Уравнения упругого равновесия Коши

Уравнения упругого равновесия Коши. [c.95]

Предположим, что сплошное упругое тело, сжимается со всех сторон постоянным внешним давлением р. Будем искать решения уравнений упругого равновесия Коши (4.24) при отсутствии массовых сил (J i =K=Z = 0) в виде [c.102]

В случае плоской деформации при отсутствии объёмных сил решение уравнения упругого равновесия Коши [c.209]

Вследствие уравнений упругого равновесия Коши (4.24) первый объёмный интеграл в выражении L исчезает, и остаётся один второй интеграл [c.307]

Так как возможные перемещения Ьп, bv, bw ничем между собой не связаны и совершенно произвольны, то мы должны приравнять нулю коэффициенты, стоящие при них в скобках. Таким образом, мы получим три уравнения упругого равновесия Коши [c.316]

Остающиеся два касательных напряжения X, и V, определим из уравнений упругого равновесия Коши в отсутствии массовых сил [c.345]

Вопрос об интегрировании уравнений упругого равновесия при заданных граничных условиях привлекал внимание великих математиков, начиная с Коши и Пуассона, но не получил у них решения. Впоследствии этим вопросом занимались многие выдающиеся учёные ими были предложены различные формы выражений, в которых могут быть представлены решения уравнений упругого равновесия. Эти формы решений и методы их нахождения, на наш взгляд, представляют большой интерес, [c.113]

Возможные перемещения между собой не связаны и совершенно произвольны, поэтому коэффициенты, стоящие при них в скобках в уравнении (96), можно приравнять к нулю. В результате получаются три уравнения упругого равновесия и три граничных условия Коши, записанные через напряжения. Для решения предлагаемой задачи эти уравнения необходимо записать в перемещениях. Уравнения упругого равновесия в перемещениях при соблюдении условия (93) запишутся так [34] [c.160]

После установления Навье в 1821 г. основных уравнений и создания Коши теории напряжений и деформаций важнейшее значение для развития теории упругости имели исследования Сен-Венана. В его классических работах по теории кручения и изгиба на основе общих уравнений теории упругости дано решение задач кручения и изгиба призматических брусьев. В этих исследованиях Сен-Венан создал полуобратный метод решения задач теории упругости, сформулировал знаменитый принцип Сен-Венана , дающий возможность получить решение задач теории упругости. С тех пор было затрачено много усилий на развитие теории упругости и ее приложений, доказан ряд общих теорем, предложены общие методы интегрирования дифференциальных уравнений равновесия и движения, решено много частных задач, представляющих принципиальный интерес. Развитие новых областей техники требует более глубокого и широкого изучения теории упругости. Большие скорости вызывают необходимость постановки и решения сложных вибрационных проблем. Легкие металлические конструкции привлекают серьезное внимание к вопросу упругой устойчивости. Концентрация напряжений вызывает опасные последствия, поэтому пренебрегать ею рискованно. [c.5]

Для определения шести компонентов напряжённого состояния (14.112) Генки применяет уравнения упругости Коши, пренебрегая массовыми силами и ускорениями. Поэтому имеем три уравнения равновесия [c.393]

Присоединяя к закону (11.34) закон упругого изменения объема, а также дифференциальные уравнения равновесия и зависимости Коши между деформациями и перемещениями [c.259]

Рассмотрим этот метод. Выразим уравнения равновесия в перемещениях, как это имело место в теории упругости (1.26). Решим для этого первое уравнение (У1П.16) относительно Ох, учитывая (У1П.17) и подставив значение перемещений из условия Коши (У1П.21) [c.108]

Шесть соотношений (3.23) между и вц вместе о тремя дифференциальными уравнениями равновесия (2.26) и шестью дифференциальными зависимостями Коши (1.40) составляют замкнутую систему уравнений теории упругости, число которых равно числу неизвестных функций ui, e,j, Otj. [c.55]

Решение задачи в перемещениях строится на базе уравнений, получающихся путем замены в уравнениях равновесия (19.3) напряжений T.V, ст,/, Хху деформациями с использованием соотношений упругости (19.1) с последующей заменой деформаций их выражением через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). Это дает два дифференциальных уравнения в частных производных вида [c.441]

Решение в перемещениях строится на базе уравнений равновесия (19.3), в которых, как и в случае плоской деформации, напряжения следует заменить их выражениями через деформации по соотношениям упругости (19.13), а деформации заменить их выражениями через перемещения согласно соотношениям Коши (19.2). [c.443]

Впервые уравнения равновесия упругого твердого тела в предположении дискретного молекулярного строения тела были получены Навье. В современной форме несколько позже эти уравнения вывел Коши, исходя из гипотезы о сплошном и однородном строении твердого тела. Он впервые ввел в уравнения теории упругости две упругие постоянные. [c.10]

Для решения задач теории упругости в перемещениях необходимо уравнения равновесия для точек внутри тела (уравнения Навье) представить в перемещениях. С этой целью выразим напряжения через деформации в форме Лямэ, а деформации представим через перемещения по уравнениям Коши. [c.54]

В теории течения статические уравнения (уравнения равновесия) и геометрические уравнения (Коши и Сен-Венана) будут иметь тот же вид, что и в теории упругости или теории малых упруго-пластических деформаций. [c.293]

Выражения (1.14) и представляют собой статико-геометрическую аналогию. Обратим внимание на то, что вектор, стоящий в правой части второго равенства (1.14), является вектором обобщенных перемещений для вектора сил, стоящего в левой части первого равенства (1.14) и наоборот (см. стрелки). Первое уравнение (1.14) является уравнением равновесия, а второе — геометрическим уравнением, связывающим перемещения узлов системы с деформацией стержней, и аналогом уравнений Коши в теории упругости. [c.17]

Рассмотренные в двух предыдущих главах статические и геометрические соотношения механики деформируемого твердого тела (уравнения равновесия Навье и соотношения Коши) не зависят от свойств материала и его поведения при деформировании (упругость, пластичность, ползучесть). [c.106]

Как было отмечено, отличия в двух теориях пластичности заключаются в физических законах. Что касается двух других групп основных соотношений механики — уравнений равновесия и соотношений Коши, то они справедливы в обеих теориях пластичности и имеют тот же вид, что и в теории упругости (гл. 4 и 5). [c.502]

В каждой точке г П справедливы уравнения равновесия, геометрические соотношения Коши и физические уравнения теории упругости. К точкам поверхности S приложим усилия —Sf, такие что вызванные ими перемещения —и граничных точек обеспечат совпадение конфигураций поверхностей S и S. [c.117]

В разд. 4.2 записаны основные уравнения теории упругости — уравнения равновесия, соотношения Коши и Гука. [c.184]

Лля вывода уравнений слоя возьмем уравнения равновесия теории упругости (1.1.7). Граничные условия задаются те же, что и для однородного слоя. Неизвестными функциями будут три перемещения II, V, IV и относительное приращение объема е. Записав уравнения (1.1.7) относительно искомых функций с помощью закона упругости (1.3.9) и формул Коши (1.1.3) для деформаций и сделав замену переменных (1.2.3), будем искать их решение в виде рядов (1.2.4) по параметру е. [c.57]

Для армирующих слоев предполагается использование двух вариантов теории — сдвиговой и обобщенной классической. В сдвиговой теории основными искомыми функциями являются пять смещений и, V, ю, и, г>, которые определяются из пяти уравнений равновесия (3.1.10), где усилия и моменты нужно записать через перемещения с помощью закона упругости и формул Коши. Обобщенная классическая теория слоя содержит три основные искомые функции — перемещения м, ь, XV, которые также находятся из уравнений равновесия (3.1.10) после исключения из них перерезывающих усилий и N3. [c.119]

Показано, что основная причина нелинейности задачи состоит в сильной анизотропии упругих свойств резиноподобных материалов на сдвиг и объемное сжатие (деформационная анизотропия), и эта нелинейность проявляется через уравнения равновесия элемента объема. Если в массивном теле объемным сжатием обычно пренебрегают (материал считается несжимаемым), то в краевых задачах для тонкого слоя сжимаемость существенна. Нелинейность наиболее важна в уравнениях равновесия. Она может сохраняться и в том случае, когда закон упругости и кинематические формулы Коши линейны. [c.275]

Решение этой системы можно искать либо в перемещениях , либо в напряжениях . В первом случае за основные неизвестные функции принимают перемещения и, х, у, г), tiy х, у, г), (х, у, г), а систему уравнений теории упругости сводят к трем уравнениям относительно этих функций. Для этого напряжения в дифференциальных уравнениях равновесия (1.1) выражают по закону Гука (1.14) через деформации, а последние по формулам Коши (1.7) — через перемещения. В результате получают уравнения Ляме [c.19]

Для решения прямых задач теории упругости, т. е. для определения 15 неизвестных функций щ, r j, Sij г, j — 1,2, 3), имеются уравнения равновесия, соотношения Коши и закон Гука [c.35]

Если решать задачи упругого равновесия по методу Сен-Венана, задаваясь из механических соображений значениями компонентов напряжённого состояния и применяя уравнения упругого равновесия Коши (4.24) и статические граничные условия (11.43), то главная трудность будет состоять в удовлетворении шести тождественных соотношений Бельтрами (4.48) и (4.50). Но из теоремы Саутуэлла ( 122) вытекает, что тождественные соотношения Сен-Венана являются следствием вариационного уравнения Кастилиано (11.70) [c.445]

Морера уравнений упругого равновесия Коши ч6, 327 [c.463]

Трудности, связанные с интегрированием уравнений упругого равновесия при заданных граничных условиях, оказались столь значительными, что их не смогли преодолеть для упомянутых основных задач теории упругости (растяжение, кручение, изгиб) даже такие великие математики, как Коши и Пуассон. Только Сен-Венан смог найти практически пригодное решение задач растяжения, кручения и изгиба призматических брусьев. Но это удалось ему потому, что он отказался от точного удовлетворения граничных условий в тех концах брусьев, где приложена действующая на брус нагрузка. Эти граничные условия удовлетворяются у Сен-Венана приближённо, на основании вышеупомянутого принципа, только для равнодействующей силы и момента равнодействующей пары заданной системы нагрузок. [c.105]

Теория упругости, развитая Пуассоном и Коши на базе принятой тогда гипотезы материальных точек, связанных действием центральных сил, была применена ими, а также Ламе (Lame) и Клапейроном ( lapeyron) к ряду проблем о колебаниях и об упругом равновесии таким образом была создана возможность экспериментальной проверки следствий из этой теории однако прошло немало времени, пока надлежащие эксперименты были поставлены. Пуассон применил теорию к изучению распространения волн в неограниченной упругой изотропной среде. Он нашел два типа волн, которые на большом расстоянии от источника возмущения можно считать соответственно продольными и поперечными из его теории вытекало, что отношение скоростей распространения этих двух типов волн равно 1 ). Коши применил свои уравнения к вопросу о распространении света как кристаллических, так и в изотропных телах. Эта теория в ее приложении к оптике вызвала возражения Грина (Green) с ее статической стороны она позже оспаривалась Стоксом Грин не был удовлетворен гипотезой, которая лежала в основе теории, и искал другого обоснований критика Стокса относилась скорее к процессу дедукции и. к некоторым частным результатам. [c.24]

Постановка краевых задач теории упругости. Пусть упругое тело занимает трехмерную область V, а 5 представляет собой его поверхность. В каждой точке тела V должны выполняться основные уравнения теории упругости соотношение Коши, уравнение движения (уравнение равновесия для задач статики) и уравнение закона Гука ( в случае техмоупругости вместо закона Гука следует брать его обобщение, данное Дюамелем и Нейманом, и модифицированное уравнение теплопроводности (29.14)). Что же касается краевых условий,то основными являются три класса [c.112]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

В последующем задаче об изгибе балки уделяли много внимания крупные ученые, в числе которых были Мариотт, Лейбниц, Варньон, Яков Бернулли, Кулон и др.. Пишь в 1826 г. с выходом в свет лекций по строительной механике Навье был завершен сложный путь исканий решения задачи об изгибе балки, затянувшийся во времени почти на двести лет. Навье дал правильное решение этой задачи, им впервые введено понятие напряжения. Им же сделан существенный шаг в направлении упрощения составления уравнений равновесия, состоявший в том, что Навье отметил малость перемещений и возможность относить уравнения равновесия к начальному недеформированному состоянию. Это очень широко используемое положение иногда называют принципом неиз жнности начальных размеров. В истории развития механики деформируемого твердого тела важную роль сыграли такие крупные ученые, как Лагранж, Коши, Пуассон, Сен-Венан. Особо следует отметить заслуги Эйлера, впервые определившего критическое значение сжимающей продольной силы, приложенной к прямолинейному стержню (1744). Решение этой задачи во всей полноте тоже заняло по времени почти двести лет Дело в том, что решение Эйлера было ограничено предположением о линейно-упругом поведении материала, что накладывает ограничение на область применимости полученной Эйлером формулы. Применение эюй формулы за границами ее достоверности и естественное в этом случае несоответствие ее экспериментальным данным на долгое время отвлекло интерес инженеров от этой формулы и лишь в 1889 г. Энгессером была предпринята попытка получить теоретическое решение задачи об устойчивости за пределом пропорциональности. Он предложил 1аменить в формуле Эйлера модуль упругости касательным модулем i = da/di. Однако обоснования этому своему предложению не дал. В 1894 г. природу потери устойчивости при неизменной продольной силе правильно объяснил русский ученый Ясинский и лишь в 1910 г. к аналогичному выводу пришел Карман. Поэтому исторически более справедливо назвать его решением Ясинского —Кармана, предполагая, что Карман выполнил это исследование независимо от Ясинского. [c.7]

Выведите дифференциальные уравнения равновесия элемента упругого тела (уравнения Иавье — Коши). [c.34]

В предыдущих главах были рассмотрены статические ус-"яовия (условия равновесия) внутри и на поверхности тела (уравнения (1.16), (1.18)), геометрические уравнения, устанавливающие связь между деформациями и перемещениями (уравнения Коши (1.19)) и между деформациями (условия неразрывности Сен-Венаиа (1.29)), и, наконец, физические уравнения, устанавливающие связь между напряжениями и деформациями в точке тела (обобщенный закон Гука, уравнения (2.8) и (2.10)). Составим сводку основных уравнений теории упругости. [c.51]

Для решения задач упруго-пластического деформирования тела в перемещениях необходимо представить уравнения равновесия тела (уравнения Иавье — Коши) в перемещениях. [c.287]

В плоской задаче теории упругости неизвестными являются восемь функций Tpi составляющие напряжений а,., Оу, т. три составляющие дефор1аций г-р. , Vii, и лве составляющие перемещений и и V. Уравнений для решения задачи также Bo e i два дифференциальных уравнения равновесия (ft.2). три геометрических соотношения Коши (6,4) и три формулы. закона Гука (6.7) или (6,8), [c.60]

Как известно, работа внешних сил на статически им соответствующих перемещениях равна удвоенной упругой энергии тела. Покажем справедливость аналогичного уравнения, включающего виртуальные перемещения и деформации. Умножим уравнение равновесия в предположении для простоты отсутствия массовых сил на 6щ, проинтегрируем по объему и используем формулы ГауссагОстроградского и Коши [c.207]

Выше указана только часть публикаций по нелинейным-проблемам эластомерного слоя и конструкций. Перечень работ можно бы продолжить, но это не меняет общей оценки состояния вопроса. Если создание линейной теории слоя можно считать завершенным и ее значение можно сравнить со значением классической теории оболочек для соответствующих краевых задач, то создание общей нелинейной теории слоя находится в-началь-. ной стадии. Опубликованных результатов мало, и они не достоверны даже в отношении интегральных упругих характеристик констукций, не говоря уже о полях перемещений и напряжений, В то же время только теоретические исследования и расчеты с последующей экспериментальной проверкой позволяют пороз11ь оценить влияние геометрической и физической нелинейности и решить такие важные вопросы, как пределы применения закона-Гука и выбор упругого потенциала. Лелать упор на физическую нелинейность при умеренных деформациях < 50%, по убеждению автора, неправильно. Есть три источника появления нели-. нейности задачи — формулы Коши, связывающие деформации с перемещениями, уравнения равновесия и закон упругости, которые, вообще говоря, независимы. [c.23]

Вместо галилеевского принципа расчета по предельному, разрушающему состоянию стал утверждаться новый принцип рабочего состояния. Напряжения в рабочем состоянии каждого элемента предполагалось ограничить допустимыми, т. е. такими, чтобы возипкающие в нем изменения не возрастали со временем . Определение же напряженного состояния кан дого кусочка вещества внутри конструкции стало возможно с помощью выведенных Навье и Коши уравнений равновесия. Оказалось, что полная картина напряжений во внутренней точке тела описывается девятью величинами тремя напряженнями растяжения — сжатия и шестью сдвиговыми напряжениями, по они связаны шестью уравнениями равновесия, и независимых среди них, самое большее, три. Имя Пуассона обессмертили не только полученные им уравнения равновесия и колебания стержней, но н известный каждому инженеру коэффициент Пуассона, входящий наряду с модулем Юнга в наснорт любого упругого материала. [c.22]

Квазистатическая задача А теории малых упруго-пластичест ких деформаций трансверсально изотропной однородной среды заключается в решении уравнений равновесия (3.49) при выпол-, нении граничных условий (3.50). При этом следует воспользоваться соотношениями Коши (3.51) и иметь в виду, что в (3.49) инварианты напряжений связаны с инвариантами деформаций функциями (3.31), которые в упругой области имеют вид (3.43). В случае разгрузки эти функции приобретают вид [c.242]

Собственные научные исследования в области теории упругости были начаты Нейманном, когда Навье, Коши, Пуассон еще яродолжали активно работать в этой области и когда большое применение эта теория находила в оптике. В своей работе по двойному лучепреломлению ) Нейманн рассматривает твердое упругое тело, структура которого определяет три взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии, и, следуя методу Навье (стр. 129), выводит для него уравнения равновесия, содержащие шесть упругих постоянных, и исследует распространение волн в этой упругой среде. В дальнейшем он заинтересовался непосредственно упругими свойствами кристаллов, имеющих три взаимно-перпеи-дикулярные плоскости симметрии ), и указал, каким образом нужно ставить опыты, чтобы получать непосредственным испыта-пием значения этнх шести постоянных. Он впервые вывел формулу для вычисления модуля упругости при растяжении для вырезанной из кристалла призмы, с произвольной ориентировкой оси. В этих ранних работах Нейманн кладет в основу своих исследований теорию молекулярного строения упругих тел и в соответствии с этим использует уменьшенное число упругих постоянных, как это делали до него Пуассон, а позднее Сен-Венан. [c.300]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...