Муни уравнение

Морфология кристаллических полимеров 28—30 Муни уравнение 223, 224 [c.308]

Уравнением, хорошо описывающим вязкость различных дисперсий во всем интервале концентраций, является уравнение Муни [3] [c.222]

На рис. 7.2 показано графическое изображение уравнения Муни для диспергированных одиночных сфер и агрегатов, содер- [c.223]

Рис. 7.2. Зависимость относительной вязкости суспензии сферических частиц от их объемной доли согласно уравнению Муни

М. Муни [25] использует для вывода уравнений, описывающих распределение сдвиговых и нормальных напряжений при конечном простом сдвиге, теорию высокоэластичности, которую распространяет на упруго-вязкие материалы с помощью гипотезы Максвелла о релаксации напряжений. Уравнения М. Муни содержат две материальные константы модуль сдвига G и модуль высоко- [c.29]

Во втором примере задача ставится в координатах конечного состояния для тела, механические характеристики которого описываются потенциалом Муни. Как и в первом примере, считается, что тело бесконечно и содержит отверстия, на границах которых задано давление Р, а на бесконечности заданы истинные напряжения. Математическая постановка задачи в перемещениях в этом случае включает уравнение равновесия [c.292]

Общая постановка плоских контактных задач для полупространства и слоя, подверженных одновременному воздействию сил тяжести и однородных, ориентированных вдоль границы, начальных напряжений дана в работе В. М. Александрова и Н. X. Арутюняна [1]. Предполагалось, что материал среды является несжимаемым и описывается либо уравнениями физически нелинейной (геометрически линейной) теории установившейся ползучести, либо уравнениями геометрически нелинейной (физически линейной) теории упругости. В предположении, что силы трения в области контакта отсутствуют, изучена проблема эллиптичности линеаризованных уравнений (внутренней устойчивости среды), исследованы явления поверхностной неустойчивости среды. В качестве иллюстрации проведен анализ влияния механических свойств и начального напряженного состояния среды на контактную жесткость. Для потенциала Муни обнаружены значения начальных напряжений, при которых упругий континуум начинает работать как основание Винклера. [c.236]

Среди точных решений уравнений газовой смазки интерес представляют случай линейной зависимости толщины смазочного слоя от продольной координаты, а также задача о нестационарном движении вязкой несжимаемой жидкости в смазочном слое, подробно изученная Л. М. Си-муни (1964), установившим границы возможности применимости в теории нестационарной смазки представления о квазистационарности вращения. [c.513]

При деформациях, превышающих 20—30%, экспериментальные данные удовлетворительно описываются уравнением Муни-Рив-лина [1451 [c.37]

Вместо конкретного вида уравнения состояния могут использоваться эмпирические зависимости, полученные методами раздела 2.2. Эти характеристики выбираются для режимов, близких к рассматриваемому, по возможности с учетом обратимых и необратимых составляющих деформации, а также обратимого и необратимого изменения самих характеристик в процессе деформирования. Показано, что даже при кратковременном процессе каландрования наблюдаются механохимические процессы, приводящие к необратимому изменению исходных свойств [251]. Соответствующая обработка экспериментальных данных для прогнозирования на основе измерений на дисковом ротационном вискозиметре Муни подробно рассмотрена в работе [252]. [c.88]

При температурах выше Т . термопластичной матрицы ударопрочный полистирол с пластиками АБС и МБС представляют собой суспензию частиц эластомера, обычно сетчатой структуры, ввязкой среде расплава термопластичного полимера (аналогично расплавам тех же термопластичных полимеров, но наполненных жестким наполнителем). Решающее влияние на поведение эластифицированных термопластов оказывают дисперсность эластичной фазы и ее объемное содержание. Вязкость расплавов эластифицированных термопластов с вулканизованными частицами эластичной фазы хорошо описывается уравнениями для вязкости суспензий с частицами сферической формы — уравнениями Эйнштейна п Муни [77]. Если [c.172]

Задача приведена к определению трех неизвестных х1, х1, р из системы уравнений (4), (5), (6). Исследовать эту систему, не специализируя задания э 1 1 ), вряд ли возможно. Остановимся на случае потенциала Муни (4.1). Тогда, отбросив в (4) постоянный множитель, после интегрирования придем к уравнению [c.298]

Уравнение (2-5.16), известное как уравнение Муни — Рабиновича, служит отправным пунктом для определения кривой т] (S) на основании данных по падению давления в ламинарном потоке. Действительно, как так и являются непосредственно измеряемыми величинами график зависимости Xw от в логарифмических координатах позволяет получить значение п. Конечно, п является, вообще говоря, функцией у , но в большинстве случаев эта зависимость чрезвычайно слаба. Уравнение (2-5.16) можно использовать для вычисления истинной скорости сдвига на стенке. Кажущаяся вискозиметрическая вязкость и соответствующее значение S определяются тогда в виде [c.71]

Мун и Моу [118] построили теоретическую модель, описывающую рассеяние волн в композиционных материалах, наполненных частицами. При этом рассматривалась динамика отдельной частицы, находящейся в упругой среде. Такой подход представляется приемлемым первым приблияшнием для материалов с малой степенью (Fg <(0,10) и случайным характером наполнения. Дифракция упругих волн в материале с отдельными частицами обсуждалась также в работе Моу и Пао [119]. Когда плотность жесткого включения рз больше плотности окружающей среды (матрицы), т. е. рз )> pj, уравнение движения, описывающее поступательное перемещение сферической частицы U, имеет вид [c.298]

Влияние предварительного нагружения на динамические свойства материалов было показано на рис. 3.8. Во многих случаях, например для опор двигателя, этот эффект довольно важен, особенно когда требуется достичь хороших изолирующих характеристик при высоких частотах колебаний. Здесь также учитывается влияние температуры окружающей двигатель среды. Так, для того чтобы изготовить резиноподобные материалы с разнообразными изолирующими и демпфирующими характеристиками, необходимо изучить их свойства как функции динамических и статических деформаций. Однако, поскольку здесь возможно большое число комбинаций параметров, становится трудным организовать испытания материалов. С другой стороны, можно использовать подход, при котором влияние различных внешних условий можно разграничить так, что будет достаточно провести испытания заданного материала для определения как статических, так и динамических характеристик порознь, а затем воспользоваться аналитическими методами для оценки их совместного влияния. В работе [3.11] была предложена общая теория комбинированного линейного динамического и нелинейного статического поведения вязкоупругих материалов. Аналогичный подход, дающий более простые результаты и основанный на уравнении Муни — Ривлина [3.12, 3.13], обсуждается ниже. Сначала рассматривается нелинейное статическое представление на основе уравнения Муни — Ривлина, а затем оно распространяется на динамическое поведение [c.124]

Представление зависимостей, учитывающих влияние нелинейных статических деформаций. Уравнение Муни —Ривлина обычно используется для описания нелинейной статической зависимости напряжений от деформаций, когда коэффициент упругого удлинения достигает значений 2 или 3. При простом растяжении эта зависимость имеет вид [c.124]

При выводе этой формулы не рассматривался подробно вопрос о выполнении глобального условия сохранения объема суспензии. Напротив, уравнение типа уравнения Смолуховского использовалось в основном таким же образом, как и в предыдущей главе, без рассмотрения вопросов, связанных с возвратным течением . Симха [48] установил, что если принять во внимание объем, занимаемый частицами, то значение последнего члена в формуле (9.3.11) уменьшится и станет равным 12,6 ф . Дальнейшие попытки строго определить коэффициент при в формуле (9.3.11) привели Саито [43] к заключению, что из-за наличия неопределенного интеграла в методе Эйнштейна уравнения медленного течения вообще неприменимы к данной задаче. Он высказал мысль, что затруднение проистекает из-за пренебрежения инерционными членами в уравнениях медленного течения, и выдвинул трактовку, в основе которой лежат уравнения Озеена последние, к сожалению, применительно к данной ситуации до сих пор не решены. При дальнейшем обсуждении проблемы Муни [36] сделал вывод, что инерционные члены не играют роли, а затруднение вызвано неясной постановкой соответствующей краевой задачи. Этот вывод разделяется и в данной книге. [c.515]

Ривлин, сохранив в формуле Муни лишь первое слагаемое (Сг = 0), ввел в рассмотрение неогуково тело. Уравнения состояния этого тела по (1.4.7), (1.1.7) представляются равенствами (в главных осях) [c.691]

Материал Муни. В приводимом далее вычислении предполагается задание удельной потенциальной энергии в форме Муни (4.9.2) гл. VIII. Уравнение (3.3.4) записывается в виде [c.706]

Уравнение Муни применимо для описания модуля упругости при сдвиге каучуков, наполненных жесткими частицами любой формы [19]. Однако для жесткой матрицы уравнение Муни дает резко завышенные результаты. Причинами этого являются отклонение коэффициента Пуассона матрицы от 0,5, наличие термических напряжений, снижающих эффективный модуль упругости композиций и малое различие в модулях упругости матрицы и наполнителя. Для полимеров, содержащих частицы, близкие к сферическим с любым значением модуля упругости, модуль упругости композиции может быть рассчитан по уравнению Кернера [20] или аналогичному уравнению Хашина [21 ] при условии прочного сцепления между фазами. Для некоторых случаев уравнение Кернера может быть значительно упрощено. [c.226]

Рассмотрим еще вопрос об оптимальном значении параметра S = RJRg с точки зрения уменьшения возмущений от стыка. Применим обобщение метода М. Муни и Р. Г. Эварта, предложенное нами при рассмотрении аналогичной задачи в коницилиндри-ческом вискозиметре. Если считать, что критерием оптимальности является равенство касательных напряжений на внутренней и внешней измерительных поверхностях в месте стыка, то легко можно получить следующую систему уравнений для Re и [c.259]

В книге приводится методологически последовательная постановка геометрически и физически нелинейных задач механики деформируемого твердого тела, в том числе задачи о потере устойчивости и контактных взаимодействиях тел. Уравнения формулируются относительно скоростей или приращений неизвестных величин. Приводятся слабые формы уравнений и вариационные формулировки задач. Рассматривается применение метода конечных элементов к решению квазистатических и динамических задач. Используются следующие модели материалов изотропная линейно-упругм, несжимаемая нелинейно-упругая Муни — Ривлина, упругопластическая, термоупругопластическая с учетом деформаций ползучести. Приводятся процедуры численных решений нелинейных задач, основанные на пошаговом интегрировании уравнений равновесия (движения). Рассматриваются особенности процедур численного решения задач о потере устойчивости и контакте тел. [c.2]

Муни — Ривлина, 79 контактирующее тело активное, 228 пассивное, 228 контактные задачи, 6 контрольное уравнение, 216 конфигурация [c.257]

Тогда соответствующее реологическое уравнение у = / (т), как это было показано Вейсенбергом (см. Рабинович, 1929 г.) для случая капиллярного прибора и Муни (Moony, 1931 г.) для случая ротационного прибора, можно получить из уравнения (XVIII. 21) путем дифференцирования. [c.294]

Второе новое ограничение, связанное с разгрузкой, было обнаружено Хенгью Муном в выполняемой им в настоящее время в моей лаборатории докторской диссертации. Показано, что для использования уравнений состояния (4.78) при совместном растяжении и кручении следует исключить сложные нагружения, для которых главные значения девиатора напряжений меняют знак, а именно [c.345]

Из решения (15.25) следует исключить решения, имеющие осо бенность в г = О и, следовательно, соответствующие отрицатель ным корням Г , а потом подставить их в граничные условия (15.24) Тогда получим систему двух уравнений для постоянных и g Равенство нулю определителя этой системы координат станет уело вием потери устойчивости. Ограничимся только представлением результатов для материала Муни при А, = 1, Для этого материала Ф1, Фг = onst Ф , Ф22, Ф12 = О и [c.107]

Используя данные Нельсона и Вильямса, полученные, как уже указывалось, при испытаниях стали 4130 в среде газообразного водоройа, Мун применил нелинейный регрессионный анализ к уравнению, связывающему АГ1кр с отнощением равновесных концентраций водорода вне (С,,) и в зоне максимальных значений трехосных растягивающих напряжений (С р) (см. гл. П1) [c.74]

Для уравнения, описывающего изменение порогового коэффициента интенсивности напряжений для сталей в присутствии водорода в рамках модели Герберича—Чена, анализ влияния температуры был проведен для стали 4340 в газообразном водороде Муном [114]. [c.77]

Пусть В цилиндрической системе координат г,(р,г) задан цилиндр г К, г Ь из нелинейного упругого изотропного материала. Цилиндр предварительно подвергнут однородному осевому растяжению или сжатию и закреплен торцами между гладкими жесткими поверхностями таким образом, что отсутствуют нормальные перемещения и касательные напряжения. На описанную деформацию, которая считается конечной, накладывается малая осесимметричная деформация, вызванная внедрением в поверхность цилиндра при 2 а жесткого бандажа. Трение между цилиндром и бандажом отсутствует, а бандаж имеет радиус К-6, (5 > 0. В работе [47] для добавочной деформации получены линеаризованные уравнения и выписаны соответствующие граничные условия. Известным приемом полученная краевая задача была сведена к парному ряду-уравнению вида (33), в котором nQ = 0, К2 = К, а К(и) — известная функция [47]. Решение парного ряда, как и в предыдущей задаче, было получено путем сведения его к БСЛАУ первого рода с сингулярной матрицей. Был проведен расчет контактных напряжений и жесткости системы штамп — цилиндр Р для материала Муни. Анализ расчетов показывает, что с увеличением параметра предварительного напряжения в сторону растяжения жесткость Р увеличивается. Существует также такое сочетание геометрических параметров, при которых жесткость Р возрастает и с увеличением предварительного сжатия (с уменьшением Л при Л < 1). [c.170]

На смежных гранях прямоугольника заданы условия отсутствия нормальных перемещений и касательных напряжений. Для описания свойств упругого тела используется модель нелинейного несжимаемого материала [70]. Как это было сделано в задачах 6 и 8 для предварительно напряженных цилиндров, здесь задача сведена к парному ряду-уравнению по тригонометрическим функциям, для решения которого также используется метод сведения его к БСЛАУ с сингулярной матрицей. После регуляризации системы найдено ее решение и проведен численный анализ задачи в зависимости от ее параметров. Расчеты проводились для материалов Муни и Бартенева-Хазановича и отражены в таблицах и графиках [46]. [c.173]

Повышение требований к точности расчета конструкций, находящихся в условиях контактного взаимодействия, приводит к необходимости усложнения моделей сплошной среды, в частности, к необходимости учета начальных (остаточных) напряжений, к необходимости развития эффективных методов исследования особенностей контактного взаимодействия преднапряженных упругих тел. Первые работы по контактным задачам для преднапряженных тел были основаны на использовании простых форм упругого потенциала (Трелоара, Муни, Джона и др.) с целью более прозрачного представления о характере влияния и сущности изменений, вносимых начальными напряжениями. В этом плане Л. М. Филипповой в работе [28] рассмотрена задача о внедрении жесткого штампа в упругую полуплоскость из несжимаемого материала Муни. Начальная деформация предполагалась однородной, действующей вдоль границы полуплоскости, трение в области контакта не учитывалось. Задача сведена к решению интегрального уравнения вида [c.234]

Здесь Сх,С2 — параметры материала Муни, А — относительное удлинение волокон в начально-деформированном состоянии. Из (1) видно, что в данном случае интегральное уравнение для преднапряженной среды отличается от уравнения соответствующей классической (т.е. при отсутствии начальных напряжений) контактной задачи лишь наличием множителя, зависящего от величины начальной деформации. Это обстоятельство позволило привлечь для исследования хорошо известные решения классических интегральных уравнений, а также непосредственно из (2) определить критические значения А, при которых перемещения точек полуплоскости становятся неограниченными, когда наступает потеря устойчивости сжатой полуплоскости. В работе получены соотношения, описывающие влияние начальной деформации на распределение контактных давлений в случае плоского, наклонного и параболического штампов, проведен анализ особенностей этого влияния. [c.234]

Изучению контактного взаимодействия штампов (бандажа) с предна-пряженным телом (цилиндром) конечных размеров посвящен ряд работ Л. М. Филипповой, А. Н. Цветкова, М. И. Чебакова [34-36]. Так в [36] рассмотрена задача о внедрении симметрично расположенных штампов в торцы конечного цилиндра. Предполагается, что трение в области контакта отсутствует, на боковой поверхности цилиндра реализуется условие скользящей заделки, начальное напряженное состояние является однородным, обусловленным действием сил, приложенных к боковой поверхности. Контактная задача сведена к парному ряду-уравнению, которое, в свою очередь, сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. В качестве примера исследовано влияние начальных напряжений сгд на распределение контактных напряжений и действующей на штамп силы для материалов Муни и Бартенева-Хазановича. Анализ показал, что жесткость системы штамп-цилиндр существенно зависит от вида материала и отношения высоты цилиндра к радиусу штампа. В работе отмечено, что для рассмотренных материалов жесткость системы штамп-цилиндр при стремлении радиуса цилиндра к радиусу штампа неограниченно возрастает. [c.239]

В качестве уравнения состояния могут быть использованы соотношения между главными степенями деформации (г = 1, 2, 3) и главными напряжениями О/, следующие из упругого потенциала Муни — Ривлина (3.1.5) и общих соотношений (3.1.9). При этом необходимо иметь в виду, что Я,- являются функциями координат, изменяющимися от точки к точке тела. [c.123]

Для равновесных кривых растяжения наполненных вулканизатов соотношение (3.1.236) Муни— Ривлина отклоняется от экспериментального, однако сходимость улучшается, если ввести поправку X на увеличение фактической деформации [375]. При тщательном исследовании было установлено, что размягчение ие полностью обратимо [375]. Влияние наполнителей на кристаллизующиеся и не кристаллизующиеся при растяжении каучуки различно [375]. Взаимосвязь между характером поверхностной активности саж, обработкой (химической, термической) поверхности саж п характером образования вторичных структур в резиновой смеси, степенью активности наполнителя и способностью к образованию сажекаучукового геля исследовалось в работе [174]. Взаимодействие каучука с наполнителем может быть различной природы адсорбция полимера на поверхности частиц наполнителя химическое взаимодействие благодаря наличию свободных радикалов, образуемых при переработке химическое взаимодействие с реакционноснособными участками поверхности наполнителя. До тех пор, пока не расшифрована прирбда эффективного значения фактора формы f в уравнении [c.147]

Вывод уравнений (И1.51) аналогичен выводу для многослойных [81, 139] и двухслойных [49] цилиндрических оболочек. Упругие свойства резины описываются законом Муни влияние жидкости моделируется присоединенной массой. Предполагается, что металл (сплав Д16АТ) и резина могут расслаиваться после выхода пакета на максимальный прогиб. [c.83]

Иным способом при отличающейся от (10) и (11) форме записи уравнения распространения плоских волн задача рассматривалась Ривлином и Сэйрсом (1977). В их работе устанавливались критерии устойчивости не только материала Муни— Ривлина, но и материалов с потенциальной энергией э — э ,), э 1 ) случай любого несжимаемого материала остался до конца неизученным—не были получены алгебраические критерии устойчивости, выраженные через 5,-, 5,- при любом N. Безуспешной оказалась попытка прийти к более определенным результатам и в публикациях этих авторов 1978 г. [c.398]

Если система допускает несколько (не менее двух) типов движения, то обычно определяют диапазон значений параметров, в котором существует тот или другой тип движения. В случае вынужденного движения частицы в потенциале с двумя ямами (см. гл. 2 и 5) было бы весьма интересно заранее знать, какое — хаотическое или периодическое — движение установится под действием периодической вынуждающей силы. Уравнение, описывающее такие колебания, уже известно читателю, — это уравнение (6.5.2). В этой задаче для исключения всех параметров, кроме трех (7, /, ш), мы использовали метод обезразмеривания. Как упоминалось в гл. 5, и Холмс [73], и Мун [136] вывели критерии, связывающие параметры (7, /, ш) соотношениями для случая, когда возникает хаотическое движение. Эти соотношения, (5.3.28) и (5.3.42), имеют вид неравенств [c.263]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...