Функция действия свободной точки

Наименьшее действие. Свободная точка. Допустим, что на свободную точку массы 1 действует сила, имеющая силовую функцию и (х, у, г). Мы видели, что если постоянная живых сил к имеет определенное значение, то траектории, проходящие через две заданные точки А п В, являются кривыми, обращающими в нуль вариацию действия [c.499]

Пример 9.4.1. Составим функцию действия по Гамильтону для движения по инерции свободной материальной точки. Пусть х, у, г — декартовы координаты точки и = 0. Тогда закон движения принимает вид [c.643]

Граничное условие для функции Ф определится из следующего рассуждения. В силу того, что боковая поверхность бруса свободна от поверхностных сил, сумма проекций касательных напряжений Офз и Офг, действующих в точках границы осевого сечения на нормаль к границе (рис. 42), должна обращаться в нуль, т. е. [c.245]

Свободная точка. Если свободная точка находится под действием силы, имеющей силовую функцию U(х, у, z), то интеграл кинетической энергии имеет вид [c.460]

Если мы на минуту вернемся к случаю свободной точки, находящейся под действием силы, имеющей силовую функцию, то мы увидим, что на основании принципа наименьшего действия задача определения траекторий точки является распространением на случай трех переменных задачи о геодезических линиях. [c.462]

В согласии с тем, что было сказано в случае одной свободной материальной точки (гл. VII, 8), система сил Fi (где Fi есть результирующая сил, действующих на точку Pi системы) в любой момент определяется в функции от конфигурации истемы и от скоростей отдельных ее точек. Если мы примем во внимание равенства (8) и выражения, которые получаются из них для скоростей различных точек Р< [c.266]

Таким образом, если массовые силы отсутствуют, а на поверхности тела действуют силы Тд созо) , то решение можно представить в виде суммы собственных функций недемпфированной свободной системы с коэффициентами А ., определяемыми согласно [c.25]

Различная реакция головок (кривые I. .. III рис. 9,а) вызвана конструктивными особенностями, а изменение этой реакции (рис. 9,б,в) связано с установкой на свободную часть базовой трубки специальных втулок толщиной 10 мм. Этим можно показать действие вспомогательных элементов или полостей измеряемых объектов на температурную функцию влияния. Кривые изменения показаний тех же измерительных головок, установленных в стойки, зависят от типа стойки и положения места крепления. Нижнее положение головки без термокомпенсации IV (рис. 9, г) оказывает компенсирующее действие, в то время как для головки с термокомпенсацией II и III (рис. 9, а... б) лучшие результаты достигаются при верхнем [c.47]

Допустим, что в пространстве движутся N свободных точек, на которые действуют силы, обладающие силовой функцией U. Заменяя координаты у , Zft какой-нибудь точки новыми величинами [c.22]

Изучая движение материальных тел под действием сил, можно выделить весьма важный класс задач динамики, характерных тем, что некоторые из действующих на объект сил могут быть запрограммированы и реализованы в процессе движения человеком-пилотом (или автопилотом). Часть сил, приложенных к движущемуся объекту, конечно, определена (детерминирована) природой, а часть может изменяться в широких пределах по некоторым законам, заложенным в конструкции летательного аппарата. Так, при изучении движения ракеты в поле тяготения Земли гравитационная сила вполне детерминирована (она в первом приближении подчиняется закону тяготения Ньютона), а реактивная сила может изменяться и регулироваться как по величине, так и по направлению. Каждому закону регулирования реактивной силы будет соответствовать некоторый закон движения ракеты. В современной ракетодинамике и динамике самолета такие задачи часто называют задачами с управляющими (или свободными) функциями. Если управляющие функции все заданы и, следовательно, сделаны определенными все действующие силы, то мы будем иметь дело с обычной задачей теоретической механики найти закон движения объекта, если действующие на него силы известны. Но выбор (задание) свободных функций можно подчинить некоторым достаточно общим и широким условиям оптимальности (экстремаль- [c.34]

В этой главе рассматривается простейшая ограниченная задача небесной механики — задача о движении материальной точки, притягиваемой (или отталкиваемой) несколькими неподвижными точечными центрами. Сама материальная точка не оказывает на эти центры никакого действия и называется, по этой причине, пассивно действующей. Каждый нз неподвижных центров обладает некоторой конечной массой, но не оказывает никакого действия на все другие неподвижные точечные массы. Сила, с которой каждый неподвижный точечный центр действует на свободную, пассивно действующую материальную точку, предполагается направленной по прямой, соединяющей обе точки. По величине эта сила предполагается пропорциональной произведению масс этих точек и некоторой функции от расстояния между ними. В более общем случае эта сила может также зависеть от первых двух производных по времени от упомянутого расстояния. [c.181]

Если тело не свободное — движение его стесняется связями, то будут действовать реакции связей, представляющие собой неизвестные функции координат, скоростей точек и времени. Известны лишь места приложения этих сил они могут быть приложены в отдельных точках (например, реакции шарниров) либо распределены по некоторым участкам внешней поверхности тела реакция плоскости, по которой скользит брусок) и т. д. Зависимость же реакций от координат, их производных и времени заранее, до решения задачи, указать нельзя. [c.371]

Когда начальные условия для соответствующей задачи Коши совпадут, то совпадут и решения. Другими словами, ес.ни удельная сила, действующая на элемент материальной нити, выражается как градиент функции V. то кривая, по которой располагается нить, тождественна с траекторией движения свободной материальной точки в поле силы, имеющей силовую функцию [c.372]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

К механическим колебаниям относятся колебания маятников, струн, мостов, корабля и т.п. 2. Свободные колебания точки происходят под действием силы, являющейся линейной функцией расстояния. [c.31]

Рассмотрим канонические уравнения движения свободной материальной точки, движущейся под действием сил, не определяемых через силовую функцию. [c.149]

Решение. Вводим полярные координаты с углом ф, отсчитываемым от направления действия приложенной силы он пробегает значения от — (я/2 - - а) до я/2 — а, где а — угол между направлением силы и нормалью к краю пластинки (рис. 6). Во всех точках свободной границы, за исключением точки приложения внешней силы (начало координат), должны выполняться условия Офф = о ф = 0. Воспользовавшись выражениями для Офф и о,.ф, полученными в задаче 11 7, найдем, что для этого функция напряжений должна удовлетворять условиям [c.72]

Рассмотрение дифференциальных уравнений движения свободной материальной точки показывает, что мы можем поставить и решить следующие две основные задачи динамики точки 1) зная массу точки и закон движения точки, т. е. координаты движущейся точки как функции от времени, определить, под действием какой силы такое движение происходит 2) зная массу материальной точки, действующие на нее силы и начальные условия движения точки, т. е. ее начальное положение и начальную скорость, определить закон движения этой точки. [c.452]

Если на точки системы, кроме восстанавливающих сил, имеющих потенциал П = П д ,. .., gs), действуют возмущающие силы Ег( ), являющиеся некоторыми заданными функциями времени, то система совершает сложное движение, представляющее собой результат наложения свободных и так называемых вынужденных колебаний. [c.180]

Как показали эксперименты, существует некоторое оптимальное значение этого соотношения, при котором достигается предельно возможное заполнение катионами находящихся в стекле пустот, что вызывает в последнем лишь минимальное разупрочнение кремнекислородных связей. Защитное действие покрова при этом должно быть наиболее эффективным не только вследствие наибольшего возможного заполнения свободных полостей в тонкой структуре стекловидной фазы покрова, но и за счет достигаемого при этом уменьшения подвижности кремнекислородных тетраэдров, из-за сковывающего действия катионов, выполняющих как бы армирующую функцию в структуре стекла. [c.251]

На какие бы высокие уровни в зоне проводимости ни возбуждались электроны под действием света, ионизирующих частиц и т. д., они очень быстро (за ж10 —10 с) опускаются к дну зоны проводимости и распределяются по энергиям так же, как и равновесные носители неравновесные дырки соответственно поднимаются к потолку валентной зоны. Поэтому свойства избыточных носителей практически ничем не отличаются от свойств равновесных носителей. В частности, если появление избыточных носителей не изменяет невырожденного характера га-. за свободных носителей, то для описания его распределения по энергиям можно пользоваться равновесной функцией распределения (6.3). Только в ней следует изменить величину энергии Ферми ji, так как от нее зависит полное число свободных носителей в зоне проводимости и в валентной зоне, которое теперь стало иным. Вместо (6.7) и (6.8) следует писать [c.172]

Сравнение векторного и вариационного методов в механике. Векторная и вариационная механики — это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы. Теория Ньютона базируется на двух основных векторах на импульсе и на силе вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах на кинетической энергии и силовой функции . Помимо математической целесообразности возникает вопрос об эквивалентности этих двух теорий. В случае свободных частиц, движение которых не ограничено заданными связями , эти два способа описания приводят к аналогичным результатам. Однако для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. При векторном подходе нужно учитывать силы, поддерживающие связи, а потому приходится вводить различные гипотезы относительно этих сил. Третий закон движения Ньютона ( действие равно противодействию ) не охватывает всех случаев. Он оправдывается лишь в динамике твердого тела. [c.19]

Следовательно, если и начальные условия в той и другой задачах будут одинаковы, то совпадут и интегралы. Итак, если сила, отнесённая к единице длины и действующая на элемент материальной нити, является градиентом функции U, то кривая, по которой располагается нить, тождественна с траекторией свободной материальной частицы, к которой приложена сила, имеющая силовую функцию [c.402]

Рассмотрим движение свободной материальной частицы под действием сил, имеющих силовую функцию, и составим для этого движения характеристическую функцию S. Если движение отнесено к декартовым координатам, то функция S найдётся как полный интеграл уравнения (42.40) на стр. 457, которое в настоящем случае будет иметь вид [c.477]

Если по длине оболочки внешняя нагрузка остается одного знака, то даже одночленное приближение обеспечивает вполне приемлемую точность. Возьмем, например, свободно опертую оболочку под действием радиальной локальной кольцевой нагрузки д. Будем считать, что оболочка теряет устойчивость по достаточно большому числу волн п и поэтому не будем различать гидростатические и мертвые нагрузки (см. 32). Взяв функцию [c.296]

При расчетном определении функций влияния возникает вопрос об уравновешивании свободных (не имеющих точек закрепления) тел при действии единичной силы (рис. 1.6, а). В этом случае единичную силу целесообразно уравновешивать в начале координат тела, удовлетворяя условию равновесия (рис. 1.6, б). Для полной задачи в начале координат силовых факторов нет. [c.15]

Выше мы рассмотрели решение двух задач об изгибе тонкой полосы (балки) прямоугольного поперечного сечения. Для расчета консоли, нагруженной на конце сосредоточенной силой, оказалась подходящей функция напряжений в виде полинома четвертой степени, для свободно опертой по концам балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки,— полином пятой степени. [c.368]

В рассматриваемой части балки, грани АВ, АВ свободны от внешних усилий считая, что длина балки достаточно велика по сравнению с поперечными размерами, мы можем применить принцип Сен-Венана напряжение внутри рассматриваемой части балки будет определяться функцией (5.201), независимо от величины или характера нагрузок, действующих на другие части балки, лишь бы эти силы были статически эквивалентны силе F, приложенной в точке О, и моменту Mq. [c.397]

Пусть (Л , <, >, V) — натуральная механическая система и пусть G — компактная коммутативная группа симметрий (изоморфная Р), свободно действующая на пространстве положений N. Мы можем рассматривать эту систему как гамильтонову систему с симметриями на M = T N и применить известную нам схему понижения порядка. Группа G осуществляет пуассоновское действие на T N поскольку это действие свободное, то любое значение момента является некритическим. Стало быть, определено гладкое интегральное многообразие уровня Мс (коразмерности k = a mG в М) и приведенное пространство состояний Мс (размерность которого на 2k меньше размерности AI). С другой стороны, можно определить гладкое приведенное пространство - положений N, профакторизовав N по орбитам действия G. Более того, при том же самом значении с6 мы имеем полунатуральную приведенную лагранжеву систему (Л , <, >, К, Qe) (см. п. 1.1, теорема 18). Приведенным лагранжианом L TN- R естественно назвать функцию, определенную равенством L(x)=< x, x l2+V (x). [c.108]

Если предположить, что точка Ж совершенно свободна, то действующие на нее силы зависят, в общем случае, от положения, скорости и времени. Следовательно, проекции X, К, Z равнодействующей являются заданными функциями от х, у, г, т. е. от X, у, г, х, у, г, 1, если употреблять обозначения Лагранжа для производных = Тогда уравнения (1) обра- [c.266]

Устойчивость равновесия свободной материальной точки. Доказательство Лежен-Дирихле. Рассмотрим свободную точку Л1 (х, у, г), находящуюся под действием сил, равнодействующая которых (X, У, 2) имеет силовую функцию 11 х, у, г)-. [c.278]

В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия, как известно, минимальна. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то F как функция от 1 должно иметь минимум при Uih = 0. Это значит, что квадратичная форма (4,3) должна быть положительна. Если выбрать тензор таким, что иц = О, то в (4.3) останется только первый член если же выбрать тензор вида Uih = onst-6 , то останется только второй член. Отсюда следует, что необходимым (и, очевидно, достаточным) условием положительности формы (4,3) является положительность каждого из коэффициентов К и [c.22]

Рассмотрим теиерь граничные условия для функции ф. Из условия, что боковая поверхность вала свободна от внешних сил, заключаем, что в любой точке границы осевого сечения А (рис, 178) полное касательное напряжение должно действовать в направлении касательной к границе, а его проекция на нормаль к границе N должна равняться нулю. Отсюда [c.348]

Производная dF" jdQ) t представляет собой энергию поверхностного слоя, отнесенную к единице площади поверхности, и играет роль потенциала для поверхностных явлений, в качестве которого принимается коэффициент поверхностного натяжения ст. Таким образом, ст представляет собой удельную поверхностную энергию в изохорно-изотермических условиях, так как только в этих условиях свободная энергия приобретает свойства характеристической функции. Это означает, что а имеет единицу Дж/м , между тем как в большинстве справочников единица ст дается в виде Н/м. Следовательно, в последнем случае коэффициент поверхностного натяжения трактуется как сила, отнесенная к единице длины. С математической точки зрения, замена понятия энергии единицы поверхности понятием силы, отнесенной к единице длины, допустима, так как Дж/м = = Н-м/м =Н/м. Следует, однако, помнить, что, по существу, а нельзя рассматривать как некоторую отнесенную к единице длины упругую силу, действующую по касательной к поверхности пузыря и стремящуюся уменьшить его поверхность. Подтверждением этому служат опытные данные, говорящие о том, что ст зависит от температуры и не зависит от поверхности, в то время как любая упругая сила зависит от деформации. В действительности поверхностный слой находится в поле нормальных сил, равнодействующая которых всегда направлена по нормали к поверхности. Именно действием этих нормальных сил определяются все свойства поверхностного слоя (способность к уменьшению своей поверхности, его энергия). [c.168]

Эти последние преобразования дифференциальных уравнений движения второго порядка системы притягивающихся или отталкивающихся точек во всех отношениях совпадают (не считая небольших различий в написании) с изящными каноническими формами, данными Лагранжем в Me anique Analytique, но нам казалось, что стоит вывести их заново из свойств нашей характеристической функции. Предположим (как это часто считается удобным и даже необходимым), что п точек системы не являются целиком свободными и подвержены не только своим собственным взаимным притяжениям и отталкиваниям, но связаны любыми геометрическими условиями и подвергаются влиянию любых внешних факторов, согласующихся с законом сохранения живой силы так, что число независимых отметок положения будет менее велико, а силовая функция менее проста, чем раньше. Тогда мы можем доказать при помощи рассуждения, очень сходного с предыдущим, что и при этих предположениях (которые, однако, дух динамики все более и более склонен исключать) накопленная живая сила, или действие V системы, представляет собой характеристическую функцию движения уже разобранного выше рода. Эта функция выражается тем же законом и формулой вариации, подверженной тем же преобразованиям, и обязана удовлетворять таким же способом, как и выше, конечной и начальной зависимости между ее частными производными первого порядка. Она приводит при помощи варьирования одной из этих двух зависимостей к тем же каноническим формам, которые были даны Лагранжем для дифференциальных уравнений движения, и дает, исходя из изложенных выше принципов, их промежуточные и конечные интегралы. По отношению же к тем мыслимым случаям, в которых закон живой силы не имеет места, наш метод также неприменим однако среди людей, наиболее глубоко занимавшихся математической динамикой вселенной, все более крепнет убеждение, что представление о таких случаях вызывается недостаточным пониманием взаимодействия тел. [c.189]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ — колебания, происходящие в колебательной системе в отсутствие внеш. воздействия то же, что свободные колебания. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ оператора, действующего в функциональном пространстве,— ненулевые ф-ции Д, переводявдиеся оператором А в пропорциональные им [c.568]

Мы будем предполагать, что длина волны нейтрона и протона, образующихся в результате расщепления дейтрона, значительно больше радиуса действия ядерных сил. Если выполнено это условие, то в / -состоянии между нейтроном и протоном практически силы не действуют. Поэтому волновая функция конечного состояния совпадает с волновой фунцией свободного движения. [c.114]

Дальнейшее развитие проблемы п тел принадлежит Ю. Д. Соколову многочисленные исследования которого посвящены изучению особых траекторий системы свободных материальных точек, взаимно притягивающихся или отталкивающихся с силами, пропорциональными произвольной функции взаимных расстояний. Соколов обобщил на случай произвольных сил взаимо-114 действия в задаче п тел теорему Пенлеве о минимуме взаимных расстояний, теорему Шази о парном соударении в неизменяемой плоскости, теорему Дзио-бека о движении точек в неподвижной центральной плоскости при аннулировании кинетического момента системы относительно ее центра масс и теорему Слудского—Вейерштрасса об общем соударении тел. Он установил нижнюю границу радиусов сходимости разложений координат точек системы около момента регулярного движения. Обобпщв уравнение Лагранжа — Якоби, он исследовал поведение квадратичного момента инерции при стремлении t к некоторому особому моменту ti или оо. Соколов изучил траектории парного соударения в общей задаче трех тел, исследовал характер особых, Точек интегралов прямолинейного движения. Рассматривая ограниченную задачу трех тел в обобщенной постановке, он исследовал поведение искомых функций и доказал существование решения задачи, установил инвариантное соотношение, характеризующее условие соударения. Результаты этих исследований Соколов успешно применил к решению задач о притяжении к неподвижному и равномерно вращающемуся центрам. [c.114]

Вычислим теперь оператор (3.3.20) в точке 2 = + Прежде всего отметим, что оператор гЬ 23 входящий в М12, всюду действует на функции от Г21 = Г2 — и г а = 3 где а = 1, 2. Поэтому его можно переписать в виде iLi2s = где операторы Лиувилля описывают относительное движение свободных частиц [c.204]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...