Лапласа для потенциального

Решение уравнений Лапласа затруднено вследствие сложности очертаний подземного контура гидротехнических сооружений. Уравнения Лапласа для потенциального плоского движения решаются с помощью следующих основных способов аналитического, способа аналогий и графического. [c.293]

Для потенциальных движений несжимаемых жидкостей уравнение неразрывности обращается в уравнение Лапласа [c.256]

Нам известно, что для описания движения жидкости необходимо знать значения их, иу, и давления р во всех точках пространства, где происходит описываемое движение. Для этого необходимо иметь четыре уравнения три (28.4) и уравнение неразрывности. Уравнение Лапласа (28.7) включает в себя все указанные четыре уравнения. Поэтому, решив уравнение Лапласа для данного движения при заданных условиях на границах данной односвязной области, полностью опишем соответствующее этим условиям потенциальное движение. Поскольку уравнение Лапласа линейное, сумма двух его частных решений будет решением этого уравнения. В связи с этим при потенциальном движении справедливо применение принципа суперпозиции (наложения). Зная потенциалы скорости для некоторых видов потенциального движения и применяя принцип суперпозиции, можно находить решения для более сложных случаев.движения. [c.282]

Функция тока для потенциального течения, как и потенциал скорости ф, удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, взяв условие потенциальности (77) и выражения для компонентов скорости через функцию тока (83), получим [c.72]

Введенную функцию ч 5(х, у) принято называть функцией тока. Подставляя (4.5) в (4.1), получаем, что и эта функция, так же как и потенциал скорости ф(д , у), удовлетворяет уравнению Лапласа. Если потенциал скорости описывает поле скоростей только безвихревого (потенциального) течения, то функция тока может быть введена всегда, так как условие ее существования следует из уравнения неразрывности, справедливого для любых течений. Однако уравнению Лапласа эта функция будет удовлетворять только для потенциального потока. Поскольку y)=udy— [c.80]

Оператор есть оператор Лапласа по координатам i-ik частицы. Оператор потенциальной энергии совпадает с выражением для потенциальной энергии, находимой по правилам классической механики. Функции состояния зависят от координат всех частиц. Знание волновых функций в статистической физике не обязательно достаточно знать уровни энергии кратность их вырождения и найти набор квантовых чисел а, полностью определяющих состояние системы. [c.27]

Представим себе, для простоты, что тело движется в идеальной жидкости прямолинейно и система координат неподвижно с ним связана. Предположим, что движение жидкости, вызванное телом, потенциально и потенциал скоростей есть однозначная функция координат. Граничные условия (на поверхности тела и в бесконечности) и условие однозначности потенциала скоростей полностью определяют потенциал, а следовательно, и поле скоростей, т. е. определяют D как функцию координат и времени. Величина v должна быть при этом в каждой точке пропорциональна скорости движения тела V. В самом деле, при изменении V граничные условия и уравнение Лапласа для потенциала скоростей будут удовлетворены, если потенциал скоростей изменится пропорционально V но тогда v также изменится [c.313]

Нам известно, что для описания движения жидкости необходимо знать значения Ых, Му, Ыг и давления р во всех точках пространства, где происходит описываемое движение. Для этого необходимо иметь четыре уравнения три, (28.4) и уравнение неразрывности. Уравнение Лапласа (28.7) включает в себя все указанные четыре уравнения. Поэтому, решив уравнение Лапласа для данного движения при заданных условиях на границах данной односвязной области, полностью опишем соответствующее этим условиям потенциальное движение. Поскольку уравнение Лапласа линейное, сумма двух его частных решений будет-реше- [c.561]

Функция г 1(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, для потенциального движения имеем [c.109]

Теорема Лапласа. Для всякой внешней точка второй дифференциальный параметр от потенциальной функции равен нулю. Вторым дифференциальным параметром называется сумма вто- рых производных от потенциальной функции он обозначается че- рез так что [c.793]

Для потенциального течения несжимаемой жидкости уравнение неразрывности сводится к уравнению Лапласа [c.235]

Указанное уравнение носит название уравнения Лапласа, а функция , удовлетворяющая этому уравнению,— гармонической функции. Таким образом, для потенциального потока несжимаемой жидкости потенциал скорости будет являться гармонической функцией координат X, у, z. [c.55]

С помощью соотношения (3. 43) можно показать также, что функция тока ф для потенциального потока, как и потенциал скорости ю, удовлетворяют уравнению Лапласа. Действительно, используя условие потенциальности [c.60]

Определение поля скоростей для потенциального течения несжимаемой жидкости сводится к решению уравнения Лапласа (3.45). Граничным условием при обтекании твердых тел является условие непротекания, т. е. равенство нулю нормальной составляющей скорости на поверхности тела Wnw= д( 1дп)уу=0. [c.48]

Уравнение Лапласа для функции тока. Для принятой модели течения функция тока является гармонической функцией. Используя определение функции тока (3.46) и условие потенциальности течения (3.42), получим уравнение Лапласа для функции тока [c.49]

Уравнением Лапласа называется уравнение неразрывности (3.10), которое для потенциального движения с учетом условий (3.12) может быть записано в виде [c.25]

Функция тока Ч для потенциального движения, как и потенциал скорости Р, удовлетворяет уравнению Лапласа, так как [c.25]

Методы аналогий являются экспериментальными методами, основанными на идентичности уравнений, описывающих потенциальные плоские течения и некоторые другие физические явления. Из числа этих методов в первую очередь мы рассмотрим метод электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Он основан на том, что поле плоского безвихревого течения несжимаемой жидкости и поле электрического тока в плоском проводнике являются потенциальными полями с нулевой дивергенцией. Такие поля описываются уравнением Лапласа. В табл. 4 приведен перечень аналогичных величин (аналогов) и уравнений, которым они удовлетворяют для этих двух физических явлений. [c.296]

Сложение течений. Уравнения Лапласа (78), (86) — линейные дифференциальные уравнения. Как известно, сумма частных решений линейных уравнений является также решением этих уравнений. Таким образом, просуммировав в различных комбинациях имеющиеся решения для простейших течений, мы получим различные виды более сложных потенциальных течений. [c.78]

В XIX в. идеал Лапласа еще казался осуществимым. Согласно Гельмгольцу, сведение всех физических явлений к действию механических сил является основой полного понимания природы. В 80-х годах XIX в. Гельмгольц ) пришел к выводу, что для решения этой основной задачи нужно использовать принцип наименьшего действия, обобщив его на тот случай, когда лагранжиан есть функция qnq любой формы, т. е. отказаться от характерного для механики допущения, что кинетическая энергия есть однородная квадратичная форма скоростей, а потенциальная энергия — функция только координат (и времени). Принцип наименьшего действия, по мнению Гельмгольца, представляет собой эвристический принцип для формулирования законов новых классов явлений. Для такого расширения сферы применения принципа необходимо ввести в рассмотрение скрытые движения некоторых недоступных нашему наблюдению масс. Клаузиус пытался решить ту же проблему, введя гипотезу об изменении законов природы, происходящем по определенным законам. Однако установление [c.852]

Потенциальные функции 01 и 0 ищем в классе, для которого применимы преобразования Фурье по пространственным координатам и преобразование Лапласа по времени т в области 2. Исходим из регулярности определяемых функций в бесконечности, т. е. [c.349]

Впервые электрическую модель для исследования потенциального поля применил Кирхгоф в 1845 г. [320], исследуя поле плоского конденсатора на модели из медной фольги. Максвелл [328] предложил изображать действительную и мнимую части комплексного переменного с помощью распределения потенциала и тока на плоскости листа из однородного токопроводящего материала. Электролиты для моделирования впервые, по-видимому, применены в работах [300] и [331]. Сведения о решении уравнения Лапласа с помощью электролитической модели содержатся также в работе [310]. [c.20]

Самый простой способ построения плоского потенциального течения несжимаемой жидкости заключается в численном решении краевых задач для уравнения Лапласа относительно различных гармонических функций, связанных с течением. Решение находится во всей области течения (для решетки — в полосе одного периода) путем последовательных приближений с применением различных вариантов известного метода сеток [57]. [c.41]

При этом уравнение отсутствия завихренности удовлетвори ется, не накладывая никаких условий на выбор функции ф. Так как потенциал скорости можно ввести только для безвихревого движения, то такие течения называют также потенциальными. Подставив выражения (4.16) в уравнение неразрывности (4.13), найдем, что потенциал скорости для несжимаемой жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа [c.59]

Представляя вектор объемных сил в виде суммы потенциального и соленоидального векторов, приводим задачу нахождения изображения по Лапласу фундаментального решения к двум уравнениям Гельмгольца (скалярному и векторному), в результате чего получаем для матрицы фундаментальных решений следую-ш,ую формулу, аналогичную выражению (3.3.22) для упругой изотропной среды [c.163]

Если несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одними и темн же дифференциальными уравнениями при одних и тех же условиях однозначности, то такие явления называются аналогичными, а метод их исследования — аналогией. В технической механике жидкости часто используются электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА), газогидравлическая аналогия (ГАГА), гидромагнитная аналогия (МАГА) и другие аналогии. Приведенные аналогии относятся к безвихревому (потенциальному) движению невязкой несжимаемой жидкости, которое, как известно, оп-исывается уравнениями Лапласа для потенциала скорости и функции тока д Ф 3 ф [c.395]

Если частота поля удовлетворяет условию квазистационарности (9-31), то электрическое поле в нагреваемом теле, зазоре между телом и электродами конденсатора, а также во внещнем пространстве является потенциальным и подчиняется закона.м электростатики. Эквивалентные параметры рабочего конденсатора с нагрузкой могут быть найдены путем решения уравнения Лапласа для [c.162]

В нашей модели в начальный момент времени скорость жидкости равна нулю, поэтому ее движение будет оставаться потенциальным, т.е. можно положить rotv = 0. В этом случае можно ввести скалярный потенциал скорости соотношением v = V(/j, тогда (2) превращается в уравнение Лапласа для (/ [c.95]

Как в вихревой, так и в безвихревой областях движение турбулентно. Однако характер этой турбулентности соверщенио различен в обеих областях. Для выяснения происхождения этого различия обратим внимание на следующее общее свойство потенциального движения, описывающегося уравнением Лапласа Дф = О, Предположим, что движение периодично в плоскости х, у, так что tp зависит от л и у посредством множителя вида exp t( iA -f fe2 /) тогда [c.208]

Другая вариационная постановка задачи кручения бруса базируется на принципе минимума потенциальной энергия системы (см. гл. V, 5). В этом случае приходим к функционалу /7, уравнением Эйлера—Остроградского которого является уравнение Лапласа (7.54) для функции кручения ф (оно получено из уравнений равновесия Ламе), естественными граничными условиями — граничные условия (7.55) для функции ф. Читателю, желаю1Цему ознакомиться с такой постановкой вариационной задачи кручения, можно рекомендовать книгу [35]. [c.179]

Причем Фл, так же как и р, удов-летворяет уравнению Лапласа и, следовательно, может рассматриваться как потенциал скорости усредненного по толщине слоя течения. Поэтому, если для функции Фл (т. е. для давления р) создать граничные условия такие же, как для исследуемого потенциального потока идеальной жидкости, то мы должны получить при течении в щели распределение скоростей и сетку течения такими же, как для идеальной жидкости. Опыт полностью подтверждает этот вывод. Течение описанного типа было исследовано Хил-Шоу (1898 г.) и применено им для визуального изучения потенциальных потоков. Схема прибора Хил-Шоу показана на рис. 153. На таком приборе путем подкращивания струек легко воспроизвести линии тока, которые затем графически могут быть дополнены эквипотенциалями. [c.300]

Если участок горизонтальной поверхности жидкости подвергается малому отклонению от равновесия, то под действием восстанавливающих сил (массовых и поверхностного натяжения) этот участок приходит в движение, проходит состояние равновесия, снова попадает под действие восстанавливающих сил, таким образом, возникает волновое движение жидкости. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная несжимаемая, а движение ее потенциальное. Для таких волновых движений справедливо уравнение Лапласа (1.72), а поле давлений описывается интегралом Лагранжа — Кощи (1.39). Если плоскость хОу совпадает с горизонтальной поверхностью жидкости, а ось z направлена вертикально вверх, то волновая поверхность может быть представлена уравнением [c.85]

В некоторых случаях анализ двумерных быстро изменяющихся потоков со свободной поверхностьК) можно выполнить в предположении о безвихревом характере движения. Если движение жидкости начинается из зоны (или СОСТОЯ.НИЯ) покоя и пограничные слои, развивающиеся на твердых границах, заполняют малую часть от общего пространства, занятого текущей жидкостью, то это предположение справедливо и для реальных жидкостей. Поскольку движение является потенциальным, то при рассмотрении двумерных течений задача сводится к решению уравнения Лапласа (6-53). Простым [c.373]

Данная глава представляет собой первый шаг в этом направлении и посвящена анализу линейных двумерных задач теории стационарных потенциальных течений, т. е. течений с неизменными во времени характеристиками, удовлетворяющими в двумерной области линейным уравнениям. Основные дифференциальные уравнения в частных производных для таких задач являются эллиптическими (уравнение Лапласа или уравнение Пуассона) и относятся К простейшим математическим моделям гидравлики, электро- и теплопроводности и т. д. В каждой из этих задач дифференциальному уравнению удовлетворяет потенциальная функция р (электрический или гидравлический потенциал либо температура), пространственный градиент которой через параметр проводимости или проницаемости линейно связан с потоком или расходом (соответ-ственпо плотностью электрического тока, скоростью течения жидкости или потоком тепла). [c.53]

Существенного успеха по сравнению с тем, что было достигнуто геометрическими методами, впервые добился Лежандр в мемуаре Исследования о прйтяжении однородных эллипсоидов , представленном Парижской академии в 1785 г. несомненно, работа была закончена на год или два года раньше. Лежандр справедливо указывает, что хотя Лагранж рассмотрел задачу о притяжении во всей общности, но фактически провести интегрирование ему удалось только в тех случа ях, которые были уже исследованы Маклоре-ном. Лежандр доказывает новую важную теорему если известна сила притяжения телом вращения любой внешней точки на продолжении оси тела, то она известна для любого положения внешней точки. Это позволяет ему обобщить теорему Маклорена о софокусных эллипсоидах вращения (обобщение теоремы на случаи трехосных софокусных эллипсоидов позже удалось Лапласу). Лежандр впервые вводит в этом мемуаре разложение в ряд по полиномам, названным его именем (по сферическим функциям), и здесь же впервые появляется силовая (или потенциальная) функция, но с указанием, что эта идея принадлежит Лапласу. По оценке Тодхантера, ни один мемуар в истории рассматриваемого вопроса не может соперничать с этим мемуаром Лежандра. В течение сорока лет средства анализа, даже в руках Даламбера, Лагранжа и Лапласа, не продвинули теорию притяжения эллипсоидов дальше того рубежа, на который вышла геометрия Маклорена.... Лежандр обобщил главный результат этой геометрии... Введение и применение круговых функций начинает новую эру в математической физике. [c.152]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...