ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, ПОТЕНЦИАЛЫ И ГРАНИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Метод граничных элементов (МГЭ) — это метод решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных, появившийся в результате сочетания идей теории потенциала с методами современной теории аппроксимации. МГЭ, с точки зрения теории аппроксимации, имеет много общих черт с широко известным методом конечных элементов, но отличается от него существенным преимуществом дискретизация осуществляется, как правило, не внутри области, в которой ищется решение, а на ее границе. Такое упрощение достигается путем точного удовлетворения исходным дифференциальным уравнениям с помощью представлений решения в виде, характерном для теории потенциала. Указанные представления могут быть использованы в рамках МГЭ лишь в случае, когда известны в явном виде (точно или приближенно) фундаментальные решения (или функции Грина) для рассматриваемых дифференциальных уравнений 1 исследованы граничные свойства соответствующих потенциалов. Путем предельного перехода на границу в формулах представления решения получаются граничные интегральные уравнения (ГИУ), которые являются основным объектом аппроксимации Б МГЭ. Этим объясняется еще одно (более раннее) название МГЭ — метод граничных интегральных уравнений. Заметим, что возникающие в теории упругости и в других разделах механики деформируемого твердого тела ГИУ часто являются сингулярными интегральными уравнениями [114, 107, 84], методы аппроксимации которых далеко не тривиальны. [c.3]

Методы потенциала, при помощи которых в предыдущих главах были рассмотрены граничные задачи для однородных и кусочно-неоднородных изотропных тел, могут быть распространены на анизотропные упругие тела. Для этого необходимо, с одной стороны, более подробно разработать теорию фундаментальных решений различных родов для систем эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и, с другой, распространить теорию многомерных сингулярных интегральных уравнений на системы уравнений, ядрами которых будут служить эти фундаментальные решения. Эти вопросы, при решении которых потребуется преодоление новых трудностей, заслуживают интерес и должны стать предметом будущих исследований. [c.251]

Чтобы применить теорию интегральных уравненнй к первой краевой задаче (задаче Дирихле), нужно рассмотреть классическую систему дифференциальных уравнений теории упругости как однородную систему с неоднородными граничными условиями и представить решение в виде потенциала двойного слоя, соответствующего фундаментальной матрице решений, которую для этой системы дифференциальвых уравнений построили лорд Кельвин [14] и Сомильяна [40]. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...