Решения точные уравнений Стокса

Не останавливаясь, как и при изложении аналитических методов, на деталях, приведем краткое перечисление нескольких, главным образом, современных работ по численным решениям точных уравнений Стокса и качественное описание некоторых, наиболее с точки зрения гидродинамики интересных результатов. [c.544]

Можно было бы показать, что для диффузора, образованного двумя плоскими стенками, существует точное решение полных уравнений Навье—Стокса [7). Из него вытекает, что безотрывное (чисто радиальное) течение в таком диффузоре может существовать только при числах Рейнольдса, удовлетворяющих условию [c.386]

Заметим, что это простое решение является точным решением полных уравнений Навье — Стокса. Поскольку на пластине в рассматриваемом случае формируется пограничный слой, опре- [c.274]

Интегрирование дифференциальных уравнений Навье — Стокса в силу их нелинейности связано с большими математическими трудностями. В настоящее время известно лишь небольшое количество случаев, для которых найдено точное решение этих уравнений одно из таких решений рассматривается далее (в 40). В большинстве же случаев уравнения Навье — Стокса упрощают применительно к условиям задачи, опуская в этих уравнениях те или иные слагаемые, влиянием которых по сравнению с другими можно пренебречь. [c.118]

Выбор в качестве основного потока аналитически довольно простого плоского потока с критической точкой , который описывается весьма точным решением полных уравнений Навье —Стокса в локальных координатах, удобен тем, что в результате мы получаем относительно простой закон вихревых возмущений. Этот закон является соответствующим видоизменением закона, полученного из более ранней теории [1] неустойчивости пограничного слоя на вогнутых стенках. [c.261]

Как обсуждалось ранее, сопротивление бесконечно длинного цилиндра, движущегося в неограниченной жидкости, не может быть рассмотрено в рамках уравнений Стокса. Для конечных цилиндров точных решений еще не получено, но так как они напоминают по форме эллипсоиды, могут быть использованы приближенные методы. В частности, метод, развитый Бюргерсом [151 и обсуждаемый в разд. 3.4, можно применить для расчета сопротивления длинных цилиндрических тел. Для этой цели мы предполагаем, что тело можно представить как систему сил, расположенных соответствующим образом на оси тела. Можно написать выражения для компонент скорости, являющейся результатом действия этих точечных сил, и далее попытаться определить интенсивность этих сил так, чтобы средняя величина результирующей скорости приближенно равнялась нулю на поверхности, первоначально занимаемой поверхностью тела. Этот метод ранее иллюстрировался при выводе закона Стокса. [c.264]

Получение в предыдущих параграфах точных решений уравнений Стокса сравнительно простыми математическими средствами было обусловлено линейностью основных уравнений, которая следова.ча из предположения о прямолинейности линий тока в цилиндрических (призматических) трубах и одинаковости сечений вдоль трубы. [c.403]

Все рассмотренные до сих пор случаи интегрирования уравнений Стокса были достаточно просты. Это объясняется тем, что путем тех или других допущений задачи сводились к линейным уравнениям, не заключавшим в себе нелинейного элемента — конвективного инерционного члена V -у) V. Точные аналитические решения полных нелинейных уравнений движения вязкой жидкости немногочисленны. Большой теоретический интерес представляют опубликованные недавно К. И. Бабенко асимптотические решения при малых числах Рейнольдса. [c.434]

Эти величины на стенке могут быть найдены непосредственно из решения уравнений Навье — Стокса с граничными условиями скольжения. С другой стороны, с помощью уравнений Навье — Стокса их можно найти вне кнудсеновского слоя (где решение этих уравнений отличается от точного на величины порядка е ) и продолжить решение внутрь слоя (где с помощью уравнений Навье — Стокса гидродинамические величины р, а к Т находятся с ошибкой порядка с) с помощью уравнения Больцмана. Сравнивая между собой результаты, полученные этими двумя путями, оценим ошибки, возникающие при вычислении трения и теплопередачи на стенке непосредственно из уравнений пограничного слоя с условиями скольжения. [c.334]

Точные решения уравнений Стокса были даны также и в других случаях, представляющих физический интерес. Следует [c.338]

Итак, для описания струйного неавтомодельного течения при помощи главных членов асимптотического разложения (27) необходимо задать не два, а три интеграла сохранения Jz, Q и Данный вывод относится к решению полных уравнений Навье — Стокса. Между тем, большинство работ по теории струй выполнено в приближении пограничного слоя. Сначала рассмотрим, что происходит с точным решением в ситуации, когда ReA- +i и, следовательно, согласно (1.3) Jz- °°. Конечный результат существенно зависит от того, каким образом изменяется расход Q при этом предельном переходе, что в свою очередь зависит от способа увеличения Re. [c.285]

Отметим, что это простое решение является точным решением полных уравнений Навье — Стокса. [c.358]

Значительно развито содержание глав VHI—XI, посвященных общей динамике вязких несжимаемых жидкостей и газов, включая сюда теорию пограничного слоя и турбулентных движений. В этих главах изложены многие новые вопросы, относящиеся к динамике вязких неньютоновских и электропроводных жидкостей в магнитном поле, к результатам современных машинных расчетов точных решений уравнений Стокса, включая неизотермические движения и свободную конвекцию, к новым методам расчета пограничных слоев в несжимаемых жидкостях и в газовых потоках больших скоростей и к современным представлениям о турбулентности и ее применениям к некоторым прикладным задачам. [c.2]

Получение в предыдущих параграфах точных решений уравнений Стокса сравнительно простыми математическими средствами было обусловлено линейностью основных уравнений, которая следовала из предположения о прямолинейности линий тока в цилиндрических (призматических) трубах и постоянства сечений вдоль трубы. Решение задач внешнего обтекания тел вязкой жидкостью требует решения нелинейных уравнений, причем нелинейность заключена в стоящем в левой части уравнения инерционном члене, выражающем конвективную часть ускорения, Откидывание этого члена или замена его приближенным линейным выражением приводит к линеаризации уравнений Стокса. [c.497]

Краткий обзор точных аналитических решений уравнений Стокса [c.534]

Наиболее распространенным типом точных решений являются подобные или автомодельные решения уравнений Стокса. Как уже неоднократно упоминалось, под этим подразумеваются решения таких задач, которые допускают сведение дифференциальных уравнений в частных производных к таким же уравнениям, но с меньшим числом переменных, а в частном случае двух переменных к обыкновенным дифференциальным у р а в н е i I и я. м. [c.534]

ОБЗОР ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ УРАВНЕНИИ СТОКСА 535 [c.535]

ОБЗОР ТОЧНЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ СТОКСА 537 [c.537]

Из сказанного следует, что качественные методы все же требуют привлечения экспериментальных данных, чтобы в их выводы можно было поверить. Это связано с весьма сложным характером решений нелинейных уравнений Навье — Стокса только из вида самих уравнений ие удается угадать основные черты решения (которые сами по себе не являются сложными). Практически ие реализуемы в настоящее время, несмотря иа мощные ЭВМ, и точные решения трехмерных течений для реалистических ситуаций. Например, решение, приведенное в 8.4, является лишь одним из механизмов возникновения турбулентности. [c.217]

Трехмерное обтекание пористой частицы произвольным деформа-ционно-сдвиговым потоком рассматривалась в работе [77]. Для описания течения вне частицы использовались уравнения Стокса (2.1.1) и считалось, что внутри частицы происходит фильтрация внешней жидкости закону Дарси (2.2.24). Вдали от частицы требовалось удовлетворить условиям (2.5.1), а на границе частицы выставлялись граничные условия, которые были описаны ранее в разд. 4.2. Было получено точное аналитическое решение для компонент скорости жидкости и давления снаружи и внутри пористой частицы. [c.65]

Уравнения Навье - Стокса и энергии для осесимметричного течения в цилиндрических координатах приведены в [2, 4]. Точное численное решение таких уравнений в случае коаксиального обдува вращающегося диска (фиг. 1) возможно с использованием замены переменных [c.25]

Точное решение системы уравнений Навье-Стокса для случая течения жидкости вблизи плоского вращающегося диска, а также для вращательного движения жидкости над неподвижным сплошным основанием емкости приведено в монографии Г. Шлихтинга [71]. Анализ результатов, приведенных в [71], позволяет сделать ряд обобщений относительно закономерностей изменения радиальной, окружной и осевой составляющих [c.352]

Сборник объединяет работы, опубликованные автором в научных журналах в 1957-1998 гг. Предложены вариационные принципы газовой динамики без дополнительных ограничений и магнитной гидродинамики при бесконечной проводимости. Выведены полные системы законов сохранения газовой динамики и электромагнитной динамики совершенного газа. Дано аналитическое решение задач оптимизации формы тел, обтекаемых плоскопараллельным и осесимметричным потоками газа, а также формы сверхзвуковых сопел. Построены точные решения уравнений Навье—Стокса для стационарных течений несжимаемой жидкости, воспроизводящие вихревые кольца, пары колец, образования типа разрушения вихря , цепочки таких образований и др. [c.2]

Иначе дело обстоит с решением вариационных задач газовой динамики и с точными решениями уравнений Навье—Стокса. Эти результаты своеобразно и тесно переплетены с численными и экспериментальными исследованиями. Решение краевых задач при оптимизации формы тел в сверхзвуковом потоке газа первоначально проводилось численно, итерационным путем. Обращение в нуль одной из рассчитываемых функций подсказало путь аналитического решения и открыло путь к исследованию необходимых условий минимума и к получению новых решений. При использовании этих результатов для практики в потоках внутри сопел рассчитывался пограничный слой, а результирующая сила тяги была проверена на специальной опытной установке. Расхождение между расчетной силой тяги и ее экспериментальной величиной не превысило 0,1%. [c.5]

Ввиду невозможности получить точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнения энергии для подавляющего большинства задач гидродинамики и газовой динамики прибегают либо к приближенным решениям, либо к экспериментам на моделях. В последнем случае возникает вопрос об условиях подобия для обтекания натурного объекта и его модели. [c.75]

К одному из простых частных случаев точного решения уравнений Навье — Стокса мы приходим в случае так называемых слоистых течений, когда сохраняется лишь одна составляющая скорости, а остальные две всюду равны нулю [c.86]

В общем случае при любых 2 (101(11=1= 0, но является малой второго порядка по сравнению с малыми величинами ско ррстей жидкости. Ниже мы выбираем поверхность 2 так, чтобы (101(11 = о, и поэтому соотношение (19.22) можно рассматрива,ть как точное уравнение количества движения для решений о движении жидкости и о внутренних напряжениях, определяемых из приближенных уравнений Стокса. [c.233]

Для больших чисел Рейнольдса существуют точные решения дифференциальных уравнений Навье —Стокса пограничного слоя. К ним относятся обтекание плоской пластины вблизи критической точки, обтекание вращающейся поверхности [6 и 7] и обратный случай — обтекание неподвижной поверхности внешним вращающимся потоком. Г. Хамелем [10] было показано, что в сильно суживающемся клиновидном канале пограничный слой образуется даже при больших числах [c.10]

Точные решения урависггий Навье — Стокса в общем виде получить в Настоящее время не удается. Однако для некоторых частных случаев такие решения найдены. Эти решения главным образом относятся к задачам, где все инерционные члены в левой части уравиепий 2.47) исчезают. В частности, указанным свойством обладают так называемые слоистые течения, признаком которых является наличие только одной составляющей скорости. Если этой со- Ставляющей является скорость и, а составляющие и и w равны нулю, то из уравнения неразрывности следует, что <ди дх—0 и, следовательно, и от координаты д не зависит. Таким образом, для слоистых течений имеем и=и у, z) зу=0, 1и=0 др/ду=0, dpjdz—O и вместо полной нелинейной t H xewbi (2.47) получим для стационарного течения линейное дифференциальное уравнение относительно скорости Щ у, г) [c.146]

X, = [.t /(1 - Д)] -1-, / 7 1, / ,х° - onst, i = 1,2,3, а для плотности и кинематической вязкости применять значения р = р - /3), V = v(l - / ) , то из (1.23) получим уравнения, совпадающие по форме записи с обычными изотермическими уравнениями Навье-Стокса. Значит, это простое преобразование позволяет на основе имеющихся в литературе решений классических уравнений гидродинамики получать точные решения обобщенных уравнений движения вязкой жидкости. Изложенный подход дает также возможность моделировать течения, подчиняющиеся уравнениям Предводителева-Стокса (1.23), течениями жидкостей, определяемыми классическими уравнениями. [c.10]

Тамада и Фудзикава [61], используя уравнения Озеена, исследовали двумерное обтекание бесконечной полосы параллельных цилиндров в общем случае, когда направление набегающега потока образует произвольный угол с осью полосы. Они пока- зали, что для течения, перпендикулярного к полосе, сопротивление каждого цилиндра стремится в пределе при числе Рейнольдса, стремящемся к нулю, к результату, полученному на основе уравнений Стокса. Для течения, параллельного полосе цилиндров (но перпендикулярного продольной оси каждого цилиндра в полосе), ограниченное решение уравнения Стокса не получается, как это и предполагалось из результатов Краковского и Чэрнеса. Таким образом, при любом косом обтекании плоской сетки равновеликих параллельных цилиндров не может существовать решение уравнения Стокса. Однако возможно получить удовлетворительную аппроксимацию, основываясь на решении уравнений Озеена или, более точно, используя методы сингулярных возмущений [c.67]

Из рассмотрения приведенных кривых можно сделать те же выводы, что и выше теория Навье — Стокса достаточно точно определяет структуру волны при числах Маха, близких к единице, и точность теории падает по мере увеличения чисел Маха. При этом наибольшие отклонения нaбJHOдaют я у температурного профиля. Точное решение модельного уравнения не дает отмеченного выше максимума в температурной кривой. [c.304]

Описание явлений, связанных с распространением струй в вязкой жидкости, требует также точного решения нелинейных уравнений Навье — Стокса. При этом приходится иметь в виду, что эти явления устойчивы лишь при сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса, Н, А. Слезкин (1934), по-видимому, впервые обратил внимание на существование группы точных автомодельных решений уравнений Навье — Стокса, которую в дальнейшем Л. Д, Ландау (1944) истолковал как распространение затопленной струи в безграничной области пространства, заполненного той же вязкой жидкостью. Ландау показал связь этого точного решения с известным уже к тому времени решением задачи о круглой струе в приближении теории пограничного слоя, т. е. при больших значениях рейнольдсова числа. Более общее, неавтомодельное решение было позже получено В И. Яцеевым (1950) и интерпре сировано Ю. Б. Ру-мером (1952) как решение задачи о струе, бьющей из источника с заданным конечным значением секундного объемного расхода. [c.515]

Фактически вновь составлены главы VIII, IX, X и XI. Содержание главы VIII пополнилось изложением основных реологических законов неньютоновских жидкостей и применения одного из них к расчету движения в круглой цилиндрической трубе, расчетом ламинарного движения по плоской и призматической (прямоугольной) трубе электропроводной вязкой жидкости при наличии электрического и магнитного полей, обзором точных аналитических решений уравнений Стокса и изложением некоторых результатов численного их интегрирования, как в случае изотермических, так и пеизотермических двил<ений однородных и неоднородных по составу жидкостей. [c.9]

В заключение предыдущего раздела, посвянденного движениям вязкой несжимаемой жидкости со сравнительно малыми рейнольдсовымн числами, дадим краткое описание методов точных решений полных, заключающих нелинейные члены (комноиенты конвективного ускорения) уравнений Стокса, включая сюда iie только аналитические, но и чисто численные решения, полученные в последнее время при помощи электронных вычислительных цифровых машин (ЭВЦМ). [c.534]

В дальнейшем будут изложены разнообразные приближенные методы интегрирования уравнений пограничного слоя, будут приведены также и некоторые случаи точного их решения. Наличие электронных вычислительных цифровых машнн (ЭВЦМ) позволило свести решение задач пограничного слоя к составлению стандартных программ, предназначенных для той или другой ЭВЦМ/). С этой целью используется тот же метод сеток, что и при обычном численном интегрировании уравнений Стокса. Характерная для пограничного слоя малая протяженность области интегрирования в направлении, перпендикулярном к потоку (контуру поверхности тела), заставляет пользоваться уравнениями пограничного слоя в безразмерной форме. Использование в качестве масштаба поперечных к потоку длин величины порядка толщины слоя, т. е., согласно (9), величины, обратно пропорциональной корню квадратному из рейнольдсова числа, приводит к растягиванию безразмерных поперечных координат и приведению их к тому же порядку, что и безразмерные продольные координаты. Такое аффинное преобразование области пограничного слоя полезно при любых его расчетах и будет постоянно Б настоящей главе применяться. [c.564]

Введение. Дифференциальные уравнения Навье—Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных второго порядка. Точные аналитические решения этих уравнений в подавляюш ем большинстве случаев встречают не преодоленные пока еш,е трудности. Число известных в настояш ее время точных решений весьма невелико. Поэтому при интегрировании уравнений Навье— Стокса получили сравнительно широкое распространение и численные приближенные аналитические методы. К числу последних и относится теория гидродинамического пограничного слоя. Основная идея и первоначальная разработка этой теории принадлежат Прандтлю [251, который в 1904 г. пришел к выводу о том, что между потоком жидкости или газа и плавно омываемым ими телом при достаточно большом числе Рейнольдса существует тонкий пограничный слой, в котором сосредоточено почти все вязкое трение. Вне этого тонкого слоя силы вязкости пренебрежимо малы, и в этом случае жидкость (или газ) можно рассматривать в качестве невязкой. [c.256]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Уравнения (1.3.9) —(1.3.13) следуют из уравнений Павье — Стокса, если длина трубы значительно больше его радиуса [5, 6]. При этом приходится делать оценки, аналогичные тем, с помощью которых получаются уравнения пограничного слоя. Поэтому уравнения (1.3.9) —(1.3.13) называют уравпениямн типа пограничного слоя (в них отсутствуют вторые производные но х п смешанные производные по X и I/, которые малы но сравнению со вторыми производными по радиусу). Вместе с тем в отличие от уравнений пограничного слоя, где давление — известная функция х и нри решении системы уравнений (1.3.9) —(1.3.13) приходится определять с помощью первого уравненпя (1.3.13) давление в каждом сечении трубы. Это уравиеиие в отсутствие вдува газа со степок трубы превращается в известное условие постоянства расхода [3, 6]. Падо сказать, что в окрестности. г == О решение системы (1.3.9) — (1.3.13) отличается от решения более точных уравнений Павье — Стокса. Оценка соответствующей погрешности, возникающей из-за неучета отброшенных членов, дана в работе [5]. [c.19]

Стокса для гидравлики уравнения теилопроводностн для термодинамики и т. д.), но точное решение ее удается получить лишь для частных случаев, поэтому первая задача, возникающая при моделировании, состоит в построении приближенной дискретной модели. Для этого используются методы конечных разностей и интегральных граничных уравнений, одним из вариантов последнего является метод граничных элементов. Так как получаемая при дискретизации пространства аипрокси-мирующая система алгебраических уравнений имеет высокий порядок, то при моделировании достаточно сложных технических объектов приходится принимать ряд допущений и упрощений и переходить к моделированию на макроуровне. [c.6]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...