Кривая медленности

Пример. Для системы Ван дер Поля эти условия выполнены, если соответствующий 0<т<7 отрезок фазовой кривой медленного движения не пересекается с другой медленной кривой Г, соединяющей нерегулярные точки, где касательная к Г вертикальна — иными словами, изучаемое медленное движение происходит либо целиком по самой верхней, либо целиком по самой нижней из трех ветвей медленной кривой. [c.169]

Явление срыва. Кроме устойчивых положений равновесия быстрого движения, медленная поверхность содержит, вообще говоря, и неустойчивые. Поэтому фазовая кривая медленного движения может за конечное медленное время попасть на границу устойчивости быстрого движения, и тогда предыдущая теорема делается неприменимой. [c.170]

Медленное движение систем с двумя медленными переменными. В этом случае можно довольно подробно изучить семейство фазовых кривых медленного движения вопрос сводится к теории дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной. Для простоты мы считаем, что быстрая переменная одна. Медленное движение в системах общего положения с любым числом быстрых переменных и всего двумя медленными такое же, как в случае с одной быстрой переменной. Действительно, для систем общего положения менее чем с четырьмя медленными переменными ядро проектирования медленной поверхности одномерно. [c.175]

Итак, фазовые кривые медленного движения являются частями интегральных кривых поля следов построенных выше плоскостей на медленной поверхности. Это поле направлений на медленной поверхности вертикально на линии критических точек проектирования (ибо и поле плоскостей, и касательная медленной поверхности в этих точках содержат вертикаль), и может еще иметь отдельные особые точки на этой линии (не в сборках и не в точках вырождения контактной структуры). [c.176]

Ниже описаны нормальные формы, к которым приводятся интегральные кривые построенного поля направлений на медленной поверхности (а следовательно, и фазовые кривые медленного уравнения) расслоенными диффеоморфизмами. [c.176]

Нормальные формы фазовых кривых медленного движения. В окрестности точки складки медленная поверхность расслоенным диффеоморфизмом приводится к виду у=х где X — быстрая переменная, у — медленная вторую медленную переменную обозначим z. [c.176]

Рис. 66. Фазовые кривые медленного уравнения в окрестности типичной точки складки медленной поверхности нормальная форма

Рис. 69. Проекции фазовых кривых медленного уравнения вблизи точки Сборки на плоскость медленных переменных

В таблице х — быстрое переменное, у п z — медленные, ось Z направлена вдоль складки медленной поверхности, ось у ей перпендикулярна. Во втором и третьем столбцах приведены нормальные формы из п. 2.5 фазовые кривые медленного-уравнения заданы либо первым интегралом, либо соответствующим полем направлений. Предложение 2 доказано в п. п. 3.3,, [c.185]

Медленная поверхность системы типа 2 делится на две области — устойчивую и неустойчивую. Первая состоит из устойчивых положений равновесия быстрой системы, вторая — из неустойчивых их общая граница называется границей устойчивости. На устойчивой части медленной поверхности для типичной системы типа 2 открытое множество образуют точки, из которых выходят фазовые кривые медленной системы, трансверсально пересекающие границу устойчивости и такие, что при движении параметра у вдоль медленной кривой пара собственных значений особой точки уравнения быстрых движений переходит через мнимую ось трансверсально и с ненулевой скоростью. Такие точки назовем правильными ниже рассматриваются только правильные точки на устойчивой части медленной поверхности. [c.193]

Жесткость потери устойчивости в аналитических системах типа 2. Потеря устойчивости в аналитических быстро-мед-ленных системах типа 2, описанная в п. 4.2, проходит всегда жестко, независимо от того, будет ли мягкой или жесткой потеря устойчивости в семействе быстрых уравнений при изменении параметра семейства (медленной переменной) вдоль фазовой кривой медленного движения. Рассмотрим следующий пример, соответствующий открытому множеству быстро-медленных систем типа 2. Без ограничения общности можно считать, что медленная поверхность имеет вид x=0, поскольку она диффеоморфно проектируется на пространство медленных переменных вдоль пространства быстрых проектирование (х, у) у обозначим через я. Пусть у(т)—решение медленной системы, фазовая кривая которого в момент т=0 переходит из устойчивой части медленной поверхности в неустойчивую. Пусть в соответствующем быстром семействе x=f x, у(х)) с [c.194]

Определяя степень набухания через заданные промежутки времени, можно получить кривые, характеризующие кинетику набухания (рис. 20). Кривые / и 2 характеризуют ограниченное набухание, причем кривая 2 соответствует сравнительно быстро набухающему высокополимеру, но с малым значением предельного набухания, а кривая ) — медленно набухающему высокополимеру с большим значением предельного набухания. Набухание, когда высокополимер растворяется неограниченно в растворителе, показано кривой 3. В этом случае о степени максимального набухания говорить нельзя, хотя на кривой и имеется максимум. Кривая 4 характеризует ограниченное набухание, когда из набухающего вещества экстрагируется значительное количество низкомолекулярных фракций, что приводит к уменьшению степени предельного набухания во времени. [c.49]

Ф II г. 9. Расчетные кривые медленных пульсаций. [c.365]

Так как на кривой медленных движений, получающейся из (58) при 1=0, направление движения изображающих точек определяется уравнением ф = со, то очевидно, что на плоскости ф, со имеется единственный устойчивый разрывный предельный цикл а, Ь, с, d, описывающий разрывное автоколебательное движение колодки. Участок ей автоколебательного движения соответствует равномерному вращению колодки. При повороте колодки возрастает момент сил упругости пружин. Когда момент упругой силы становится равным максимальному моменту силы трения колодки о вал (в точке d на рис. 23). происходит скачкообразное изменение скорости колодки при неизменном растяжении пружин и т. д. [c.190]

Рис.6.9. а. Гауссовские распределения g(U) 6. соответствующие функции (т) в. кинетические кривые медленной релаксации заряда. Числа на графике указывают величину параметра р в соотношении (6.7). Пунктирные линии (о) — распределения (0), полученные графическим дифференцированием кинетических кривых (в) [27] [c.193]

Рис.6.12. Инвариантность кинетических кривых медленной релаксации. Температура измерений 252 (1), 265 (2), 273 (3), 296 (4), 300 (5), 310 К (6) [28]

Верхней и нижней границами области 5 служат интегральные кривые медленных волн, уходящие из точек Жуге К и Е, причем из точки Е - по касательной к ударной адиабате в этой точке. [c.258]

Таким образом, равенства (9.8) и (9.9) указывают направление, в котором происходит увеличение характеристической скорости вдоль интегральных кривых вне узкой окрестности критической окружности г = г. Это позволяет определить, изменяется или не изменяется это направление, когда интегральная кривая быстрого Или медленного семейства пересекает окрестность критической окружности. Из равенств (9.8) и (9.9) с учетом неравенства /"(г ) > О и того, что при пересечении интегральной кривой окрестности критической окружности, направление ее поворота определяется знаком р 2, можно сделать следующие выводы. Если на некотором отрезке критической окружности знаки д и р12 противоположны, то в результате пересечения интегральными кривыми медленных волн (идущих при г < — 0 д) почти по радиусу, а при г > г, - - 0 д) почти по окружности) окрестности критической окружности не происходит изменения знака производной от величины а, взятой вдоль интегральной кривой. В этом же случае для быстрых волн происходит изменение знака производной от величины 2. Если знаки д и рх2 совпадают, то знак производной от величины а меняется для медленных волн и не меняется для быстрых. Изменение знака производной означает, что внутри окрестности критической окружности на интегральной кривой имеется один (или нечетное число) экстремум величины а. Сохранение знака производной означает, что экстремумов нет (или их четное [c.373]

Рис. 6,1. Кривые медленности для ПАВ, распространяющихся в плоскости (110) в никеле [106].

Поскольку нас интересует направление потока энергии, можно также использовать такое понятие, как кривая медленности (рис. 6.1). Эту кривую получим, откладывая в направлении распространения ПАВ значения, обратно пропорциональные ее скорости [171, 175]. [c.272]

Подложки для ПАВ можио выбирать из целого ряда комбинаций ориентации поверхности, направления распространения волны и кристаллографической симметрии сред. Наиболее широкое распространение получили материалы с относительно высокой кристаллографической симметрией. Это связано с тем, что направление потока энергии в ннх параллельно волновому вектору. Эти направления соответствуют экстремумам кривой медленности (рис. 6.1). Некоторые экстремумы определяются значениями упругих и пьезоэлектрических констант, другие только кристаллографической симметрией среды. Необходимым и достаточным условием для существования чистой моды является удовлетворение одного из следующих условий [170, 106] [c.274]

Кривая медленности для углов в окрестности оси Z представлена на рис. 6.8. Если угол отклонения волнового вектора от оси Z составляет 10°, [c.276]

В ряде случаев кривую медленности ПАВ (разд. 6.3 и 6.7.3) в плоскости подложки вблизи оси преобразователя можно заменить параболической аппроксимацией [199]. Тогда с достаточной степенью точности имеем [c.412]

В предыдущей части были описаны основные свойства кристаллов, важные для распространения ПАВ. Свойства, как правило, выражают с помощью констант, которые можно получить расчетным путем из матриц преобразования материальных констант и их температурных зависимостей. Описанные свойства эквивалентны свойствам объемных волн, однако расчеты существенно сложнее. В этом разделе приведены численные значения других параметров, влияющих на распространение ПАВ, которые получены экспериментально или из параметрических зависимостей основных свойств ПАВ, например из кривой медленности. Из разд. 8.10, где описаны явления второго порядка, следует, что можно количественно описать изменение групповой скорости, дифракцию и затухание ПАВ. Для оценки влияния объемных волн необходимо, как правило, знать частотную зависимость отклонения объемной волны относительно ПАВ. [c.496]

Теорема ([53], [68], [102]). При условиях 1 и 2 существует такая (не зависящая от е) окрестность рассматриваемой фазовой кривой медленного движения, что для достаточно Males [c.169]

Рис. 67. Фазовые кривые медленного уравнения в окрестноств точки вырождения контактной структуры. Множество точек касания интегральных кривых с их отражениями изображается двойной линией

Эта система факторизуется ее фазовые кривые лежат над фазовыми кривыми медленной системы при любом >0. Наряду с предыдущей быстро-медленной системой, рассмотрим систему [c.195]

На восходящей ветви кривой медленное-образование зародышей происходит немно- [c.684]

Рис.6.10. Кинетические кривые медленной релаксации, соответствующие гауссовскрму распределению Ц). Величина параметра р в соотнощении (6.7) 0,71 (1) 1 (2) 1,41 (3) 2 (4) 2,5 (5) 3 (6) [27]

Собственный вектор медленных волн, соответствующих ах (верхний знак в формулах (9.5) и (9.6)),вдали от критической окружности, т.е. при с ° д, для г < имеет направление, близкое к радиусу-вектору, так как там <1у2/<1у1 д. Эту волну будем называть квазирадиалъной, для нее ах = г. При г > г для тех же медленных волн йу2/д,у д , и собственный вектор этого семейства близок направлению оси У2, ортогональному радиусу-вектору. Это квазивращателъная волна, для нее ах = О10. Таким образом, происходит поворот интегральных кривых медленных волн на угол тг/2, причем этот процесс разворота концентрируется в узком слое д около критической окружности. [c.370]

Направление поворота линий того и другого семейства определяется функцией <1у2/<1у1, заданной формулой (9.6). В выражении (9.6) числитель всегда отрицателен для семейства медленных волн и положителен для быстрых. Поэтому при рх2 > О йнтегральные кривые медленных волн в упомянутой узкой зоне при увеличении г поворачивают направо, а при рх2 < О - налево. Это сопровождается соответствующим изменением направления интегральных кривых быстрых волн. Интегральные кривые медленных волн всюду при г < г. и быстрых волн при г > г пересекают линии рх2 = О вдоль радиуса-вектора ( уг/ Ух = 0) для медленных волн при г > г и быстрых волн при < г интегральные линии пересекают линию р 2 = О перпендикулярно радиусу. [c.370]

Если в особой точке др 21дв > О, то имеется только одно собственное направление, близкое к радиусу-вектору (под углом (р gdpii/dr к нему), вдоль которого идет квазирадиальная интегральная кривая медленных волн при г < г, , и ее продолжает при г > г интегральная кривая быстрых волн. Если же в особой точке дри/дв < О, то, кроме указанного радиального направления, имеются еще два собственных направления, каждое из которых идет под малым углом наклона соответственно к положительной и отрицательной оси у2 (касательной к окружности). [c.371]

Поведение интегральных кривых медленных и быстрых волн вблизи особых точек А w. В изображено на рис. 9.2 для случая др 21дв > О (а и 6) и для случая др 2/дв < О (с и d). [c.371]

Интегральные кривые волн Римана пересекают критическую окружность г = г в направлениях, параллельных осям координат и П2- Вблизи окружности г = г, линии обоих семейств поворачиваются на угол тг/2 в направлении, определяемом знаком отношения РиЦдри/дв) = tg2в. Интегральные кривые медленных и быстрых волн Римана изображены на рис. 9.3 а и 6 сплошными линиями. [c.375]

При /х О вне кривой х = (1 - y )y dy/dx оо или dx/dy O. Интегральными кривыми будут прямые X onst, а направления движения по ним определяются вторым уравнением системы (14.9). Из последнего следует, что скорость движения при /х О очень велика. Это так называемые быстрые движения. Медленные движения происходят на самой кривой у 1 — у ) = ж закон движения определяется первым уравнением системы (14.9). Фазовый портрет изображен на рис. 14.6 а. Верхняя и нижняя ветви кривой медленных движений устойчивы по отношению к быстрым движениям, средняя неустойчива. В точках ж ж происходит скачок с одной ветви кривой у х) на другую. При любых начальных условиях система выходит на предельный цикл abed, состоящий из участков быстрых и медленных движений. При этом система совершает релаксационные колебания, форма которых изображена на рис. 14.6 б. Период колебаний Т можно найти, подсчитав время движения по предельному циклу [5]. Временем быстрых движений можно пренебречь. Из уравнений медленных движений X = у, 1 — у )у = ж найдем [c.303]

Направление групповой скорости, т. е. направление потока энергии (вектора Р), для данного направления распространения ПАВ, определенного волновым вектором к, задано направлением нормали к кривой медленности [171, 175]. На рис. 6.1 угол д опредепяет направление распространения и Ф — угол между векторами Р и к, т. е. угол отклонения потока энергии от направления распространения. Из кривой на рис. 6.1 можно определить направления, вдоль которых распространяются чистые моды ПАВ (они обозначены кружочками), характеризующиеся тем, что векторы Р и к кол-линеарны. Например, для направлений, близких к углу t = 90° (рис. 6.1), поток энергии ПАВ отклоняется в направлении д = 90°, следовательно, пучок ПАВ фокусируется. [c.272]

Рис. 6.21. Дифракция пучка ПАВ а — ход кривых весовых функций А (кг) для V/ = ЮХо и 50Хо, нормированных относительно значения этой фуцкции при кг == 6 — система координат пучок ПАВ выходит из апертуры V/, расположенной вдоль оси Хг в — параболическая аппроксимация кривых медленности дпя анизотропной среды в зависимости от параметра /3 [106].

Дифракцию ПАВ можно описать, как показано в работе [106], с помощью двух величин. Величина 5в дает максимальное отклонение (умноженное на 10 ) действительной скорости ПАВ по отнощению к скорости, рассчитанной (методом нанменьщих квадратов) из параболической аппроксимации кривой медленности [см. выражение (6.53)] при отклонении = 5° от данного направления распространения ПАВ. Если нельзя использовать параболическую аппроксимацию, т. е. при 1I >2, то необходимо явление дифракции исследовать численными методами, описанными в разд. 6.7.3. Речь идет о случаях, когда дифракционные явления проявляются слабо. [c.496]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...