Лапласа для потенциального движения

Для потенциальных движений несжимаемых жидкостей уравнение неразрывности обращается в уравнение Лапласа [c.256]

Нам известно, что для описания движения жидкости необходимо знать значения их, иу, и давления р во всех точках пространства, где происходит описываемое движение. Для этого необходимо иметь четыре уравнения три (28.4) и уравнение неразрывности. Уравнение Лапласа (28.7) включает в себя все указанные четыре уравнения. Поэтому, решив уравнение Лапласа для данного движения при заданных условиях на границах данной односвязной области, полностью опишем соответствующее этим условиям потенциальное движение. Поскольку уравнение Лапласа линейное, сумма двух его частных решений будет решением этого уравнения. В связи с этим при потенциальном движении справедливо применение принципа суперпозиции (наложения). Зная потенциалы скорости для некоторых видов потенциального движения и применяя принцип суперпозиции, можно находить решения для более сложных случаев.движения. [c.282]

Решение уравнений Лапласа затруднено вследствие сложности очертаний подземного контура гидротехнических сооружений. Уравнения Лапласа для потенциального плоского движения решаются с помощью следующих основных способов аналитического, способа аналогий и графического. [c.293]

Нам известно, что для описания движения жидкости необходимо знать значения Ых, Му, Ыг и давления р во всех точках пространства, где происходит описываемое движение. Для этого необходимо иметь четыре уравнения три, (28.4) и уравнение неразрывности. Уравнение Лапласа (28.7) включает в себя все указанные четыре уравнения. Поэтому, решив уравнение Лапласа для данного движения при заданных условиях на границах данной односвязной области, полностью опишем соответствующее этим условиям потенциальное движение. Поскольку уравнение Лапласа линейное, сумма двух его частных решений будет-реше- [c.561]

Функция г 1(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. Действительно, для потенциального движения имеем [c.109]

Уравнением Лапласа называется уравнение неразрывности (3.10), которое для потенциального движения с учетом условий (3.12) может быть записано в виде [c.25]

Функция тока Ч для потенциального движения, как и потенциал скорости Р, удовлетворяет уравнению Лапласа, так как [c.25]

При этом уравнение отсутствия завихренности удовлетвори ется, не накладывая никаких условий на выбор функции ф. Так как потенциал скорости можно ввести только для безвихревого движения, то такие течения называют также потенциальными. Подставив выражения (4.16) в уравнение неразрывности (4.13), найдем, что потенциал скорости для несжимаемой жидкости должен удовлетворять уравнению Лапласа [c.59]

Представим себе, для простоты, что тело движется в идеальной жидкости прямолинейно и система координат неподвижно с ним связана. Предположим, что движение жидкости, вызванное телом, потенциально и потенциал скоростей есть однозначная функция координат. Граничные условия (на поверхности тела и в бесконечности) и условие однозначности потенциала скоростей полностью определяют потенциал, а следовательно, и поле скоростей, т. е. определяют D как функцию координат и времени. Величина v должна быть при этом в каждой точке пропорциональна скорости движения тела V. В самом деле, при изменении V граничные условия и уравнение Лапласа для потенциала скоростей будут удовлетворены, если потенциал скоростей изменится пропорционально V но тогда v также изменится [c.313]

В случае плоского потенциального движения уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости (уравнение Лапласа) примет вид [c.56]

Учитывая, что функции тока и потенциала скорости в потенциальном потоке одновременно удовлетворяют уравнению Лапласа, можно установить, что для любой гидродинамической сетки одно семейство линий может быть принято за линии потенциала скорости, а второе — за семейство линий тока и наоборот, т. е. каждая гидродинамическая сетка характеризует два варианта потенциального движения. Какой из вариантов имеется в данной конкретной обстановке, можно определить только при анализе граничных условий. Функции тока и потенциала скорости одной сетки движения называются сопряженными. [c.407]

Как в вихревой, так и в безвихревой областях движение турбулентно. Однако характер этой турбулентности совершенно различен в обеих областях. Для выяснения происхождения этого различия обратим внимание на следующее общее свойство потенциального движения, описывающегося уравнением Лапласа Дэ = 0. Предположим, что движение периодично в плоскости х, у, так что а зависит от л и у посредством множителя вида огда [c.161]

В XIX в. идеал Лапласа еще казался осуществимым. Согласно Гельмгольцу, сведение всех физических явлений к действию механических сил является основой полного понимания природы. В 80-х годах XIX в. Гельмгольц ) пришел к выводу, что для решения этой основной задачи нужно использовать принцип наименьшего действия, обобщив его на тот случай, когда лагранжиан есть функция qnq любой формы, т. е. отказаться от характерного для механики допущения, что кинетическая энергия есть однородная квадратичная форма скоростей, а потенциальная энергия — функция только координат (и времени). Принцип наименьшего действия, по мнению Гельмгольца, представляет собой эвристический принцип для формулирования законов новых классов явлений. Для такого расширения сферы применения принципа необходимо ввести в рассмотрение скрытые движения некоторых недоступных нашему наблюдению масс. Клаузиус пытался решить ту же проблему, введя гипотезу об изменении законов природы, происходящем по определенным законам. Однако установление [c.852]

Как уже отмечалось, для нахождения потенциала скорости необходимо проинтегрировать уравнение Лапласа при заданных граничных условиях. Задача эта достаточно сложна. Поэтому в теории потенциальных течений особый интерес представляют случаи, которые дают точные значения функций тока и потенциала скорости без интегрирования уравнения Лапласа. Общая идея такого подхода сводится к следующему задаются какой-то функцией, которая заведомо удовлетворяет уравнению Лапласа и выясняют, что представляет собой гидродинамическая сетка движения. Эту методику рассмотрим на ряде простейших примеров. [c.49]

Таким образом, задача о движении несжимаемого гелия II сводится к двум задачам обычной гидродинамики для идеальной и для вязкой жидкостей. Именно, сверхтекучее движение определяется уравнением Лапласа (129,18) с граничным условием для нормальной производной , как в обычной задаче о потенциальном обтекании [c.628]

Если несколько явлений, различных по своей физической природе, могут быть выражены одними и темн же дифференциальными уравнениями при одних и тех же условиях однозначности, то такие явления называются аналогичными, а метод их исследования — аналогией. В технической механике жидкости часто используются электрогидродинамическая аналогия (ЭГДА), газогидравлическая аналогия (ГАГА), гидромагнитная аналогия (МАГА) и другие аналогии. Приведенные аналогии относятся к безвихревому (потенциальному) движению невязкой несжимаемой жидкости, которое, как известно, оп-исывается уравнениями Лапласа для потенциала скорости и функции тока д Ф 3 ф [c.395]

Последнее уравнение является уравнением Лапласа и определяет некоторое потенциальное движение несжимаемой жидкости. Таким образом, каждому иотенциальному дозвуковому потоку газа на плоскости х, у, определяемому уравнением (10), соответствует на плоскости х , у некоторый потенциальный поток несжимаемой жидкости. Выясним, каковы граничные условия для потока несжимаемой жидкости, если поток газа имеет заданную скорость в бесконечности F и обтекает заданный контур Ь (фиг. 148). [c.362]

Общие данные. Уравнение Лапласа, которому подчиняется потенциальное движение, должно интегрироваться с учетом граничных условий, что возможно только для редких частных случаев. Поэтому в гидравлике чаще пользуются другим методом, когда граничные условия, удовлетворяющие частный типам движения, определяются по заданной, уже известной функции тока или функции потенциала скорости для отдельных простейших случаев движения жидкости, а также для их комбинаций. На основе этих данных выясняется, в каких случаях полученная картина движения может отвечать практическим условиям движения жидкости. Наиболее распространенными типами потенциального движения являются плоско-параллельный поток и плоский радикальный поток, возникающий под влиянием так называемых источников и стоков. Комбинируя движение плоскогпараллельного. потока с источниками и стоками, можно получить решение для целой. серии более сложных типов движения. [c.412]

В нашей модели в начальный момент времени скорость жидкости равна нулю, поэтому ее движение будет оставаться потенциальным, т.е. можно положить rotv = 0. В этом случае можно ввести скалярный потенциал скорости соотношением v = V(/j, тогда (2) превращается в уравнение Лапласа для (/ [c.95]

Если участок горизонтальной поверхности жидкости подвергается малому отклонению от равновесия, то под действием восстанавливающих сил (массовых и поверхностного натяжения) этот участок приходит в движение, проходит состояние равновесия, снова попадает под действие восстанавливающих сил, таким образом, возникает волновое движение жидкости. Большинство задач гидродинамики, связанных с образованием волн на поверхности жидкости, рассматривается в предположении, что жидкость идеальная несжимаемая, а движение ее потенциальное. Для таких волновых движений справедливо уравнение Лапласа (1.72), а поле давлений описывается интегралом Лагранжа — Кощи (1.39). Если плоскость хОу совпадает с горизонтальной поверхностью жидкости, а ось z направлена вертикально вверх, то волновая поверхность может быть представлена уравнением [c.85]

В некоторых случаях анализ двумерных быстро изменяющихся потоков со свободной поверхностьК) можно выполнить в предположении о безвихревом характере движения. Если движение жидкости начинается из зоны (или СОСТОЯ.НИЯ) покоя и пограничные слои, развивающиеся на твердых границах, заполняют малую часть от общего пространства, занятого текущей жидкостью, то это предположение справедливо и для реальных жидкостей. Поскольку движение является потенциальным, то при рассмотрении двумерных течений задача сводится к решению уравнения Лапласа (6-53). Простым [c.373]

Наиболее замечате-ньные результаты были получены в XIX в. в области исследования плоских установившихся потенциальных течений несжимаемой жидкости. Еще Ж. Лагранж (1781) ввел функцию тока для плоских течений удовлетворяющую для безвихревых течений, как и потенциал скорости, уравнению Лапласа. Кинематическое истолкование функции тока было дано В. Ренкином Разработка аппарата теории функций комплексного переменного дала возможность широко развить методы исследования плоских задач движения несжимаемой жидкости, которые в самом начале развивались совместно со смежными исследованиями задач электростатики. Первые работы, в которых при помощи теории аналитических функций исследуются простейшие задачи электростатики и гидродинамики, относятся к 60-м годам. Существенное развитие области применения теории функций в гидродинамике связано с изучением открытого Г. Гельмгольцем класса так называемых струйных течений жидкости — течений со свободными ли-78 ниями тока, на которых давление сохраняется постоянным. Интерес к этим течениям возник в связи с попытками получить на основе модели идеальной жидкости реальные картины обтекания тел с образованием силы лобового сопротивления и без бесконечных скоростей. [c.78]

Первые общие теоремы касаются движения центра массы н были даны Ньютоном в Началах . Десять интегралов н теоремы, к которым онн приводят, были известны Эйлеру. Следующим общим резуль ятом было доказательство существования и рассмотрение свойств неизменной плоскости Лапласом в 1784 г. В зимнем семестре 1842 4i г. Якоби прочел курс лекций по дишмнке в Кенигсбергском университете. В этом курсе он привел результаты некоторых очень важных исследований интегрирования диференциальных уравнений механики. Во всех случаях, когда силы завися г от одних координат и когда существует потенциальная функция (условия, выполненные в задаче я тел), он доказал, что если все интегралы, кроме двух, найдены, то последние два могут быть всегда найдены. Он также показал, развивая некоторые исследования В. Гамильтона, что задача может быть приведена к решению диференциального уравнения с частными производными, порядок которого в два ряза меньше порядка первоначальной системы. Лекции Якоби опубликованы в дополнительном томе к собранию его сочинени.1. Они очень важны сами по себе, а также абсолютно необходимы как вступление к чтению составивших эпоху мемуаров Пуанкаре и должны быть доступны для каждого изучающего небесную механику. [c.246]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...