Решение В. Вольтерра

Явное решение В. Вольтерра. Для получения явного решения в эллиптических функциях В. Вольтерра использовал проективные координаты [c.157]

Заметим, что вариационные принципы наследственной теории упругости допускают и иную трактовку. Вследствие принципа Вольтерра можно применять любой метод для решения задачи обычной теории упругости, и лишь в окончательном результате упругие константы следует заменить операторами. Отсюда следует, в частности, что для нахождения точного или приближенного решения задачи теории упругости может быть применен любой из известных вариационных методов, если в результате решения в окончательном результате появится некоторая комбинация упругих констант, ее можно заменить такой же комбинацией из операторов и расшифровать по известным правилам. [c.606]

Заметим, что при применении традиционных процедур разложения решений в ряды по произвольному базису Н или по собственным функциям оператора А, когда Р2 I, возникает проблема изучения бесконечной системы операторных уравнений Вольтерра (см., например, [6, 10, 25]). Это ставит серьезные теоретические проблемы и создает существенные вычислительные трудности при решении прикладных задач. Проекционный метод дает кроме теоретической ясности и эффективный численный алгоритм, в котором требуется решать последовательность независимых уравнений Вольтерра. [c.558]

Теория колебаний больцмановского тела, подчиняющегося уравнению (5.38), приводит к чрезвычайно сложной математической задаче, включающей решение интегро-дифференциального уравнения с частными производными. В. Вольтерра [150] в его теории функционалов рассматривал эту задачу, но результаты этой теории нашли пока очень небольшие применения к изучению динамического поведения вязко-упругих материалов. [c.111]

Аппроксимация ядра х (i — т) с помощью экспоненциальных функций позволяет простыми средствами обращать соотношения (2.25), т. е. находить резольвенты соответствующих ядер. При решении задач вязкоупругости используется принцип, сформулированный В. Вольтерра и заключающийся в том, что решение задачи обычной теории упругости может быть трансформировано в решение соответствующей задачи теории вязкоупругости, если заменить упругие константы операторами. Расшифровка появляющихся при этом функций от операторов в принципе всегда выполнима, если эти функции рациональны. В противном случае возникают определенные трудности. Следует заметить, что принцип Вольтерра применим лишь тогда, когда вид граничных условий остается неизменным (он непригоден, например, для задач о движущемся штампе). [c.131]

В линейной теории упругой наследственности с условием замкнутого цикла В. Вольтерра сформулировал важный принцип, который был позже назван его именем. Этот принцип позволяет решить статическую задачу теории упругой наследственности, если известно решение этой же задачи в рамках обычной теории упругости. Для этого нужно лишь в решении упругой задачи заменить постоянные Ламе (модуль Юнга, коэффициент Пуассона или модуль сдвига) соответствующими операторами типа Вольтерра. [c.176]

Заметим, что решение уравнения Вольтерра, вычисление значения Тср и интеграла, входящего в Р. (/), оформлены в виде трех самостоятельных подпрограмм. [c.158]

В классический период кроме нахождения первых интегралов особенно ценилось также получение явного решения в различных классах функций, в основном, эллиптических. Особых успехов здесь добились С. В. Ковалевская, В. Вольтерра, Г. Альфан, и их техника до сих пор во многом является непревзойденной. [c.15]

Жуковский, Николай Егорович (17.1.1847-17.3.1921) — русский механик, математик, инженер, по выражению В. И. Ленина — отец русской авиации . В своей магистерской диссертации (1885 г.) заложил основы теории движения твердого тела с полостями, полностью заполненными идеальной несжимаемой жидкостью. Для многосвязных полостей отметил эквивалентность полученной формы уравнений с движением твердого тела с маховиком — гиростатом, ввел соответствующие динамические характеристики и провел их вычисления для полостей различной формы. Указал случай интегрируемости свободного гиростата, явное решение для которого было получено В. Вольтерра при помощи эллиптических функций (1899). [c.22]

Устойчивость ветвей диаграммы показана на рис. 65, она была исследована в линейном приближении еще В. Вольтеррой, наиболее полные результаты получены в [150, 57]. Некоторым общим выводом по устойчивости является то, что добавление ротора приводит к двукратному увеличению как устойчивых стационарных движений, так и неустойчивых. При этом неустойчивые решения исчезают при малых к, с, соответствующих быстрому вращению ротора. [c.156]

В теории интегральных уравнений Вольтерра второго рода функция T(i) называется ядром уравнения (5.12), а функция /С(/) —его резольвентой. Если для ядра Т(0 найдена резольвента K t), то уравнение (5.11) называется решением уравнения (5.12), и, наоборот, уравнение (5.12) будет решением уравнения (5.11), если для ядра К (t) уравнения (5.11) найдена резольвента T(t). Уравнение (5.12) можно записать в краткой форме [c.220]

В тех случаях, когда решение задачи теории вязкоупругости с помощью принципа Вольтерры невозможно или затруднено, эффективными могут оказаться методы решения, основанные на вариационных принципах. [c.354]

Решение плоской задачи теории упругости сводится к решению бигармонического уравнения относительно функции напряжений ф. Так как оно не содержит упругих постоянных, то на основании принципа Вольтерры можно утверждать, что это же уравнение справедливо и для плоской задачи теории вязкоупругости. Если граничные условия на границе односвязной области, занимаемой рассматриваемым телом, заданы в усилиях, то, как отмечалось в 4.3, решение плоской задачи теории упругости не зависит от упругих постоянных. Следовательно, распределение напряжений в каждый момент времени i в вязкоупругом теле совпадает с распределением напряжений в упругом теле. [c.360]

Функция W должна, кроме того, удовлетворять граничным условиям на кромках пластины. Если в упругой пластине краевые условия не зависят от модуля упругости, то решение задачи для вязко-упругой пластины с помощью принципа Вольтерры легко может быть найдено из решения для упругой пластины. Ограничимся рассмотрением пластинки, кромки которой жестко защемлены либо свободно (шарнирно) оперты. [c.361]

Решение задач теории вязкоупругости часто сводится к решению линейных интегральных уравнений Вольтерры или их систем. Точное аналитическое решение таких уравнений возможно, как правило, только Рис. 11.9 в исключительных случаях, а потому [c.365]

Решение уравнения (96) будем ис<ать в виде ряда Вольтерра [c.98]

Излагаемое ниже решение было дано самим Вольтерра в 1907 г., позднее Бюргере (1939 г.), Питч и Келер (1950 г.) и другие авторы представили его в иной форме, более удобной для приложений. Теория упругих дислокаций служит предметом отдельной гл. 14 этой книги, теория Вольтерра в общих чертах излагается ниже. [c.365]

Уже в ранних работах Вольтерра было отмечено, что при решении задач наследственной теории упругости операции, связанные с решением дифференциальных уравнений, аналогичных обычным уравнениям теории упругости, и операции интегрирования по времени, связанные с вычислением операторов Вольтерра, могут выполняться в произвольном порядке. Отсюда вытекает следующее правило, которое можно назвать принципом Вольтерра. [c.598]

В сороковые — пятидесятые годы, когда наследственная теория упругости получила новое развитие в работах американских авторов, для решения задач получил широкое распространение метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Для этого метода был сформулирован принцип соответствия, который по существу представляет собою простую перефразировку принципа Вольтерра. Применяя к основным соотношениям закона наследственной теории упругости (17.7.2) преобразование Лапласа, мы получим на основании теоремы о свертке следующие [c.598]

Здесь черточки над буквами обозначают преобразования Лапласа соответствующих функций. Уравнения (17.9.1) имеют форму обычных уравнений закона Гука. Выполняя преобразования Лапласа над уравнениями равновесия, соотношениями связи между деформациями и перемещениями и граничными условиями, мы получим для изображений систему уравнений, совпадающую с системой уравнений теории упругости. Ее решение ничем не отличается от решения задачи обычной теории упругости изображения напряжений и перемещений оказываются выраженными явно через изображения заданных на границе усилий и перемещений и функций наследственности. Теперь последний этап будет заключаться в том, чтобы перейти от изображений к оригиналам. Эта процедура буквально повторяет ту, которая предписывается принципом Вольтерра, но в других терминах. [c.599]

Исследования напряженно-деформированного состояния вязкоупругого тела с трещиной, ведутся, как правило, с применением принципа Вольтерра, состоящего в том, что решение таких задач получают из соответствующих решений для упругого тела заменой упругих постоянных временными операторами (операторами наследственной теории упругости). [c.299]

Уравнения Вольтерра. При решении различных задач теории ползучести ]неоднородно-стареющих сред в настоящей книге используется ряд утверждений из теории интегральных уравнений Вольтерра. Приведем здесь некоторые из них (см., например, [330, 341, 502]). [c.18]

Таким образом, задача теории ползучести для призматического тела, подверженного старению, при дискретном наращивании сводится к решению интегрального уравнения Вольтерра (1.5). Уравнение (1.5) является исходным соотношением, согласно которому определяется закон перераспределения усилий в стареющих вязкоупругих телах и йа после их стыковки. [c.81]

Исследование интегрального уравнения Вольтерра (1.5). Решение интегрального уравнения Вольтерра второго рода (1.5) можно представить в виде [c.81]

Таким образом, задача теории ползучести кручения круглого наращиваемого стержня свелась к решению интегрального уравнения Вольтерра второго рода (3.6). Действительно, найдя функцию 00 t) из уравнения (3.6), можно, пользуясь соотношениями (3.1) —(3.4), найти деформации у t, ), Уо Ь, г) и напряжения а ( , I), Оо t, г) в любой момент времени t в любой точке наращиваемого стержня. Как и в предыдущих параграфах, для решения уравнения (3.6) возьмем функцию р. ( , х) в виде [c.91]

Исследование интегрального уравнения (1.10). Перейдем теперь к исследованию интегрального уравнения Вольтерра второго рода (1.10). Согласно ограничениям, наложенным па его ядро, оно однозначно разрешимо [229] в пространстве С (1, Т) непрерывных на [1, Т функций при любых значениях параметров ai и с. Для построения приближенного решения уравнения (1.10) примем, что [c.132]

В (3.7) коэффициенты Af (t) определяются через (t) яз решения интегрального уравнения Вольтерра второго рода [c.150]

Критерии применимости принципа Вольтерра при решении некоторых граничных задач теории вязкоупругости, в которых области задания различных видов граничных условий изменяются со временем, приведены в [428]. [c.285]

Аналогия между упругим и наследственно-упругим телами может быть распространена и на задачу отыскания напряженно-деформированного состояния. А именно, если требуется решить такого рода задачу для наследственно-упругого тела, то следует сначала решить эту же задачу для упругого тела, а затем в решении заменить все упругие модули на соответствующие операторы наследственной упругости (принцип Вольтерра). В частности, если решение упругой задачи не зависит от упругих постоянных материала, то оно без изменений переносится на случай наследственно-упругого тела. Простейшие примеры применения этого принципа будут рассмотрены в главах XI и X I, посвященных изгибу и кручению. [c.767]

Система Жуковского-Вольтерра. Рассмотрим явное решение для случая Жуковского-Вольтерра, основываясь на методе, предложенном А. Вангерином в 1889 г. [281] и развитым в [57]. По сравнению с оригинальным аналитическим решением В. Вольтерра, которое обсуждается в 7 гл. 2 этот метод является более наглядным и геометрическим. [c.305]

Исследования в области плоских и пространственных контактных задач вязкоупругости показали, что в случае монотонного возрастания области контакта принцип Вольтерра дает правильное решение. В других случаях некоммутативность операторов вязкоупругости и интегрирования по зависящей от времени области контакта делает непригодным принцип Вольтерра и требует специальных приемов построения решений [181, 600]. [c.284]

Частные случаи динамических систем со стохастическими нелинейностями рассмотрены методом разложения решения в ряд Вольтерра [85]. Однако такой подход является трудоемким и не дает возможности оценить точность решения. Для оценки точности решения, полученного методом статистической линеари- [c.247]

Схемотехническое проектирование радиотехнических схем (RP-схем) отличается рядом особенностей математических моделей и используемых методов, особенно в области СВЧ-диапазона. Для анализа линейных схем обычно применяют методы расчета полюсов и нулей передаточных характеристик, моделирование стационарных режимов нелинейных схем чаще всего вьшолня-ют с помощью метода гармонического баланса, основанного на разложении неизвестного решения в ряд Фурье, его подстановки в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получают СНАУ, подлежащие решению. Сокращение времени в случае слабо нелинейных схем достигается при моделировании СВЧ-устройств с помощью рядов Вольтерра. Анализ во временной области для ряда типов схем вьшолняют с помощью программ типа Spi e путем интегрирования СОДУ. [c.229]

Название метод граничных элементов , впрямую привязанное к дискретизации границы для проведения вычислений, вряд ли могло появиться до тех пор, пока численное решение сложных задач на ЭВМ не стало общедоступным — интегральные уравнения родились и долгое время оставались не средством численного решения задач, а мощным орудием теоретического исследования проблем математической физики. С их помощью доказывались теоремы существования и единственности решения краевых задач в различных классах функций, выяснялся характер сингулярностей в особых точках, изучались спектры операторов, соотношения между исходными и сопряженными уравнениями и т. д. Эта большая работа оставила заметный след в развитии математики. Достаточно назвать имена Э. Бетти, В. Вольтерры, Д. Гильберта, Ж- Лиувилля, Дж. Лауричеллы, А. М. Ляпунова, К. Неймана, А. Пуанкаре, С. Сомильяны, Э. Фредгольма, чтобы почувствовать сколь значительны результаты, полученные в теории интегральных уравнений. [c.266]

ТаБсим образом, когда длина линии контакта 2а( ) = 2а задана, то неизвестная функция а = ( ), входящая в решение уравнения Вольтерра (1.58) u(x,t) = а [х, ,а( )], определяется из уравнения (1.121). [c.250]

Воспользовавшись принципом Вольтерра, мы получим решение, в которое будут входить алгебраические или трансцендентные функции операторов по времени, и это решение надо егце расшифровать. В обгцем случае такая расшифровка связана с определенными трудностями. В ряде случаев эти трудности преодолеваются. Для этого используется интегральное иреоб-зазование Лапласа-Карсона, метод аппроксимаций Ильюшина 10], операторы Работпова [24]. [c.219]

Это соображение является ключевым в обширной работе В. Вольтерра [280]. Мы не будем приводить здесь подробных вычислений, а ограничимся лишь замечаниями о недостатках такого явного решения. Уравнения четвертой степени для коэффициентов матрицы определяющей преобразование (7.9), не решается явно. Вследствие этого все дальнейшие рассуждения носят лишь формальный комплексный характер, сходный с теоремами существования. Практически из самого решения нельзя сделать каких-либо полезных динамических выводов. Все результаты, полученные после Вольтерра (по устойчивости, топологический анализ и пр.) [57, 150], не используют его явных квадратур. Видимо, здесь не совсем правильной является постановка задачи о сведении, несмотря ни на какие трудности, к эллиптическим функциям, которые являются мало приспособленными для такого сорта задач. Аналогичные проблемы имеются с решениями Кёттера [234, 236] для случаев Клебша и Стеклова. Хотя на них и приходится ссылаться при написании работ, они совсем бесполезны для динамики и практически не используются. Вообще, излишняя тяга к комплексным методам способна из очень естественных механических задач сделать сверхсложные и нерешаемые проблемы алгебраической геометрии [134]. [c.157]

Для решения уравнения Вольтерра (Д.30) напомпим, что система ехр(—a2ni) , где Оп определяются формулой (Д.13) с заменой Я2п на р,2 , замкнута в классе непрерывных, исчезающих на бесконечности функций. А тогда, принимая во внимание (Д.22) я первую формулу (Д.24), запишем [c.320]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Таким образом, задача нахождения напряжеино-деформиро-ванного состояния в наращиваемом клине 3 (i) свелась к решению системы двух интегральных уравнений Вольтерра (4.12). Действительно, найдя функции i = 1, 2, из системы уравнений [c.97]

Аналитическое решение этого уравнения при произвольной функции р1 (х) затруднительно. В частном случае, когда возраст стрингера не зависит от х, но отличен от возраста полуплоскости р21 р1 ( ) = Pi = onst (не нарушая общности, можно принять Pi = 0), решение интегро-дифференциального уравнения (2.5) можно получить в замкнутой форме. Применяя в этом случае к обеим частям уравнения (2.5) преобразование Фурье, приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода [c.138]

Согласно принципу Вольтерра решение задачи вязкоупругости можно получить, заменив константы Р°цн операторами Р в решении задачи для идеально упругого тела. В результате решение задачи вязкоупругости приводится к вычислению функции операторов, воздействующей на известную функцию времени. Решение последней задачи нетривиально, особенно если функция констант материала транСцендентна или задача теорий упругостй решается численно. [c.283]

До недавнего времени основное содержание работ по механике композиционных материалов состояло в сведении задачи неоднородной (чаще всего изотропной) теории упругости к задаче однородной анизотропной теории. Это достигалось введением так называемых эффективных модулей, которые либо вычислялись различными методами (как стохастическими, так и детерминированными), либо определялись экспериментально как средние модули материала в целом. В данной книге этому вопросу посиящены главы 1—3. Понятно, что описание поведения композиционных материалов при помощи эффективных модулей пригодно только для решения задач об упругих композитах, Б некоторых случаях принцип Вольтерры (или, как его еще называю г, принцип соответствия) позволяет распространить теорию эффективных модулей и на линейные вязкоупругие композиты (глава 4), В настоящее время в отечественной литературе появились работы, в которых неоднородная задача теории упругости (вязкоупругости) сведена к последовательности задач анизотропной однородной моментной теории упру- [c.6]

В случае необходимости полученное решение может быть уточнено различными способами, например методом малого параметра, на базе интегрального уравнения Вольтерра II рода, методом квазилинеаризации и др. [5, 8, 40, 61 ]. Следует, однако, заметить, что поиск последующих приближений нередко оказывается неоправданным из-за погрешностей, возникающих при идеализации реальных систем, неточностей при определении параметров динамических моделей и т. п. [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...