С. Предводителева (жидкость дискретной структуры) к классическим уравнениям Стокса. [c.128]

Явления, в основе которых лежит инерция жидкости, конечно, не описываются уравнениями Стокса. Например, две од ина-ковые сферы, падаюш,ие вдоль линии центров, испытывают одинаковое сопротивление и движутся с одинаковой скоростью. Следовательно, при их падении расстояние между ними должно оставаться фиксированным [60]. Однако можно показать, что при любом ненулевом числе Рейнольдса верхняя сфера испытывает меньшее сопротивление, чем нижняя, и, следовательно, верхняя сфера в конце концов догонит нижнюю [24]. Другой пример соответствует нейтрально плавающей сфере, центр которой смещен относительно оси вертикального кругового цилиндра, в котором вязкая жидкость течет по закону Пуазейля. В соответствии с уравнениями Стокса [7] сфера будет находиться все время в постоянном положении относительно оси. Если, однако, принять во внимание инерционные члены, то боковая сила будет стремиться передвинуть сферу поперек линий тока [53]. Чем меньше число Рейнольдса, тем меньше при прочих равных условиях инерционные эффекты. Но так как течения, для которых число Рейнольдса тождественно равно нулю, не могут существовать, инерционные эффекты должны проявляться в некоторой степени во всех реальных системах. [c.60]

Поправка к закону Стокса для двух равных сфер, движущихся параллельно линии центров [c.314]

Рис. 9-2. Линии тока ползущего движения Стокса при обтекании неподвижной сферы.

Рис. 9-3. Линии тока ползущего движения Стокса в случае движущейся сферы.

Сплошная линия —по экспериментальным данным пунктирная линия /—уравнение Стокса (9-17) —уравнение Озеена (9-23). [c.192]

Уравнение количества движения. Уравнение количества движения можно получить путем интегрирования уравнения Навье— Стокса для движения невязкой сжимаемой жидкости вдоль линии тока, как мы это делали при выводе (6-68). Это уравнение можно интерпретировать так же, как уравнение, записанное для трубки тока, совпадающей с границами потока, в предположении, что v=V (средней скорости). Если мы снова пренебрежем силой тяжести, то вдоль трубки тока уравнение (6-68) может быть записано как [c.356]

Получение в предыдущих параграфах точных решений уравнений Стокса сравнительно простыми математическими средствами было обусловлено линейностью основных уравнений, которая следова.ча из предположения о прямолинейности линий тока в цилиндрических (призматических) трубах и одинаковости сечений вдоль трубы. [c.403]

Указанные явления отчетливо наблюдались в экспериментах [48]. Импульсы накачки с длительностью 30 пс и пиковой мощностью 300 Вт перестраивались по частоте в диапазоне 1,17—1,35 мкм. При длине волны накачки Х ==1,2б мкм на выходе волоконного световода (L==250 м) регистрировались стоксовы импульсы со сдвигом частоты 450 см 1, соответствующим центру линии усиления. По мере отстройки от длины волны, соответствующей нулевой дисперсии групповой скорости, величина стоксова сдвига уменьшалась (рис. 3.15). В экспериментах [49] измерения производились при фиксированной длине волны ь = 1,32 мкм, варьируемым параметром была длина световода, а регистрируемым — стоксов сдвиг частоты, который уменьшался с увеличением длины световода. [c.139]

Для случая кручения, которым мы занимаемся, это вытекает из простых соображений на основании гидродинамической аналогии. Именно, если жидкость вынуждена огибать острый угол, то линии тока сближаются, и потому скорость жидкости увеличивается, причем в предельном случае эта скорость получается бесконечно большой. Это показывают и чисто геометрические соображения. Для строгого доказательства, дающего возможность произвести и приблизительную оценку получающегося повышения напряжений, лучше всего исходить из уже формулированной теоремы Стокса. [c.78]

Отмечая, что для каждой замкнутой линии обвода (это может и не быть линия тока) формула (70) Стокса должна дать один и тот же погонный угол закручивания , получим [c.94]

Сказанное дает нам наглядное представление о напряжениях и более уясняет суть дела, чем чисто аналитическое решение задачи. Оно дает нам также основание для ориентировочной оценки искомых величин, так как относительно приблизительного направления линий тока, из которых крайняя задана непосредственно, вряд ли могут быть какие-либо сомнения. Здесь может быть очень полезной теорема Стокса, выражающаяся формулой (115), как это мы сейчас покажем. [c.120]

При обтекании предмета траектории взвешенных в потоке частиц за счет инерции отклоняются от линий тока. Поэтому частицы проходят пограничный слой- и осаждаются на предмете. Осаждение и адгезия частиц на лобовой стороне предмета определяется в первом приближении (без учета силы тяжести) критерием Стокса [c.211]

Функция у называется функцией тока Стокса. Линии тока осесимметричного течения жидкости, на кот ых у— onst, целиком лежат в плоскостях, проходящих через ось г. Однако они не позволяют дать качественную оценку скорости, как это имеет место в плоском случае, из-за наличия множителя 1/г. [c.18]

Здесь же указаны следующие области А, где Re < 1 (стоксов режим течения) 7 , где 1 < Re < 500 (переходная область) С, где Re > 500 (ньютоновский режим течения). Линия utluu- < 0,2 соответствует пределу, указанному в работе [177], [c.165]

Обтеканию пластинок вязкой жидкостью посвящены многочисленные исследования, основанные на асимптотических и численных подходах. Представление течения в окрестности носика пластинки в приближении Стокса и при малых числах Рейнольдса получено Карьером и Лином [33] в виде отрезка ряда с произвольными коэффициентами, отвечающими внешним граничным условиям. Исправленный отрезок ряда приведен Ван Дайком в [34]. [c.217]

Закон Стокса для подобного типа излучения не имеет места. Ломмель дал новую, более общую формулировку, верную для стоксова и для антистоксова излучения. Так как спектральные линии (как испускания, так и поглощения) обладают определенной шириной, то закон Стокса в формулировке Ломмеля можно выразить так спектр излучения в целом и его максимум всегда сдвинуты по сравнению со спектром поглощения и его максимумом в сторону длинных волн. Этот закон обычно называют законом Стокса — Ломмеля. [c.363]

Рассмотрим установившийся ламинарный поток в круглой цилиндрической трубе, выбрав цилиндрическую систему координат (рис. 6.15). Предполагая линии тока прямыми, параллельными оси трубы, получаем щ 0 0. Тогда из уравнения неразрывности (2.25) находим dujdz — О, откуда 2 2 ( > 0)- Поскольку это условие должно выполняться во всех точках потока, то и d ujdz- 0. Учитывая, что поток в трубе осесимметричен, заключаем, что все параметры не зависят от переменной 0, т. е. d/dQ О и d id 0. Кроме того, пренебрегаем действием массовых сил. Тогда уравнения Навье—Стокса (5.14) в цилиндрических координатах суш,ественно упрощаются [c.152]

Легко видеть, что линии тока (i 3 = onst) в данном течении являются концентрическими окружностями с центром в начале координат, а эквипотенциали (ф = onst) — прямыми, выходящими из той же точки (рис. 113). Такое течение создается прямолинейным вихревым шнуром (плоским вихрем). Существенно, что потенциальность данного течения нарушается в особой точке г = 0. Действительно, для любого контура, охватывающего начало координат, согласно (7-14) циркуляция Г равна одной и той же величине — 2пВ. Поэтому на основании теоремы Стокса можем заключить, что в начале координат расположен точечный вихрь, интенсивность которого равна указанному значению циркуляции. Во всех остальных точках плоскости течения движение безвихревое, хотя частицы имеют круговые траектории (линии тока). В этом нет противоречия, так как движение частиц по круговой траектории происходит без вращения, т. е. поступательно. [c.233]

Рентгеновское излучение. Рентгеновское излучение возникает при бомбардировке анода быстрыми электронами (рис. 25), ускоренными большой разностью потенциалов. Раскаленная металлическая нить Н испускает электроны (электроны термоэмиссии), которые, пройдя через сетку-катод С, попадают в ускоряющее электрическое поле между катодом С и анодом А. Из анода в результате удара в него электронов испускается рентгеновское излучение. Все это происходит в объеме с высоким вакуумом, показанном штриховой линией. В обычных условиях используются разности потенциалов порядка 100 кэВ. Однако имеются установки с использованием электронов с энергией в миллион электрон-вольт. Оно генерируется также в виде тормозного излучения в бетатронах и синхротронах (синхро-тронное излучение). Рентгеновское излучение является электромагнитным, длина волн которого заключена примерно между 10 и 0,001 нм. Однако такой взгляд на природу рентгеновского излучения возник не сразу. Рентген предполагал (1895), что открытые им лучи являются продольными световыми волнами, хотя и не настаивал на этом представлении. В принципе правильные представления на природу рентгеновских лучей высказал Стокс (1897). Он считал, что это электромагнитное излучение, которое возникает в результате торможения электрона при ударе о катод. Тормозящийся электрон эквивалентен переменному току, который, как это было уже известно из опытов Герца, генерирует электромагнитные волны. [c.48]

Более ста последуюш их лет развитие науки о равновесии и движении жидкости происходило по двум различным направлениям. Одно направление развивалось по линии строгих математических решений, используя уравнения Эйлера и принимая при этом ряд допущений (Лагранж, Лэмб, Навье, Стокс, И. С. Громека и др.). Однако наличие ряда существенных упрощений не позволило использовать полученные этим методом результаты для решения конкретных практических задач. Это заставило ученых и инженеров прибегать к экспериментированию и на основании опытных данных создавать расчетные формулы для решения разнообразных гидравлических задач, выдвигавшихся бурно развивавшейся техникой (Шези, Буссинек, Дарси, Базен, Вейсбах, Дюпюи и др.). Таким образом, независимо от аэрогидромеханики практическая гидравлика продолжала свое развитие как опытная наука, опережая первую в целом ряде областей. Однако без наличия серьезного математического аппарата она, естественно, не в состоянии была обобщить данные сложного эксперимента. [c.7]

Представим себе текучую среду в виде жидкости вихревой структуры, т. е. совокупность вихревых шнуров, движущихся поступательно. Известно, что решение уравнения Эйлера для вихревых течений приводит к теореме Гельмгольца о сохранении вихревых линий. Однако этот вывод находится в противоречии с опытом. На основе уравнения Эйлера нельзя объяснить процесс возникновения и исчезновения вихрей. Решения Навье —Стокса объясняют процесс затухания вихрей, а не процесс их образования. Поэтому возникает проблема обобщения уравнения Навье—Стокса. Впервые на это обратил внимание Н. П. Кастерин [Л.1-18]. Он предложил вихревую модель жидкости. [c.49]

Ламинарное круговое движение жидкости, заключенной между вращающимися круговыми цилиндрами, уже давно привлекает внимание исследователей. Течение несжимаемой жидкости, возникающее при относительном вращении двух цилиндров, известно как течение Куэтта. Так как линии тока располагаются по концентрическим окружностям и, следовательно, частицы жидкости ускоряются, инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса не должны быть равны нулю. Эти нелинейные члены, однако, полностью компенсируются радиальным градиентом давления, и поэтому метод решения результирующих уравнений достаточно прост. В частности, если ввести цилиндрические координаты (г, ф, х), то не равной нулю компонентой скорости будет лишь тангенциальная составляющая которая будет являться функцией только радиального расстояния г. Таким образом, уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически, а уравнения Навье — Стокса сводятся к двум oбыкнoвeI ным дифференциальным уравнениям [c.48]

Изобретение Г-интегрирования позволяет любому студенту легко и единообразно выводить подобные основополагающие формулы, связывающие силовые и энергетические характеристики сингулярности любого физического поля с интенсивностью этой сингулярности, описываемой некоторым множителем в сингулярном решении. Таким путем из соответствующих инвариантных Г-интегралов можно получить (соответствующие вычисления были проведены в [1 —12]) все известные физические законы о классических взаимодействиях закон Ньютона взаимодействия двух точечных масс — в теории тяготения законы Кулона, Био — Савара, Фарадея — в теории электромагнетизма формулу Жуковского — Чаплыгина и формулы для сил, действующих на источники, впхревые линии и кольца, — в гидродинамике идеальной жидкости формулу Стокса — в гидродинамике вязкой жидкости формулу Пича — Келера — в теории дислокаций формулу Ирвина — в линейной механике разрушения формулу Эшелби — в теории точечных включений и др. Таким же путем для новых типов сингулярностей, или новых физических полей, или новых комбинаций известных физических полей можно получать новые закономерности. [c.360]

Для осесимметричного течения линии тока в любой радиальной. плоскости, проходящей через ось симметрии, лежат на поверхностях тока, расположенных KOHueHTpnif-но относительно оси. Как и для плоскопараллельного течения, эти линии тока могут быть представлены в двух координатах, что также дает возможность ввести единственную функцию тока (известную как функция тока Стокса). Для описания общего трехмерного течения не-116 [c.116]

Течение жидкости, 1при котором линии тока представляют собой концентрические окружности, будем называть вращательным движением 2. Рассмотрим уравнения Навье — Стокса в цилиндрических координатах для установившегося вращения несл<имаемой жидкости вокруг оси 2. Компоненты скорости V,- и Vz равны нулю, градиент давления в тангенциальном (окружном) направлении отсутствует, а va не зависит от 2. Пусть ось [c.142]

Обобщение решения Стокса, данное Озееном, ча-стично учитывает инерционные члены уравнений Навье— Стокса. Получающиеся линии тока для движущейся сферы больше не являются одинаковыми перед телом и за ним. Скорости за сферой выше, чем иеред ней, и некоторое количество жидкости увлекается сферой — факт, наблюдаемый экспериментально при больших числа.х Рейнольдса. Уточненный коэффициент сопротивления [c.193]

Рассмотренные в предыдущих двух главах движения вязкой жидкости относились к числу ламинарных движений. Траектории частиц, линии тока, поля скоростей и давлений в этих движениях имели совершенно определенный, регулярный характер. Выражением этой регулярности ламинарного движения служил тот факт, что общая картина наблюдающихся в действительности ламинарных движений и многие их детали достаточно хорошо описывались решениями уравнений Стокса при соответствующих, также регулярных , начальных и граничных условиях. Можно, например, вспомнить пуазейлево движение вязкой жидкости по круглой трубе, соответствие теоретически рассчитанных характеристик которого (парабола скоростей, формулы расхода и сопротивления) опытным данным уже давно блестяще подтверждено. То же относится к многочисленным другим примерам ламинарных движений вязкой жидкости движению смазки в узких зазорах между валом и цапфой подшипника, вполне удовлетворительно описываемому гидродинамической теорией смазки подшипников, движениям в ламинарных пограничных слоях, с достаточной точностью рассчитываемым по теории, изложенной в предыдущей главе, и др. [c.522]

Вычислим теперь конгурный интеграл (циркуляцию) ектора т взятый вдоль всей срединной линии, преобразуя гыражениеего (см. начало 69) но теореме Римана-Стокса [c.403]

Первый пример потенциального движения жидкости привел еще в середине XVIII в. Л. Эйлер. Последующее изучение кинематики сплошной среды, выполненное Коши и Стоксом, привело к появлению понятия вихря и к изучению вихревых течений. Ряд изящных и важных теорем о вихревых линиях и вихревых трубках был опубликован в 1858 г. Г. Гельмгольцем, привлекшим интерес исследователей к вихревым течениям. В этот же период было введено понятие циркуляции скорости и установлена связь циркуляции с потоком вихря. Гельмгольцу, в частности, принадлежит важная кинемати-74 ческая теорема о постоянстве потока вдоль вихревой трубки, из которой следует невозможность обрыва вихревых трубок внутри жидкости. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...