Характеристики дифференциальных уравнений в частных производны

Так же, как и особые решения обыкновенных уравнений, характеристики дифференциальных уравнений в частных производных находятся не путем интегрирования их, а путем дифференцирования коэффициентов исходных уравнений. Нахождение самих характеристик сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений, вообще говоря более простых, чем исходные уравнения. [c.9]

Рассмотрим свойства характеристик дифференциального уравнения в частных производных первого порядка. Решение уравнения (1) 36 будет поверхностью в пространстве х, у, и), уравнение которой запишется в виде [c.262]

Анализ, проведенный в этом параграфе, показывает, что характеристики дифференциальных уравнений в частных производных могут быть использованы при построении решения уравнения. В обыкновенных дифференциальных уравнениях первого порядка характеристики являются специальными точками на интегральных кривых. [c.264]

Характеристики дифференциальных уравнений в частных производных 616, 621 [c.641]

Покажем теперь коротко, каким образом данное нами физическое определение характеристик как линий распространения возмущений соответствует известному из теории дифференциальных уравнений в частных производных чисто математическому аспекту этого понятия. Рассмотрим уравнение в частных произ- [c.544]

Математическая модель с распределенными параметрами содержит переменные, зависящие от пространственных координат, и представляет собой систему дифференциальных уравнений в частных производных или систему интегро-дифференциальных уравнений. Важной характеристикой дифференциальных уравнений является их порядок, т. е. порядок старшей производной, которая входит в эти уравнения. Порядок производной по времени в большинстве динамических моделей процессов химической технологии — первый. Производные по координатам могут быть как первого, так и более высоких порядков. Модели обычно получаются в предположении о полном вытеснении (поршневом режиме течения) фаз. Производные второго порядка по координатам появляются в тех математических моделях, где учитывается перемешивание фаз. [c.5]

Следующий пример — линейная система, представляющая собой тонкий прямолинейный стержень. Входом у него является произвольная точка, например, имеющая координату хо = О, в которой задана внешняя случайная сила f(t), выходом —смещение u(t) в другой точке х. В тонком стержне могут возбуждаться три типа волн — продольные, крутильные и изгибные (см. главу 5). Два первых типа (продольные и крутильные) описываются сходными дифференциальными уравнениями в частных производных второго порядка. Частотная характеристика для них имеет следующий вид [c.104]

Одной из центральных задач при расчете автоматических линий со СЛОЖНОЙ структурой (под сложной структурой будем понимать совокупность следующих характеристик число самостоятельных участков количество бункерных емкостей количество параллельных потоков в каждом участке порядок расположения этих участков по ходу движения объекта обработки количество наладчиков на каждом участке) является определение коэффициента технического использования (к.т.и.). Для точного определения к.т.и. автоматической линии требуется учет всех возможных состояний, количество которых зависит от сложности структуры и определяет порядок системы дифференциальных уравнений в частных производных. Существующие ныне аналитические расчеты к.т.и. автоматических линий построены на ряде допущений, которые позволяют снизить порядок системы дифференциальных уравнений, но вносят расхождения с реальными к.т.и. [c.123]

Решается дифференциальное уравнение в частных производных методом характеристик [21]. Программа генерирует анимационные клипы, иллюстрирующие процесс заострения или размывания фронта фильтрования в зависимости от вида изотермы адсорбции фильтрующего материала (см. клипы 1 и 2 на сайте www.vpu.ru). [c.287]

Математическая модель гидродинамических процессов в инерционных насосах разных типов описывается одной н той же системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с учетом влияния нерастворенного воздуха на скорость, но с различными граничными условиями. При разработке алгоритма расчета гидродинамических процессов граничные условия учитываются совместным решением уравнений соответствующей характеристики с определенными граничными условиями, записанными в разностной форме. Поэтому при составлении таких программ для ЭЦВМ изменению подвергают только ее часть, которая вычисляет граничные точки. [c.337]

Для дифференциальных уравнений в частных производных или для системы таких уравнений мы должны иметь семейства особых решений. Такие особые решения получили название характеристик дифференциальных уравнений. [c.9]

При расчете и исследовании динамических характеристик аппаратов используют обыкновенные и дифференциальные уравнения в частных производных (см. 4.6). Примеры систем уравнений для выпарных, ректификационных установок, абсорберов, адсорберов и химических реакторов приведены в [5,43, 62, 73]. [c.286]

Уравнения (1) представляют для четырех функций о, а, о и иу замкнутую систему квазилинейных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Эти уравнения имеют два семейства характеристик т] в плоскости хуЩ [c.106]

Строгое изложение теории характеристик и доказательство теоремы единственности решения уравнений характеристик можно найти в специаль-1ЫХ курсах дифференциальных уравнений в частных производных. См., например, р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, Ч- Гостехиздат, 1945, стр. 66. [c.169]

Определение решения дифференциального уравнения в частных производных первого порядка методом характеристики [c.262]

Второе издание настоящей книги существенно переработано и дополнено результатами новых исследований и критическим обзором существующих представлений по изучаемой проблеме. Оно включает исследования помпажа как в упрощенной постановке — в предположении, что компрессор представляет собой систему с сосредоточенными постоянными (описываемую обыкновенными дифференциальными уравнениями), так и в общем виде, когда компрессор с сетью является распределенной системой (описываемой дифференциальными уравнениями в частных производных). Показано, что как характер помпажа, так и вообще возможность его появления связаны в основном с формой характеристики компрессора. Б связи с этим задача изучения и устранения помпажа содержит две проблемы. Первая — как предсказывать по характеристикам компрессора и сети, а также геометрическим данным всей системы возможность или невозможность помпажа, выяснить влияние формы характеристики на особенности помпажных колебаний. Вторая проблема заключается в получении ответа на вопрос о том, почему характерис- [c.3]

Замечание. Мы привели в разд. 3.1—3.3 ряд характерных постановок задач теории упругости и теперь перейдем к анализу некоторых их свойств на основе общих представлений решений уравнений теории упругости. Однако прежде отметим, что многие специфические постановки краевых задач теории упругости возникают в тех случаях, когда имеет место тот или иной вид вырождения системы дифференциальных уравнений теории упругости из-за наличия среди геометрических характеристик упругого тела одного или двух малых параметров (модели стержней, балок, пластин, оболочек) [90, 93]. Ситуация здесь вполне аналогична той, что имеет место в общей теории дифференциальных уравнений в частных производных. Некоторые методы и результаты построения оценок решений для таких вырожденных задач обсуждаются в гл. 10. [c.85]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

Если дискриминант уравнения (37.68е) равен нулю, то две системы характеристик сливаются в одно семейство кривых, когда же он отрицателен, то действительных характеристик не существует вовсе. Три соответствующих типа дифференциальных уравнений в частных производных, как известно, называются гиперболическим, параболическим и эллиптическим 2). Само собой разумеется, что характер дифференциального уравнения в частных производных общего вида (37.68) в различных областях поля координат может изменяться, а уравнение может быть гиперболическим в одной области и параболическим или эллиптическим в примыкающих областях и т. д. [c.624]

Если в соотношениях вдоль характеристик (3.16) для баротропных течений с плоскими волнами принять за определяемые функции л и а независимыми переменными считать г и /, то эти соотношения приведутся к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных (это преобразование принадлежит Риману, см. сноску на с. 159) [c.161]

Подстановка формулы (4.19) в выражение (4.17) дает дифференциальное уравнение в частных производных, которое позволяет определить Р как функцию 2+ и т+. Решают это уравнение методом характеристик. Для Рп получают следующее выражение [c.87]

Методы решения задач анализа конструкции. В общем виде решение задач анализа помехоустойчивости, тепловых процессов и механических характеристик конструкции можно свести к решению систем дифференциальных уравнений в частных производных. Наиболее общий метод решения таких задач на ЭВМ состоит в конечно-разностной аппроксимации этих уравнений с последующим решением большого числа связанных между собой алгебраических уравнений. Такой подход, несмотря на универсальность, характеризуется чрезмерными затратами памяти и времени ЭВМ. [c.202]

Характеристики дифференциальных уравнений в частных производных плоского течения сжимаемой жидкости широко применялись (после некоторых преобразований, выполненных с уравнениями) Д. Экеретом, А. Бузелга-ном, Т. Карманом, Л. Прандтлем и другими для решения важных задач, связанных с течением сжимаемых жидкостей. В связи с этим см. Л и п м а н Г. и Пакет А., Введение в аэродинамику сжимаемой жидкости, М., 1949. [c.622]

Молекулярно-кинетический подход к исследованию опирается на изучение молекулярного (микродискретно-го) строения газа и поэтому лучше соответствует реальным условиям. Однако использование дифференциальных уравнений в частных производных требует возврата к гипотезе о квазисплошности среды и квазинепрерывности полей ее характеристик. Возникающее противоречие снимается с помощью перехода к макроскопическому описанию свойств и процессов через микроскопические свойства отдельных молекул среды, структура и элементарные процессы в которой дискретны. Этот переход осуществляется с помощью функций распределения Максвелла или Больцмана. При этом свойства среды выступают как осредненные по всем молекулам и как непрерывные функции координат и времени. [c.26]

Если В —АС>0, то уравнение характеристик имеет два решения, и основное уравнение (IX.14) называется в этом случае дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка гиперболического типа. Если В —АС<0, то уравнение характеристик не имеет ни одного вещественного корня, а основное уравнение эллиптического типа. Если В —АС = 0, то уравнение характеристик имеет одно решение. Основное уравнение (IX.14) в этом случае называется дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка параболического типа. В нашем случае в уравнении (1Х.13) Л = —1, B = tg20, С = 1, тогда [c.114]

Важнейший результат К. Якоби — его теорема о том, что каноничес1дае уравнения являются уравнениями характеристик некоторого дифференциального уравнения в частных производных первого порядка, т. е. интегральные [c.212]

Уравнения (3.72), (3.76) и (3.84) образуют систему гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с двумя независимыми переменными, которыми являются осевая координата х и время Решение этой системы находится путем интегрирования. Функцию можно проинтегрировать на некотором интервале, если она непрерывна на этом интервале. Метод характеристик позволяет проинтегрировать известные непрерывные функции, вид которых типичен для рассматриваемой системы уравнений. Поэтому метод характеристик представляет собой, по существу, строгую математическую процедуру замены квазилинейных неоднородных уравнений в частных производных системой общих дифференциальных уравнений, обычно называемых совместными уравнениями, которые справедливы и интегрируемы на поверхностях, называемых характеристиками или характеристическими поверхностями. Мы дали в какой-то степени упрощенное описание этой процедуры более строгое математическое описание можно найти в классической монографии Куранта и Фридрихса [50] или в содержательной работе Цукроу и Хофмана [41]. [c.340]

Физические модели вещества можно разделить на две группы в зависимости от того, на каком уровне (микро- или макроскопическом) рассматриваются его свойства. Как правило, макромодели предназначены для описания поведения тел, размеры которых не соизмеримы с размерами микрочастиц. Свойства вещества в таких моделях определяются термодинамическими величинами, характеризующими средние свойства достаточно представительного ансамбля микрочастиц. В основе макромоделей лежит гипотеза о непрерывном изменении характеристик вещества в пространстве х, I, позволяющая записать законы сохранения массы, количества движения и энергии в виде дифференциальных уравнений в частных производных. Наличие разрывов в параметрах не противоречит гипотезе сплопшости, ибо в случае разрыва законы сохранения остаются справедливыми, принимая вид условий на разрыве. Именно к этой группе моделей относятся модели механики сплошной среди. [c.7]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

Данная глава представляет собой первый шаг в этом направлении и посвящена анализу линейных двумерных задач теории стационарных потенциальных течений, т. е. течений с неизменными во времени характеристиками, удовлетворяющими в двумерной области линейным уравнениям. Основные дифференциальные уравнения в частных производных для таких задач являются эллиптическими (уравнение Лапласа или уравнение Пуассона) и относятся К простейшим математическим моделям гидравлики, электро- и теплопроводности и т. д. В каждой из этих задач дифференциальному уравнению удовлетворяет потенциальная функция р (электрический или гидравлический потенциал либо температура), пространственный градиент которой через параметр проводимости или проницаемости линейно связан с потоком или расходом (соответ-ственпо плотностью электрического тока, скоростью течения жидкости или потоком тепла). [c.53]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

Характеристики теплообмена и гидравлического сопротивления поперечно-омываемых пучков обычно получают на основании экспериментального исследования. Создание экспериментальных установок требует значительных затрат, особенно для сред с различными числами Прандля. Другим более дешевым способом получения теплотехнических характеристик пучков является численное решение осредненных во времени дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих законы сохранения импульса, вещества и энергии. Задача усложняется наличием сложных границ течения и различных аэродинамических структур по обводу труб. [c.50]

Неизвестные функции этой системы — концентрация дырок и электронов р(х, у, z, t) и п х, у, z, t) и напряженность электрического поля Е(х, у, Z, t). Вместо Е может фигурировать электрический потенциал ф(д , у, z, t), так как Е=—gradf. Краевые условия состоят из начальных условий, характеризующих распределение зависимых переменных по объему кристалла в начальный момент времени, и граничных, задающих значения зависимых переменных на границах рассматриваемой полупроводниковой области. Геометрические размеры и конфигурация диффузионных областей и омических контактов транзистора также учитываются граничными условиями. Параметрами этой модели являются основные электрофизические параметры полупроводника. Дифференциальные уравнения в частных производных можно решать методами конечных разностей либо конечных элементов. С помощью физико-топологической модели можно с высокой степенью точности определить основные статические и динамические характеристики транзистора. Модель не учитывает влияния магнитного поля и возможных неоднородностей полупроводникового материала, что несущественно для моделирования реальных транзисторов, так как большее значение имеет точное определение параметров модели. Применение подобных моделей транзистора в задачах анализа электронных схем практически нереализуемо. Они применяются только для идентификации параметров более простых схемных моделей транзистора. [c.132]

Таким образом, условие Д= 0 является необходимым и достаточным для решения задачи Коши. Эта задача в математической теории дифференциальных уравнений в частных производных имеет основное значение, и формула (5.2.2), вообше говоря, может быть использована для расчета движения газа. Однако с точки зрения физических приложений, в частности расчета сверхзвуковых газовых течений, больший интерес представляет задача определения решения по данным на характеристиках, т. е. мегод характеристик. Этот метод может быть получен из анализа задачи Коши и заключается в следующем. Предположим, что начальная кривая АВ совпадает с одной из характеристик и ваоль нее равен нулю не только главный определитель системы (5.2.3), но ч частные определители Да = Д = Д/ = 0. Прн этом если, например, определители Д и Ai равны нулю, то равенство нулю остальных определителей удовлетворяется автоматически. Чтобы доказать это, вычислим частные определители [c.201]

В инженерной практике при исследовании некоторых динамических процессов в системах газопроводов используют методы теории цепей с сосредоточенными (гидравлическое сопротивление, масса, емкость) [9] и распределенными параметрами. В последнем случае, как показано выше, процессы описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Иногда целесообразно рассматривать нитку газопровода как объект многосвязного регулирования, у которого изменение одной регулируемой величи ны (например, давления в начале нитки) вызывает изменение других регулируемых величин (давления и производительности в конце нитки газопровода). Связь между переменными входными и выходными координатами нитки газопровода определяется характеристиками движения газа в трубопроводах. Структурную схему нитки газопровода можно представить, например, как показано на рис. 17, а. Здесь Ри р2 — частичные передаточные функции нитки [c.52]

Можно в общем случае решить и уравнение для функции Га. Это решение было получено в работе [123] при исс.ледовании уравнения переноса излучения в малоугловом приближении (2.14). Позднее аналогичное решение исследовалось в работах [110, 124]. Если в (2.14) произвести преобразование Фурье по переменной Л, которая не входит в коэффициенты уравнепия, то мы получим линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка, которое легко решается, папример, методом характеристик. Это решение имеет вид [c.266]

Теорема 12 отмечена Пуанкаре в п. 19 его Новых методов небесной механики (1892) [51]. Там же дано общее определение инвариантных соотношений, занимающих промежуточное положение между решениями и интегралами. Теорема Пуанкаре переоткрыва-лась разными авторами (см., например, трактат Т. Леви-Чивита и У. Амальди [43], гл.Х). На самом деле теорема 12 фактически содержится в теории характеристик Монжа дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. В отличие от уравнения Гамильтона—Якоби, в теории Монжа рассматриваются уравнения, которые могут явно содержать неизвестную функцию. Поэтому в общем случае теорему 12 формулируют в несколько иной форме (см. по этому поводу [41]). [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...