Разложение движений системы

При вычислении кинетической энергии оказывается полезным прием разложения движения системы на поступательное движение ее вместе с центром масс и относительное движение вокруг центра масс. Докажем следующую теорему [c.207]

Задачи, в которых абсолютное движение точки заменяется относительным движением этой точки и переносным движением подвижной системы, называют задачами на разложение движений. [c.31]

Чтобы в случае малых движений системы ее кинетическая энергия содержала члены второго порядка малости, в последнем разложении следует удержать только первый член. Следовательно, пр И малых движениях системы коэффициенты Uhv в формуле (134.12) будут постоянными величинами. [c.208]

Теперь докажем теорему о разложении кинетической энергии системы на кинетическую энергию переносного движения, определяемого движением центра инерции, и кинетическую энергию движения системы относительно ее центра инерции (теорема Кенига). [c.88]

Одно из замечательных свойств типов колебаний состоит в том, что они не преобразуются друг в друга. В этом отношении они аналогичны нормальным колебаниям механической системы, с помощью которых любое движение связанной системы точечных масс можно рассматривать как наложение одномерных колебаний, происходящих независимо друг от друга ). Аналогичным образом и общая задача об определении поля в резонаторе разбивается на более простые задачи об изучении парциальных полей с неизменной во времени геометрической конфигурацией (т. е. типов колебаний), а полное поле конструируется затем как суперпозиция типов колебаний. Такой подход характерен. для физики вообще, и простейшим примером его применения может служить разложение движения материальной точки на три парциальных движения в адекватных системах координат (декартова система в случае инерциального движения или однородного поля сил, цилиндрическая система координат для кругового движения и т. п.). [c.810]

Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483]

Если бы мы пожелали избежать тех разложений движений, которых требует указанный выше принцип, то необходимо было бы только наперед установить равновесие между силами и вызванными ими движениями, которые, однако, следовало бы взять направленными противоположно. В самом деле, если мы представим себе, что каждому телу мы сообщаем в противоположном направлении то движение, которое оно должно получить, то ясно, что система будет приведена в положение покоя следовательно, эти последние движения должны уничтожить те движения, которые тела получили бы и которые они выполняли бы при отсутствии взаимодействия между ними таким образом должно существовать равновесие между всеми этими движениями или между силами, которые способны их вызвать. [c.313]

Количества движения отдельных точек системы, очевидно, представляют ряд скользящих векторов ,Статика", 18), с которыми при разложении и при образовании моментов можно поступать по тем же правилам, какие мы имеем для сил в статике. Например, в случае двух измерений они могут быть заменены результирующим количеством движения системы, направленным вдоль линии, проходящей через любую выбранную точку О, и главным моментом количеств движения, представляющими сумму моментов количеств движения всех точек относительно точки О. Эти термины соответствуют главному вектору" и главному моменту в статике ( Статика, 21).v [c.124]

Уравнения (2.110) соответствуют движению системы с двумя степенями свободы и служат для определения перемещений точек Л и 5 стержня. Решение этих уравнений удобно искать в виде разложения по нормальным формам колебаний. Этот метод позволяет окончательное решение для дисперсии упругих колебаний свести к квадратурам, которые вычисляют по таблицам. [c.132]

Итак, укажем еще раз, относительное движение есть движение по отношению к подвижной системе отсчета, а абсолютным движением мы будем называть движение относительно неподвижной системы отсчета. Основная задача кинематики в случае сложного движения точки состоит в том, чтобы, зная относительное движен 1е точки и переносное движение, т. е. движение подвижной системы отсчета, найти абсолютное движение точки и, следовательно, определить ее траекторию, скорость и ускорение в этом движении. Обратно, всякое движение точки или тела относительно данной условно неподвижной системы отсчета можно рассматривать как сложное и разложить на составляющие движения (относительное и переносное) для этой цели необходимо выбрать систему подвижных осей, движение которой известно, и найти движение точки или тела относительно этой подвижной системы. Этот прием разложения движения точки и.пи тела на составляющие движения является полезным в тех случаях, когда при соответствующем выборе подвижной системы отсчета относительное и переносное движения оказываются более простыми, чем изучаемое движение точки или тела относительно неподвижной системы отсчета. Мы воспользуемся этим приемом в следующих главах, где будем изучать случаи движения твердого тела более сложные, чем те, которые были рассмотрены в предыдущей главе. [c.291]

Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия. Рассмотрим малые колебания системы около положения ее устойчивого равновесия. Ограничиваясь лишь малыми движениями системы, будем предполагать, что величины qu q , , qh, q, q ,. .., q остаются во все время движения настолько малыми, что при разложении в степенные ряды живой силы и силовой функции можно ограничиться лишь первыми членами разложения. Разложим в ряд коэффициенты в выражении живой силы [c.559]

Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Характеристическое уравнение и вид общего решения. Устойчивость. Границы применимости линеаризованных уравнений. Рассмотрим такие движения системы, при которых она находится вблизи положения равновесия и все ее точки имеют незначительные скорости. Эти движения, называемые малыми колебаниями системы около положения равновесия, описываются уравнениями (1.1). Однако, учитывая, что величины 7/ и 7/ (/ = 1, 2,..., /г) теперь являются малыми, уравнения (1.1) можно упростить, отбросив члены второго и выше порядков малости относительно и 7/. Полученные таким образом уравнения называются линеаризованными уравнениями движения. Для получения линеаризованных уравнений можно до составления уравнений (1.1) провести разложение в ряд Маклорена функции [c.242]

Разложение движения частицы жидкости. Рассмотрим движение частицы любой формы. Пусть начало основной координатной системы X, у, г лежит внутри этой частицы и совладает с центром ее тяжести О. Компоненты скорости центра тяжести обозначим через Иож, иоу и иог, а компоненты скорости любой точки частицы через х, у и и,. Допустим, что Пх, Пу и их являются непрерывными функциями, которые для точки, весьма близкой к началу координат О, могут быть разложены в ряд Тейлора по осям х, у, г. Ограничиваясь в разложении только первыми степенями координат х, у и г вследствие малости остальных членов ряда, выразим компоненты скорости следующими линейными функциями координат [c.54]

Данная система аналитических дифференциальных уравнений на замкнутом аналитическом многообразии М будет называться интегрируемой, если существует конечное множество периодических движений, такое, что соответствующие полные разложения в формальные ряды могут быть взяты сходящимися и дающими соответственное аналитическое представление для каждого возможного движения системы. [c.255]

Постоянную о, определяемую согласно (38.10) кинематическими и динамическими свойствами самой колеблющейся системы, называют собственной частотой. Собственная частота щ не зависит от начальных условий движения системы. Следует, однако, иметь в виду, что указанное свойство частоты oq ть следствие линейности колебаний и оно исчезает, если в разложении лагранжиана (38.1) [c.217]

Для того чтобы произошла реакция, точка, описывающая движение системы в конфигурационном пространстве, должна пройти через максимум, разделяющий минимумы на поверхности, преодолеть потенциальный барьер. Существуют, вообще говоря, различные пути из начального состояния в конечное. Фактически осуществляется наиболее выгодный путь реакции, соответствующий наименьшему значению максимума энергии поверхность энергии около этого пути имеет характер ложбины . Рис. 6.3 схематически изображает сечение поверхности энергии вдоль дна ложбины , причем путь реакции и соответствует координате разложения. [c.316]

Здесь приводится необходимое для дальнейшего рассмотрения разложение полного КВ-гамильтониана по порядкам малости. Пока речь идет только о колебательном и вращательном движении системы ядер в молекуле. Предполагается, что потенциальная функция не зависит от внешних переменных и в общем случае может быть представлена в виде разложения по внутренним координатам. Для ИК-спектров простых молекул при нормальных условиях эти требования выполняются достаточно хорошо. КВ-со-стояния молекулы определяются из уравнения Шредингера [c.28]

Для интегрирования динамической системы требуется найти полный интеграл (1.1) 5 = 5 (-, да, йа), зависящий от п произвольных параметров йа. При этом уравнения движения возникают из п соотнощений д8/дйа = Ьа, где Ьа — набор п произвольных постоянных. Когда гамильтониан системы может быть представлен в виде 2 — 0 + 5/, где X — параметр малости (условно), предполагается, что движение системы не сильно отличается от ее поведения при нулевом значении постоянной связи и все динамические переменные записываются в виде разложения в ряд по X. Существует несколько различных эквивалентных формулировок теории возмущений. Для понимания дальнейшего потребуется следующее явное выражение для некоторой динамической переменной ф(р д) в т-м порядке, т. е. коэффициент при ее разложения, [c.178]

При вычислении кинетической энергии системы во многих случаях полезно представлять себе абсолютное движение системы разложенным на те два составляющих движения, о которых сейчас шла речь, Мы покажем, что кинетическая энергия системы в ее абсолютном движении равна сумме кинетических энергий системы, соответствующих каждому из этих составляющих движений. В этом и состоит теорема Кенига. [c.199]

Мы здесь будем заниматься механизмами неустойчивостей и исследованием устойчивости движения в малом , т.е. в рамках уравнений, полученных из исходных с помощью разложения в ряд вблизи интересующего нас решения всех нелинейных зависимостей и оставления лишь линейных членов (уже обсуждавшаяся процедура линеаризации). Наиболее важным является исследование устойчивости, во-первых, статического положения системы, т. е. состояния равновесия линеаризованной системы с постоянными коэффициентами, во-вторых, периодических движений системы, малые отклонения от которых описываются линеаризованными уравнениями с периодическими коэффициентами. Относительно же устойчивости линейных систем (а не их решений) дадим пока лишь не вполне строгое определение динамическая система, описываемая коэффициентом передачи Ж р) р = ш) и находящаяся под внешним воздействием V, называется устойчивой, если малое изменение внешнего воздействия приводит к малому изме- [c.129]

Уравнение (89.4) полностью описывает поведение системы точек. Рассмотрим движение системы точек только в малой окрестности ее положения равновесия д =0 в предположении малости скоростей д,. Величины д и д будем считать малыми настолько, что в разложениях в ряд Тейлора функций Т, и и К можно пренебречь членами третьего и выше порядка малости, т. е. [c.309]

Так как смещения атомов Хп бесконечно малы, то разложением в ряд Тейлора по Хп выражения для потенциальной энергии взаимодействия и (хп) может быть определена сила, действующая на п-й атом, и, написав уравнение для системы сил, соответственно получим закон движения цепочки, который описывается системой дифференциальных уравнений [c.49]

Для разрешения этой задачи С. В. Ковалевская определяла интегралы системы дифференциальных уравнений движения твердого тела в форме разложений вида [c.449]

Для того чтобы можно было разложить всякое составное движение точки на составляющие движения (относительное и переносное), необходимо выбрать подвижную систему отсчета, движение которой известно, и найти движение точки относительно этой подвижной системы отсчета. Мы воспользуемся этим приемом разложения составного движения точки на составляющие движения при дальнейшем изучении кинематики твердого тела. [c.310]

Для установления этой зависимости любое движение механической системы разлагают на два составляющих движения переносное движение с подв1Исной системой отсчета СС / , движущейся поступательно, и относительное движение по отно1яению к этой системе (рнс. 193). Эти движения называют поступательным движением системы с центром масс и относительным движением ее по отношению к центру масс. Такое же разложение движения системы производилось в 5 67 для вычисления ее кинептческой энергин. [c.448]

Второй метод состоит в разложении перемещений по собственным фор.ма.м ко лебаний без демпфирования, В этом случае движение системы вычисляето как суперпозиция (линейная комбинация) некоторого количества вычисленшлх nu i-ственпых форм с неизвестными коэффициента.ми, называе.мы. т вклада.чгп (l)op. i, модальными перемещениями или обобщенны.ми перемещениями [c.439]

Два пункта имеют для дальнейшего особенно большое значение. Свободное движение точек должно было происходить вдоль отрезков а О и Это движение разложено на отрезки а О и Ос , a Q и Q . Что происходит а движениями Ос и Q Я. Бернулли разлагает приложенные к точкам силы соответственно разложению движений и считает, что составляющие сил вдоль стержня уравновеншваются реакциями в точке А. Второй и еще более важный пункт заключается в том, что силы инерции приводят рычаг к равновесию. Именно введение сил инерции позволило применять методы статики в 140 динамике. Роль этих сил в механике системы несвободных точек стала ясной после работ Я. Бернулли. [c.140]

Движение центра тяжести и движение около центра тяжести. Во многих случаях удобно рассматривать движение системы как совокупность двух движений в первом из них все точки системы двигаются одинаково с ее центром тяжести второе есть движение около центра тяжести, который при этом считается неподвижным. При таком разложении получается простое выражение для живой силы, а именно нужно определить живую силу для каждого из указанных двух движений отдельно и затем арифметически сложить эти два выражения. [c.263]

Рассмотрим соотношения важнейших динамических величин, характеризующих механическую систему и отнесенных к произвольным системам отсчета S и S. Пусть движение системы S относительно 5 известно, т. е. — радиус-вектор начала системы S и ш — ее угловая скорость заданы как. функции времени будем также считать, что все векторы, характеризующие механическую систему относитёльно S, заданы з виде разложений по ортам S, а векторы, характеризующие систему относительно S, — в виде разложения по ортам S. [c.186]

Остановимся па некоторых обобщениях. Особенностью критерия перекрытия резонансов (2.10) является то, что для вычисления К достаточно пользоваться исследованием движения системы в окрестности только одного резонанса и в пренебрежении всеми другими. Технически такая задача достаточно просто решается, как было показано в 1.3, что делает критерий (2.10) практически очень удобным (ком. 3). Продемонстрируем это следующим образом. В правой части универсальной модели (1.5) стоит сумма эквидистантных импульсов. Разложение такой силы в ряд Фурье (2.1) имеет бесконечное число равноотстоящих на величину V гармоник с одинаковыми амплитудами. Ясно, что число гармоник может быть конечным, а амплитуды и расстояния по частоте между гармониками могут слегка варьироваться, и тем не менее критерий (2.10) сохранится. Конечно, описанная вариация задачи также позволяет построить преобразование и определить параметр растяжения, однако условие перекрытия резонансов в даннози случае быстрее приводит к цели. [c.83]

Если коэффициент Ск равен нулю (для локализованного начального вихря и ступеньки , см. выше), МКГПВ уравнение (6.8) совпадает с МКГ уравнением, полученным в [18]. В периодическом же случае С к ф = О, и волна Кельвина вносит непосредственный вклад в динамику мед-ленньк движений, причем величина коэффициента С к зависит от начальных условий (2.2). Это означает, вообще говоря, что в отличие от случая неограниченной области (см. [18]) при наличии границы МКГПВ уравнение (6.8) не может быть получено прямым разложением решения системы (2.1а), (2.16), (2.5), но в предположении, что все переменные зависят только от медленного времени. [c.540]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Разложим движение механической системы па переносное поступательное вместе с центром масс системы и относительное по отношению 1. системе координат, движущейся поступательно вместе с центром г,.асе. Аналогично тому, как это ироизводилось ири выводе формулы для кинетического момента ирн таком разложении абсолютного движения, для каждой точки системы (с.м. рис. 227) имеем [c.294]

Маркировка - распределение меток по позициям в сети Петри Маршрутизация транспортных средств - задача определения маршрутов движения транспортных средств для выполнения заказов на перевозки грузов Математическое обеспечение ALS - методы и алгоритмы создания и использования моделей взаимодействия различных систем в ALS-технологиях Метод гармонического баланса - метод анализа нелинейных систем в частотной области, основанный на разложении неизвестного решения в ряд Фурье, его подстановкой в систему дифференциальных уравнений с группированием членов с одинаковыми частотами тригонометрических функций, в результате получаются системы нелинейных алгебраических уравнений, подлежащие решению Метод комбинирования эвристик - метод определения оптимальной последовательности эвристик для выполнения совокупности шагов в многошаговых алгоритмах синтеза проектных решений [c.312]

Все функции А (е), соответствующие уткам, имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням г. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через производные функций / и g в критической точке. Аналогичное утверждение справедливо для самих решений-уток на участке медленного движения они экспоненциально близки. Более того, пусть имеются две простые вырожденные утки, две (возможно совпадающие) функции i(e) и Лг(е) и два семейства решений системы (12е.д е)), i = l,2, фазовые кривые которйх сходятся к соответствующим вырожденным уткам. Возьмем отрезки этих фазовых кривых, сходящиеся к дуге медленной кривой, которая образована пересечением медленных дуг двух вырожденных уток, с последующим удалением фиксированных окрестностей концов этого пересечения. Тогда найдется такое с>0, что один из отрезков фазовой кривой лежит в — окрестности другого для всех достаточно малых е. Все медленные участки всех решений-уток имеют одно и то же асимптотическое разложение по степеням е. Существует алгоритм вычисления коэффициентов этого разложения через функции / и g и их производные. [c.203]

Подставив эти значения со,- в аргументы (8.4.19) членов разложения в кратный ряд Фурье, получим, что все движение аналитически представляется в виде суперпозиции простых гармонических колебаний с основными частоталш V,-. Таким образом, частоты движения получаются из полной энергии, выраженной через переменные действия. Частные производные Е по У,- дают непосредственно частоты системы. [c.287]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...