Совместная случайная переменная

Совместная функция распределения Риу и, у) для совместной случайной переменной ИУ определяется как [c.23]

Заметим, что действительная и мнимая части круговой комплексной гауссовской случайной функции не коррелированы и, следовательно, независимы. Если же 11] и Уд — две такие совместные случайные переменные, то действительная часть величины и1 может иметь любую степень корреляции с действительной и мнимой частями переменной Уд, если только в соответствии с (2.8.15) выполняются условия [c.50]

Для дальнейшего анализа рассмотрим две разные интерпретации выражения (8.3.4). Во-первых, правую часть этого выражения можно представить как тесно связанную с характеристической функцией второго порядка совместных случайных переменных (pi = (p(xi, ii) и ф2 = ф(л 2, г/2). Обращаясь к выражению (2.4.22), мы видим, что [c.355]

Рассмотрим определение характеристик для одномерного объекта, когда плотность вероятности случайных переменных л- и г/ и их совместное распределение нормальны [c.70]

Уравнение (9.4.11) для ноля скоростей совместно с уравнением (9.4.8) для давления и выражением (9.4.15) для корреляций случайных сил лежат в основе статистической теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Хотя уравнение (9.4.11) на первый взгляд кажется не сложнее, чем гидродинамическое уравнение Навье-Стокса, тот факт, что теперь v(r, ) — случайная переменная сильно усложняет задачу. Дело в том, что для поля скоростей v, усредненного по некоторому промежутку времени или по реализациям, не удается получить замкнутого уравнения. Действительно, после усреднения (9.4.11) (скажем, по реализациям) в уравнение для v войдут корреляционные функции пульсаций Jv = v —v типа ( 6v 6vp). В уравнения для этих функций войдут корреляционные функции более высоких порядков и т. д. Мы получим так называемую цепочку уравнений Рейнольдса проблему замыкания которой до сих пор не удается решить. Дело также осложняется тем, что в задаче фактически нет малого параметра, поэтому не удается воспользоваться теорией возмущений. Как известно, в таких случаях необходим метод, позволяющий сравнительно просто получать общие соотношения и строить самосогласованные приближения, не опирающиеся на теорию возмущений. С этой точки зрения формулировка теории турбулентности на основе стохастического уравнения (9.4.11), при всей ее внешней простоте, мало что дает. Гораздо удобнее перейти к описанию турбулентного движения с помощью функционала распределения для поля скоростей и вывести для него уравнение Фоккера-Планка, которое в компактной форме содержит информацию о всей цепочке уравнений Рейнольдса. [c.258]

Совместное распределение двух и большего числа случайных переменных [c.23]

Пусть и и V — случайные переменные, характеризуемые совместной плотностью распределения puv u,v). Смешанные моменты величин и и V определяются выражением [c.27]

Иногда мы будем рассматривать совместную характеристическую функцию двух случайных переменных и и V, определяемую как [c.30]

Наконец, совместная характеристическая функция п-го порядка случайных переменных Их, и ,. .., 11 п определяется следующим образом [c.30]

Рассмотрим две случайные переменные ]1 и Z, подчиняющиеся совместному распределению, которые функционально связаны с двумя исходными случайными переменными С/ и V соотноше- [c.35]

Кроме того, говорят, что п случайных переменных /ь 112,. ... .., Оп являются совместно гауссовскими, если их совместная характеристическая функция имеет вид [c.42]

Наиболее важной для нашего дальнейшего изложения является форма 2.7.7), когда мы имеем две совместно распределенные гауссовские случайные переменные U и V, каждая из которых имеет нулевое среднее значение и сг = = (Т = (Т . В этом случае плотность распределения (2.7.7) становится равной [c.43]

Д.. Для совместно гауссовских случайных переменных 1 и И2,. .., Ип совместные моменты порядков выше второго могут быть выражены через моменты первого и второго порядков. Момент вида иЩ .. ы может быть получен путем частного дифференцирования характеристической функции следующим образом [формула (2.4.23)] [c.46]

Для математического описания статистических свойств случайной переменной U удобнее всего пользоваться совместными статистическими свойствами действительной и мнимой частей. Так, если U =/ - - jl — комплексная случайная переменная, которая может принимать конкретные комплексные значения u = r + /i, то для полного описания переменной U нужно указать либо совместную функцию распределения переменных R и I [c.47]

Если имеется п комплексных случайных переменных 11], 112, и , которые принимают конкретные значения Ц] = — + и2 = Г2-+- 12 И Т. Д., ТО совместная функция распределения может быть записана в виде [c.47]

Говорят, что п комплексных случайных переменных Уд,. ... .., и являются совместно гауссовскими, если их характеристическая функция имеет вид [c.48]

Назовем совокупность величин и (/г =1,2,. .., п) совместно круговыми комплексными случайными переменными, если выполняются следующие специальные соотношения [c.49]

Учитывая, что г и / представляют собой суммы многих независимых случайных вкладов, мы приходим к выводу, что в силу центральной предельной теоремы г и i будут приблизительно гауссовскими случайными переменными при больших значениях Л ). Чтобы определить детальный вид совместной плотности распределения для г и i, мы должны сначала вычислить г, /, (Т , и их коэффициент корреляции р. [c.52]

Отметим одну тонкость. Хотя очевидно, что маргинальные распределения величин г и / асимптотически являются гауссовскими, нами ие доказано, что эти две случайные переменные являются совместно гауссовскими. Такое доказательство приведено в приложении Б. [c.52]

Заметим, что совместная плотность распределения Рле(а. 6) может быть представлена в виде простого произведения маргинальных плотностей распределения Рл(а) и ре(0). Следовательно, Л и 0 являются независимыми случайными переменными, как и действительная и мнимая части Я и I, рассмотренные в п. Б. [c.56]

Пусть случайные переменные Ух и /г являются совместно гауссовскими с нулевыми средними значениями, одинаковыми дисперсиями и коэффициентом корреляции р =5 0. Рассмотрим случайные переменные Ух и Уг, определяемые преобразованием поворота вокруг начала координат в плоскости (ы , 2) [c.62]

Чаще же требуется плотность распределения второго порядка переменной И при значениях и 2 параметра и На рис. 3.1 представлен набор возможных функций и указаны два значения параметра /1 и /а. Плотность распределения второго порядка — это совместная плотность распределения случайных переменных И 1 ) и V (2) Вообще говоря, указанная плотность распределения зависит как от так и от 2 и поэтому обозначается символом ри(ыь г Л, 2), где ы1 = ы( 1), Ы2 = ы(4). При [c.66]

Плотности распределения (3.6.1) соответствует совместная характеристическая функция п совместно гауссовских случайных переменных [c.86]

Кроме того, поскольку Т Тс, величина Л12(Т ) определяется как результат интегрирования величины и(Рь <)и (Р2, О по многим независимым флуктуационным интервалам. Непосредственно из центральной предельной теоремы следует, что при таких временах интегрирования величину Л12 Т) приближенно можно считать комплексной гауссовской случайной переменной. Однако комплексная гауссовская случайная переменная не является, вообще говоря, круговой (т. е. Ф и ее среднее значение не равно нулю. Благодаря отсутствию корреляции между величинами Я 2 Т) и 2 Т) (и, следовательно, в предположении о гауссовском распределении, благодаря их статистической независимости) мы можем написать приближенно совместную плотность распределения в виде [c.251]

Имеется одна тонкость, касающаяся метода случайных блужданий. В гл. 2, 9 было показано, что если число членов в сумме (Б.2) быстро растет, то, согласно центральной предельной теореме, распределение действительной и мнимой частей суммы асимптотически стремится к гауссовскому распределению. Это справедливо независимо от того, имеют ли фазы, связанные с индивидуальными вкладами, одинаковые распределения. Но по предположению действительная и мнимая части асимптотически являются совместно гауссовскими случайными переменными, т. е. они вместе описываются гауссовской плотностью распределения второго порядка [формула (2.9.5)]. В то время как гауссовский характер их маргинальных плотностей следует из центральной предельной теоремы, их совместный гауссовский характер менее очевиден. [c.507]

Таким образом, мы доказали, что действительная и мнимая части случайных блужданий являются совместными гауссовскими случайными переменными. [c.508]

Совместно гауссовские случайные переменные 42, 44, 46 --круговые комплексные случайные переменные 49 Совместное распределение 23 Спектр мощности Кармана 368 --Колмогорова 367 [c.518]

Согласно формуле (2.1.22), для вычисления среднего числа положительных пересечений (Н) заданного уровня Н стационарным процессом Г) ( ) на интервале времени [О, Т] = [О, 1] необходимо предварительно найти совместную плотность вероятности (г), Г) ) = р (т) ( ), Г) ( )) для значений процесса т] t) и его производной т) ( ) в совпадающие моменты времени. Используя определение (1), функцию р (г), г) ) можно получить следующим путем [75]. Сначала записывается совместная плотность вероятности 2п взаимно независимых нормально распределенных случайных переменных t) и ( ). Затем в этой плотности вероятности выполняется переход к интересующим нас переменным П (О и т] t) при помощи надлежащей замены переменных (перехода к сферическим координатам). Окончательное выражение для Р (г). Г) ) = р %, % ) имеет при этом вид [c.75]

Однако на практике уравнения (2.28), (2.29) и совместной плотности распределения независимых случайных переменных обычно неизвестны и для получения математического ожидания выходных параметров технологического процесса ГКМ необходимо более обоснованно выбирать эти уравнения [14]. В этой же работе приводится алгоритм построения вероятностно-статистических моделей технологического объекта ГКМ. [c.59]

Если имеются две случайные переменные X и К, то их совместная плотность вероятностей есть [c.222]

На рис. В.7 приведена простейшая электронно-магнитная схема камертонного регулятора с распределенной массой на одной электронной лампе. Представленная схема относится к автоколебательным системам. При колебании ветви / камертона вследствие изменения зазора А изменятся магнитный поток и в обмотках электромагнита 2 возникает переменная э. д. с., которая, поступая на сетку электронной лампы (триода) 5, вызывает колебания анодного тока лампы, частота которого равна частоте изменения э. д. с. и, следовательно, частоте колебаний ветви камертона. Анодный ток, протекая по обмоткам электромагнита 4, создает переменное магнитное поле, приводящее к переменной силе притяжения, которая раскачивает ветвь 5 камертона на резонансной частоте. Колебания ветви 5, в свою очередь, усиливают колебания ветви 1, что приводит к возрастанию э. д. с. в цепи сетки лампы. При установившемся режиме в системе возникнут совместные механические п электрические колебания с частотой, близкой к частоте свободных колебаний ветви камертона. Если прибор с камертоном находится на ускоренно движущемся объекте, то действующая на ветви камертона инерционная нагрузка q (рис. В.7) изменяет зазоры, что приводит к отклонению режима работы системы от расчетного, поэтому требуется оценить возможные погрешности в показаниях прибора, возникающие нз-за сил инерции (в том числе и случайных). [c.6]

В случае неск. случайных величин. .., 2 их совместная X. ф. от J переменных определяется ф-лой [c.403]

Случайные процессы. Совокупность случайных величин, зависящих от одного вещественного параметра t, есть случайный процесс, т. е. случайный процесс — это случайная функция X(t) от независимого переменного t. Случайный процесс X[t) считают полностью заданным, если для любых (i, и любого п задана совместная [c.131]

Совокупность совместных плотностей вероятности обобщенных координат и скоростей исчерпывающе характеризует поведение механической системы при случайных воздействиях. Наряду с этим важную информацию несут моментные функции переменных, характеризующих эволюцию системы во времени. Для составления уравнений относительно моментных функций можно использовать записанные в предыдущем параграфе соотношения теории марковских процессов. [c.22]

Вывод и анализ моментных соотношений для нелинейных систем при помощи спектрального метода основаны на представлении произведения случайных функций через интегралы типа свертки. Такое представление возможно лишь для рациональных функций, описывающих нелинейные характеристики. Если нелинейные зависимости выражаются через неаналитические функции, то для составления уравнений относительно моментов фазовых переменных может быть использован корреляционный метод в сочетании с подходящей аппроксимацией совместной плотности вероятности исследуемых процессов. Поясним этот подход на примере системы с одной степенью свободы. [c.105]

Каждому исходу Л первого эксперимента припищем численное значение и (Л), а каждому исходу В второго эксперимента — значение v B). Совместная случайная переменная иУ определяется как совокупность всех возможных совместных чисел (м, V) вместе с соответствующей мерой вероятности. [c.23]

Круговые комплексные гауссовские случайные переменные часто встречаются на практике. Важное свойство таких случайных переменных выражается теоремой о комплексных гауссовских моментах, которая может быть доказана на основании теоремы о действительных гауссовских моментах [формула (2.7.13)] и условий циркулярности (2.8.14) и (2.8.15). Пусть 1]], Цд,. ... .., — совместные круговые комплексные гауссовские случайные переменные с нулевым средним значением. Тогда [c.50]

Чтобы доказать совместную гауссовость, сделаем упрощающее предположение о том, что фазы ф — однородно распределенные независимые случайные переменные. Сохраним предположение о том, что амплитуды а не зависят от фаз и друг от друга. Совместная характеристическая функция действительной и мнимой частей г и i дается выражением [c.507]

Здесь U (t) — вектор обобщенных координат (матрица-столбец размерностью п) f (/) — вектор обобщенных сил той же размерности А, В и С — постоянные матрицы (соответственно инерционная, диссипативная и квазиупругая). Случай переменных коэффициентов представляет особые трудности и будет рассмотрен отдельно в гл. XIX. Векторы U ( ) и f (i) являются случайными процессами. Уравнения (3) рассматривают либо совмесгно с начальными условиями, либо (для стациопарных процессов) совместно с условиями стационарности, требующими инвариалтноств вероятностных характеристик процессов и (/) и f (/) относительно выбора начального момента времени. [c.287]

Таким образом, все расчеты по определению параметров базового процесса Uq (0 могут быть доведены до конца, после чего распределение неизвестной функции и (t) может быть построено на основе формулы преобразования плотности вероятности для функции случайного аргумента. То же самое относится и к совместным плотностям вероятности переменных и (t), й (t), й (t), которые определяются через совместные 1асп11ед,елвния аргументов [c.116]

В результате традиционная элементная база оптики — сферические преломляюш,ие и отражающие поверхности — уже не может удовлетворить возросшим и, самое главное, значительно более разнообразным требованиям. Не случайно в последнее время идет усиленный тюиск как в области теории, так и в области технологии изготовления новых, нетрадиционных оптических элементов. Можно выделить три направления этого поиска асферические преломляющие поверхности, линзы с переменным показателем преломления (градиентные линзы) и дифракционные оптические элементы. Ни одно из этих направлений еще не вошло в повседневную практику (асферические поверхности используют, по-видимому, в наибольшей степени) и ни одно из них не способно самостоятельно решить все проблемы, стоящие перед оптическим приборостроением. Требуется совместное развитие и совершенствование всех трех типов нетрадиционных оптических элементов. [c.5]

Поскольку случайный характер переменных иц определяется влиянием помеховой составляющей и согласно предположению (2.55) измеренные значения некоррелированы, то совместная плотность распределения с учетом (2.62) будет [c.90]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...