Колебания системы около положения равновесия

Две материальные точки ч с массами т и т , соединенные между собой невесомым стержнем длиной /, движутся в вертикальной плоскости хОу, причем точка M движется без трения по параболе х 12р. Составить дифференциальные уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты и k . [c.471]

Задача 1315 (рис. 714). Жесткая Т-образная невесомая конструкция может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О в вертикальной плоскости. В точках А и В конструкции закреплены точечные массы М и т соответственно. Третья точечная масса D величиной т может колебаться при помощи пружины жесткостью с по перекладине АС около точки С, причем СА = АВ = АО = /. Приняв за обобщенные координаты угловую координату ф поворота кон- Рис. 714 струкции и относительную координату S точки D относительно точки С, составить уравнения малых колебаний системы около положения равновесия и найти собственные частоты. [c.471]

Задача 1316 (рис. 715). К однородному цилиндру А с моментом инерции J и радиусом г, имеющему неподвижную горизонтальную ось вращения О, прикреплены с двух сторон две вертикальные упругие нити с коэффициентами жесткости и с . Конец первой нити закреплен неподвижно в точке В, а на конце второй нити висит груз М с массой т. Найти частоты собственных колебаний системы около положения равновесия, пренебрегая трением. Принять i = 2 J = 2mr . [c.472]

В предыдущих параграфах мы рассматривали, стоячие волны, и было естественно дать их на первом месте, так как они представляют непосредственное применение обычного метода исследования свободных колебаний системы около положения равновесия. [c.457]

Влияние новых связей на малые колебания системы около положения равновесия. Если на механическую систему, совершающую малые колебания около положения равновесия, наложить новые связи, совместимые с рассматриваемым положением равновесия, то после наложения связей система будет совершать колебания уже по другому закону. В самом деле, пусть положение механической системы определяется к независимыми нормальными координатами, так что [c.582]

Мы остановимся в этом параграфе на трудностях, возникающих в методе последовательных приближений, которые частично можно устранить, применяя метод осреднения. С целью упрощения изложения самого метода мы рассмотрим его на примере учета влияния малых возмущений на колебания системы около положения равновесия. [c.573]

Линеаризация уравнений движения. Уравнения малых колебаний. Характеристическое уравнение и вид общего решения. Устойчивость. Границы применимости линеаризованных уравнений. Рассмотрим такие движения системы, при которых она находится вблизи положения равновесия и все ее точки имеют незначительные скорости. Эти движения, называемые малыми колебаниями системы около положения равновесия, описываются уравнениями (1.1). Однако, учитывая, что величины 7/ и 7/ (/ = 1, 2,..., /г) теперь являются малыми, уравнения (1.1) можно упростить, отбросив члены второго и выше порядков малости относительно и 7/. Полученные таким образом уравнения называются линеаризованными уравнениями движения. Для получения линеаризованных уравнений можно до составления уравнений (1.1) провести разложение в ряд Маклорена функции [c.242]

Уравнения (1.5) называются уравнениями малых колебаний системы около положения равновесия. В случае произвольных обобщенных сил линеаризованные уравнения движения также имеют вид (1.5), но соотношения ац = ац, Ьц — Ьц, сц = сц вообще не выполняются. [c.244]

Малые колебания системы около положения равновесия. [c.365]

Метод Лагранжа используется для определения колебаний системы около положения равновесия. Он неприменим для исследо- [c.397]

Если начальные условия таковы, что во все время движения все главные координаты, за исключением одной, сохраняют постоянные значения, то говорят, что система совершает главное, или гармоническое колебание. Если любые две или большее число координат изменяются со временем, то система совершает сложное колебание. Поэтому можно сказать, что любое возможное колебание системы около положения равновесия исследуется методом Лагранжа в результате анализа ее простых и сложных колебаний. [c.406]

КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [c.57]

В т. I настоящего трактата был изложен метод Лагранжа определения малых колебаний системы около положения равновесия. Поставим перед собой цель исследовать, как модифицируется эта теория при использовании способа неопределенных множителей. В динамической задаче часто возникает необходимость знать изменение со временем лишь некоторых величин. Одно из главных достоинств метода Лагранжа состоит в том, что он дает возможность широкого выбора величин, которые могут быть приняты в качестве координат. Поэтому в качестве независимых коордииат обычно выбираются интересующие нас величины, а их изменение со временем можно определить из уравнений Лагранжа. Однако иногда это приводит к большому усложнению уравнений. Вследствие этого часто нарушается определенная симметрия уравнений, которая могла бы сократить и упростить все исследования. Рассмотрим теперь вопрос, как следует изменить уравнения в случае, когда по той или иной причине интересующие пас величины не могут быть приняты в качестве независимых координат. Для этой цели может быть эффективно использован метод неопределенных множителей. [c.57]

Рассмотрим в качестве примера детерминант Лагранжа, служащий для нахождения периодов малых колебаний системы около положения равновесия (п. 57). Предположим, что определяющее уравнение имеет два равных корня. Тогда на основе результатов п. 266 можно ожидать, что каждая нз координат системы будет содержать член вида А 60 Поэтому амплитуда колебания будет содержать время I. [c.242]

Из двух важных задач динамики (п. 376) наиболее общей является задача определения колебаний системы около положения равновесия при отсутствии сил сопротивления. Это — задача Лагранжа, и ее решение обсуждалось в гл. II. [c.307]

Принцип, согласно которому период колебаний системы около положения равновесия зависит только от структуры, но не от частных особенностей колебаний, имеет (хотя он установлен и не без ограничений) громадное теоретическое и практическое значение. Если бы высота и громкость ноты, издаваемой музыкальным инструментом, не были в широких пределах независимы друг от друга, то искусство исполнения на многих инструментах, подобных скрипке и фортепиано, было бы совершенно революционизировано. [c.65]

При малых колебаниях системы около положения равновесия ввиду незначительности угла а можно положить [c.407]

МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ. СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ [c.204]

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [c.213]

Задача 1293 (рис. 699). U-образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов. Трубка содержит две несжимаемых и несмешивающихся жидкости с плотностями р, и р. . Определить период собственных колебаний системы около положения устойчивого равновесия, после того как она была выведена из этого положения, если длина части трубки, занимаемой жидкостью плотности Pi, равна /,, а длина части, занимаемой жидкостью плотности р. , равна 1 . Трением пренебречь. [c.462]

Возвратимся к теории малых колебаний системы около положения ее устойчивого равновесия. Сначала рассмотрим свободные колебания системы в консервативном силовом поле. В этом случае движение системы полностью определяется выражениями ее кинетической и потенциальной энергий. Как было показано в 88, кинетическая и потенциальная энергии представляются в виде положительно определенных квадратичных форм [c.231]

Составим уравнения малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Так как коэффициенты a,, постоянны, то [c.548]

Уравнение (29.3) является уравнением s-й степени относительно k из этого уравнения можно определить все частоты свободных колебаний системы kj (/ — 1, 2,. .., s), так как k] (/ = 1, 2,. .., s) — корни уравнения частот — вещественные и положительные величины (рассматриваются малые колебания системы около положения устойчивого равновесия). [c.141]

Малые колебания консервативной системы около положения равновесия [c.489]

В качестве примера рассмотрим колебания системы около положения устойчивого равновесия при наличии диссипативных сил рассматриваемого типа. Диссипация, очевидно, способствует устойчивости. Как обычно, примем, что в точке О функция Y равна нулю, так что (поскольку V имеет в точке О минимум) F > о в окрестности точки О, но не в самой этой точке. Если при f = О энергия Г + F имеет значение С, то согласно (10.11.8) при t>0 Т + + V а С следовательно, при > О F < С и равновесие устойчиво. [c.198]

Если консервативная система состоит из конечного числа звеньев и содержит конечное число полостей, частично заполненных идеальной жидкостью, и если в положении равновесия системы потенциальная энергия системы имеет минимум, то при движении этой системы около положения равновесия существуют главные колебания [c.295]

Общий случай малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. В общем случае мы будем рассматривать [c.551]

Малые колебания системы около положения устойчивого равновесия. Рассмотрим малые колебания системы около положения ее устойчивого равновесия. Ограничиваясь лишь малыми движениями системы, будем предполагать, что величины qu q , , qh, q, q ,. .., q остаются во все время движения настолько малыми, что при разложении в степенные ряды живой силы и силовой функции можно ограничиться лишь первыми членами разложения. Разложим в ряд коэффициенты в выражении живой силы [c.559]

Уравнение (20.20) называется дифференциальным уравнением малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия. Для получения этого уравнения не обязательно прибегать к уравнениям Лагранжа второго рода — можно пользоваться любыми другими методами, например, общими теоремами динамики. Важно, чтобы в результате получилось линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Однако изложенный здесь метод является общим, одинаково пригодным как для простых, так и для сложных систем с несколькими степенями свободы. [c.466]

Влияние сил сопротивления на колебания системы около положения устойчивого равновесия [c.497]

Выражения обобщенных сил (4) получились весьма сложными. Они значительно упрощаются, если рассматривать малые колебания системы около положения относительного равновесия и считать как углы 1 = 1 — 2 2 — 2 отсчитываемые от этого положения, [c.236]

Рассмотрение малых колебаний голономной системы около положения равновесия сводится к изучению системы п линейных уравнений (1.5) с постоянными коэффициентами. Как известно, частное решение уравнений (1.5) записывается в виде Подставляя это в (1.5), приходим к системе п линейных однородных уравнений относительно постоянных Л/ и величины р [c.244]

Динамический прием основан на рассмотрении колебаний системы около положения равновесия. Надо составить диференциальное уравнение колебаний колонны, проинтегрировать его и вычислить период колебаний Т. Он зависит от величины сжимаюгцей силы Р. То значение Р, при к-ром Т неопределенно возрастает, и является Р р,. Физический смысл этого приема ясен с увеличением Р колонна колеблется все медленнее и медленнее. При Р = колонна, отклонившидь от прямолинейной формы, в нее уже не возврагцается, а остается искривленной. С математич. точки зрения этот прием является наиболее сложным. [c.393]

Система имеет 3/г координат, а именно У1,. .., уп, <71,. ... 9п, 1,. .., п — 1 связь вида (3) и еще две связи, определяемые условиями (4). Соглааю правилу Лаграижа для определения колебаний системы около положения равновесия нужно иметь 2/г — 1 значений величины р . Из этого числа значеннй 2 (и — 1) определяются п — I значениями соз 6 = соз (Ып), каждое из которых приводит к квадратному уравнению (14) для р с неравными корнями. Еще одиа величина р . определяется уравнениями (16). [c.324]

Составить дифференциальные уравпеипя малых колебаний системы около положения ее отпосительпого равновесия, приняв, что подвпзкной системой отсчета является трехгранник с вершиной в центре подвеса гироскопа, вращающийся с той же угловой скоростью Q, что автомобиль. [c.239]

Глава XIII. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ ОКОЛО ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ [c.346]

Дифференциальные уравнения колебаний линейной системы около положения равновесия при наличии сил сопротиаления согласно (6.1.1), [c.317]

После Эйлера в течение XVIII в. теория устойчивости развивается в русле динамики в двух направлениях. Одним из них является изучение малых коле- 119 баний механической системы около положения равновесия. Этим вопросом занимались А. Клеро, Д. Бернулли, Ж. Даламбер, Ж. Лагранж. В Аналитической механике Лагранжа (1788) теория малых колебаний системы с конечным числом степеней свободы изложена в ее классической форме. Ответ на вопрос, устойчиво ли для данной системы положение равновесия, около которого она начинает колебаться, дает исследование корней алгебраического уравнения, определяющего частоты колебаний, соответствующих отдельным степеням свободы. (При этом, как известно, Лагранж высказал ошибочное утверждение, что при наличии кратных корней уравнения частот должны появляться вековые члены и устойчивости не будет.) [c.119]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...