Оператор эволюции квантовый

Формальное интегрирование квантового уравнения Лиувилля (1.2.66) возможно и в случае, когда гамильтониан Ht явно зависит от времени. Для этого введем унитарный оператор эволюции который удовлетворяет уравнению [c.38]

Итак, эргодическое условие (2.4.45) привело к интегральному уравнению для статистического распределения. С другой стороны, мы имеем явное выражение (2.4.40) для g t) которое было выведено из эргодического условия (2.4.36). Чтобы показать, что распределение (2.4.40) совпадает с решением уравнения (2.4.46), мы рассмотрим для определенности квантовый случай, когда оператор Лиувилля и оператор эволюции определяются формулами [c.133]

На этом этапе удобно выразить L через коммутатор с Я, а для квантового оператора эволюции использовать представление [c.141]

Хотя это выражение имеет довольно компактный вид, его не всегда удобно использовать, так как оно содержит точный двухчастичный оператор эволюции. Пашей ближайшей задачей будет выразить интеграл столкновений через квантовую Т-матрицу, определяющую сечение рассеяния ). [c.270]

Унитарный оператор эволюции во времени 1А 1, to) связывает квантовые состояния 0( о)) и ф 1)) в два разных момента времени to < [c.75]

Оператор эволюции во времени в квантовой электродинамике [c.88]

Зная в начальный момент времени i = О состояние ф) квантовой системы, мы должны уметь определять состояния г/ ), i > 0. Введем (линейный) оператор эволюции [c.102]

Теперь необходимо дать физическое толкование параметру т Малые значения т соответствуют сильной анизотропии взаимодействия в плоской решетке, когда взаимодействие строк >. Физически это эквивалентно стремлению к нулю параметра решетки между строками, поэтому т следует сопоставить с параметром решетки (безразмерным). Г-матрица связывает строки п, тг+1, разделенные параметром т. Представление ее в форме (14.13) имеет аналогию с оператором эволюции (с мнимым временем т). Отсюда < 1 следует рассматривать как некоторый квантовый гамильтониан. Конкретная форма его (14.14) показывает, что это есть гамильтониан одномерной квантовой модели Изинга в поперечном поле, приложенном вдоль оси X, [c.156]

Картина динамики Шредингера. Эволюция системы во времени описывается уравнением Шредингера (23.3), в котором операторы ШI dr, и Р от времени явно не зависят. Оператор Й для консервативной системы также не зависит явно от времени. Но в принципе уравнение (23.3) справедливо и при явной зависимости Й от времени. Вся эволюция системы описывается изменением вектора состояния Т ( ) > во времени, в то время как операторы динамических переменных от времени не зависят. Следовательно, вся квантовая динамика системы представлена изменением во времени вектора состояния, Такая картина квантовой динамики системы называется картиной Шредингера. Уравнением, описывающим квантовую динамику системы в этой картине, является уравнение Шредингера (23.3). [c.153]

Это соотношение совершенно общее. Оно не отличается от классического соотношения (14.2.4). Квантовый оператор Лиувилля свободной эволюции опять диагонален как относительно числа частиц S, так и относительно корреляционного индекса Га. [c.138]

Обобщенные уравнения переноса. Покажем, как с помощью уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени можно вывести систему уравнений эволюции для наблюдаемых РтУ Мы воспользуемся формализмом, основанным на операторе Лиувилля, так что все дальнейшие рассуждения будут относиться в равной степени к квантовым и к классическим системам, если интерпретировать статистическое распределение q и операцию Тг соответствующим образом. [c.108]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря, неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором ( о) Хотя эта задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать. [c.62]

В общем случае движение иона в ловушке Пауля имеет два масштаба времени. Есть медленное — так называемое секулярное движение, с частотой, которая определяется усреднённым по времени связывающим потенциалом, и быстрое микродвижение, которое зависит от радиочастоты переменного напряжения, приложенного к ловушке. Чтобы разобраться в сути квантовой составляющей этого движения, сначала обсудим эволюцию во времени операторов координаты и импульса для гармонического осциллятора с частотой, зависящей от времени. Такой осциллятор служит в качестве некоторой модели для ловушки Пауля. Мы покажем, что квантовое движение характеризуется тремя вещественными параметрами, которые соответствуют повороту, сжатию и ещё одному повороту в фазовом пространстве. Кроме того, будет видно, что при подходящем выборе базиса зависимость этих параметров от времени становится достаточно простой, а в некоторых случаях [c.533]

Итак, коллапс волновой функции — это скорее свойство окружения квантового объекта, а не самого объекта именно внешний мир превращает сначала ф в набор вероятностей / ,, а затем неравновесной эволюцией превращает их в набор из нулей и одной единицы для того состояния, в которое происходит коллапс. Коллапс — это случайный процесс типа "бросания костей". Именно он и остается "за кадром" в традиционном аппарате квантовой теории, являющейся теорией обратимых процессов. Чтобы учесть коллапсы, нужно явно дополнить уравнения эволюции соответствующими операторами, которые учитывали бы реальное необратимое развитие квантовых систем во времени. Как это можно сделать, мы увидим позднее. [c.121]

Генератор Я эволюции во времени векторов ( волновых функций ) в Квантовой механике отождествляется с гамильтонианом. По аналогии с классической механикой генератор З эволюции состояний называется оператором Лиувилля. [c.14]

В квантовом случае для неравновесного статистического оператора существует еще одно представление. Как уже отмечалось, квантовый оператор Лиувилля (1.2.69) является супероператором действующим на динамические переменные. Поэтому в конкретных задачах более удобно записывать статистический оператор (2.3.16) через обычные операторы эволюции, которые действуют на векторы состояний. Чтобы получить требуемое представление для g t) напомним, что для любого квантового оператора [c.107]

Операторы эволюции U t) и U t) по-прежнему находятся по формулам (4.2.30), но теперь второй оператор выражается через резольвенту R z), так как матрица W не эрмитова. Дальнейшие преобразования полностью аналогичны выводу квантового уравнения Больцмана (см. раздел 4.2.2). В результате мы приходим к кинетическому уравнению [c.294]

Связь мультинтеграла Вольтерра-Шлезингера с представлением оператора эволюции во времени в квантовой электродинамике в виде бесконечного произведения [c.89]

В этом разделе мы обсудим вопрос о том, какими общими свойствами должен обладать оператор измерения М. Прежде всего отметим, что в уравнении (145) оператор М 1/) входит в виде слагаемого наряду с кинетической энергией и полной энергией Нсо. Поэтому оператор М должен иметь размерность энергии, т.е. отношения Й//о, где о — некоторое характерное время измерения. Таким образом, вмешательство оператора М ф) в эволюцию квантовой частицы в общем случае должно возмущать не только волновую функцию, но и энергию этой частицы. Другими словами, измерение некоторого квантового объекта может сопровождаться обменом энергии с внешним окружением. Однако величина этой энергии может быть исчезающе мала, если либо измерение производится очень долго, либо коллапсирование происходит на столь широкие волновые пакеты, что соответствующим изменением энергии можно пренебречь. Например, при измерении физической величины I/, оператор которой коммутирует с гамильтонианом частицы, возмущения энергии не происходит и соответствующее измерение может происходить без разрушения стационарного состояния. [c.156]

Появление случайных операторов проектирования можно учесть в уравнении (328) дополнительным слагаемым типа Мф. После этого обобщенное уравнение Шрёдингера перестает быть обратимым, и соответственно эволюция квантового поля, описываемая соотнощениями (330), (331), имеет место только между коллапсами. В общем же случае многих взаимодействующих частиц эволюция квантовой системы становится гораздо сложнее, а главное, она перестает быть обратимой. Необратимость возникает в конечном счете вследствие информационной связи данной квантовой системы с неравновесным внешним миром. [c.305]

В традиционных вариантах теории поля все допущения теорем, доказанных в данном пункте параграфа, считались сами собой разумеющимися. В частности, до выхода работы Хаага молчаливо предполагалось, что все имеющие физический смысл представления канонических соотношений унитарноэквивалентны. Именно это и было одной из причин того, что представлениям в пространстве Фока на раннем этапе развития теории поля уделялось столь большое внимание, а все остальные представления назывались странными . Появление теоремы Хаага в значительной мере потрясло традиционные основы теории поля, поскольку эта теорема утверждает, что два квантовых поля (операторы эволюции во времени которых по предположению унитарны), унитарно-эквивалентных в любой заданный момент времени, оба свободны, если одно из них предполагается свободным. Теорема Хаага показывает, что картина взаимодействия, используемая в обычной теории поля при описании процессов рассеяния, пригодна лишь в случае свободных полей, и, стало быть, 5-матрица не может быть нетривиальной, если не насиловать формализм. [c.323]

Якоби, в котором ищут такое каноническое преобразование, которое обращало бы функцию Гамильтона системы в нуль — такая функция Гамильтона не зависит от времени явно, сохраняется, но не имеет никакого отношения к энергии системы. Теперь мы видим, в чем тут дело — в классической механике из двух гамильтонианов Яр и Ящ остается аналог только гайзенбергова гамильтониана Яг — он-то и обращается в нуль в процедуре Гамильтона — Якоби, которая аналогична переходу к шредингеровой картине. В квантовой теории в этой картине возникает другой гамильтониан Яш, который управляет временной зависимостью векторов состояния, — но векторы состояния не имеют классического аналога, и поэтому в классическом рассмотрении этот новый объект исчезает из виду. Впрочем, это исчезновение не совсем бесследно в классическом описании сохраняется величина, связанная с квантомеханическим оператором эволюции U(t,to) (мы не будем сейчас устанавливать характер этой связи)—это производящая функция ф канонического преобразования Гамильтона — Якоби, которая удовлетворяла там уравнению Гамильтона — Якоби (1.77). Поэтому именно это уравнение оказывается классическим следом уравнения Шредингера и может быть получено из него соответствующим предельным переходом. [c.466]

Очевидно, что уравнение Лиувилля (32) Lt-инвариантно. Действительно, если знак оператора Лиувилля L изменить на обратный (в классической механике это можно сделать путем инверсии скорости), а также изменить на обратный знак t, то уравнение Лиувилля не изменится. С другой стороны, легко можно показать [18], что слагаемое в уравнении Больцмана, учитывающее столкновения (правая часть в (29)), нарушает Lt-симметрию, так как оно четно по L. Поэтому ранее поставленный вопрос имеет смысл перефразировать следующим образом как можно нарушить Li-симметрию, свойственную явлениям, служащим объектом изучения классической или квантовой механики Наша точка зрения на этот вопрос состоит в том, что динамическое и термодинамическое описания систем в определенном смысле являются эквивалентными описаниями эволюции системы, связанными друг с другом пеупитарпым преобразованием. Разрешите мне вкратце показать, как мы можем приступить к решению этой задачи. Метод, которым я буду пользоваться, был разработан в тесном сотрудничестве с моими коллегами, работаюп1ими в Брюсселе и Остине [20-22]. [c.147]

ГЕЙЗЕНБЕРГА ПРЕДСТАВЛЕНИЕ квантовой механики — один из осп. способов описания кваитовомеханич. явлений, заключающийся в том, что вместо изменения,, во времени вектора состояния фи.э. системы (как в Шрёдингера представлении) расс.мат-ривается эволюция операторов, отвечающих физ. величинам. [c.421]

Во взаимодействия представлении оператор вре.меннбй эволюции S(i,i ) произвольной квантовой системы удовлетворяет дифференц. ур-нию [c.23]

Операторы A представляют собой я-кратные интегралы от (я — 1)-кратных коммутаторов операторов W t), взятых в разные моменты времени. В нек-рых случаях ряд в экспоненте (2) обрывается и оператор временной эволюции записывается в конечном виде. Так происходит, наир., в задаче об эволюции гармония. осциллятора, на к-рый действует произвольная ввеш. сила 14], ив задаче об эволюции в поле, линейном по координатам г и импульсам р произвольной квантовой системы с гамильтонианом, квадратичным по г и р [5]. М. р, используется при построении теории внезапных возмущений в процессах встряски типа рассеяния (см. Внезапных возмущений метод). В нулевом порядке по параметру мгновенности сот < 1 (т — х актерное время взаимодействия, йсо — типичные собств. значения невозмущёвного гамильтониана) оператор временной эволюции отличается от (2) заменой в Ап (ф-лы (3)) W t) на [c.24]

Если все tjiц О, т. е. если все попарные коммутаторы равны нулю, то соответствующая группа наз. абелевой или коммутативной. Тогда в каждом представлении можно одновременно привести генераторы А , А к диагональному виду. Физически это означает, что величины А ,. .., А могут иметь одновременно точные значения. Если в числе генераторов есть гамильтониан П квантовой системы, то в состояниях с фиксиров. энергией / все др. физ. величины из числа генераторов А ,. .., А также могут принимать вполне опре-дел. значения. Поскольку гамильтониан уиравляет временной эволюцией системы, все величины А ,. .., А оказываются интегралами движения, т. е. сохраняются с течением времени. Так, в задаче о движении частицы в центр, поле попарно перестановочными являются гамильтониан Й, оиератор квадрата момента импульса и оператор а проекции момента импульса на к.-л. ось. Поэтому в пространстве состояний существует базис, составленный из собств. векторов сразу трёх операторов Й, и 3. Это позволяет использовать стандартную классификацию состояний частицы с помощью трёх квантовых чисел — главного п, орбитального (азимутального) I и магнитного т. [c.575]

Проведенный анализ позволяет теперь считать известным оператором действительно, его матричные элементы могут быть построены с помощью систематической процедуры. Явный вид, этих матричных злементов в квантовом случае существенно более сложен, чем в классическом. Подобное неизбежное усложнение обусловлено принципом Паули. Тем не менее мы можем утверждать, что структура квантовых и классических уравнений одинакова. Уравнение (14.3.4) в том виде, как оно записано, справедлив в обоих случаях, различен лишь смысл формальных символов. Этот фундаментальный факт позволяет нам в гл. 15—17 развить общую теорию временнбй эволюции, не проводя различия между классическим и квантовым случаями, в обоих случаях теория совершенно одинакова. Лишь в гл. 18 и 19 будет проведено конкретное рассмотрение классической и квантовой теории. [c.143]

Переходя к кинетической теории плотных квантовых систем с сильным взаимодействием между частицами, мы должны иметь в виду, что динамику многочастичных корреляций и эволюцию одночастичной матрицы плотности теперь приходится описывать, по существу, на одной и той же шкале времени ). Если в начальном состоянии отсутствуют корреляции между частицами, то для восстановления всех долгоживущих корреляций требуется значительное время. Иначе говоря, квантовая кинетическая теория, основанная на граничном условии, которое вводится с помощью квазиравно-весного статистического оператора (4.1.32), будет существенно немарковскощ т. е. в кинетическом уравнении для одночастичной матрицы плотности важную роль будут играть эффекты памяти. Решать немарковские кинетические уравнения очень сложно. В большинстве задач эффекты памяти удается учесть только в первом приближении, т. е., фактически, для слабо неидеальных систем ). Поэтому кажется разумным попытаться сохранить марковский вид уравнений эволюции, расширив набор базисных динамических переменных. В контексте классической кинетической теории эта идея уже обсуждалась в разделе 3.3.4. Теперь мы хотим распространить ее на квантовые системы. [c.288]

Начнем с обозначений и определений. В дальнейшем операторы рождения и уничтожения в термодинамическом представлении Гайзенберга (6.1.18) будем записывать как и а к) где аргумент к) = (Ij Xj ) содержит квантовые числа одночастичных состояний и переменную которая определяет эволюцию операторов с полным оператором энтропии ). Те же самые операторы в термодинамическом представлении взаимодействия (6.1.45) будут обозначаться как а к) и aj k). Наконец, обозначения а = и оставим для операторов в представлении Шредингера. [c.18]

Преобразование /(X) под действием 2 о сводится, в силу первого порядка этого дифференциального оператора, к движению начальных значений X по классическим траекториям. В квантовом случае для нелинейных систем — 2 о — о" 0, и движение сопровождается дополнительной квантовой диффузией, описьгоаемой оператором 2 d, разложение которого по степеням д/дХ содержит только нечетные степени, начиная с третьей. Эта диффузия носит обратимый характер 2 = —2 , т. е. S — ан-тиэрмитов оператор. Собственные значения оператора чисто мнимые, т. е. Я, = со, а собственные функции удовлетворяют условию / ш (X) = / (X). Если гамильтониан 3 не зависит от времени, то эволюция к моменту времени i описывается оператором 5(i) = exp(S i), и ее обратимость означает, что возврат к начальному состоянию может быть достигнут также путем динамической эволюции с лиувиллианом S = —2 . [c.386]

Уравнение Паули. При изучении временной эволюции взаимодействующих квантовых систем в картине Шрёдингера основная задача состоит в определении временного развития вектора состояния или оператора плотности интересующей нас системы. Уравнение движения, как для полного, так и для приведённого оператора плотности, должно иметь решение в виде функции от времени. Такое уравнение называется основным кинетическим уравнением, хотя такое же название иногда применяют для уравнений движения различных вероятностных распределений. Был получен целый ряд мощных и достаточно общих основных кинетических уравнений [90-96. [c.61]

Классическая механика состоит из двух разделов кинематики, описывающей движение тел безотносительно к вызвавшим его причинам, и динамики, рассматривающей причины движения тел. Аналогично квантовая кинематика описывает квантовые состояния, а квантовая динамика — эволюцию этих состояний во времени. Квантовая кинематика основана на пяти аксиомах (1) вся информация о квантовой системе содержится в векторе состояния (2) вектор состояния является вектором в гильбертовом пространстве (3) квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности (4) наблюдаемые представляются эрмитовыми операторами (5) операторы удовлетворяют определённым коммутационным соотношениям. Квантовая динамика вытекает из уравнений Шрёдингера или фон Неймана. [c.55]

Обсудим теперь физический смысл этих решений для модели Джейнса-Каммингса-Пауля. В частности, проанализируем их в двух предельных случаях 1) когда световое поле находится в резонансе с атомным переходом и 2) когда оно имеет большую отстройку. В первом случае мы установим связь с результатами первого раздела, которые были получены с помош,ью алгебры операторов. Во втором случае эволюция во времени вектора состояния Ф) атомно-полевой системы определяется эффективным гамильтонианом, который сохраняет населённости атомных уровней и статистику фотонов. Такой гамильтониан играет важную роль в атомной оптике и квантовой электродинамике эезонаторов. [c.475]

Числовое значение любой физической величины может быть найдено только при измерении. А измерение уравнением Шрёдингера не описывается. Это обстоятельство очень четко формулировалось в начальные годы становления квантовой механики. Например, оно без всяких оговорок упоминается в статье В.А. Фока [1]. А в книге фон Неймана [2] по математическим основаниям квантовой механики утверждается, что существует два класса квантовых процессов эволюция согласно уравнению Шрёдингера и измерения, результат которых можно получить с помощью операторов проектирования. Но [c.7]

Обсуждение процессов микромира начинается с уравнения Шрёдингера — основного уравнения квантовой теории. Это уравнение описывает временную эволюцию волновой функции ф. По внешнему виду оно не сильно отличается от уравнения для классического поля (например, от уравнения Леонтовича). Но на самом деле 1/ -функция имеет совершенно другой физический смысл. Как известно, она позволяет найти значение любой физической величины L согласно рецепту L = (ф Ь ф), где L — соответствующий оператор, а угловые скобки использованы в соответствии с обозначениями Дирака. Отсюда видно, что (/ -функция имеет информационный смысл. Более загадочным является то обстоятельство, что результаты измерения физической величины Ь в общем случае дают случайные результаты, которые только в среднем сходятся к Ь. Квантовая теория предсказывает только вероятности получения того или иного результата при измерении. [c.44]

Если вернуться к разделу 24, то можно еще раз убедиться в том, что временнйя эволюция вектора состояния, т.е. волновой функции, естественно вписывается в формализм эволюции во времени символов измерения. Несколько утрируя ситуацию, можно сказать, что вся квантовая теория представляет собой формализм для описания временной эволюции намерений микромира. Даже в квантовой теории поля операторы эволюционируют во времени лишь для того, чтобы иметь возможность действовать на неподвижный вектор состояния — квинтэссенцию намерений микромира. [c.334]

При последовательном квантовом подходе здесь все величины (кроме -Р) следует считать операторами в представлении Гейзенберга, причем -Р зависит от операторов и поля и вещества. Однако в макроскопической электродинамике поля обычно считаются детерминированными величинами, усредненными по объему, меньшему но все еще содержащему много частиц. При этом Р (Е, Н) вычисляется по теории возмущения и усредняется по ансамблю с помощью матрицы плотности вещества (подробнее см. [8, 11, 13]). Получающиеся в результате макроскопические уравнения Максвелла описывают эволюцию поля под действием внешних источников с учетом затухания и их можно рассматривать как кинетические уравнения ( 2.5) для первых моментов поля. В окнах прозрачности вещества затуханием дюжно пренебречь и тогда эти уравнепия определяют унитарное преобразование полей, так что последние можно считать операторами. [c.103]

Чтобы получить приведенные выше результаты, нам пришлось отказаться от мысли вычислять эволюцию во времени Рнепосредственно в пространстве Фока, пользуясь плохо определенным гамильтонианом Я(р(к) = 1). Тем не менее мы можем представить и Ft в виде операторов, действующих в пространстве Фока голых мезонов, хотя некоторые традиционные аспекты квантовой теории поля при этом утрачиваются. Остановимся на этом несколько подробнее. [c.39]

Существующий в настоящее время рецепт определения эволюции во времени для системы, бесконечно протяженной в пространстве, можно сформулировать следующим образом. Пусть 0 — подмножество множества состоящее из возрастающих последовательностей 0 , таких, что для каждой области О е найдется некоторое конечное положительное целое число Л/(О), обладающее свойством й е для всех п Ы 0). Например, в качестве Й можно было бы выбрать последовательность кубов с ребром и центром в начале координат. Предположим далее, что в однозначно определена эволюция во времени а (0- В частности, это означает, что мы ввели некоторые граничные условия в Затем для каждого элемента Я, принадлежащего некоторой области 0 8. мы изучим предел а (/)[/ ] при ->оо в подходящей топологии . Если последний существует и определяет элемент а Ц) [/ ] алгебры Э и, кроме того, если оператор щ изометрический, то его можно продолжить по непрерывности с иэ (0) на 9 . Затем необходимо проверить непрерывность отображения щ по 1. Ясно, что осуществление такой программы требует нескольких доказательств сходимости. Как мы увидим в 2, такие доказательства действительно удается провести для некоторого класса взаимодействий в квантовой решетке со спином. Но даже в пределах этого класса имеются взаимодействия с достаточно большим радиусом, для которых наблюдаемые, бывшие локальными при / = 0, утрачивают свой локальный характер в процессе эволюции во времени. В предельном случае (вандерваальсов предел) мы не можем более определять отображение щ как автоморфизм алгебры 8 , хотя по-прежнему можем определять его для интересующих нас представлений я как автоморфизм бикоммутанта я (9 )". Как мы увидим в 2, аналогичная ситуация возникает и в случае свободного бозе-газа. [c.357]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...