Эйлера уравнение гидродинамики

Дифференциальное уравнение установившегося движения идеальной жидкости следствие уравнений Эйлера в гидродинамике) [c.73]

Это и есть искомое уравнение движения жидкости, установленное впервые Л. Эйлером в 1755 г. Оно называется уравнением Эйлера и является одним из основных уравнений гидродинамики. [c.16]

Мы не будем пользоваться уравнениями Эйлера в этом общем виде. Чтобы можно было практически применять уравнения гидродинамики, мы вынуждены принять некоторые гипотезы. [c.297]

Когда рассматриваемое движение установившееся или когда его можно свести к установившемуся, если отнести движение к подвижной системе координат (такое движение рассмотрено в конце предыдущего параграфа), то предпочитают пользоваться эйлеровыми уравнениями гидродинамики, а не лагранжевыми. Применение уравнений Эйлера удобно также тогда, когда перемещения и скорости бесконечно малы (подобные случаи составляют предмет двух предыдущих лекций). Одним из этих случаев мы будем заниматься здесь, именно случаем бесконечно малых колебаний тяжелой несжимаемой жидкости. [c.293]

Подобным же образом могут быть преобразованы и полные уравнения гидродинамики и теплообмена вязких течений. Получится система уравнений в форме Эйлера [c.104]

Уравнения гидродинамики для нашего случая имеют вид уравнения Эйлера — [c.29]

Таким образом, любая задача акустики идеальной жидкости сводится к отысканию параметров р, р и V как функций координат и времени. Связь между этими параметрами дается уравнениями движения, неразрывности и упругости, приведенными в гл. I для общего случая анизотропных сред, обладающих упругостью формы. В частном виде, применительно к текучим средам, эти уравнения образуют систему уравнений гидродинамики (в форме записи Эйлера), являющуюся основной системой акустических уравнений для жидкостей и газов. [c.31]

Таким образом, локальная скорость с, с которой распространяются различные фазы волны конечной амплитуды (IV. 12), больше местной скорости на величину V. Эта добавка обусловлена только учетом субстанциальных производных в уравнениях Эйлера, т. е. нелинейностью уравнений гидродинамики (IV.2) и (IV.3). Упругая же нелинейность среды усиливает эту добавку в 8 раз. Следовательно, коэффициент к,, в (IV. 17) также является определенной характеристикой нелинейности упругих свойств среды и может быть поэтому назван нелинейным коэффициентом. [c.70]

Уравнения (4) с прибавленными к ним уравнениями (5) или (6) и суть уравнения гидродинамики в форме Эйлера. [c.391]

Поведение системы может быть описано посредством уравнений гидродинамики в форме Эйлера и уравнений состояния [c.125]

Обыкновенно уравнения гидродинамики употребляются в другом виде или в форме Эйлера, или в форме Лагранжа. Уравнения гидродинамики, как в форме Эйлера, так и в форме Лагранжа, получаются из уравнений (1) по замене в них вторых производных от л, у, г первыми производными от скоростей точек жидкости но в то время как Эйлер характеризует скорость жидкости, отнеся ее к данной точке пространства, т. е, считает ее за функцию времени и координат X, Уу г той точки пространства, через которую частица жидкости проходит в момент Лагранж рассматривает движение одного элемента жидкости, начиная от данного начального положения этого элемента, и выражает скорость элемента в функции времени и координат начального положения элемента жидкости. [c.688]

Уравнения гидродинамики в форме эЙлера [c.689]

Уравнения гидродинамики в форме Эйлера, Движение жидкости будем рассматривать относительно неподвижных прямоугольных осей координат. Отметим какую-нибудь точку пространства А, через которую проходит элемент жидкости (фиг, 424). Жидкость, вступая в точку А, получает вполне определенную скорость К, зависящую от положения этой точки в пространстве и от времени если во всех точках пространства для всякого времени будут определены скорости, то этим вполне будет охарактеризовано движение всей жидкости. Исходя из этого положения, Эйлер и составляет диф-ференциальные уравнения для определения скорости жидкости в функции ее координат д , г и времени t [c.689]

Эти уравнения суть уравнения гидродинамики в форме Эйлера, Они представляют собой три уравнения с частными производными первого порядка с четырьмя неизвестными функциями а, V, Ш и р. Трех уравнений, очевидно, недостаточно для определения четырех неизвестных функций поэтому нам нужно найти еще одно соотношение между ними. Это соотношение мы получим из рассмотрения геометрических связей. [c.690]

УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ В ФОРМЕ ЭЙЛЕРА 693 [c.693]

При установившемся движении скорости а, V, / частиц жидкости являются только функциями координат, так что в уравнениях гидродинамики в форме Эйлера нужно положить [c.699]

В общем случае, когда существенны корреляции (соударения) между частицами, классическая среда описывается кинетическим уравнением, а уравнения гидродинамики вытекают из них как некоторое приближение. Для баротропной жидкости эти уравнения отличаются от (10) лишь добавлением величины —Vw к правой части уравнения Эйлера, где п) п) — тепловая функция. Для учета вязкости нужно добавить туда же величину [c.236]

Основные уравнения гидродинамики в форме Эйлера для покоящейся жидкости принимают следующий вид [c.369]

В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент I характеризуется полем скорости и(Х, 1)у т. е. значениями вектора скорости во всевозможных точках = Хи Х2, Хг) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты А /, а не л /, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, t) в любой момент времени > /о по заданным начальным значениям и(Х, о) = ио(Х). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. е. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в тур-булентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных жидких частиц , прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = to. Под жидкими частицами при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися как одно целое (т. е. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, t), вслед- [c.483]

Лагранж упоминает о работах Эйлера по гидродинамике в разделе своего труда, содержащем теорию движения невязкой несжимаемой жидкости. Однако, получив уравнения Эйлера, он о нем не упоминает. [c.9]

Для описания волн в океане или атмосфере уравнения гидродинамики следует обобщить таким образом, чтобы учесть вращение Земли и стратификацию жидкости, т. е. зависимость плотности жидкости от вертикальной координаты. В частности плотность морской воды зависит от давления, температуры и относительного содержания массы растворенных солей, которые меняются с глубиной [5, 21, 22]. Соответствующее обобщение приводит к тому, что уравнение Эйлера вместо (5.2) примет вид [c.94]

Уравнения гидродинамики в форме Лагранжа отличаются от уравнений в форме Эйлера. Для того чтобы проиллюстрировать технику перехода от одних координат к другим, рассмотрим вывод уравнений неразрывности и движения. [c.128]

Распространение звука в турбулентной среде описывается уравнениями гидродинамики. Если пренебрегать диссипативными процессами при распространении звука, то уравнением движения будет являться уравнение Эйлера [c.198]

В некоторых случаях, указанных, в частности, в 1, конечномерные гидродинамические модели, полученные методом Галеркина, сохраняют фундаментальные свойства исходных уравнений движения. В этом параграфе будут построены простейшие конечномерные аналоги основных уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости, т, е. уравнений Эйлера движения идеальной однородной жидкости, уравнений Буссинеска движения идеальной неоднородной жидкости в гравитационном поле и уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Модели имеют удобную механическую интерпретацию и названы простейшими [c.26]

Переходя к формулировке уравнений гидродинамики вязкой теплопроводящей жидкости в координатах Эйлера, отметим, что уравнение непрерывности для этого случая не изменяется. Уравнение Эйлера переходит в так называемое уравнение Навье — Стокса, в котором учитываются силы вязкости. Это уравнение в векторной форме имеет вид [c.14]

Нелинейный процесс обмена энергией между различными степенями свободы, по существу заложенный в л одели каскадного процесса преобразования энергии Ричардсона и усовершенствованный А. Н. Колмогоровым, привел Л. Д. Ландау к модели, в которой этот переход связывался с возбуждением в гидродинамической системе все возрастающего числа степеней свободы, В такой интерпретации перехода имеются определенные трудности. Шаг вперед в их преодолении был сделан А. М. Обуховым с сотрудниками 121, 22] и А. С. Мониным [23] на основе теоретического и экспериментального исследования простейшей системы, обладающей общими свойствами уравнений гидродинамики (квадратичная нелинейность и законы сохранения). Такой системой является система с тремя степенями свободы [триплет), уравнения движения которой совпадают в соответствующей системе координат с уравнениями Эйлера в теории гироскопа. Гидродинамической интерпретацией триплета может служить жидкое вращение в несжимаемой жидкости внутри трехосного эллипсоида, в котором поле скоростей линейно по координатам. [c.32]

Общие уравнения гидродинамики сильно упрощаются при применении их к несжимаемой жидкости. Правда, уравнение Эйлера не меняет своего вида, если положить в нем р = onst, за исключением только того, что в уравнении (2,4) можно внести р под знак градиента [c.37]

Уравнение Эйлера (26а) определяет движение идеальной жидкости. Для получения уравнений гидродинамики реальной (вязкой) жидкости или газа надо искать решение уравнения Больцмана, отличное от локального распределения Максвелла. Мы получим тогда уравнения Навье—Стокса, Барнетта и т. д., в которых коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии выражаются через молекулярные характеристики. Эти уравнения представляют собой замкнутую систему уравнений термодинамики необратимых процессов. Такой вывод этих уравнений в общем случае выходит за рамки нашего курса. Мы ограничимся здесь только характеристикой методов решения кинетического уравнения Больцмана и рассмотрим ряд частных задач статистической теории неравновесных систем. [c.142]

Из всех гироскопических проблем, возникающих в технике, баллистическая проблема ранее других подверглась математическому и экспериментальному исследованию (Даламбер, Эйлер, Пуассон, Магнус) однако и поныне ее решение остается, пожалуй, наименее полным. Дело в том, что она представляет собой не чисто динамическую, а дина-мически-гидродинамическую проблему. Действительно, решающую для баллистики величину силы сопротивления воздуха можно определить, строго говоря, только в связи и одновременно с движением снаряда, пользуясь основными уравнениями гидродинамики. [c.209]

МЕТАЛЛОФИЗИКА — раздел физики, в котором изучаются структура и свойства металлов МЕТОД [аналогии состоит в изучении какого-либо процесса путем замены его процессом, описываемым таким же дифференциальным уравнением, как и изучаемый процесс векторных диаграмм служит для сложения нескольких гармонических колебаний путем представления их посредством векторов встречных пучков используется для увеличения доли энергии, используемой ускоренными частицами для различных ядерных реакций Дебая — Шеррера применяется при исследовании структуры монохроматических рентгеновских излучений затемненного поля служит для наблюдения частиц, когда направление наблюдения перпендикулярно к направлению освещения Лагранжа в гидродинамике состоит в том, что движение жидкости задается путем указания зависимости от времени координат всех ее частиц ин1 ерференционного контраста служит для получения изображений микроскопических объектов путем интерференции световых воли, прошедших и не прошедших через объект меченых атомов состоит в замене атомов исследуемого вещества, участвующего в каком-либо процессе, их радиоактивными изотопами моделирования — метод исследования сложных объектов, явлений или процессов на их моделях или на реальных установках с применением методов подобия теории при постановке и обработке эксперимента статистический служит для изучения свойств макроскопических систем на основе анализа, с помощью математической статистики, закономерностей теплового движения огромного числа микрочастиц, образующих эти системы совнадений в ядерной физике состоит в выделении определенной группы одновременно происходящих событий термодинамический служит для изучения свойств системы взаимодействующих тел путем анализа условий и количественных соотношений происходящих в системе превращений энергии Эйлера в гидродинамике заключаегся в задании поля скоростей жидкости для кинематического описания г чения жидкости] [c.248]

В механике жидкости и газа, напротив, был получен ряд важных общих результатов. Так, было введено четкое понятие давления в идеальной жидкости (И. Бернулли, Л. Эйлер), разработаны некоторые общие положения гидравлики идеальной жидкости, в том числе получены уравнение Бернулли (Д. и И. Бернулли, Л. Эйлер) и теорема Борда. Наконец, благодаря главным образом трудам JI. Эйлера были заложены основы гидродинамики идеальной (капельной и сжимаемой) жидкости. Замечательно, что уравнения гидродинамики были построены Эйлером при помощи вполне современного континуального подхода. Тут к его результатам трудно что-либо добавить ив 47 наши дни (конечно, если не касаться термодинамической стороны вопроса). Однако блестящая по стройности построения общая гидродинамика идеальной жидкости оказалась в XVIII в. лигпенной каких-либо приложений, если не считать акустики, опиравшейся в то время на представления И, Ньютона, эквивалентные предположению об изотермичности процесса распространения звука. Опередивйхие более чем на век требования времени, континуальные представления Эйлера в гидродинамике идеальной жидкости нуждались лишь, казалось бы, в небольшом обобщении — последовательном введении касательных напряжений,— для того чтобы обеспечить построение основ всей классической механики сплошной среды. Но, по-видимому, именно опережение Эйлером своей эпохи и практических запросов того времени повлекло за собой то, что толчок к дальнейшему развитию механики сплошной среды дали только через три четверти века феноменологические исследования, основанные на молекулярных представлениях. Чисто континуальный подход, основанный на идеях Эйлера и Коши, был последовательно развит англ [йской школой в 40-х годах и завоевал полное признание только в последней трети XIX в. [c.47]

В главе III будет показано, что уравнения гидродинамики Эйлера, Навье — Стокса и Барнетта для максвелловских молекул получаются из уравнения Больцмана, если функцию распределения приближенно представить в виде [c.64]

Уравнения гидродинамики и их интегралы. Уравнения гидродинамики в форме Эйлера. Теоремы Бернулли и Лагранжа. Сообщение движения жидкости импульсом. Теорема Томсона. Гельмгольцев принцип сохранения напряжения вихревой нити. Основные принципы динамики, отнесенные к жидкой массе. Определенность гидрокннетической задачи. [c.322]

Проблема исправления уравнений гидродинамики была поставлена впервые Н. П. Кастериным еще в 1937 г. Н. П. Кастерин считал, что уравнения Эйлера являются лишь первым приближением для описания картины вихревых течений. Во втором приближении надо учитывать дискретность структуры газа и прерывистость изменений основных гидродинамических величин. Например, в рамках идеальной жидкости следует предположить, что на границе потенциального и вихревого течений существует разрыв гидродинамической скорости. Взяв за основу эту идею о разрывном изменении скоростей, Н. П. Кастерин получил новые уравнения для описания вихревого поля в идеальной жидкости [Л. 1-12]. [c.60]

Важной особенностью эллипсоидальной полости, является то, что в ней существует частное решение уравнений Эйлера идеальной жидкости, для которого скорости х), удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и граничным условиям, линейны по координатам. Именно поэтому однородное в начальный момент вихревое течение, остается однородным во все моменты времени (А. Пуанкаре, П. Л. Дирихле). Укажем это решение в явном виде. [c.270]

Поэтому по теореме 4 гл. 1 уравнения (4) эквивалентны уравнениям Эйлера движения гироскопа, которые тем самым получили новый, до некоторой степени неожиданный, смысл простейшего аналога квазигеострофических уравнений гидродинамики бароклинной жидкости. Для сравнения напомним, что максимально упрощенные уравнения движения баротропной жидкости [154] также совпадают с уравнениями Эйлера, роль внутренних параметров в которых играют амплитуды трех различных мод поля скорости, тогда как в данном случае один из параметров является вертикальной составляющей относительного вихря, а два других ответственны за горизонтальную разность температур в двух взаимно перпендикулярных направлениях. В дальнейшем уравнения (5) будем называть геофизическим триплетом. Заменой Х = Х, Y = = KV2T , Z=KV iZ он приводится к каноническому виду с коэффициентами p = 2-i/, q = —2 i , r = 2 i/ [c.164]

Перенос связанных с конечномерным о. т. т. формул на гидродинамический случай иногда дает полезную информацию. Например, из формул для гауссовой кривизны группы С с односторонне инвариантной метрикой Арнольд получил оценки степени непредсказуемости переноса масс некоторыми периодическими по пространству двумерными течениями (см. [5] [8], Добавление 2). С уравнениями гидродинамики естественно связаны бесконечномерные группы. Но не все свойства конечномерных о. т. т. автоматически применимы к гидродинамическим уравнениям. Например, на конечномерных группах Ли с односторонне инвариантной метрикой геодезические этой метрики неограниченно продолжимы в обе стороны (по времени). Решения уравнения Эйлера движения идеальной однородной жидкости в трехмерной области О можно рассматривать как зависимость от времени касательного вектора к геодезической правоинвариантной римановой метрики (задаваемой кинетической энергией жидкости) на группе 50 О сохраняющих объемы взаимно однозначных преобразований 0- 0, гладких вместе с обратным преобразованием. Имеются основания предполагать, [c.312]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...