Корреляция случайных переменных

Особый интерес представляют такие моменты, как корреляция случайных переменных и и V [c.27]

Конечная средняя мощность 73 Контраст спекл-структуры 331 Корреляция случайных переменных 27 Коэффициент асимметрии 251, 252 [c.515]

Таким образом, время корреляции случайной переменной 0 оказывается порядка времени жизни различных колебательных состояний. [c.436]

Коэффициент корреляции двух случайных переменных Sj и Sj определяется формулой [c.418]

Уравнение (9.4.11) для ноля скоростей совместно с уравнением (9.4.8) для давления и выражением (9.4.15) для корреляций случайных сил лежат в основе статистической теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Хотя уравнение (9.4.11) на первый взгляд кажется не сложнее, чем гидродинамическое уравнение Навье-Стокса, тот факт, что теперь v(r, ) — случайная переменная сильно усложняет задачу. Дело в том, что для поля скоростей v, усредненного по некоторому промежутку времени или по реализациям, не удается получить замкнутого уравнения. Действительно, после усреднения (9.4.11) (скажем, по реализациям) в уравнение для v войдут корреляционные функции пульсаций Jv = v —v типа ( 6v 6vp). В уравнения для этих функций войдут корреляционные функции более высоких порядков и т. д. Мы получим так называемую цепочку уравнений Рейнольдса проблему замыкания которой до сих пор не удается решить. Дело также осложняется тем, что в задаче фактически нет малого параметра, поэтому не удается воспользоваться теорией возмущений. Как известно, в таких случаях необходим метод, позволяющий сравнительно просто получать общие соотношения и строить самосогласованные приближения, не опирающиеся на теорию возмущений. С этой точки зрения формулировка теории турбулентности на основе стохастического уравнения (9.4.11), при всей ее внешней простоте, мало что дает. Гораздо удобнее перейти к описанию турбулентного движения с помощью функционала распределения для поля скоростей и вывести для него уравнение Фоккера-Планка, которое в компактной форме содержит информацию о всей цепочке уравнений Рейнольдса. [c.258]

Так как тензор напряжений Рейнольдса в изотропном движении совершенно симметричен и условия в точке почти всегда известны, основными изучаемыми параметрами в изотропной турбулентности становятся корреляции или осредненные произведения компонентов скорости в двух точках. Следует особо подчеркнуть, что этот выбор двух точек (и, конечно, трех обычных компонентов ы, у и ш) представляет совершенно частный случай общей статистической теории непрерывной случайной переменной. В самой общей постановке средние значения случайной функции (в данном случае, поле скоростей) определяются распределением вероятности значений функции в п различных точках, и чем меньше должна быть возможная ошибка в средних величинах, тем больше должна быть величина п. Если придерживаться этой общей постановки, то, очевидно, анализ будет настолько сложен, что чрезвычайно замедлит развитие вопроса. Только при рассмотрении простейшего частного случая и использовании ми-нимального числа точек оказа- [c.257]

Заметим, что действительная и мнимая части круговой комплексной гауссовской случайной функции не коррелированы и, следовательно, независимы. Если же 11] и Уд — две такие совместные случайные переменные, то действительная часть величины и1 может иметь любую степень корреляции с действительной и мнимой частями переменной Уд, если только в соответствии с (2.8.15) выполняются условия [c.50]

Учитывая, что г и / представляют собой суммы многих независимых случайных вкладов, мы приходим к выводу, что в силу центральной предельной теоремы г и i будут приблизительно гауссовскими случайными переменными при больших значениях Л ). Чтобы определить детальный вид совместной плотности распределения для г и i, мы должны сначала вычислить г, /, (Т , и их коэффициент корреляции р. [c.52]

Пусть случайные переменные Ух и /г являются совместно гауссовскими с нулевыми средними значениями, одинаковыми дисперсиями и коэффициентом корреляции р =5 0. Рассмотрим случайные переменные Ух и Уг, определяемые преобразованием поворота вокруг начала координат в плоскости (ы , 2) [c.62]

Кроме того, поскольку Т Тс, величина Л12(Т ) определяется как результат интегрирования величины и(Рь <)и (Р2, О по многим независимым флуктуационным интервалам. Непосредственно из центральной предельной теоремы следует, что при таких временах интегрирования величину Л12 Т) приближенно можно считать комплексной гауссовской случайной переменной. Однако комплексная гауссовская случайная переменная не является, вообще говоря, круговой (т. е. Ф и ее среднее значение не равно нулю. Благодаря отсутствию корреляции между величинами Я 2 Т) и 2 Т) (и, следовательно, в предположении о гауссовском распределении, благодаря их статистической независимости) мы можем написать приближенно совместную плотность распределения в виде [c.251]

Обратимся к рис. 6.2. Точно так же как мы разбили время измерения на приблизительно независимые временные ячейки корреляции, мы должны теперь разбить площадь детектора на приблизительно независимые пространственные ячейки корреляции. Полная интегральная интенсивность тогда может рассматриваться как сумма многих независимых экспоненциально распределенных случайных переменных, по одной для каждой пространственно-временной ячейки корреляции. [c.451]

Б. Плотности вероятности двух случайных переменных. Корреляция [c.15]

Система уравнений (1.12) уже не замкнута относительно переменных (ху, <г/>, так как содержит новую неизвестную функцию <2 (г) X Эта функция является корреляцией случайного процесса 2 1) С решением системы (1.11) х ( ), которое, в свою очередь, является функционалом от случайного процесса 2 (т) при О < т Рассмотрим теперь совместную плотность вероятностей для решения спстемы (1.11) х I), у (t). Поведение функций х 1) ш у (г) [c.46]

Оно автоматически обращается в нуль для любой величины, представляющей собой произведение независимых случайных переменных. Большинство важных физических явлений в неупорядоченных системах связано как раз с корреляциями, которые в указанном смысле не исчезают. [c.32]

Так же как и для случайных величин, где наряду с корреля-л,ионным моментом используется коэффициент корреляции, для случайной функции X (t) наряду с корреляционной функцией используется нормированная корреляционная функция. Нормированная корреляционная функция случайной функции X (t) равна коэффициенту корреляции (1.165) случайных величин X (t) и X [t ). Как и корреляционная функция случайной функции X (/), ее нормированное значение является функцией двух независимых переменных t я t [c.196]

Из этой парциальной корреляции первого порядка можно получить парциальную корреляцию второго порядка, в которой четвертая переменная ограничена в отношении случайных колебаний [c.578]

Однако существование хотя и малых, но конечных корреляций в квантовом случае оказывает определенное влияние на процесс диффузионного изменения медленной переменной 2(. Согласно формуле (1.14) эта переменная является аналогом классического действия спстемы /. Медленные случайные изменения [c.186]

В предыдущих главах, для описания вероятностных характеристик динамических систем, находящихся под действием случайных воздействий, с конечными временами 1с спада корреляций, мы пользовались аппаратом формул дифференцирования. Однако часто используется другой общий подход (о нем мы говорили в части I), основанный на рассмотрении расширенных динамических систем. Суть его заключается в том, что в число динамических переменных включается и само случайное воздействие, которое моделируется как отклик некоторой дополнительной динамической системы на белый шум той или иной статистики. Тем самым в рамках расширенной динамической системы мы уже имеем дело с задачей о воздействии белого шума, т. е. с задачей вероятностного описания расширенной системы в диффузионном приближении. Уравнения усредненной динамики в таком приближении получаются просто с помощью самых разнообразных методов, в том числе и методом формул дифференцирования, но анализ этих уравнений, конечно, не прост. [c.102]

В подобном случае может возникнуть предположение не возникает ли тенденция к увеличению скорости коррозии в образцах с богатым содержанием элемента просто случайно Даже при большом числе образцов, содержаш.их одинаковые количества этого элемента, будет наблюдаться большой разброс в скорости коррозии. Противники статистических методов, взывая к справедливости, будут высказывать различные точки зрения один может сказать Я думаю, что скорость коррозии повышается с увеличением содержания элемента , в то время как другой будет утверждать, что числа не имеют определенной последовательности . Вычисление коэфициента корреляции дает ответ на этот вопрос, причем, если этот ответ и не является определенным, он все же объективен, когда принят соответственно подходящий предел, пригодный для данного случая. Предположим, что с точки зрения фактов колебания скорости коррозии не имеют ничего общего с содержанием элемента и возникают чисто случайно. Вычисляя вероятность случайного получения экспериментальных значений скорости, можно решить этот вопрос. Если величина получается очень малой, мы отвергаем предположение о случайности полученных результатов. Тогда можно предположить, что увеличение скорости коррозии имеет какую-то зависимость от содержания элемента. Как показано ниже, это не означает, что элемент является непосредственной причиной коррозии. Наиболее просто определение коэффициента корреляции между двумя переменными X и У по уравнению [c.848]

Коэффициент корреляции может рассматриваться как показатель тесноты связи лишь при условии, что исследуемые переменные являются случайными величинами и распределены нормально. В этом случае г со средними у, х, стандартами (Уу, и объемом М исследуемой парной совокупности входит в состав шести основных характеристик, которые позволяют математически корректно решать поставленные задачи. [c.123]

Как уже указывалось, рассмотрение случайного воздействия, связанного с белым шумом, являющимся математической идеализацией процессов с малым временем корреляции, позволяет применить методы анализа процессов диффузионного типа и прийти к качественным (а иногда и количественным) результатам, касающимся поведения моделируемого процесса. К таким результатам относятся в первую очередь получение и анализ функции плотности переходной вероятности p N, t) из уравнений Колмогорова, изучение стационарных распределений, не зависящих ot времени и начальных условий и устанавливающихся при t анализ условий устойчивости стационарных решений динамических уравнений. Кроме того, представляет значительный интерес изучение локальных свойств процесса N t), а именно поведение вблизи границ допустимой области изменения переменных, условия вырождения, поведение решений в окрестности стационарных точек. Следует отметить, что термин локальные свойства применен здесь условно, так как в стохастических системах поведение вблизи границы определяет и характер поведения процесса в целом. [c.303]

Отсюда ожидаемая величина скорости, приобретаемой твердой частицей в результате смещения в полоячение у при условии, что э.лемент жидкости находится в полоя енни х, есть не что иное, как лагранжева скорость жидкости [V (О, )]х, умноженная на эйлеров коэффициент корреляции (у х) [230]. Поскольку уравнение (2.96) касается только свойств вторых моментов гидродинамических полей случайных переменных, то приемлемы допущения о гауссовом распределении [168]. Турбу.тентное поле течения Ячидкости считается изотропным, поэтому коэффициент корреляции является функцией только радиального расстояния от элемента жидкости в положении х. Кроме того, случайные переменные считаются стационарными. [c.70]

Слово стохастический значит вероятностный , относящийся к теории вероятностей . Стохастическая зависимость есть общее название для всех видов взаимоотношения между случайными переменными, подлежащих изучению методом теории вероятностей, и в этом смысле противостоит понятию функциональной зависимости. Частным случаем стохастической зависимости является линейная корреляция. Строгое определение таково две случайные неременные называются стохастически независимыми друг от друга в том случае, когда закон распределения одной из них не зависит от того, какие значения принимает другая если же с изменением значений одной неременной распределение другой меняется но какому либо закону, то неременные стохастически зависят друг от друга. [c.66]

Насколько мне известно, Шольс [1] первый поставил задачу о законе распределения вектора, рассматриваемого как случайная переменная. Некоторые частные случаи этого закона распределения были получены Вагнером [2] и Эр-телем [3]. В настоягцей статье мы выводим закон распределения длины и направления вектора в наиболее обгцих предположениях. Мы считаем только, что отдельные значения вектора образуют плоскую систему векторов, компоненты которых подчиняются закону нормальной корреляции. [c.81]

Если коэффициент корреляции р тождественно равен нулю, то говорят, что величины U и V не коррелированы. Читатель может легко показать (см. задачу 2.2), что две статистически независимые случайные переменные всегда некоррелированы. Однако обратное неверно, т. е. из того, что коэффициент корреляции равен нулю, не следует статистическая независимость. Классической иллюстрацией этого являются случайные переменные [c.28]

В активном планируемом эксперименте все условия регрессионного анализа сохраняются, но организован он лучше, поскольку коэффициенты регрессии некоррели-рованы (коэффициент корреляции характеризует статистическую меру линейной связи мелсду двумя случайными переменными). [c.213]

Параметр р является мерой корреляции между двумя случайными переменными (в теории верояпюсти ои известен под названием коэффициента корреляции). Ясно, что этот параметр связан с функцией взаимной когерентности, если случайные ие-ременные связаны с К " (или с У ). Аналогично, дисперсии связани со средними интенсивностями. Каждый из членов выражения [c.300]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера—Планка в случае переменных структурных чисел Оно справедливо, если время корреляции т ор много меньше постоянных времени системы и если не учитывать интервалы времени порядка времени корреляции, другими словами, если можно считать случайную функцию х (i) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова. Оценка членов уравнения (3.51) для s > 3 произведена Р. Л. Стратоно-вичем в работе [81 ], где показано, что если время корреляции процесса внешних возмущений мало по сравнению с временем переходного процесса в системе, то можно использовать обычное уравнение ФПК, параметры которого зависят от интегральных характеристик корреляционных функций внешних возмущений, так как при t > т ор важными являются не корреляционные функции, а их интегральные характеристики. [c.164]

Другим важнейшим обобщением С. п. п. является т. и. приближение случайных фаз (ПСФ), к-рое представляет собой развитие идеи усреднения соответствующих операторов упорядочения. При этом усреднение операторов осуществляется не в гамильтониане, а при записи квантового уравнения движения. Наиб, завершение эта идея получила в методе ф-ций Грина. В квантовой теории магнетизма ПСФ носит название приближения Тябликова, в теории сверхпроводимости — Бардина — Купера — Шриффера модели, в теории неупорядоченных систем — приближения когерентного потенциала. ПСФ соответствует учёту влияния на каждое одаочастичное состояние не только ср. статич. поля, как в С. п. п., но и переменных (осциллирующих) добавок к нему, возникающих благодаря частичному учёту корреляции между движениями различных (квази) частиц. [c.655]

Для значений времен порядка е изменение х носит детерминированный характер но в масштабе времен изменения у изменение X случайное. Можно предположить, например, что оно случайно уже на временах порядка Уе. Если это так, то во втором уравнении системы (3.11) х можно считать случайной величиной с очень маленьким временем корреляции типа белого шума, и тогда у — случайный марковский процесс, а компоненты у — это случайные немарковские процессы. Это имеет место, если система относительно у — преобразователь стохастичности. Но она может быть и генератором стохастичности, и тогда ее стохастичность другого типа, характеризуемая тем, что плотность вероятности смены состояния является б-фзгакцией. Подчеркнем, что эта плотность вероятности является б-функцией в масштабе временных изменений переменных у лри малых воздействиях х. [c.78]

По поводу этого уравнения авторы работы делают следующее заключение ...Полученное нами уравнение является одномерным обобщенным уравнением Фоккера — Планка в случае переменных структурных чисел [Кв — структурные числа). Оно справедливо, если время корреляции Хкор много меньше постоянных времени системы и если не интересоваться интервалами времени порядка времени корреляции другими словами, если можно считать случайную функцию х 1) марковским случайным процессом. Вывод уравнения, приведенный здесь, интересен тем, что в нем не используется понятие процесса Маркова. Общепринятый аппарат процессов Маркова заменен аппаратом обобщенных корреляционных функций, позволяющим проводить исследования в общем случае, переходящем при определенных условиях в случай процессов Маркова... . Оценка [c.35]

Характерным свойством открытой системы с большим числом (Л оо) независимых динамических переменных (г,р) является ее динамическая неустойчивость из-за перемешивания (экспоненциальной расходимости близких в начальный момент фазовых траекторий), так что любое начальное распределение функции плотности вероятностей в фазовом пространстве стремится к предельному равновесному распределению, то есть наиболее хаотичному состоянию с максимальной энтропией (в смысле Больцмана-Гиббса-Шенона). Турбулизацию движения жидкости или газа можно представить также как результат изменения топологии фазовых траекторий, приводящего к перестройке аттракторов и качественному изменению бифуркации) состояния движения. Корреляции скорости в любой точке потока ограничены малыми временными интервалами, зависящими от начальных условий, за пределами которых причинную связь между полем скоростей в различные моменты времени, в том числе корреляцию с предыдущим движением, установить невозможно. Все это подкрепляет представление о стохастическом характере пульсаций скорости в турбулентном потоке, которые возникают как результат потери устойчивости ламинарного движения гидродинамической системы при изменении внешних управляющих параметров (например, числа Ке). С этой точки зрения турбулентное движение является более хаотическим, чем ламинарное - турбулентность отождествляется с хаосом (или шумом). Отражением стохастической природы турбулентности служит плотное переплетение фазовых траекторий с различным асимптотическим поведением (топологией) и структурой окружающих их областей притяжения (аттракторов). Такое поведение траекторий в фазовом пространстве означает, что система обладает эргодичностью, то есть почти для всех реализаций случайного поля временные средние равны соответствующим статистическим средним, ее временные корреляционные функции быстро затухают, а частотные спектры непрерывны. Эргодическое свойство, по-видимому, является одной из характерных черт стационарного однородного мелкомасштабного турбулентного поля (см., например, Кампе де Ферье, 1962)). [c.21]

Если производная dZ/dt не мала, то этот член, будучи зависящим от двух других переменных F и Z со сложным поведением во времени, играет роль переменной вынуждающей силы. Если не учитывать корреляции между dZ/dt и X, то последнее слагаемое в (364) выглядит как случайная сила. Другими словами, материальная точка в двугорбой потенциальной яме движется под действием случайной силы, а коэффициент трения может быть как положительным, так и отрицательным. Этим и объясняется качественный характер движения странного аттрактора, хотя для количественного его анализа предпочтительнее вернуться к исходной системе уравнений (359). [c.323]

Кажущаяся стохастичность движения в подобных сложных системах дает основание говорить о принципиально новом подходе к статистической. механике и поэтому привлекает, к себе все более широкий круг исследователей в этой области. Сложность движения вблизи неустойчивых периодических решений и тот факт, что эти неустойчивые траектории образуют в фазовом пространстве всюду плотное множество, служат серьезным доводом в пользу такой точки зрения. В последнее время значительные усилия были направлены на выяснение связи стохастического движения с по-казателялш Ляпунова, которые определяют скорость экспоненциальной расходимости близких траекторий. Это важно также и с практической точки зрения для вычисления усредненной по фазам скорости диффузии по переменным действия. В прошлом такие вычисления проводились в предположении о случайности фаз. Ясно, что это предположение несправедливо при наличии инвариантных кривых, ограничивающих область изменения фаз. Даже в случае полной эргодичности, когда движение охватывает всю энергетическую поверхность, необходимо еще определить масштаб времени, на котором фазы становятся случайными. Проведенные численные и аналитические исследования позволили глубже понять проблему убывания фазовых корреляций вблизи инвариантных поверхностей. Эти вопросы будут рассмотрены в гл. 5. [c.18]

Рассмотрим решение (2.10) уравнения (2.9) при I > Хс-Возьмем среднее по всем процессам затухания. Корреляцией между р (0) можно пренебречь. В принципе начальное значение р (0) определяется непосредственно предшествовавшими значениями М 1), которые в свою очередь коррелируют с непосредственно следующими за ними значениями (/ ). Однако корреляция между (/ ) и р (0) исчезает при > Тс, и основной вклад в интегралы в (2.10) дают интервалы времени, для которых 1" > Хс, I > Тс, но 1 — 1" < Тс. Перейдбм от переменной к т = I — 1". Предел интегрирования по т по этой же причине может быть распространен до +оо. Если члены высшего порядка в (2.10) пренебрежимо малы, то усредненное решение для 2> Тс при случайном возмущении равно [c.62]

Хотя задача расцепления корреляций между случайными аоздействиями и динамическими переменными в общем случае сложна, она эффективно решается для многих моделей случайных воздействий. К их числу относятся модель гауссовского белого шума и ряд других моделей, о которых далее будем говорить. Анализу стохастических уравнений с такими моделями и посвящена книга. [c.11]

Таким образом, связь между переменными случайными величинами X н У выражается по-разному в зависимости от того, по значениям какой величины ранжируется совокупность. Этот пример объясняет, почему корреляционное отношение характеризует связь между признаками X и У двусторонне, т. е. У по X и. У по У отсюда два коэффициента этого показателя кух и кху. Коэффициент корреляции, как и корреляционное отношение,— величина относительная. Но в отличие от коэффициента корреляции корреляционное отношение всегда является величиной положительной, способной принимать значения от О до 1. Коэффициент корреляции— равнозначная мера для обоих корреляционно связанных признаков X мУ, тогда как коэффициенты корреляционного отношения обычно не равны друг другу, т. е, кхуфкух. Равенство между этими показателями осуществимо только при строго линейной зависимости между признаками. Корреляционное отношение является универсальным показателем оно позволяет характеризовать любую форму корреляционной связи — и линейную, и нелинейную. [c.229]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...