Теорема уравнение первая

В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений. [c.203]

Обратимся теперь к исследованию поведения траекторий в трехмерном фазовом пространстве. Поведение соответствующей динамической системы описывается системой трех нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Будем по-прежнему предполагать, что для их решений в сторону возрастания времени соблюдаются теоремы единственности и непрерывной зависимости от начальных условий. Введем понятие поверхности без контакта. По определению поверхностью без контакта называется гладкая поверхность, во всех своих точках пересекаемая фазовыми траекториями без касания. Секущей поверхностью будем называть поверхность без контакта, [c.75]

Теорема 2.1. Если все корни характеристического уравнения системы уравнений первого приближения имеют отрицательные вещественные части, то невозмущенное движение устойчиво и притом асимптотически, каковы бт,1 ни были члены высших порядков в дифференциальных уравнениях возмущенного движения. [c.83]

Теорема 9.2.1. Система уравнений Лагранжа второго рода эквивалентна системе 2п уравнений первого порядка [c.631]

Если точка движется по плоской криволинейной траектории, например в плоскости хОу, то теорема выражается первым и вторым уравнениями. [c.161]

Из этой теоремы получается первый интеграл уравнений движения в случае, когда хУ — уХ=0, т. е. когда равнодействующая сил, приложенных к материальной точке, находится все время в одной плоскости с осью Ог. Этот интеграл будет йу йх [c.271]

Уравнение движения может быть выведено, как в предыдущем параграфе, из теоремы моментов, которая приводит к дифференциальному уравнению второго порядка. В данном случае, однако, удобнее применить теорему живых сил, которая непосредственно дает уравнение первого порядка. Живая сила в начальный момент /д по предположению равна нулю поэтому ее приращение в момент t равно самой живой силе, т. е. [c.75]

Все случаи, которые могут представиться при решении задачи об устойчивости, можно разбить на некритические и критические. В некритических случаях вопрос об устойчивости решается рассмотрением уравнений первого приближения (2). В критических случаях уравнений первого приближения недостаточно для решения задачи об устойчивости обязательно требуется привлечение нелинейных членов в уравнениях возмущенного движения (1). Из доказанной выше теоремы следует, что критическими будут те и только то случаи, когда характеристическое уравнение (2) не имеет корней с положительными вещественными частями, но имеет корни с вещественными частями, равными нулю. [c.532]

Рассмотрим, например, орбиту, которую описывает планета вокруг Солнца. Дифференциальные уравнения второго порядка, которые приходится интегрировать, можно свести к форме уравнений первого порядка, вводя в качестве новых переменных первые производные. Таким образом, определение орбиты планеты будет зависеть от интегрирования трех дифференциальных уравнений первого порядка между четырьмя переменными два интеграла этих уравнений получаются на основе принципа живых сил и принципа площадей, что сводит вопрос к интегрированию одного уравнения первого порядка с двумя переменными. Так вот, на основании моей общей теоремы это интегрирование может быть приведено к квадратурам. Итак, если угодно применять ее вместе с другими общими принципами механики, то можно сказать, что этих принципов оказывается достаточно, чтобы привести определение орбиты планеты к квадратурам. [c.294]

Теорема. Уравнение (1) имеет первый интеграл вида [c.46]

Теорема. Пусть = 0, 17 = 0 — состояние равновесия классической натуральной системы. Тогда уравнения первого приближения порождаются лагранжианом [c.98]

Доказательство теоремы. Уравнения Лагранжа в силу регулярности лагранжиана можно привести к системе первого порядка (темы 11) [c.131]

Доказательство теоремы. Поскольку первые уравнения — (7) — задают инвариантные многообразия (при любых произвольно зафиксированных ai,...,an), достаточно показать, что последние п равенств (8) обладают тем же свойством (при любых произвольно зафиксированных ai,...,a , pi,...,p тогда их совместный уровень будет иметь размерность 2п+ —п—л=1, т. е- окажется фазовой траекторией). В самом деле, [c.140]

Теорема. Система п уравнений второго порядка (1) эквивалентна системе 2п уравнений первого порядка [c.230]

Первая теорема. Если вещественные части всех корней характеристического уравнения первого приближения отрицательны, то невозмущенное движение асимптотически устойчиво, независимо от членов выше первого порядка малости (членов, составляющих Х] 1 = 1.....5)). [c.74]

Системы автоматического регулирования обычно описываются нелинейными дифференциальными уравнениями, в связи с чем возникает вопрос в какой мере результат исследования устойчивости линеаризованной системы, т. е. по линеаризованным уравнениям, или, как иначе говорят, по уравнениям первого приближения, будет справедлив для исходной нелинейной системы (при не слишком больших отклонениях) Этот вопрос был полностью решен знаменитым русским математиком А.М. Ляпуновым в 90-х годах прошлого века, когда он сформулировал и доказал две теоремы, которые здесь приведем без доказательства. [c.212]

Сформулированные выше утверждения относились к случаю, когда линейное приближение приводит к дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами. Это типично для задач об устойчивости состояний равновесия или стационарного движения. В общем случае матрица 6 уравнений первого приближения зависит от 7. При этом нельзя утверждать, что из асимптотической устойчивости решений уравнений первого приближения следует устойчивость решений нелинейной системы. Ляпунов выделил класс так называемых правильных систем, для которых справедлив аналог теоремы об устойчивости по первому приближению. Среди этих систем - системы с переменными коэффициентами, которые являются ограниченными периодическими функциями времени с одинаковым вещественным периодом. [c.460]

Система п дифференциальных уравнений первого порядка (4.2.8) ввиду гладкости функций в правых частях согласно основной теореме Коши имеет при заданных начальных условиях ф(0) = фо единственное непрерывное [c.457]

В 7-2 было показано, что функции M t) и й д.х(0> определяющие взаимосвязи СЧ п источника энергии (7-5) и обусловливающие нелинейные свойства СП, допускают разложение в степенные ряды (7-13), сходящиеся при малых значениях переменных АМд(/), Айд.х(0 и AQi(f). Поэтому в соответствии с известной теоремой об оценке устойчивости нелинейных систем по уравнениям первого приближения [Л. 40] для суждения об устойчивости СП с источником энергии ограниченной мощности при заданном режиме работы необходимо вместо (7-63) составить линеаризованное уравнение СП и исследовать корни его характеристического уравнения. [c.422]

Точка Г] = О при выполнении (54) также является особой для уравнения (53). К уравнению первого порядка обычными приемами (53) уже не сводится. Из теоремы 2 следует, что существует особая интегральная кривая Н = i ( ]), удовлетворяющая (54), и функция Н( ]) является аналитической в некоторой окрестности нуля. Всю особую интегральную кривую можно найти путем численного интегрирования (53). Краевой режим и,(0, t) = = f t), соответствующий (49), неявно определяется уравнением [c.276]

Многосвязная область с отверстиями и трещинами. Пусть в бесконечной плоскости имеется один замкнутый криволинейный разрез L, разбивающий всю плоскость на две области внутреннюю 5+ и внешнюю 5 Предположим, что при переходе через контур L напряжения остаются непрерывными q t)=0), а вектор смещений получает скачок g t). Тогда комплексные потенциалы Ф г) и 4 (2) определяются по формуле (1.66), а неизвестная функция g t) удовлетворяет уравнению (1.67) (при q t)=0), т. е. сингулярное интегральное уравнение первой основной задачи (при заданной на границе L нагрузке) является одним и тем же для внутренней и внешней области. Из теоремы единственности следует, что для существования решения необходимо выполнение условий равновесия области 5+ (равенство нулю главного вектора и главного момента внешних усилий, действующих на контуре L), т. е. интегральное уравнение в этом случае имеет решение при дополнительных условиях, которым должна удовлетворять правая часть уравнения (следовательно, союзное однородное интегральное уравнение имеет нетривиальное решение). Таким образом, задача является некорректной. Для ее регуляризации в работах [94, [c.19]

В первые годы основное содержание курса было посвящено изложению общей теории движения тел переменной массы (уравнение Мещерского, задачи Циолковского, основные теоремы, уравнения типа Эйлера, Лагранжа и Гамильтона, частные задачи) позднее (с 1945/46 учебного года) в курс были включены вариационные задачи динамики точки переменной массы в беге времени значение оптимальных режимов полета все возрастало, и в шестидесятых годах курс получил сильный крен в эту сторону. Некоторое представление о моих взглядах на механику тел переменной массы и значении этого раздела современной механики для авиа- и ракетостроения можно получить из второй части моего курса теоретической механики. [c.215]

В 9 рассматриваются уравнения первого порядка. Формулируются некоторые общие теоремы о расположении интегральных кривых таких уравнений. Большая часть параграфа посвящена изучению уравнения с полиномиальной правой частью. Для такого уравнения весьма подробно изучается вопрос о возможном числе периодических решений. Дается ряд условий, достаточных для того, чтобы число периодических решений не превышало степени полинома, стоящего в правой части. [c.6]

Наиболее разработана теория интегральных уравнений в применении к уравнениям второго рода. Для этого типа уравнений имеются теоремы, совершенно аналогичные теоремам для линейных алгебраических уравнений. Для интегральных уравнений первого рода таких теорем нет. Действительно, частный метод Кармана, использующий осевое распределение источника-стока для получения потенциального потока вокруг вращающегося тела, очевидно приводит к интегральному уравнению первого рода, которое в общем случае не имеет решения. Однако было установлено, что даже когда точные решения не могут быть получены из уравнений первого рода, эти уравнения все же можно применять для получения полезных приближений. [c.118]

В работе Е. В. Коваленко [21] предложен алгоритм построения приближенного решения одного класса интегральных уравнений первого рода, к которым сводятся задачи о действии кольцевого в плане штампа на линейно-деформируемое основание и, в частности, на упругое полупространство. В основе метода лежит использование процедуры Галер-кина в сочетании с теоремами сложения для бесселевых функций, позволившими представить коэффициенты линейных алгебраических систем в форме однократных интегралов, удобных для численной реализации. В частном случае осесимметричной задачи полученные результаты полностью согласуются с исследованиями аналогичной задачи, проведенными Г. Я. Поповым в монографии [28]. [c.139]

Временно будем считать функцию ф(х) известной тогда решение сингулярного интегрального уравнения первого рода с ядром Коши (7.28), обладающее указанной в условии теоремы структурой, будет иметь вид [6] [c.379]

Содержательность теоремы Лиувилля заключается в том, что она показывает, как, зная п первых интегралов системы Гамильтона 2п-го порядка, можно свести всю задачу к квадратурам (обращение функций и взятие интегралов). Известно, что для системы 2п обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для этой цели необходимо знание 2п - 1 первых интегралов. [c.301]

Начнем со случая изотропной D-фазы. Сравнивая ее материальное уравнение (первое уравнение (15)) с (19), можно ожидать локализации силовых линий не индукции, как в п. 4, а напряженности поля. И в самом деле, силовые линии Е (порожденные внешними зарядами) занимают конечную область пространства теорема Гаусса (см. (16)) и следующее из (15) неравенство D Р ограничивают сверху площадь эквипотенциальной поверхности величиной Q /Р. Для одиночного заряда уравнения (1 б, в) и (15) дают [c.211]

В 7 развита теория сингулярной резольвенты и заново доказаны теоремы Фредгольма для интегральных уравнений первой и второй граничных задач классической теории упругости. [c.123]

Теорема взаимности, полученная в 1.12, также значительно упрощается для адиабатического процесса. Напомним, что утверждение теоремы состояло из двух уравнений. Первое из них после применения преобразования Лапласа (с однородными начальными условиями) принимает вид [c.84]

Мы получили систему двух интегральных уравнений первого рода. Решение этой системы уравнений дает неизвестные функции p Q ) и 5(р ). После подстановки этих функций в интегральное выражение (24) получим составляющие перемещения упругой пластинки, представленной на рис. 6.18, а. Заметим, что ядра интегральных уравнений (25) симметричны, как вытекает из теоремы взаимности Бетти. [c.356]

Эти критерии означают, что если неустановившееся движение Xg = = О асимптотически устойчиво в линейном приближении и если при этом возмущенные двин ения Xg (t, о) линейного приближения удовлетворяют оценке (9.6), характерной для асимптотической устойчивости линейных систем с постоянными коэффициентами, то имеет место асимптотическая устойчивость в силу полной. системы уравнений (9.3) при условиях (9.5), где т — i. Н. Н. Красовский (1959) обобщил этот критерий на задачи устойчивости по первому приближению и в тех случаях, когда правые части уравнений первого приближения (9.4) представляют собой однородные формы от Xg произвольного порядка щ > 1 с переменными по t непрерывными и ограниченными коэффициентами. Именно, справедлива следующая теорема. Пусть решение а == О системы уравнений (9.4) удовлетворяет неравенству [c.48]

Теорема. Система уравнений Лагранжа эквивалентна си- стеме 2п уравнений первого порядка — уравнений Гамильтона [c.62]

Понятие предельной точки и теоремы 1 и 2 имеют место не только в случае динамической системы на плоскости, но и в случае динамической системы на фазовой поверхности любого жанра, а также в случае динамических систем в фазовом пространстве п измерений при га 2 (т. е. для системы п автономных дифференциальных уравнений первого порядка при ге > 2). [c.46]

Теорема А. М. Ляпунова. Пусть дана нормальная система дифференциальных уравнений первого порядка [c.42]

Законы сохранения (дивергентные формы уравнений) широко применяются в методе интегральных соотношений, при построении консервативных разностных схем и при постановке вариационных задач газовой динамики. Примерами являются публикации [1-4]. Теорема Нетер и ее обобшение [5] позволяют находить законы сохранения для систем дифференциальных уравнений второго порядка. Для применения этих теорем необходимо изучить групповые свойства исходных уравнений [6] и использовать вариационный принцип, из которого эти уравнения следуют. Для вырожденных функционалов, порождающих уравнения первого порядка, теряется взаимно однозначное соответствие между группами, допускаемыми уравнениями, и законами сохранения некоторым группам могут соответствовать дивергентные уравнения, состоящие из нулей [5]. Теорема Нётер использована, например, Ибрагимовым [7] для получения полной системы законов сохранения безвихревых течений газа, описываемых уравнением второго порядка для потенциала скоростей. [c.17]

Сформулируем теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению [16, 17, 21]. Они дают возможность решить задачу об устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы уравнений (2.8) рассмотрением лишь линейной системы уравнений первого приближения (2.9) независимо от выбора векторчрункции Р. [c.83]

Ил ус.човий теоремы следует, что а., положение равновесия изолированное). Поэтому среди корней характеристического уравнения имеется хотя бы один с поло-пштельной вещественной частью (слт. пояснение к формулам (4.23)). Доказательство теоремы следует теперь из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения (см. 4.3), и того обстоятельства, что свободный член flj,, характеристического уравнения не зависит от гироскопических сил. [c.172]

В основе вывода дифференциальных соотношений термодинамики лежат две простые теоремы математики первая — теорема о произведении частных производных, утверждающая, что если три величины р, V, Т или й, р и Т связаны функциональнми зависимостями ф (р, V, Т) = 0 ф (Ь, р, Т) = О, то между частными производными этих уравнений состояния существует следующая связь [c.55]

Всё, что было сказано до сих пор о простейшем случае вариационного исчисления, можно распространить на самый общий случай, в котором под знаком интеграла стоит функция, содержащая произвольно большое число переменных у, з, и, зависящих от одной переменной х, и сверх того еще производные до какого угодно высокого порядка от этих переменных. Когда такая задача сведена к дифференциальному уравнению первого порядка с двумя переменными, то последнее интегрирование также может быть выполнено. Но, чтобы получить этот результат, необходимо привести некоторые теоремы относительно выражений, которые встречаются при решении линейных уравнений и которые названы Лапласом результантами, Гаус-..лом — определителями и Коши — альтернативными функциями. [c.74]

Теперь можно рассмотреть член 1/г, характеризующий поверхностное натяжение и начальную скорость роста, которую пузырь приобретает за первые несколько микросекунд. Это делается следующим образом. Апрок-симируем интеграл уравнения (11) функцией 2гН полученной по теореме о среднем. Эта величина слишком завышена, однако со временем она приближается к истинной величине интеграла. Используем ее в качестве приближенного значения интеграла в уравнении (11). Это приводит к простому дифференциальному уравнению первого порядка, которое решается разделением пеоеменньтх- т. е. [c.222]

Нахождение функций преобразования и, v из уравнений Крылова — Боголюбова (74), (75) в аналитической. форме в общем случае не представляется возможным, однако есть такие интересные для приложений случаи, когда это возможно сделать. О них будет рассказано ниже, а здесь мы приведем формулировку теоремы Волосова [20], устанавливающую е-близость медленных переменных многочастотных уравнений вида (63) и медленных переменных, определяемых усредненными уравнениями первого приближения (65), на асимптотически большом промежутке времени. [c.36]

Речь идет о следующей теореме все первые интегралы уравнений движения являются производящими функциями тех бесконечно малых канонических преобразований, при которых не изменяется гамильтониан системы, и обратно. Формулировка, более близкая, как мы увидим, к лиевской, гласит Интегралы динамической системы и контактные преобразования, переводящие системы в самое себя, представляют собой по сути дела одно и то [c.232]

В 9 мы показали (теорема 9.1), что если уравнение первого порядка имеет ограниченное решение, то оно имеет и (о-периодическое, т. е. в случае уравнения первого порядка условие теоремы 12.1 о продолжимости всех решений на периоде является излишним. Массера [53] показал, что для системы второго порядка это условие существенно. Приведем пример Массера. [c.192]

Уравнения, определяющие Тп Исоп, сводятся к двум уравнениям, совершенно аналогичным уравнениям (27), а следовательно, они тоже типа Фукса. Таким образом решается задача интегрирования системы уравнений (12)—(17) с помощью рядов (21) по степеням г (по крайней мере теоретически) коэффициенты при различных степенях г легко определить. Однако такое решение нельзя считать полным, так как не дано доказательство сходимости полученных бесконечных рядов. Приходится сожалеть, что это доказательство не может быть основано на известной теореме Пуанкаре . Наши уравнения можно свести к системе уравнений первого порядка, одно из которых будет иметь вид [c.94]

Смотреть страницы где упоминается термин Теорема уравнение первая : [c.377] [c.11] [c.307] [c.46]

Теория пограничного слоя (1974) -- [ c.425 ]

ПОИСК

ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ Первые интегралы уравнений движения и законы сохранения

Первые интегралы гамильтоновых систем Теорема Якоби-Пуассона. Уравнения Уиттекера

Первые интегралы дифференциальных уравнений движения, вытекающие из теоремы об изменении момента количества движения

Первые интегралы уравнений Лагранжа второго рода Теорема Нетер

Первые интегралы уравнений движения, которые можно получить на основании теоремы об изменении количества движения Применение теоремы об изменении количества, движения

Теорема первая

Теоремы первого рода - Уравнение Абеля

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма

Функциональные уравнения резольвенты. Первая теорема Фредгольма (1-87). 7. Вторая теорема Фредгольма

Характеристическое уравнение. Теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...