Уравнения возмущенного движения в относительных координатах

УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ КООРДИНАТАХ. Так как функции [c.405]

Отличие сферического распространения волн от плоского можно просто показать на примере задачи о распространении сферической звуковой волны. Составим уравнения возмущенного движения в сферических координатах, поместив начало координат в центр возмущений (точечный источник звука). Точные уравнения будут состоять из уравнения движения, совпадающего с соответствующим уравнением в плоском случае (первое уравнение системы (54) гл. III), если только в нем заменить х на радиус-вектор г точки относительно источника возмущений, а под и понимать радиальную скорость газа. [c.135]

Независимо от способа получения уравнений возмущенного движения (6.40) функцию Т можно рассматривать как кинетическую энергию приведенной системы, переменные и и — как обобщенные координаты и скорости, а члены, стоящие в правых частях этих уравнений,— как потенциальные, диссипативные, гироскопические и неконсервативные позиционные силы соответственно. Относительно сил предполагается только, что [c.163]

Доказательство. Функция V (q, () = Г П определенно-положительна относительно совокупности координат Qk и скоростей ( I (см. теорему 2). Ее полная производная по времени в силу уравнений возмущенного движения определяется равенством (б. ) [c.173]

ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА ВТОРОГО РОДА. При исследовании устойчивости неустановившихся движений по второму методу Ляпунова функции, скорость изменения которых в силу уравнений возмущенного движения определяет при известных условиях общее направление изменений координат системы, как правило, явно зависят от времени. Такие функции будем называть в дальнейшем функциями Ляпунова второго рода. Они зависят, кроме , от относительных координат х , Х2,. .., обращаются в нуль для Ху = Х2=. .. = х = Он для них, так же как и для функций первого рода, должна существовать область [c.406]

В связи с этим в практических инженерных расчетах, в част-рости, в теории автоматического регулирования, большое распространение получили приближенные методы, одним из основоположников которых стал профессор Петербургского Технологического института И. А. Вышнеградский (1831—1895). В 1876 г. Ц. А. Вышнеградский впервые применил свой приближенный метод к задаче об устойчивости регуляторов прямого действия. Основной предпосылкой метода Вышнеградского было допущение, что свойства системы в отношении устойчивости установившегося ее движения обнаруживаются уже в тех малых возмущенных движениях, которые возникают около невозмущенного движения в течение небольшого промежутка времени вслед за моментом сообщения системе достаточно малого начального возмущения. На этом основании при решении вопросов об устойчивости движения в уравнениях возмущенного движения отбрасывались все члены выше первого порядка (относительно координат и скоростей) и по форме интегралов линеаризованных уравнений делались заключения об устойчивости невозмущенного движения. Совокупность методов исследования устойчивости на основании линеаризованных уравнений составляет содержание теории первого приближения. [c.425]

Точка движется по круговой орбите под действием силы, направленной к центру этого круга. Исследуйте движение этой точки после небольшого начального возмущения, введя для этого разностные координаты р = г — Го и ф = 0 — где Го — радиус круговой орбиты, а ш — угловая скорость установившегося движения. Выразите Г и V в этих координатах, пренебрегая членами выше второго порядка малости относительно р и ф. Получите таким способом уравнения движения и выведите условия устойчивости первоначального движения. Покажите, что если V пропорционально г- +, то оно будет устойчивым лишь при я < 3. Покажите также, что одна из частот полученного возмущенного движения равна нулю (что соответствует переходу на новую круговую орбиту). [c.375]

Исследуем сначала возмущение движения планеты, вызываемое наличием другой планеты. В 18.7 мы нашли выражение для возмущающей функции R через координаты обеих планет относительно Солнца, и, чтобы использовать его в уравнениях (25.3.6), следует перейти к эллиптическим элементам планет. Всего получается двенадцать уравнений, поскольку элементы а, е, i, i, u, ф второй планеты также немного изменяются со временем. Исследование этой системы уравнений составляет одну из важнейших задач небесной механики не имея возможности привести его здесь во всей полноте, ограничимся несколькими замечаниями. [c.512]

Три уравнения (К ) в том случае, когда вспомогательная постоянная исключается посредством формулы (Ь ), строго представляют (согласно нашей теории) три конечных интеграла трех известных уравнений второго порядка (М ) для относительного движения бинарной системы (т,- т ) и дают для такой системы три переменные относительные координаты 1, 0 как функции их начальных значений и начальных скоростей а р,, v , а, / , т и времени /. Подобным же образом три уравнения (I ), по исключении посредством (Ь ), представляют собой три промежуточных интеграла этих же известных дифференциальных уравнений движения той же бинарной системы. Эти интегралы перестают быть строгими, когда мы вводим возмущения относительного движения этой частной или бинарной системы (т,/Пп), возникающие вследствие притяжений или отталкиваний других точек т, всей предполагаемой множественной системы. Однако они могут быть исправлены и сделаны строгими путем использования остающейся части У/2 полной характеристической функции относительного движения V вместе с главной частью приближенного значения Уравнения (Х ), (У ) двенадцатого параграфа дают строго [c.227]

Ряд простейших теорий [Л. 30, 93, 112, 139] основывается на том, что распад струи рассматривается как следствие нарушения равновесия свободной поверхности под действием сил поверхностного натяжения. Касательные напряжения на поверхности струи предполагаются при этом равными нулю. Возникшие в струе незначительные возмущения приводят к образованию волн с самопроизвольно увеличивающейся амплитудой. Этот процесс является ускоряющимся вследствие дополнительных возмущений, создаваемых относительным движением жидкости и газа. Уравнения неразрывности, движения и граничные условия, записанные через соответствующие пульсационные составляющие скорости и давления, могут быть в этом случае представлены в цилиндрической системе координат в следующем виде [c.243]

На рис. 3.18.3 в плоскости х, г представлены линии тока относительного движения газа (в системе координат, перемещающейся вместе с основным потоком), соответствующего потенциалу возмущений (18.25) при М = 0 (рис. 3.18.3, а), при О < М < 1 (рис. 3.18.3,6) и при М > 1 (рис. 3.18.3, в). (Уравнение линий тока легко получить в виде г = [c.345]

Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного движения планеты Р разделяется на следующие этапы сначала можно интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) или в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты XY (см. рис. 62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости оскулирующей орбиты XY относительно плоскости ху, далее в долготу (см. рис. 63) необходимо внести поправки, обусловленные движением оскулирующей плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы. [c.412]

Мы можем затем выразить координаты Солнца (относительно С), входящие в Р. по формулам эллиптического движения через в,, е, и т. д., где вр в, и т. д.—постоянные. Отметим в этой связи различие между теорией Луны и теорией планет. В последнем случае координаты возмущающего тела подставляются в возмущающую функцию в виде алгебраических функций, представляющих решение уравнений невозмущенного движения, но в,, б, и т. д. являются уже не постоянными, а фактически новыми переменными, удовлетворяющими уравнениям Лагранжа. Это будет сказываться на членах второго порядка в возмущениях рассматриваемой планеты. [c.132]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Если (5= 1, 2, 3) — координаты тела Р в невозмущенном движении относительно 5, то уравнения относительно возмущений (отклонений от кеплеровского движения) и = х — х° (5 = I, 2, 3) записываются в виде [c.677]

В последующих разделах при обсуждении методов специальных и общих возмущений нам понадобятся дифференциальные уравнения относительного движения п тел (п 2) для случаев, когда начало системы координат совпадает с центром одного из тел. [c.180]

Рассмотрим движение пассивного и активного КА в процессе их сближения, пренебрегая возмущениями от несферичности Земли, а также возмущающими факторами более высокого порядка малости. При математическом описании процесса параметры движения активного КА обозначим индексом а . Дифференциальные уравнения аппаратов в векторной форме относительно базовой инерциальной системы координат будут иметь вид [c.335]

В рассмат1)ивасмом случае мо кно, так i o как и и первых днух примерах, не составляя дифференциальных уравнений возмущенного движения, найти три интеграла. Два интеграла определяются сразу — это интеграл энергии и интеграл, соответствующий циклической координате ф (второй интеграл — интеграл моментов количеств движения волчка относительно оси z) [c.63]

Относительно простые уравнения, учитывающие геометрическую нелинейность задачи, получаются, если ввести допущение о том, что в процессе ползучести оболочки при возмущенном движении, обусловленном некоторыми отклонениями от идеальной формы, напряжения и деформации в ней мало отличаются от напряжений и деформаций основного безмо-ментйого состояния. Введение этого допущения позволяет привести задачу об определении прогибов и напряжений пологой оболочки в условиях ползучести к системе из двух нелинейных интегродифференциальных уравнений относительно прогиба и функции напряжений, зависящих от координат на срединной поверхности и времени [87], Эти уравнения отличаются от уравнений, которые были получены ранее [83, 77] при исследовании условных критериев устойчивости, только слагаемыми, учитывающими геометрическую нелинейность. Сведение задачи к системе из двух уравнений позволяет использовать для решения задач ползучести оболочек эффективный прием, аналогичный тому приему, который был предложен Карманом и Тзяном при решении нелинейных задач для упругих оболочек. Прием состоит в разыскании функции прогибов в виде ft (О Щ (х, у), где Wi x, у) — задаваемые функции координат. Вид функции напряжений устанавливается с помощью уравнения совместности. Второе уравнение интегрируется по координатам приближенно в смысле Бубнова — Галеркина. Задача сводится к системе нелиь ей-ных интегральных уравнений относительно функций интегрирование которых при заданных начальных условиях [c.273]

Проанализируем различные формы уравнений, описывающих генерирование звука произвольно движущимися гидродинамичдйкими источниками. В качестве таких источников могут рассматриваться тела, движущиеся в жидкости, или определенным образом перемещающиеся массы самой жидкости. В обоих случаях излучение звука-это следствие реакции среды на возмущение, вносимое в нее при движении тел или при движении части объема жидкости. Уравнения, рассмотрение которых явится предметом данной главы, описывают механизм возникновения звука и его последующего распространения в однородной или неоднородной среде. Различие форм уравнений определяется разнообразием форм движения источников, которые могут флуктуировать с нулевой средней скоростью или перемещаться равномерно или ускоренно. Кроме того, среда распространения может быть неподвижной или перемещающейся относительно некоторой системы координат она может быть однородной или неоднородной, дисперсионной или недисперсионной, обладать определенной стратификацией и т. д. Для каждой конкретной задачи важно убедиться в том, что выбранная форма уравнения наиболее полно соответствует особенностям рассматриваемого случая. [c.39]

Аналитическую теорию движения спутника с учетом величин второго порядка малости можно найти, например, в работах М. Д. Кислика [5] и А. Страбла [17]. В обшем подходе к описанию возмущенного движения спутника А. Страбл следует, по существу, идее Ганзена разложения движения, хотя вывод уравнений движения им получен новым пзггем и в иной форме. Он при интегрировании уравнений применяет методы теории нелинейных колебаний, в частности метод асимптотической теории Н. М. Крылова— Н. Н. Боголюбова — Ю. Д. Митропольского [1, 7 им получен ряд интересных результатов. А. Страбл в своей работе не придерживается общепринятых в небесной механике классических определений, что, как нам кажется, не является вполне оправданным. Совершенно иначе подошел к задаче М. Д. Кислик. Положение спутника относительно основной системы он определяет эллиптическими координатами, а уравнения движения записывает в канонической форме интегрирование уравнений он проводит классическим методом Гамильтона — Якоби. Известно, что в большинстве случаев в задачах небесной механики уравнение Гамильтона — Якоби не интегрируется в квадратурах М. Д. Кислик, оставаясь в пределах точности до второго порядка малости включительно, преобразовал выражение земного потенциала и разрешил уравнение Гамильтона Якоби в квадратурах. [c.10]

Задача изучения возмущенного движения спутника заключается в определении координат спутника или их возмущений в зависимости от времени. Существуют различные методы определёния возмущений. Каждый метод характеризуется специальным выбором системы координат, определяющих положение спутника, формой записи дифференциальных уравнений относительно искомых функций и способами их интегрирования. [c.76]

В 6.3 исходные уравнения гинердвижения записываются с использованием тензорного исчисления в криволинейных сферических координатах, так как пространственный анализ возмущенного и невозмущенного движения удобно проводить именно в этой координатной системе. Затем особое внимание уделяется плоскому или орбитальному движению относительно притягивающего центра, получению различных дифференциальных уравнений плоского гипер-реактивного движения. [c.175]

Рассмотрим вначале волны малой амплитуды, когда v = vq + v, v exp[ (wi — kx)] vo v ). Из (18.5) в этом приближении находим, что dv /dt + vodv /dx = О, и, следовательно, и = Vok vq = onst), т. е. в линейном случае в системе дисперсии нет. Пусть теперь в момент времени t = О пучок оказывается возмущенным по скорости по закону а sin f a . Перейдем в движущуюся со скоростью vq систему координат и рассмотрим эволюцию начального возмущения. Введем X = Жст — vot И V = Vo + и. Опуская индекс, в этой системе получим du/dt + udu/dx = 0. Решение этого нелинейного уравнения имеет вид так называемой простой волны и = U t — ж/и), где выражение для и определяется начальным возмущением. При распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле волны бегут с различной скоростью. В случае пучка это есть следствие того, что частицы смещаются друг относительно друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут обогнать другие в результате функция и х, t) станет неоднозначной [7]. Проследим за пучком на фазовой плоскости их, на которой каждая точка смещается со своей собственной скоростью. Верхней полуплоскости (и > 0) соответствует движение вправо, а нижний (и < 0) — влево, причем скорость каждой точки пропорциональна ее удалению от оси X. Рисунок 18.1 иллюстрирует процесс эволюции пучка на фазовой плоскости их. Начальное состояние пучка — синусоида а sin f a на плоскости их здесь же штриховой линией показана зависимость плотности объемного заряда пучка от х (рис. 18.1а). С течением времени происходит искажение профиля волны частицы с и > О уходят вперед. [c.371]

Частота возмущений зависит от длины / неровностей и скорости V движения троллейбуса. Путь, длинной /, при скорости движения v будет пройден за вре-мявремя Г =//v, С другой стороны, t = Т 2к v, v - период и частота возмущений). Подставляя значение t и решая уравнение относительно V, получим уравт1сние прямой, проходящей через начало координат с осями V и V (рис. 2.77), V = MItzV ). Пользуясь графиком рис. 2.77, можно для неровностей различной длины определить скорости, соответствующие возникновению низкочастотного и высокочастотного резонансов. Заштрихованная зона соответствует движению с эксплуатационными скоростями в пределах . [c.231]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...