Отображение на торе

Опрокидывание волн 144 Ослабления корреляций принцип 107 Островки устойчивости 78, 95 Отображение на торе 54 [c.270]

Можно показать [14], что перемешивание влечет за собой эргодичность. Однако обратное неверно из эргодичности не следует перемешивание. Это сразу видно на примере отображения на торе [c.299]

Представляет большой интерес выяснение сценариев перехода от периодического режима, отвечающего наличию устойчивого цикла на торе, к режиму непериодических колебаний, которому может соответствовать странный аттрактор. Это важно, в первую очередь, потому, что численное и лабораторное или даже натурное исследование большого количества физических и других задач (течение Куэтта, конвекция в плоском слое жидкости, генерация колебаний и радиотехнических и СВЧ генераторах и т. д.) показывает, что возникновение стохастических колебаний при разрушении двумерного тора, на котором число вращения рационально, — широко распространенное явление. Прежде, чем инвариантный тор разрушится, он должен потерять гладкость, оставаясь еще некоторое время топологическим подмногообразием фазового пространства. Способы потери удобно демонстрировать на примере отображения кольца в себя, которое при начальных значениях параметров имеет гладкую инвариантную кривую. Конкретный вид отображения здесь несуществен, например, оно может быть таким, как в [34], или [c.49]

Предложить приближенный метод расчета поля температуры тора применительно к формовой вулканизации изделий, используя прием отображения на пластину. [c.214]

Учитывая уникальность и метода и аппаратурной реализации ЛП-лидаров, дадим для иллюстрации краткое описание ЛП-ли-дара с твердотельным лазером на рубине и выносным зеркальным отражателем. Резонатор лазера образован диэлектрическим зеркалом и выходным зеркалом, роль которого выполняет торец линзы с диэлектрическим покрытием. Предусмотрена система вакуумирования до 10- тор и заполнения заданным газовым составом с регулируемыми парциальными давлениями газов активной части резонатора и полости телескопа. Лазер работает в импульсно-периодическом режиме с частотой 0,5 Гц, без модуляции добротности. Часть излучения выводится через зеркало резонатора с коэффициентом пропускания 1—2 % и поступает на систему регистрации. В лидаре предусмотрены отображение на осциллографе кинетики мощности лазерной генерации, а также регистрация тонкой структуры спектра лазерной генерации с по- [c.216]

Рассмотрим непрерывное отображение инвариантного тора Т (/1, 12, 1з) на подвижную сферу 5 , определяемое формулами 1 = (р2), Ф = р2)- Образ тора Т при этом отображении обозначим через В. Пусть В — область 8" в подвижной системе, получающаяся из В поворотом на угол фо — Л 1, (р2)- Конфигурация области В зависит только от постоянных первых интегралов, а ее положение зависит еще от начальных фаз (р, и начального положения линии узлов. В подвижной системе отсчета движение точки р происходит в замкнутой области В. Если отношение частот Ш1/Ш2 рационально, то траектория точки р является замкнутой кривой, если же 1/ 2 иррационально, то, очевидно, р заметает В всюду плотно. [c.216]

Отображение на бесконечную плоскость. Распространим тор (7.15) на плоскость 2 с помощью преобразования [c.181]

Каждой траектории в фазовом пространстве соответствует кривая на торе отображение в Р. Это отображение задается двумя функциями (О и 2(0- Как мы показали, координаты и 2 выбраны так, что для любой траектории и ( 2 - постоянные величины (они зависят только от уравнений поверхности и постоянных ах и а2 и при фиксированных а1 и аг для всех траекторий одинаковы). [c.268]

Система (5.11)-(5.13) допускает следующее геометрическое описание. На торе = ( 1,52) mod 2 рассмотрим кривую Л(г ), являющуюся образом кривой L(s ) при отображении rj,rj ) ( 1,52) = [c.200]

Однако проще непосредственно построить подходящую функцию на торе. Действительно, отображение А имеет вид [c.390]

Отображение Т является произведением отображений действия толчка и свободного вращения на торе. Интегрируя (1.5) по малой области в окрестности момента толчка и, находим [c.76]

Подчеркнем взаимосвязь между сдвигами на торе и линейными отображениями. Пусть отображение А К " задается матрицей [c.46]

Сравним асимптотические свойства отображения и сдвигов на торе, которые мы обсуждали в 1.4. [c.59]

По лемме 1.4.2 каждое топологически перемешивающее отображение топологически транзитивно. С другой стороны, никакой сдвиг не является топологическим перемешиванием. Это следует из того факта, что сдвиги сохраняют метрику на торе, индуцированную стандартной евклидовой метрикой R", и из следующего общего критерия. [c.59]

Конструкция примера из этого раздела может быть обобщена, например, так. Пусть L R R — некоторая целочисленная (гтг х т)-матрица с определителем + 1 или —1 и без собственных значений, по модулю равных единице, т. е. гиперболическая матрица. Тогда LZ = Z и отображение L обратимо на Z , так что L определяет обратимое отображение т-тора которое имеет свойства, очень сходные с рассмотренными ранее свойствами Fj . Мы будем называть такое отображение гиперболическим автоморфизмом тора. Если опустить ограничение на определитель L, возникающее в результате отображение все еще может рассматриваться как отображение тора, хотя и не обратимое. Такие отображения называются гиперболическими эндоморфизмами тора. Для m = 1 это просто растягивающие отображения окружности. [c.60]

Подставляя решения (2.6.4) и (2.6.6) в (2.6.3) и проецируя отображение ld +/i на тор, получаем решение уравнения (2.6.1), которое, как легко видеть, является единственным среди непрерывных отображений R , гомотопным тождественному. [c.101]

Легко видеть, что ни один из примеров в первой части нашего обзора (повороты окружности, сдвиги тора, линейные потоки на торе, вполне интегрируемые гамильтоновы системы и градиентные потоки) не является разделяющим. С другой стороны, оказывается, что все примеры из второй части (растягивающие отображения окружности, топологические цепи Маркова, гиперболические автоморфизмы тора) обладают этим свойством. [c.136]

В определенных случаях анализ индексов неподвижных точек с необходимостью приводит к заключению об экспоненциальной скорости роста числа периодических точек. В наиболее общей постановке этот вопрос является предметом теории Нильсена, которая объединяет гомотопии и гомологии, рассматривая индексы неподвижных точек различных поднятий данного отображения на универсальное накрытие. Среди ограниченного набора многообразий, которым уделяется специальное внимание в этой книге, эта теория дает нетривиальные результаты для отображений торов произвольных размерностей и поверхностей более высокого рода. Здесь мы сосредоточим внимание на отображениях торов, для которых основные идеи теории Нильсена могут быть представлены очень наглядно и без больших топологических затруднений. [c.338]

Замечание. Последний результат не зависит от структуры прямого произведения на пространстве. Те же самые соображения показывают, что аналогичный результат имеет место для расширений отображений на произвольном расслоении над Л со слоем тор. [c.615]

В силу принципа Мопертюи каждой п-звенной периодической траектории биллиарда Биркгофа соответствует критическая точка функции длины L на торе Т". С другой стороны, периодические решения динамических систем являются неподвижными точками отображения Пуанкаре. [c.66]

Рассмотрим свойство эргодичности на примере движения на торе, задаваемом отображением [c.292]

Отображение (5.2.4) соответствует движению интегрируемой гамильтоновой системы на инвариантном торе (01, бг). Можно сказать, что это движение эргодично на торе, но не эргодично во всем фазовом пространстве. Из рассмотренного примера квазипериодического движения ясно, что эргодичность еще не означает стохастичность. С другой стороны, наше определение эргодичности позволяет считать эргодическим стохастическое движение и в некоторой ограниченной области фазового пространства, например в стохастическом слое. Однако такое определение может оказаться не очень удобным в том случае, когда область стохастичности содержит много островков устойчивости ). [c.294]

Точка есть пересечение шаров р — рЛ < 7 , 8 оо. Из оценки (П34.43) немедленно следует сходимость отображений В , з оо, на торе [c.263]

Глобальные бифуркации систем с глобальной секущей на торе. Исследование потоков на торе с глобальной секущей сводится к исследованию диффеоморфизмов окружности (являющихся отображениями последования). Здесь основной характеристикой, определяющей топологическую структуру, является число вращения Пуанкаре. Оно же характеризует глобальные - бифуркации, осуществляющиеся при изменении параметра. [c.104]

Заметим, что условие гомологичности тождественному отображению существенно, как видно уже из примера свига на торе, не имеющего ни одной неподвижной точки. [c.387]

Отметим очень существенное различие между отображениями из всех предыдущих примеров и растягивающими отображениями. В большинстве примеров возвращение либо было очень простым, т. е. имелись только неподвижные точки, как в случаях сжимающих отображений, гиперболических линейных отображений и градиентных потоков, либо, если нетривиальное возвращение имело место, все возвращающиеся орбиты вели себя одинаково, как в случаях сдвигов и линейных потоков на торах. Нужно оговориться, что для общих вполне интегрируемых систем различные орбиты ведут себя по-разному и в то же время нетривиальное возвращение имеет место. Однако фазовое пространство таких систем распадается на инвариантные множества (торы), и все орбиты на таком торе имеют одинаковую структуру. Орбиты же растягивающих отображений с различным поведением (периодического типа, плотные или с замыканием типа канторова множества) переплетены и не могут быть отделены друг от друга. Это делает структуру орбит очень сложной, асимптотическое поведение отдельной орбиты неустойчивым и очень чувствительным к начальному условию. Более того, любые две орбиты будут расходиться друг от друга с экспоненциальной скоростью, пока они не разойдутся на достаточно большое расстояние 6. Следовательно, невозможно предсказать поведение орбиты в течение длительного времени, если начальная позиция известна только с ограниченной точностью. Например, выполнение итераций Е2 на ЭВМ будет, очевидно, давать всего лишь столько осмысленных итераций, сколько есть значащих двоичных цифр в начальных данных. Кроме того, любое увеличение точности будет давать весьма скромное увеличение времени, в течение которого можно делать какие-либо предсказания о поведении данной орбиты удвоение числа значащих цифр в начальных данных и вычислении не более чем удвоит диапазон времени, в течение которого эти предсказания возможны. Аналогично, сокращение ошибки в измерении начальных данных вдвое даст всего лишь возможность произвести еще одну осмысленную итерацию. [c.55]

Здесь мы перешли к аддитивной системе обозначений. Так как с1е1 Ь > 1, то отображение не обратимо. Эта конструкция, очевидно, обобщается на случай произвольной размерности. Пример растягивающего отображения на дифференцируемом многообразии, отличном от тора, приводится в 17.3. [c.84]

Рассмотрим отрицательную величину функции высоты на вертикальном торе (см. рис. 1.6.1). Покажите, что риманова метрика на торе может быть возмущена таким способом, что отображение сдвига градиентного потока за единичное время является отображением Купки — Смейла. [c.304]

Осложнения, которые мы встречаем в теории отображений окружности низкой (ниже С ) регулярности, а именно пример Данжуа (см. предложение 12.2.1), возникают и для торов. Так, специальный поток над отображением Данжуа, построенный в 12.2, является потоком на торе, который демонстрирует поведение в духе примера Данжуа и, в частности, не сопряжен топологически со специальным потоком над вращением. [c.461]

Следствие 14.2.7. Пусть —С°°-поток на торе Т , сохраняющий элемент площади класса С°° и имеющий такую трансверсаль, что индуцированное отображение обладает диофантовым числом вращения. Тогда поток С°°-сопряжен линейному потоку. [c.462]

В этом параграфе будет показано, что в случае диффеоморфизмов Аносова на торе структурная устойчивость приводит к глобальной классификации. Мы уже видели в 2.6, что в пределах гомотопического класса гиперболического автоморфизма любое отображение / (и, следовательно, любой диффеоморфизм Аносова) имеет линейную модель в качестве фактора. Сначала будет показано, что любой диффеоморфизм Аносова гомотопен линейному гиперболическому. Ключевую роль в доказательстве этого факта играют теорема 18.5.6 и формула Лефшеца (8.6.1). Затем мы докажем, что полусопряжение с линейнои моделью на самом деле инъективно, следовательно, является гомеоморфизмом. В качестве промежуточного результата, представляющего независимый интерес, покажем, что неблуждающее множество совпадает со всем тором. [c.588]

Поскольку по теореме 18.6.1 диффеоморфизмы Аносова на торе сопряжены с линейными моделями, для которых отображения голономии гладки, мы получаем еще одно следствие. [c.602]

Биллиард в М назовем эргодическим, если нельзя разбить в сумму двух непересекающихся измеримых областей положительной меры, инвариантных относительно отображения Ч . Тор Т является топологическим пространством со счетной базой окрестностей, причем каждое его непустое открытое подмножество имеет положительную меру. Поэтому, как доказывается в эргодичес-кой теории, в предположении эргодичности для почти всех (ф1, фг) =1 зеТ2 траектория точки г ) (т, е. последовательность Ч "(г )) о°) всюду плотна на Р (см., например, [25 53]). [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...