Группы и инвариантность

A. Функция г (X) вещественна, инвариантна относительно преобразований из группы и инвариантна относительно перестановок переменных Хз,. . . [c.26]

Простейший пример дифференциального уравнения (2.1.6) позволяет объяснить некоторые фундаментальные понятия, связанные с группами и инвариантностью. Начнем с дифференциального уравнения для переменной д () [c.99]

Пусть интеграл I допускает группу озе и пусть о—какая-либо конечная группа, возникшая из первой путем придания специального вида произвольным функциям следовательно, а является подгруппой оае- Бесконечной группе ooj тогда соответствуют зависимости (16), конечной группе о — соотношения дивергенций (13) обратно, из существования каких-либо соотношений дивергенций вытекает инвариантность / по отношению к некоторой конечной группе, которая в том и только в том случае совпадает с о, когда да являются линейными комбинация.ми бы, получающихся из а. Следовательно, инвариантность по отношению к о не может повести к каким-либо соотношениям дивергенций, отличным от (13). Но так как из существования зависимостей (16) следует инвариантность I по отношению к бесконечно малым преобразованиям Аи н Ах группы при любом виде р (х), то отсюда, в частности, следует уже и инвариантность относительно возникающих путем специализации вида функций бесконечно малых преобразований группы , а следовательно, и по отношению к самой группе о. Соотношения дивергенций [c.627]

Л. И. Седовым и его сотрудниками показана возможность представления конечных точечных кристаллических групп и текстур посредством тензоров, компоненты которых инвариантны относительно этих групп. Систематическое изложение этого вопроса дано, в частности, в статье В. В. Лох и на и Л. И. Седова Нелинейные тензорные функции от нескольких тензорных аргументов (Прикладная математика и механика, 1963, т. 27, вып. 3. См. также Л. И. Седов. Механика сплошной среды. Том. I. Издание третье, Наука , 1976. Добавление I). [c.476]

Известно, что любые условия ка возмущения можно ввести в определение метрики р, хотя это и приводит к усложнению анализа. Для описания условной устойчивости множества U стационарных решений удобно выделить какое-то одно из них и (или нек-рое их подмножество, задаваемое параметрами ш), а все остальные рассматривать как порождённые им в результате действия преобразований из группы G инвариантности ур-ния (1). Пусть Go — группа инвариантности функционала V в (Л) и (6) [c.258]

Ядерные спиновые волновые функции инвариантны относительно любой перестановки электронов и относительно операции Е (I является аксиальным вектором) и поэтому преобразуются по полносимметричному представлению группы и имеют положительную четность. [c.119]

В рассматриваемом случае, ввиду того что группа (2) состоит из скалярных умножений, можно применить П-теорему. Переменные / = r jt и инвариантны относительно преоб- [c.161]

Второе соображение из теории групп — очевидная инвариантность законов движения жидкости относительно группы поворотов б- б -t- а, когда q, U, V, 9 остаются фиксированными. Из этого следует, что в формулах (57а) и (576) величина б должна входить только в дифференциальные операторы и не входить в коэффициенты. Следовательно, мы имеем теоретико-групповое оправдание использования в качестве независимых переменных <7 и б ) вместо и = Ux и V = Uy. Благодаря этому коэффициенты нашего дифференциального уравнения зависят только от одной из двух независимых переменных. [c.190]

Для изотропной среды функции должны быть инвариантны относительно полной ортогональной группы и потому могут зависеть от тензора напряжения только через абсолютные его инварианты. Условие пластической несжимаемости при этом равносильно условию, что от инварианта не зависят и, следовательно, представимы в виде функций скалярных инвариантов девиатора напряжения, в качестве независимых среди которых всегда можно рассматривать интенсивность [c.86]

Гамильтонова механика — это геометрия в фазовом пространстве. Фазовое пространство имеет структуру симплектического многообразия. На симплектическом многообразии действует группа симплектических диффеоморфизмов. Основные понятия и теоремы гамильтоновой механики (даже если они и формулируются в терминах локальных симплектических координат) инвариантны относительно этой группы (и относительно более широкой группы преобразований, затрагивающих также и время). [c.142]

ДЛЯ всех ф1 (ф) , входящих в группу . И в этом случае соотношения (15.3), (15.4) можно обобщить при наличии нескольких инвариантных ортогональных пространств. [c.55]

Дюлака формальной заменой, сохраняющей е. Затем отбрасываются члены достаточно высокого порядка по х (выше трех для н ля с мнимой парой и выше пяти для двух мнимых пар). Полученное полиномиальное векторное поле инвариантно относительно группы вращений, изоморфной тору, размерность которого равна числу мнимых пар. Соответствующая факторси-стема, представляет собой семейство уравнений на плоскости, инвариантное относительно некоторой конечной группы движений плоскости. В классе таких семейств изучается версаль-ная деформация факторсистемы, соответствующей ростку е). Положения равновесия и инвариантные кривые фактор-систем интерпретируются как приближения к инвариантным торам и гиперповерхностям уравнений исходного семейства. [c.27]

ИНВАРИАНТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ — вид интегрирования для Ф-ЦИ11, аргументом к-р[,гх являются элементы группа или точки однородного пространства (любую точку такого пространства можно перевести в другую заданным действием группы). И. и. согласовано с действием группы значение интеграла не меняется при заменах переменных, отвечающи.х этому действию, а якобиан замены равен 1. [c.136]

Принципы И. делятся на два осн. класса. И. первого класса, наиб, фундаментальная, характеризует геом. структуру пространства-времепи. Однородность и изотропность нространства и однородность времени приводят к И. физ. законов относительно группы сдвигов координат и времени и пространств, вращений. Для изолиров. системы отсюда следует сохранение импульса, энергии и момента импульса. Эта И. является составной частью относительности принципа, содержащего дополнительно утверждение об И. относительно выбора инерц. системы отсчёта. В нерелятивистской теории полной группой И. является группа Галилея (см. Галилея принцип относительности), а релятивистская И.— это И. относительно преобразований Пуанкаре группы. И. первого класса универсальна и отиосится ко всем типам взаимодействий, к классич. и квантовой теории. В квантовой теории поля столь же универсальна СРТ-Ж. (см. Теорема СРТ), следующая из релятивистской инвариантности и причинности принципа. [c.137]

В силу Нетер теоремы иа инвариантности действия S относительно каждой однопараметрич. группы следует сохранение (независимость от времени) одной, явно указываемой теоремой, интегральной ф-ции от и. и Поскольку сама группа Пуанкаре 10-пара- [c.301]

С точки зрения развитой пока теории такие лагранжианы взаимодействия Lint могли бы быть любыми ф-циями полей и их первых производных, удовлетворяющими лишь ряду простых условий 1) локальности взаимодействия, требующей, что бы Lintix) зависел от разл. полей и (л ) и их первых производных только в одной точке пространства-времени х 2) релятивистской инвариантности, для выполнения к-рой должен быть скаляром относительно преобразований Лоренца 3) ин-вариантности относительно преобразований из групп внутренних симметрий, если таковые имеются у рассматриваемой модели. Для теорий с комплексными нолями сюда, в частности, входят требования эрмитовости лагранжиана и инвариантности относительно допустимых в таких теориях калибровочных преобразований. [c.302]

В частности, всякое релятивистское описание должно быть инвариантно относительно трансляций и вращений в 4-пространстве (образующих 10-пар аметрич. группу Пуанкаре). Инвариантность S относительио преобразований группы Пуанкаре приводит к сохра-ысиию четырёх компопеит энергии-импульса и шести [c.544]

Примеры П. и. 1]. Отклонение зависящей от координат плотности атомов в кристалле от её ср. значения преобразуется под действием общей группы трансляций и пространственных вращений, входящих в группу симметрии G изотропной жидкости, но остаётся инвариантным относительно преобразований из пространственной группы симметрии кристалла. 2). Анизотропная часть тензора. диэлектрич. проницаемости в жидком кристалле преобразуется под действием группы пространственных вращений как симметричный тензор с нулевым следом. 3). Намагниченность в ферромагнетике преобразуется как вектор при вращениях подсистемы спинов и меняет знак при обращении времени. 4). Волнован ф-ция Y бозе-кошденсата в сверхтекучем Не (см. Гелий жидкий. Сверхтекучесть) преобразуется под действием калибровочного преобразования группы И ), входящей в группу G изотропной жидкости Ч — Р ехр(гф). 5). Комплексная матрица Ааг в сверхтекучем 3fle преобразуется как вектор по второму индексу при пространственных вращениях, как вектор по первому индексу при спиновых вращениях, умножается на ехр((ф) при калибровочных преобразованиях, переходит в комплексно сопряжённую матрицу при обращении времени и меняет знак при пространственной инверсии. Согласно теории Ландау, равновесное значение П. п. вблизи фазового перехода 2-го рода находят, минимизируя функционал Гинзбурга — Ландау, инвариантный относительно преобразований из группы G. [c.534]

Квантовая механика ставит в соотвегствие каждой частице поле её волновой ф-цин, дающее распределение различных, относящихся к частице физ, величин. Концепция поля является основной для описания свойств элементарных частиц в их взаимодействий. Конечная цель в этом случае — нахождение свойств частиц из ур-ний поля и перестановочных соотношений, определяющих квантовые свойства материи. Возможный вид ур-ний поля ограничен принципами симметрии и инвариантности, являющимися обобщением эксперим. данных. Лоренц-ковариантность, напр., требует, чтобы волновые ф-ции частиц преобразовались по неприводимым представлениям группы Лоренца. Таких представлений бесконечно иного, однако только часть пз них реализована в природе и соответствует тем или иным элементарным частицам. Реально используются наиб, простые ур-вин полей, являющиеся локальными и не-ревормвруемыми. Попытки построения теорий, не удовлетворяющих этим требованиям,— нелинейной, нелокальной и т. п. теорий поля — влекут за собой пересмотр ряда важнейших принципов, существенных при физ. интерпретации теории (принцип суперпозиции, положительность нормы волновой ф-цив н т. Д.). [c.56]

ЯНГА—МИЛЛСА ПОЛЯ—векторные поля, реализующие присоединённое представление полупростой компактной группы Ли (см. Представление группы) и обеспечивающие инвариантность теории относительно калибровочных преобразований. Впервые введены Ч. Янгом ( h. Yang) и Р. Миллсом (R. Mills) в 1954, исходя из требований инвариантности действия относительно изотопических преобразований с фазой, зависящей от координат [c.690]

Таким образом, мы можем классифицировать 16 электронных, спиновых состояний четырехэлектронной молекулы по - типам симметрии групп К (П) и Sjf. Изложенный выше метод применим и к молекуле, содержащей произвольное число электронов, однако если состояния различной мультиплетности относятся к одному и тому же типу симметрии группы Sif , то необходимо использовать коэффициенты векторного сложения для определения комбинаций произведений функций, преобразующихся по неприводимым представлениям групп и К (П). Электронные спиновые функции не зависят от ядериых координат и поэтому преобразуются по полносимметричному неприводимому представлению группы G". Спиновые функции также инвариантны относительно Е (S — аксиальный вектор) и имеют положительную четность. [c.117]

После установления С. Ли канонического варианта взаимосвязи, в силу отождествления первых интегралов с производящими функциями бесконечно малых канонических преобразований симметрии системы, теорему Пуассона — Якоби можно было бы сформулировать следующим образом инвариантность закона сохранения системы (интеграл движения Gj) относитель-ппо но бесконечно малого канонического преобразования с производящей функцией ( 2 имеет следствием постоянство соответствующих скобок Пуассона Gil, которые в некоторых случаях дают новый закон сохранения = = [Gi, G ] = onst (в остальных случаях, как известно, [G , G2I обращаются в нуль или выражаются как функции G и G . Большого практического значения теорема Пуассона — Якоби не имела, так как для клас-ческих интегралов, связанных с евклидовой группой и однородностью времени, она приводила к тем же самым, т. е. уже известным, интегралам (например, [Мх, Му = Mz, [Мх, Ру = Pz,. .., где Мх, Му, Mz, Рх, Ру, Pz — соответственно х, г/, z-компоненты момента импульса и импульса) или вообще не давала интегралов, приводя к обращению в нуль скобок Пуассона (например, [Рх, Ру] = [Рх, Pz] = [Ру, Pz] = [Н, Рх] = [Я, Ру] =. .. = 0). [c.238]

Рассмотрим теперь вопрос о группах симметрий уравнений Ньютона, т.е. о тех группах преобразований, которые переводят инерциальные системы отсчета снова в инерциальные. При этом, как уже отмечалось во введении, следует различать понятия инвариантности и ковариантности уравнений по отношению к тем или иным преобразованиям переменных и времени. Если мы хотим рассмотреть вопрос об инвариантности уравнений в какой-то конкретной задаче механики, то следует иметь ввиду конкретную зависимость сил от времени, координат и скоростей, и инвариантность изучать с учетом этой зависимости. Если же нас интересует инвариантность правила составления уравнений, а не самих уравнений (ковариантность уравнений), то зависимостью силы от указанных переменных интересоваться не нужно, рассматривая сами силы в качестве дополнительных преобразуемых переменных. При решении вопроса о связи инерциальных систем отсчета друг с другом нас интересует именно вторая постановка. [c.267]

Механика континуума, являясь классической теорией поля, не может быть исключением исследование обобш,енных симметрии и инвариантных групп для функционала действия есть, по-видимому, не только самое мощное средство проникновения в сущность самой механики континуума, но и регулярный метод вывода инвариантных интегралов нелинейной механики, которые часто (как об этом убедительно свидетельствует опыт механики разрушения) могут иметь и важное прикладное значение. [c.658]

Это означает, что К является инвариантом двух групп врагцения 7з и /4 и инвариантным многообразием группы подобия. [c.168]

Это представление называется коприсоединенным представлением группы и играет важную роль во всех вопросах, связанных с (лево) инвариантными метриками на группе. [c.286]

Независимость величины 1Ч р от выбора точки х на орбите / вытекает из симплектичности действия группы С на Л/ и инвариантности Мр. Итак, на Рр определена дифференциальная 2-форма [c.343]

Если гамильтониан Н зависит от координат, но удается выбрать избыточные координаты так, что все компоненты левоинвариантных полей v ( ) линейны по q, то скобка (2.13) становится обычной скобкой Ли-Пуассона, а все геометрические зависимости для избыточных переменных будут ее функциями Казимира или инвариантными соотношениями. Этого можно добиться, если воспользоваться матричной реализацией группы Ли, а в качестве избыточных кооординат выбрать компоненты ее матриц. Полученная в этом случае структура Ли-Пуассона соответствует полупрямой сумме g К , где К — пространство матриц п х п, g — алгебра Ли данной группы, и называется естественной канонической структурой кокасателъ-ного расслоения к группе Ли. Таким способом могут быть получены, например, уравнения движения твердого тела в направляющих косинусах и моментах (см. 4). Матричная реализация групп Ли используется также в динамике многомерного твердого тела [24, 31]. [c.37]

В 3.1 было введено несколько инвариантов, описьшающих асимптотический рост сложности структуры орбит. Наиболее непосредственную информацию такого рода содержат такие инварианты, как рост числа периодических орбит (3.1.1) и топологическая энтропия (определение 3.1.3), отражающая скорость роста числа орбит, различимых с ограниченной точностью. С другой стороны, мы определили энтропию фундаментальной группы (3.1.23) и спектральные радиусы действия данного преобразования на группах гомологий (п. 3.1 д), которые не столь непосредственно отражают рост топологической сложности орбит с гомотопической и гомологической точек зрения. Очевидное преимущество последних инвариантов состоит в том, что их, вообще говоря, легче вычислять, так как они инвариантны относительно гомотопической эквивалентности. Например, поскольку каждое отображение тора гомотопически эквивалентно линейному отображению (подробнее см. в 2.6 и 8.7), для вычисления энтропии фундаментальной группы и спектральных радиусов действий на группах гомологий достаточно рассматривать лишь линейные отображения. В данной главе мы покажем, как с помощью этих гомотопических и гомологических инвариантов получить информацию относительно роста сложности орбит, т. е. установим количественную связь между ростом (и, в частности, существованием) периодических орбит и топологической энтропией с одной стороны и этими топологическими характеристиками с другой. [c.314]

В этом параграфе мы рассматриваем группы, снабженные топологией, инвариантной относительно групповых операций. Топологическая группа — это группа с такой топологией, что все левые сдвиги g - ддд, правые сдвиги д -> дд к отображение 31- д являются гомеоморфизмами. Хорошо известные элементарные примеры — это К" с операцией сложения, окружность и тор. В этих случаях групповые операции, очевидно, являются диффеоморфизмами. Другие важные примеры включают группы матриц относительно умножения, напрнмер ОЦп, ), 5Ь(п,К) и другие группы, описанные после определения П 3.1. Топологическая группа называется локально компактной, если любая точка (или, что эквивалентно, единичный элемент) имеет окрестность, замыкание которой компактно. На такой группе имеется единственная с точностью до скалярного множителя локально конечная борелевская мера, инвариантная относительно правых сдвигов, которая называется правой (илн правоинвариантной) 1 мерой Хаара. Аналогичным образом, левая (илн левоинвариантная мера Хаара — это единственная с точностью до скалярного множителя борелевская мера, инвариантная относительно всех левых сдвигов. Эти меры конечны тогда и только тогда, когда группа компактна. Наиболее интересны и важны для нас ситуации, когда правоинвариантная мера Хаара является также и левоинварнантной. Это имеет место для всех коммутативных групп, компактных групп и, что особенно важно, для унимодулярных линейных групп, т. е. замкнутых подгрупп группы ЗЦп, К) всех (п х п)-матрнц с определителем единица. Группы, для которых левая и правая меры Хаара совпадают (и естественно называются просто мерой Хама), называются унимодулярными, и мы будем обсуждать только такие группы. [c.719]

Кроме того, по ходу развития самого метода интегрирования зачастую возникала потребность в специальном исследовании ряда разделов теории Ли, что привело, в частности, к новому способу упорядочения корней простых алгебр Ли и асимптотическому методу в теории представлений некомпактных групп Ли [50]. Благодаря этому удалось получить явные выражения для многих алгебраических и групповых величин теории, таких, как, например, мера Хаара на компактных группах и старшие векторы их неприводимых представлений, инфинитезимальные и инвариантные операторы, векторы Уиттекера и мера Планше-реля полуиростых групп Ли, сплетающие операторы и другие. Многие из этих результатов, полученных сравнительно недавно и не нашедших пока отражения в литературе (помимо оригинальных статей), существенным образом используются при изучении нелинейных динамических систем. [c.10]

Корневые пространства всех перечисленных супералгебр Ли за исключением Л (1,1) одномерны (с1 т а=1), а, р)=0 при а + р О, [ а, р1 Ф О, только если а, р и а -Ь р принадлежат Кроме того, системы / о и инвариантны относительно группы Вейля 1 7( ц). Для того чтобы в дальнейшем [c.52]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...