Переменные естественный набор

Сравнение (11.10) и (11.13) показывает, что используемый в механике принцип неотрицательности работы виртуальных изменений состояния системы применим и к термодинамическим системам, если использовать соответствующие дополнительные условия. Выяснить эти условия несложно, они отвечают, очевидно, постоянству переменных естественного набора аргументов любой характеристической функции, так как возможность изменения какого-либо из аргументов означала бы возможность изменения и самой характеристической функции, что противоречит постулату о равновесии. Поэтому каждой характеристической функции должен соответствовать свой критерий равновесия. Но было бы неправильно основывать выводы критериев равновесия на соответствующих фундаментальных уравнениях, хотя бы потому, что фундаментальные уравнения записывались для фазы, в то время как критерии равновесия применяют для любых, в том числе и для гетерогенных, систем. В дополнение к сказанному ранее покажем это на примере критерия равновесия, выраженного через изменение энергии Гельмгольца. Фундаментальное уравнение для этой функции имеет вид (9.31) [c.108]

Из второго закона непосредственно следует только (12.3), но знаки неравенств в критериях равновесия и устойчивости совпадают, поэтому дополнительных доказательств (12.4) — (12.6) не требуется. Достаточные условия равновесия выражаются, следовательно, через вариации второго порядка характеристических функций при постоянных значениях их естественных наборов аргументов. Как и в случае (11.1), (11.13) и других, варьируются при этом внутренние переменные системы. [c.115]

В формулировке задачи расчета равновесия должны также указываться условия, при которых в равновесной системе реализуется экстремум ее характеристической функции. Согласно рассмотренным ранее критериям равновесия эти условия — постоянство всех естественных аргументов характеристической функции системы. Поскольку в итоге расчета через эти аргументы выражаются искомые дополнительные внутренние переменные, они должны быть величинами не только постоянными, но и известными. При численных решениях можно избежать строгого соответствия параметров системы (процесса) и использованной характеристической функции, т. е. появляется возможность формулировать термодинамические условия -на основании особенностей моделируемой системы и имеющихся данных, а не по набору естественных аргументов функции. [c.172]

Набор компонентов, найденный таким способом, может оказаться недостаточным, если вначале не выделить из всех рассматриваемых составляющих такие, которые не вступают в химические реакции не из-за их стехиометрии, а по иным, например кинетическим, причинам. Такие вещества должны считаться компонентами вне зависимости от результатов анализа формульной матрицы системы (см. 1). С другой стороны, этот набор может быть и избыточным, так как формульная матрица не учитывает количеств составляющих, поэтому не-исключено, что они могут образовываться из меньшего числа веществ. Эти физические особенности выбора компонентного состава при решениях задачи на ЭВМ учитываются обычно программными средствами. Когда набор компонентов выяснен и их число оказывается меньше, чем число входящих в систему химических элементов (т. е. ранг llp,7llкомпоненты системы, так как это сокращает число переменных. Вместо реакции (21.1) в этом случ ае будет реакция [c.177]

Обратим внимание на один прием, позволяющий существенно сократить объем вычислений, сохранив при этом достаточно высокую точность [185]. Пусть имеется определенная дискретизация поверхности и заданы опорные точки. Вычисление всех итераций посредством кубатур (3.3) и (3.4) будем производить лишь в части опорных точек, а в остальных же будем использовать интерполяцию того или иного вида. Вопросы реализации такого подхода применительно к пространственным задачам для тел, ограниченных набором поверхностей, часто встречающихся в приложениях, изучены в [195]. Здесь же изложен и другой прием повышения эффективности алгоритма. Речь идет об использовании сетки с так называемым переменным шагом. Имеется в виду, что при вычислении фл(9) в определенной точке наряду с единой (общей) дискретизацией вводится и локальная (в окрестности этой точки) дискретизация,естественно, более мелкая ). Таким образом, отпадает необходимость в [c.575]

Дифференцированный нагрев расширяет технологические возможности листовой штамповки и позволяет применять ее для таких деталей, которые ранее изготовляли механической обработкой. Большое преимущество данного способа заключается в том, что он открывает большие возможности по изготовлению тонкостенных деталей переменного сечения [2]. Зональный нагрев позволяет производить набор материала на тонкостенных трубах и профилях изготовление деталей переменного сечения из тонкостенной заготовки путем набора материала в нужных местах, естественно, значительно выгоднее, чем изготовление их из толстостенной заготовки с удалением лишнего металла механической обработкой. [c.243]

Чтобы применить системно-динамический метод к задаче управления безопасностью, необходимо построить модель представленной на рис. 3 социально-экономической системы, объединяющей социальные, производственные и экологические процессы. Такая модель в простейшем случае может быть структурно представлена как набор следующих взаимодействующих блоков (резервуаров) природная (естественная) и техногенная (искусственная) среда обитания, экономика (промышленность и сельское хозяйство), население и т. п. Структурное представление должно соответствовать переменным состояниям (фазовым переменным), которые входят в качестве аргументов в целевую функцию (5). Наконец, после математической формализации законов взаимодействия между блоками (в том числе экологических и техногенных факторов и др.) динамическое поведение рассматриваемой системы может быть описано системой уравнений типа (6). Для целей, которые здесь поставлены, выпишем лишь одно из уравнений системной динамики, а именно уравнение для определения изменения с течением времени i численности населения P t). Оно имеет вид [c.91]

Состояние Д. с, описывают набором переменных, выбираемых иа соображений естественности их интерпретации, простоты описания, симметрии и т. н. Множество состояний Д. с. образует фазовое пространство, каждому состоянию отвечает точка в нём, а эволюция изображается (фазовыми) траекториями. Чтобы определить близость состояний, в фазовом пространстве Д- с. вводят понятие расстояния. Совокупность состояний в фиксиров. момент времени характеризуется фазовым объёмом. [c.626]

Выберем в качестве динамических переменных, описывающих систему, набор чисел Smi. При обсуждении вопросов, связанных с пределами и масштабами длин, всегда естественно перейти к фурье-представлению. Поэтому, вводя определение [c.388]

Марковское и локальное приближения. Если релаксация системы к локально-равновесному состоянию происходит медленно, то в последнем члене уравнений (8.1.9) необходимо учитывать временное запаздывание. Примером такого рода может служить служить релаксация внутренних степеней свободы сложных молекул. Отметим, однако, что в этом случае естественно расширить набор базисных локальных переменных а (г) , включив в него включить переменные, описывающие внутренние степени свободы. Рассмотрим простейшую, но реальную ситуацию, когда время релаксации корреляционных функций (8.1.10) достаточно мало по сравнению с характерным временем изменения термодинамических параметров Fn r t ). Тогда запаздыванием в уравнениях (8.1.9) можно пренебречь, и мы приходим к марковским гидродинамическим уравнениям [c.161]

Каждая термодинамическая функция зависит от своего набора переменных. Эти переменные называются естественными независимыми переменными. Если термодинамическая функция задана [c.142]

Введенный в предыдущем параграфе формализм основывался на выборе в качестве независимых термодинамических параметров системы величин (6, V, а, N). Этот выбор, произведенный нами главным образом из академических соображений, с практической точки зрения представляется не очень удачным мы не умеем непосредственно с помощью простых приборов измерять внутреннюю энергию <5, а поэтому все полученные с помощью микроканонического распределения результаты приходится пересчитывать к другим переменным, в частности к наиболее естественному с макроскопической точки зрения набору независимых переменных (0, V, а, N). Этого, однако, можно избежать, если переформулировать введенный выше метод так, чтобы в нем сразу в качестве функции распределения фигурировала бы величина Wn=za,,(d, V, а, N). [c.305]

В oтлJ чиe от (10.26) одинаковый набор аргументов функций Цг и Hi является в данном случае естественным, поскольку любые парциальные мольные свойства зависят только от переменных Т, Р, п (точнее, от Т, Р, х) (ср. примечание на с. 95). [c.97]

Таким образом, общие критерии равновесия термодинамических систем математически формулируются в виде задачи на условный экстремум той или иной характеристической функции. Экстремум ищется при этом в обобщенном пространстве дополнительных внутренних переменных (см. с. 37), а дополнительными условиями является постоянство естественных независимых переменных характеристической функции. Выбор характеристической функции и критерия равновесия связан только с набором термодинамических величин, равновесные значения которых известны и которые могут, следовательно, использоваться в качестве параметров при расчете равновесия, т. е. при нахождении других, неизвестных свойств. С этой точки зрения вариационная запись критерия равновесия также имеет определенные преимущества перед дифференциальной записью, так как не создает ощибочных представлений, что для применения того или иного общего условия типа (11.1) необходимо [c.110]

Система в состоянии термодинамического равновесия характеризуется термодинамическими функциями (или, как их еще называют, потенциалами). Каждая термодинал[ичес-кая функция зависит от своего набора естественны переменных, в которых состояние системы определяется полностью. В табл. 2.11.2 приведены основные термодинамические функции, выраженные через естественные переменные. Вывод указанных соотношений не представляет тру-да21и предоставляется читателю. [c.74]

Процесс конструирования представляет собой сложный процесс сочетания мышления и обработки информации (описательной, числовой и геометрической), преобразуемый в образы. На каждом этапе развития науки и техники эти образы, естественно, видоизменяются. Однако из них можно сделать альбом типичных деталей, узлов, схем. Такой подход к решению задач проектирования систем автоматического управления переменной структуры рекомендуют Институт проблем управления и югославское предприятие Энергоинвест . Системы автоматического управления обслуживают теплоэнергетику, металлургию, химическую и нефтяную, а также пищевую и холодильную промышленность. Такое разнообразие автоматизируемых технологических процессов, качественно отличных друг от друга по своей физической основе, казалось бы, ставит под сомнение возможность решения подобной задачи. Однако обширный статистический материал, полученный из анализа динамических характеристик этих процессов как объектов регулирования, показал, что существует ограниченный набор однотипных ситуаций. Весь проект системы составляется по определенной структуре схемы соединений составляются по правилам типовых схем из альбома проектировочного обеспечения. Подобное формальное проектирование полностью решает комплекс вопросов, связанных со всеми этапами проектирования при этом уменьшается возможность появления ошибок и ограничивается потребность в высококвалифицированных специалистах. [c.12]

Наиболее широко распространен подход, когда ищется гладкое иевырождеи-иое отображение какой-либо простой области в пространстве параметров (прямоугольник, параллелепипед, их совокупности) на заданную область в пространстве исходных переменных. Набор функций, реализующий искомое отображение, должен минимизировать какой-либо вариационный функционал при заданных краевых или естественных условиях. Набор таких функционалов достаточно широк. [c.513]

Один из способов улучшить приближение (5Б.16) для проводимости состоит в расширении набора базисных переменных. Ясно, что оператор тока (5.1.98) соответствует лишь первому моменту неравновесной функции распределения. В то же время кинетическое уравнение для f p t) = содержит информацию о всех моментах. Поэтому естественно взять в качестве базисного набора операторы (5.1.105), которые соответствуют высшим моментам функции распределения. Тогда, после применения стандартного подхода из раздела 5.1.1, проводимость получается в виде отношения определителей, составленных из корреляционных функций. Минимальный набор, состоящий из одного оператора = m/e)J приводит к формуле (5.1.104) для удельного сопротивления. Можно предположить, что при выборе конечного числа моментов в качестве базисных динамических переменных результат для проводимости будет приближаться к результату кинетической теории (5Б.17) по мере увеличения п. Пепосредственные расчеты для конкретных моделей (см., например, [95,141]) подтверждают это предположение. Более того, оказалось, что совпадение с результатом кинетической теории достигается уже при небольшом числе базисных операторов ). [c.404]

По ходу вывода макроскопических уравнений сохранения из кинетического уравнения Больцмана сделаем два замечания во-первых, при применении стандартной процедуры вывода макроскопических уравнений сохранения методом моментов (умножение исходного кинетического уравнения на определенную величину и последующее интегрирование) мы, естественно, должны получить в качестве первого уравнения уравнение сохранения массы. Для этого уравнение (1.183) следует умножить на массу фотона и проинтегрировать по всем ш и Й. Поскольку масса фотона равна нулю, в уравнения сохранения для излучения не входит уравнение сохранения массы. Второе заключение сводится к следующему. Метод моментов, вообще говоря, позволяет получить бесконечный ряд уравнений типа законов сохранения. Первые три уравнения, получаемые таким образом, т., е. умножением исходного кинетического уравнения соответственно на массу, импульс и энергию частиц и последующим интегрированием по всем частицам (в нашем случае фотонов по частоте и направлению), отождествляются с микроскопическими уравнениями сохранения массы, импульса и энергии. Система этих уравнений сохранения является неполной, т. е. число неизвестных макроскопических параметров в этих уравнениях превышает число уравнений. Конкретно в случае фотонного газа неизвестными являются величины плотности энергии излучения, потоки излучения и тензора давления излучения, т. е. десять скалярных величин (тензор давления излучения — симметричный тензор), тогда как набор уравнений сохранения ограничивается четырьмя уравнениями. Можно было бы пытаться получить недостающие соотношения тем же методом, рассматривая более высокие моменты. Например, умножая исходное уравнение на поток энергии частицы и интегрируя по частицам, мы получим уравнение типа уравнения сохранения для потока тепла и т. п. JMoжнo показать, что система получающихся таким образом уравнений никогда не будет замкнутой в новые уравнения войдут новые переменные и т. д. В этом смысле задача интегрирования бесконечной системы моментов полностью эквивалентна задаче интегрирования исходного кинетического уравнения. Именно этой задаче посвящена третья глава настоящей книги. [c.74]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...