Обратносимметричные матрицы

Известно, что согласованность положительной обратносимметричной матрицы эквивалентна требованию равенства ее максимального собственного значения Можно также оценить отклонение от согласованности раз- [c.31]

Второй полезный факт заключается в том, что если элементы Qij положительной обратносимметричной матрицы Л незначительно изменить, то собственные значения также изменятся незначительно. [c.64]

Так как для положительной обратносимметричной матрицы X н ац=, можно просто записать [c.76]

Рассмотрим обратносимметричную матрицу 4X4 с элементами, являющимися функциями времени [c.112]

Замечание. Из полученного решения видно, что если любой коэффициент увеличивается (уменьшается) в данной строке матрицы парных сравнений, то величина компоненты собственного вектора, соответствующей этой строке, увеличивается (уменьшается) относительно остальных компонент. Это свойство присуще и общему случаю для обратносимметричной матрицы. [c.116]

Обратносимметричные матрицы — Системы с обратной связью — Краткое сравнение с другими работами. [c.182]

ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ОБРАТНОСИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ И ИХ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ [c.182]

Начнем систематическое изложение с введения понятия неприводимой матрицы. Весь нужный материал по неприводимым матрицам, используемый в книге, приведен в следующем разделе. Затем изложим фундаментальную теорему Перрона-Фробениуса для неотрицательных неприводимых матриц, которая обеспечивает существование единственного решения задачи о собственном значении. Так как рассматриваемые обратносимметричные матрицы положительны, сконцентрируем внимание на положительных матрицах/ теореме Перрона и ее доказательстве. Далее доказывается, что искомый собственный вектор может быть получен как предельная сумма строк Л, где А — примитивная матрица. Затем кратко описывается способ вычисления собственного вектора на практике, после чего обсуждаются согласованность обратносимметричной матрицы, отклонение ее главного собственного значения от п, нечувствительность этого собственного значения по отношению к малым возмущениям в Л, а также изучаются свойства согласованных матриц. [c.183]

Теорема 7.15. Положительная обратносимметричная матрица согласована тогда и только тогда, когда Л =п. [c.197]

Малые возмущения элементов положительной обратносимметричной матрицы вызывают малые возмущения в собственных значениях от их исходной величины. Вообще говоря, это неверно для положительных матриц. Докажем этот факт для к [c.197]

В дальнейшем обобщим эту теорему на обратносимметричные матрицы порядка 2, 3 и 4. [c.203]

Теперь исследуем некоторые свойства положительных, обратносимметричных матриц. [c.206]

Теорема 7.29. Собственные значения положительной обратносимметричной матрицы удовлетворяют следующему уравнению [c.206]

Теорема 7.32. Любая положительная обратносимметричная матрица порядка 2X2 согласованна. [c.207]

Например, для обратносимметричной матрицы размерности 3X3 [c.279]

Аналогичное вычисление для обратносимметричной матрицы размерности 4X4 дает [c.279]

Аналогичный подход к выявлению приоритетов для неполной обратносимметричной матрицы предложен и в [Д16]. [c.302]

Обратносимметричные неотрицательные матрицы могут иметь комплексные собственные значения. Следовательно, они не допускают просто общей характеристики. Однако поскольку максимальное собственное значение лежит между наибольшей и наименьшей из строчных сумм, согласованная матрица имеет собственное значение, равное сумме любого из ее столбцов. Как будет показано, малое возмущение не сильно меняет максимальное собственное значение и остальные собственные значения находятся в окрестности нуля, причем их сумма — действительное число. [c.195]

Теорема 7.33. Компоненты нормализованного левого собственного вектора обратносимметричной положительной матрицы порядка 3X3 являются обратными величинами компонент правого собственного вектора. [c.207]

Индекс согласованности сгенерированной случайным образом по шкале от 1 до 9 обратносимметричной матрицы с соответствующими обратными величинами элементов, назовем случайным индексом (СИ). В Национальной лаборатории Ок-Риджа коллеги (см. гл. 3) сгенерировали средние СИ для матриц порядка от 1 до 15 на базе 100 случайных выборок. Как и ожидалось, СИ увеличивались с увеличением порядка матрицы. Так как величина выборки была только 100, наблюдались статистические флуктуации в индексе при переходе от матрицы одного порядка к другому. Поэтому вычисления были повторены в школе Уортона для величины случайной выборки 500 в матрицах порядка до 11X11, а далее использовались предыдущие результаты для л—12, 13, 14, 15. Ниже представлены порядок матрицы (первая строка) и средние СИ (вторая строка), определенные так, как описано выше [c.34]

Напомним, что мы представили интуитивное обоснование нашего подхода. Существует элегантный способ его математического формулирования, который детально описан в последующих главах. Излагая его в матричных обозначениях, начнем с того, что назовем идеальным случаем Aw = niSL где А — согласованная матрица, и рассмотрим обратносимметричную матрицу А (являющуюся возмущением матрицы Л), выявленную из суждений о парных сравнениях, а также решим задачу A w = где — наибольшее собственное значение А. [c.38]

Термин обратносимметричная матрица введен как наиболее адекватный перевод с английского термина re ipro al matrix.—Прим. перев. [c.63]

Замечание. Последняя шкала — (27) в табл. 3.2 возникает из следующего соображения. Используя геометрическое среднее величины суждения, оцененного несколькими лицами (см. последний абзац этого раздела), можно заметить, что геометрическое среднее двух чисел 2 и 8 есть 4, что на один интервал ближе к 2, чем к 8 (в отличие, например, от геометрического среднего 1/3 и 3, которое находится на расстоянии двух интервалов от каждого). Это склоняет нас к введению шкалы для обратносимметричных матриц, сохраняющей отношение вида x/y=y/z или y = xz, из которого получаем log — logx= log2 —logt/. Данное соотношение можно получить, если шкалу с девятью значениями и восемью интервалами разделить следующим образом начать с единицы, затем (например) 9 , 9 и т. д., применяя также и обратные величины. Этим можно улучшить согласованность, но, как показывают наши примеры, не обоснованность (надежность). [c.75]

В табл. 3.8. для всех собственных значений представлены как левые (удовлетворяющие vA=hv), так и правые (удовлетворяющие близкому по форме выражению Аш — Хии) собственные векторы. Для Х = Я левый собственный вектор — двойственный (т. е. обратный) правому собственному вектору, как и способ измерения противоположности влияния по отношению к свойству, которое нами использовалось при проведении сравнений. Когда имеется согласованность, эти два главные (левый и правый) собственные векторы точно взаимообратны. Это отношение имеет место между главными левым и правым собственными векторами всех обратносимметричных матриц размера 2X2 и 3X3. [c.81]

Анализ задачи нахождения собственного вектора проведен при допусках в суждениях вероятностных оценок. Получается, что гамма-распределение -— удобный способ воспроизводства этих оценок в суждениях. Как результат при рещении в согласованном случае компоненты собственного вектора при ограничениях нормализации имеют распределение Дирихле. Распределение для общего случая обратносимметричных матриц определить трудно. Однако имеются результаты для матрицы третьего порядка. [c.138]

Теперь вновь займемся формальной стороной предмета, определив и охарактеризовав иерархии и нелинейные сети. При этом исследуем свойства обратносимметричной матрицы парных сравнений и устойчивость ее максимального собственного значения и соответствующего собственного вектора. Глава 7 посвящена теории Перрона-Фробениуса и свойствам согласованных и обратносимметричных матриц. В гл. 8 излагается метод Варфильда структурирования систем, а также наша теория приоритетов, обобщенная на системы. В гл. 9 кратко обсуждаются шкалирование и теория полезности, включая работу Терстена и процедуру наименьших квадратов. [c.182]

Далее рассматриваются характеристики обратносимметричных матриц и их правых и левых собственных векторов, а также вопрос о том, что малые возмущения элементов обратносимметричной матрицы вызывают малые возмущения компонент ее главного собственного вектора. В том же разделе приводится формула, принадлежащая Варгасу, для величины возмущения, которое получает каждая компонента собственного вектора как функция возмущения исходной матрицы. [c.183]

Обратносимметричные матрицы попарного сравнения не содержат нулей, следовательно, они всегда неприводимы. Понятие неприводимости понадобится при рассмотрении общей системы в гл. 8, где придется иметь дело именно с неприводимыми, а не просто положительными матрицами. [c.183]

Как указывалось ранее, сначала будет представлена общая теорема существования и единственности при решении задачи о собственном значении для неотрицательной неприводимой матрицы (более общей, чем положительная обратносимметричная матрица). Это фактически и есть теорема, доказанная Фробениу-сом, который обобщил результат Перрона для положительной матрицы. Затем следует обсуждение и доказательство теоремы [c.185]

В [168] отмечено, что, используя свойство обратной симметричности а,/= 1/аг/ из равенства = а,, имеем ацЩкаы= - Следовательно, согласованность для обратносимметричной матрицы значит, что все контуры длины три имеют единичную интенсивность. [c.198]

Приведенные выше соображения свидетельствуют о том, что обратносимметричные матрицы являются архитипичными матрицами, создающими в случае согласованности устойчивые собственные векторы при малых возмущениях. Это позволяет сделать важный вывод для гарантирования устойчивости оценки в основной шкале отношений, полученной из парных сравнений, разумно сопоставлять небольшое число относительно сравнимых элементов. В социальных науках к этому выводу уже давно пришли экспериментально. Ученые заметили, что число элементов должно быть 7 2, однако соответствующим образом не осознали необходимость требования относительной сравнимости [106]. [c.212]

Идея использования собственного вектора для решения так называемой задачи о лидере известна из работы К. Бержа [Д1], предложившего ее в 1958 г. для обработки простых структур (см. определения в [Д2]). В 1972 г. независимо друг от друга в СССР (Б. Брук и В. Бурков [ДЗ]) и в США (Т. Саати [Д4]) метод собственного вектора был применен для обратносимметричных матриц (матриц со степенной калибровкой по классификации [Д2]). Работа [ДЗ], по-видимому, не нашла дальнейшего развития, в то время как трудами Т. Саати и его последователей идея использования собственного вектора в качестве вектора приоритетов выросла в довольно мощную методологию системного анализа иерархических структур. [c.299]

Как отмечалось ранее, а,7=1/а//, т. е. матрица А—обратносимметричная. Если наше суждение совершенно при всех сравнениях, то а1к = а/1а1к для всех /, к и матрицу А называем согласованной. [c.63]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...