Инвариантность к операциям симметрии

В заключение отметим, что во всех случаях применения групп симметрии к молекулам инвариантность энергии молекулы по отношению к операции симметрии является более важным фактором, чем любая структурная симметрия молекулы. [c.47]

Более общий случай дважды вырожденных колебаний. Рассмотренное нами поведение нормальных координат по отношению к операциям симметрии можно также получить из требования инвариантности потенциальной энергии [c.107]

Следствия из инвариантности оператора Гамильтона по отношению к операциям симметрии пространственной группы [c.113]

Сильные и эл.-магн. взаимодействия инвариантны относительно операции зарядового сопряжения замены всех частиц на соответствующие им античастицы. Эта С. не является пространственной и рассматривается в этом разделе из-за её связи с СРГ-симметрией. Зарядовая С. приводит к закону сохранения особой величины — зарядовой чётности (или С-чётности), характеризующей истинно нейтральную частицу (или систему частиц, не обладающую к.-л. зарядом), переходящую сама в себя при зарядовом сопряжении. [c.507]

Этот результат следует из геометрической симметрии зоны Бриллюэна. Каждому из основных типов решетки (см. гл. 1) свойственна инвариантность при операции инверсии —г относительно любой точки решетки. Из геометрического определения этой операции следует, что и зоны Бриллюэна для каждой такой решетки обладают инверсионной симметрией. Итак, если в энергетической зоне заполняются все пары состояний к, то неизбежно заполняются и все пары —к и, следовательно, полный волновой вектор равен нулю. [c.345]

Ячейки Вигнера —Зейтца отличаются тем свойством, что они инвариантны ко всем операциям симметрии решетки ко всем вращениям, зеркальным отражениям, к инверсии, если средняя точка остается закрепленной и решетка остается инвариантной. В реальном кристалле симметрия ячейки Вигнера — Зейтца не должна сохраняться. Расположение атомов внутри вигнер-зейтцев-ской ячейки —базис-может ограничивать эту симметрию. Все операции симметрии, к которым инвариантен идеальный бесконечный кристалл, объединены в пространственные группы. Пространственная группа содержит, наряду с примитивными трансляциями (15.1), вращения, отражения, зеркально-поворотные преобразования вокруг заданных узлов решетки и осей, инверсии, далее винтовые оси и плоскости скольжения. Последние операции симметрии являются комбинацией зеркально-поворотного преобразова- [c.73]

Свойства симметрии оператора Гамильтона уже сами дают нам сведения о структуре возможных решений (собственных функций и собственных значений в уравнении (16.1)). В следующих параграфах мы рассмотрим следствия, вытекающие из трансляционной инвариантности, которые дадут нам основы зонной модели, и следствия из инвариантности по отношению к другим операциям симметрии пространственной группы ( 18, 25). [c.77]

Электрооптический коэффициент определяет изменение диэлектрической проницаемости среды в зависимости от приложенного электрического поля этот коэффициент также является тензором, но, поскольку он действует на тензор второго ранга, сам он должен быть тензором третьего ранга. В общем случае тензор третьего ранга имеет 27 независимых компонент, но, поскольку тензор второго ранга, на который он действует, симметричен (т. е. имеет только шесть независимых компонент), электрооптический тензор имеет не более 18 независимых элементов. Кроме того, этот тензор должен быть инвариантным по отношению к тем операциям симметрии, которые преобразуют кристалл в самого себя. В большинстве случаев это условие означает, что многие из 18 компонент равны нулю. В частности, если кристалл [c.39]

Симметрия кристалла существенно уменьшает число независимых компонент тензоров, фигурирующих в соотношении (9.1). Компоненты этих тензоров должны быть инвариантны относительно замены системы координат, соответствующей любой из операций симметрии кристалла. Отсюда, в частности, следует, что в кристаллах с центром инверсии тензоры 3-го ранга = = Аналогичным образом приходим к выводу, что в таких кристаллах обращаются в нуль псевдотензоры 4-го ранга и поскольку при инвер- [c.226]

В анизотропном кристалле векторы поляризации могут и не быть столь просто связаны с направлением к распространения волны, если только это направление не инвариантно относительно определенных операций симметрии кристалла. Если, например, вектор к лежит вдоль оси 3-го, 4-го или б-го порядка, то одна мода будет поляризована в направлении к, а две другие — перпендикулярно ему (и вырождены по частоте) ). Тогда можно по-прежнему использовать терминологию, относящуюся к изотропной среде, и говорить [c.70]

Третий вид симметрии, т. е. инверсионная симметрия (симметрия относительно операции , рассмотренная в гл. 2, но не относительно операции t, которая имеет место только для центросимметричных молекул), не зависит от наличия какой-либо структурной симметрии в молекуле или присутствия тождественных частиц и обусловлена тем, что энергия системы ядер и электронов в пространстве, свободном от полей, инвариантна по отношению к действию операции , так же как по отношению к действию операций пространственной трехмерной группы чистых вращений К(П). [c.47]

Операция обращения времени 0 меняет направление всех импульсов (Р) и спиновых угловых моментов (s и I), но не меняет направление радиус-векторов (R). Было бы лучше назвать операцию обращения времени обращением импульсов и спинов. Молекулярный гамильтониан инвариантен относительно этой операции (например, 7 es и Йпа инвариантны относительно замены R->R, Р- —Р, I--1 s->—s). Оказывается, что включение 0 в любую группу симметрии гамильтониана не приводит к какой-либо новой классификации уровней энергии по сравнению с классификацией по типам симметрии исходной группы симметрии. По этой причине мы не будем включать операцию 0 в дальнейшем в группы симметрии. Заметим, однако, что эта операция может быть причиной лишних вырождений. Так, если в исходной группе симметрии имеется пара комплексно-сопряженных неприводимых представлений Г и Г, то как следствие инвариантности Я относительно 0 уровень энергии для состояния с симметрией Г будет всегда совпадать с уровнем энергии симметрии Г. По этой причине Г и Г можно рассматривать как одно представление удвоенной размерности. Будем называть такие представления раздельно вырожденными. В частности, представления Еа и Еь группы Сз (см. табл. 5.4) раздельно вырождены. Таблица характеров такой группы может быть записана в сжатой форме путем объединения характеров пары раздельно вырожденных [c.104]

Дальнейшие упрощения в матрице феноменологических коэффициентов основаны на использовании свойств пространственной симметрии континуальной среды. В этой связи система линейных уравнений (2.1) должна быть инвариантна относительно ряда ортогональных преобразований координат (принцип Кюри). В случае изотропной среды применение операций инверсии и вращения к системе (2.1) указывает на сохранение при преобразовании связей лишь между потоками и силами одной тензорной валентности. Это означает, как было [c.37]

ОБРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ (Г), математич. операция замены знака времени t) в ур-ниях, описывающих развитие во времени к.-л. физ. системы (в ур-ниях движения). Такая замена отвечает определ. симметрии, существующей в природе. А именно, все фундам. вз-ствия (за одним исключением см. ниже) обладают св-вом т. н. Г-инвариантности О. в. (замена < —— ) не меняет вида ур-ний движения. Это означает, что для любого возможного движения системы может осуществляться обращённое во времени движение, когда система последовательно проходит в обратном порядке состояния, симметричные состояниям, проходимым в прямом движении. Такие симметричные по времени состояния отличаются противоположными направлениями скоростей (импульсов) ч-ц и магн. поля. Г-инвариантность приводит к определённым соотношениям между вероятностями прямых и обратных реакций, к запрету нек-рых состояний поляризации частиц в реакциях, к равенству нулю электрич, дипольного момента элем, ч-ц и т. д. [c.479]

Лит. Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд., М., 1982 Смит Я,, В е йи X.. Ферриты, пер. с англ., М., 1962. Ю. П. Ирхин. МАГНИТНАЯ СИММЕТРИЯ — раздел симметрии кристаллов, учитывающий специфику их магнитных свойств, а именно в М. с. принимается во внимание симметрия уравнений движения по отношению к операции обращения времени Л, под действием к-рой координаты всех точек кристалла остаются неизменными, а скорости меняются на противоположные. Соответственно, под действием операции R средняя по времени микроскопическая плотность заряда р(х, у, z), описывающая обычную (электрическую) структуру кристалла, не меняется, и кроме р рассматривается микроскопическая средняя плотность магнитного момента т [х, у, z) [или, что эквивалентно, тока(гг, у, г)], меняющая знак под действием В. Группой магнитной симметрии кристалла называется множество преобразований (пространственных и комбинаций из R и пространственных преобразований), оставляющих инвариантными функции р х, I/, а) и ш (х, у, z). Если представить операцию Я как замену чёрного цвета на белый, то магнитные группы совпадают с шубпиковскими группами симметрии и антисимметрии. [c.661]

Реиормализационная группа (РГ) для критических явлений. Сочетание описанных выше операций крупнозернистого разбиения и изменения масштаба определяет совокупность преобразований РГ Д , обладающих групповым свойством = (точнее, полугрупповым, т. к. для них не определено обратное преобразование). Окончательно преобразование R, для РГ можно определить как преобразование = в т. н. параметрическом или (1-пространстве, где каждая точка ц представляет собой набор параметров эфф, блочного гамильтониана, а совокупность преобразований (/Ij—семейство нек-рых траекторий в нём. В общем случае размерность пространства ji превосходит размерность пространства параметров исходного ячеечного гамильтониана (го, и, г) и растёт по мере роста числа преобразований РГ, однако обычно удаётся ограничиться подпространством основных (доминирующих) взаимодействий. Наиб. физ. интерес в методе РГ представляют неподвижные точки ц, инвариантные относительно преобразований симметрии т. е. обладающие свойством при нек-ром конечном S (а следовательно, и в пределе s-> ). Для этих точек вводится понятие критической поверхности, [c.623]

Потенциальная энергия V инвариантна по отношению к преобразованию координат, если = или —i , т. е. если нормальное колебание является симметричным или антисимметричным относительно операции симметрии. Действительно, это явлиется единственной возможностью удовлетворить условию инвариантности V, если все (все частоты) различны. Поэтому невырожденные колебания могут быть только симметричными или антисимметричными. Однако в случае равенства друг другу двух или нескольких значений X , т. е. при наличии вырожденного колебания, соответствующие значения могут ивлнться линейными комбинациями S,-. Рассматривая случай двойного вырождения, положим, что и являются двумя вырожденными нормальными координатами и что зависящая от них часть потенциальной энергии имеет вид [c.107]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Полезно удостовериться в том, что (109.24) инвариантно при преобразованиях симметрии пространственно-временнбй группы кристалла Очевидно, <3 инвариантно по отношению к операции обращения времени, эквивалентной комплексному сопряжению [c.332]

Энергетические зоны всегда обладают инверсионной симметрией если пренебречь спии-орбитальным взаимодействием. Однако даже при учете спии-орбитальиого взаимодействия энергетические зоны всегда обладают симметрией, если структура кристалла инвариантна по отношению к операции инверсии (в обычном пространстве). При отсутствии центра симметрии, но при наличии спин-орбитального взаимодействия зоны обладают особой сим-1зтрией, если сравнивать между собой подзоны, для которых направление спинов противоположно, т.е. имеет место соотношение е(к, ) = — е. к, I). См. об этом в гл. 9 книги Киттеля [1]. [c.347]

Учет обменного взаимодействия ближайших соседей в различных подрешетках и внутри одной подрешетки (железо-ит-триевый гранат) приводит к изображенному спектру с четырнадцатью ветвями. Для таких спектров опять полезна классификация с помощью теории групп. Симметрия пространственных групп здесь будет ограничена тем, что одинаковые ионы с различным направлением спинов теперь в основном состоянии будут рассматриваться как разные (магнитные пространственные группы). К этому добавляются операции симметрии в пространстве спинов , которые сохраняют инвариантность относительно распределения спинов ионов решетки. Здесь мы не можем входить в рассмотрение этих вспомогательных методов теории групп. [c.170]

Развитие понятия нарушения симметрии привело к необходи-мости включения в теорию скалярного поля (инвариантного по отношению к операциям трансляции, вращения и отражения координат). С этим полем ассоциируется частица с нулевым спином бозон Хиггса, появляющийся в теории на том же уровне элементарности, что и лептоны, и кварки. Если он существует, то должен заменить четыре калибровочных бозона электрослабого взаимодействия, приведенных в табл, 2.1. Теория предсказывает для бозона Хиггса массу, равную 10—50 ГэВ/с . Он может распадаться на пару кварков и антикварков, например bub, которые в свою очередь должны давать адронные струи. [c.71]

Здесь учтено, что частоты некоторых нормальных колебаний могут Оыть одинаковыми (вырожденные или кратные частоты, - кратность частоты). Выражение для энергии должно быть инвариантным относи-таяьно операций симметрии. Это означает, что преобразовываться друг через друга могут только нормальные координаты, относящиеся к данной собственной частоте Я, причем так, чтобы сумма квадра- [c.65]

Для Босстановления право-левой симметрии пустого пространства Ландау предложил вложить право-левую асимметрию в заряд частицы. Согласно Ландау, в слабых взаимодействиях нарушается не только закон сохранения четности, но и принцип зарядового сопряжения. Это легко понять на том же примере с продольно-поляризованными нейтрино и антинейтрино. Дей-ствцтельно, если к левовинтовому нейтрино (правовинтовому антинейтрино) применить операцию зарядового сопряжения, то получится левовинтовое антинейтрино (правовинтовое нейтрино), которого, согласно теории продольных нейтрино, в природе не существует. В соответствии с этим теория оказывается несимметричной относительно замены всех частиц на все античастицы. Инвариантной является комбинированная операция, состоящая из инверсии координат Р и замены частицы на античастицу С. В этом случае говорят о сохранении комбинированной четности СР в слабых взаимодействиях . Введение понятия комбини ровацной четности позволяет рассматривать явления, связанные с несохранением четности, сохраняя право-левую симметрию пустого пространства (так как вращение связано с зарядом, т. е. с частицей). [c.646]

Для восстановления право-левой симметрии пустого пространства Ландау предложил вложить право-левую асимметрию в заряд частицы. Согласно Ландау, в слабых взаимодействиях нарушается не только закон сохранени-я четности, но и зарядовая (С)-инвариантность. Это легко понять на том же примере с продольно поляризованными нейтрино и антинейтрино. Действительно, если к левовинтовому нейтрино (правовинтовому антинейтрино) применить операцию зарядового сопряжения, то получится левовинтовое антинейтрино (правовинтовое нейтрино), которого, согласно теории продольных нейтрино, в природе не существует. В соответствии с этим теория оказывается несимметричной относительной замены всех частиц их античастицами. Инвариантной является комбинированная операция, состоящая из инверсии координат Р и замены частицы ее античастицей С. [c.247]

В самом широком смысле слова симметрия подразумевает наличие в объектах или явлениях чего-то неизменного, инвариантного по отношению к некоторым преобразованиям. Что касается симметрии геометрических фигур, то это их свойство содержать в себе равные и однообразно расположенные части. Поворотом вокруг какой-либо оси, отражением в точке или в плоскости фигура может совмещаться сама с собой. Такие операции называют симметрическими преобразованиями, а геометрический образ, характеризующий отдельное симметрическое преобразование, — элементом симметрии. Заметим, что всякое тело, как и всякую геометрическую фигуру, можно рассматривать как систему точек. Каждая из конечных фигур имеет, по крайней мере, одну точку, которая остается на месте при симметрических преобразованиях. Такая точка является особенной. В этом смысле кристаллы обладают точечной симметрией в отличие от пространственной симметрии, характерной для кристаллических рещеток, основным элементом симметрии которых является трансляция. [c.14]

В случае симметричных многоатомных молекул принцип Франка — Кондона ограничивает возможные переходы между колебат. уровнями энергии верх, и ниж. электронных состояний. Согласно этому принципу, не только з.чектронный переход е — е" должен быть разрешённым, но и т. н. фактор Франка — Кондона должен бить инвариантным относительно всех операций группы симметрии молекулы, т, е. колебат. уровни и й и" должны относиться к одному и тому же типу симметрии. В частности, если все молекулы находятся в осп. полносимметричном вибронном состоянии, то в спектре поглощения должны наблюдаться толькб прогрессии полос полносимметричных колебаний, а полосы всех остальных колебаний будут запрещёнными. [c.203]

Каждый из наборов этих операций составляет отдельную группу, а каждая группа симметрии гамильтониана представляет собой прямое произведение всех этих групп. При решении конкретных задач используют не все перечисленные группы. Группа (а) используется только в связи с Паули принципом, согласно к-рому волновая ф-ция электрона антисимметрична относительно любой перестановки электронов группа (б) отражает закон сохранения для полного угл. момента молекулы группа (в) для изолнров. молекулы несущественна, т. к, трансляции молекулы не влияют на волновые ф-ции, описывающие ввутр. состояние молекулы инвариантность гамильтониана относительно групп (г) и (д) показывает, что он может содержать только чётные степени угл. моментов и пространственных декартовых координат частиц. [c.515]

Если система не находится во внешнем поле, то все моменты времени для такой системы равноправны так же, как и все направления пространства. В классической и квантовой механике из этого обстоятельства вытекает закон сохранения энергии. Кроме того, в классической механике уравнения движения инвариантны по отношению к замене t— 1. Пусть, например, мы имеем решение уравнений Ньютона, описывающих движение системы материальных точек. В момент времени Ь — Ьу радиусы-векторы точек и их скорости равны ( ), 1 ) и по истечении некоторого промежутка времени = а — в момент эти величины принимают значения ( 2), Vi (t . Инвариантность уравнений по отношению к замене t— I означает, что существует также решение, характеризующееся тем, что радиусы-векторы и скорости материальных точек, равные r lt2), — переходят за тот же произвольно выбранный промежуток времени в Такой симметрией обладают не все системы. Примером может Jfyжить система заряженных частиц в магнитном поле. В этом случае, как известно (см., например, [И]), в операцию обращения времени необходимо включить изменение направления магнитного поля на противоположное. Если же этого не сделать, то для системы обратимости во времени не существует. Поскольку классическая механика является предельным случаем квантовой механики, то следует ожидать, что обратимость во времени найдет свое [c.118]

Ио а1шлогни с зеркальной симметрией пространства из допущения об инвариантности законов нрн-]юды относительно обращения знака времени, казалось бы, должен следовать закон сохранения временной Ч. Это, однако, не так, потому что отражение во времетн в кваптовой теории отличается от всех остальных координатных п1)еобразовапий тем, что ему сопоставляется не унитарное, а т. н. анти-унитарное преобразование векто])а состояния, рав- roe нек-рому унитарному преобразованию, умноженному па нелинейную операцию комплексного сопряжения [13]. Вследствие этого инвариантность относительно обращения знака времени но выражается законом сохранения какой бы то ни было величины, но приводит к новым правилам отбора, выражающимся в форме определ, ограничений на матрицу рассеяния [14], [c.413]

СИММЕТРИЯ (от греч. зутше1г1а — соразмерность) законов физики. Если законы, устанавливающие соотношение между величинами, характеризующими физ. систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), к-рым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают С. (или инвариантны) относительно данных преобразований. В матем. отношении преобразования С. составляют группу. Опыт показывает, что физ. законы симметричны относительно след. наиб, общих преобразований. [c.681]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...