Инвариантность функций относительная

ПОНЯТИЕ ИНВАРИАНТНОСТИ функции относительно преобразования. Начнем с примера. [c.58]

Понятие структурной устойчивости, по-видимому, играет в биологии фундаментальную роль в более глубоком смысле, чем в образовании различных видов при деформации сетки (рис. 1.13.1). Насколько можно судить, в пределах вида организмы обладают четко выраженной инвариантностью функций относительно пространственных или временных деформаций. Это иногда затрудняет выполнение точных (и воспроизводимых) физических измерений на биологических объектах. Вероятнее всего, в таких случаях необходимо искать группы преобразований, относительно которых остается инвариантной функция органа (или животного). Свойством инвариантности, по-видимому, обладает даже самый сложный орган — человеческий мозг. Именно это свойство позволяет нам распознавать, например, букву а, даже [c.57]

Здесь МЫ опять сталкиваемся с тем фактом, что функция Гамильтона инвариантна лишь относительно склерономных преобразований, в то время как в реономном случае появляются дополнительные корректирующие члены. [c.237]

Теорема Нетер гласит, что всякому непрерывному преобразованию координат, обращающему в нуль вариацию действия, при котором задан также закон преобразования функций поля, соответствует определенный инвариант, т. е. сохраняющаяся комбинация функций поля и их производных ). Так, инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета в пространстве (однородности пространства) соответствует закон сохранения количества движения инвариантности лагранжевой функции относительно смещения начала отсчета времени (однородности времени) соответствует закон сохранения энергии инвариантности относительно пространственных поворотов (изотропности пространства) соответствует закон сохранения момента количества движения. Инвариантность относительно преобразований Лоренца ), т. е. вращений в плоскостях (х,/), (у,/), (2,0, приводит к обобщенному закону сохранения движения центра тяжести. Таким образом, в четырехмерном пространстве времени имеем всего десять фундаментальных законов сохранения. [c.863]

Лагранжа функция, зависящая от обобщённых координат Ца и скоростей д ) инвариантность. 3 относительно образующих группу преобразований с параметром е [c.340]

Пусть выполняются условия (1.2.15) инвариантности функций релаксации относительно переноса точки отсчета по времени. Тогда [c.150]

Формулу (1.3.56) легко доказать, если операторная функция f A) раскладывается в степенной ряд по Л, т.е. f A) = Y nA . Тогда, используя инвариантность следа относительно циклической перестановки операторов, имеем [c.58]

Символом обозначена процедура упорядочения, в результате которой операторы располагаются слева направо в порядке убывания значений переменной х. Для ферми-систем, как и раньше, вводится множитель г] = (—1) , где V — число перестановок фермиевских операторов при упорядочении. Благодаря инвариантности следа относительно циклической перестановки операторов, функция (6.1.44) зависит фактически от п — 1 независимых переменных. Выполняя фурье-преобразование по этим переменным, можно выразить функции типа (6.1.44) через спектральные плотности, зависящие от нескольких частот. Впрочем, для практического вычисления средних значений такое представление менее удобно, чем спектральное представление функций Грина (6.1.19). [c.16]

Прежде чем производить дальнейшие вычисления, сделаем одно замечание. Как известно из электродинамики, правильная теория должна обладать свойством градиентной инвариантности. В статическом случае это сводится к инвариантности уравнений относительно преобразования Л— -Л + Тф, где ф—любая скалярная функция. Связано это с тем, что физический смысл имеет только магнитное поле Я = rot Л. Если же фурье-компонента векторного потенциала явно входит в уравнения, то допустимой является лишь комбинация [c.310]

Теорема. Фазовая кривая системы с 6-инвариантной функцией Гамильтона является относительным равновесием тогда и только тогда, когда она является орбитой однопараметрической подгруппы группы С в исходном фазовом пространстве. [c.346]

Инвариантность обобщенной функции относительно в, и) определяется, как можно было ожидать, как [c.60]

Нас будет интересовать задача о наличии у уравнения (31) голоморфных интегралов Р -.О хХ- С. Так как любой интеграл Р г, t) постоянен на решениях уравнений (34), то при каждом функция Р г,1о) инвариантна относительно действия группы монодромии О. Это свойство налагает жесткие ограничения на вид первых интегралов если группа О достаточно богата>, то инвариантными функциями (интегралами) являются лишь константы. [c.261]

Ввиду инвариантности функции Е щ) относительно совместного вращения всех точек Рк,Ц-к) на произвольный угол, разложение функции Е ги г,в)) в ряд Тейлора одно и то же в окрестности любого равновесия семейства Г. Как показано в Дополнении С, с точностью до квадратичных слагаемых оно имеет следующий вид (см. С82) [c.263]

Функции на В называются инвариантами (так как для а В —> С функция аож С> —> С инвариантна относительно группы отражений, и любая инвариантная функция допускает представление аож). [c.82]

Доказательство. Евклидов градиент инвариантной функции тг а инвариантен относительно отражений. Следовательно, он касается зеркал. Таким образом, проекция этого градиента на многообразие орбит касается проекции зеркал, что и требовалось доказать. [c.83]

Рассмотрим таблицу Юнга Т м, M==N — Mi которая получается из вычеркиванием первой строки. Чтобы построить базис представления лг, построим вначале скалярные функции перестановки я е ял , которые инвариантны справа относительно перестановок первых индексов и образуют базис представления м по М последующим индексам. В конечном счете будет произведена редукция Т n м [М . [c.271]

Во-вторых, для того специального класса динамических систем, которые описываются функциями Лагранжа типа (7), инвариантность уравнений относительно преобразований Галилея вообще не ведет ни к каким новым следствиям. Дело в том, что при преобразовании Галилея, как уже отмечалось при обсуждении преобразования энергии, второй член в выражении (7) вовсе не испытывает никаких изменений, и все сводится к изменению кинетической энергии, которая при выполнении допущения (7) есть просто сумма кинетических энергий отдельных материальных точек системы. А вид кинетической энергии одной свободной материальной точки как раз и устанавливался в 4 исходя из требования максимально допустимого изменения при преобразовании Галилея — т. е. изменения на полную производную. [c.42]

Следует отметить, что функция Гамильтона инвариантна также относительно зеркальных отображений от центра тяи<ести системы [c.179]

Эти зеркальные отображения перестановочны со всеми вращениями. Поэтому каждая собственная функция должна при таких отображениях просто умножаться на постоянный множитель. (Можно также представить себе, что благодаря введению внешнего магнитного поля, вырождение, связанное с группой вращений, совершенно снимается без нарушения инвариантности функции Гамильтона относительно зеркальных отображений.) Двукратное зеркальное отображение даёт тождественное преобразование. Поэтому фактор е, определяемый равенством [c.179]

Из общих теорем предыдущего параграфа вытекает, что стационарные состояния составной системы должны распадаться на различные системы — серии термов, которые соответствуют различным неприводимым представлениям группы перестановок. Кроме того, матричные элементы симметричных величин отличны от нуля только, если начальное и конечное состояние принадлежит одной и той же серии термов. Если представление имеет степень 1, то термы не вырождены (случайное вырождение или такое вырождение, которое связано с инвариантностью гамильтоновой функции относительно другой группы, отличной от группы перестановок, мы пока не рассматриваем) собственные функции при каждой перестановке умножаются на численный множитель. В более общем случае, когда представление имеет степень Н, соответствующие уровни энергии /г-кратно вырождены. В соответствующем Л-мерном линейном векторном пространстве собственных функций можно найти базис из ортогональных друг другу и нормированных собственных функций [c.188]

Таким образом, из инвариантности функции Лагранжа относительно трансляций в трехмерном пространстве следует, что полный импульс системы есть интеграл движения. [c.14]

Показать, что из инвариантности функции Лагранжа относительно группы трехмерных вращений следует, что полный момент количества движения системы есть интеграл движения. [c.14]

Разложение регулярного представления, которое реализуется на функциях Р , сводится к разложению пространства В на неприводимые инвариантные подпространства относительно группы. Воспользуемся сейчас тем, что функцию Р мы выбрали в виде произведения (15.10). Это позволит нам наряду с оператором р перестановки аргументов рассматривать также оператор Р перестановки функций V , определяемый следующим равенством [c.177]

Вопросы, связанные с интегралами уравнений движения, будут полнее рассмотрены в следующей главе —для этой цели удобнее записывать уравнения в канонической форме. Здесь же, в заключение, мы рассмотрим способ получения интегралов, основанный на инвариантности функций Лагранжа относительно бесконечно малых преобразований переменных. [c.233]

Мы видим, что инвариантность функции Лагранжа при варьировании циклической координаты связана с сохранением соответствующего обобщенного импульса инвариантность при варьировании времени —с сохранением обобщенной энергии. Таким образом, показано, что инвариантность функции Лагранжа относительно некоторого преобразования переменных есть достаточное условие существования интеграла уравнений Лагранжа 2-го рода. [c.238]

Поскольку в общем случае функции fi(Aei) и f2(Aei) зависят от напряженного состояния, уравнения типа (2.87) не являются инвариантными относительно этого состояния. Поэтому использование уравнений типа (2.87), полученных при испытаниях одноосных образцов, для анализа повреждаемости материала в окрестности вершины трещины не является правомерным. [c.131]

Среди детерминированных методов поиска необходимо отметить также ряд методов, не связанных с вычислениями градиента функции качества метод Гаусса — Зей-деля [5.27], метод Пауэлла [5.28, 5.29], метод Розенбро-ка [5.30, 5.31] и др. В этих методах процесс минимизации осуществляется последовательно вдоль п ортогональных направлений, причем для каждой серии поиска может быть выбрана своя ортогональная система векторов. Такая стратегия поиска более инвариантна к положению функции относительно координатных осей и в ряде случаев позволяет более быстрым путем, не производя громоздких вычислений градиентов, находить экстремальные значения функции качества. [c.200]

Инвариантность функции Гамильтона относительно инверсии в классической механике не приводит к новым законам сохранения. Инвариантность гамильтониана в нерелятивистской квантовой механике по отношению к инверсии, означаюш ая коммутативность операторов Я и Р, приводит к закону сохранения четности. Имеется в виду, что четность состояния замкнутой системы не изменяется со временем. Обратим внимание на то, что с операт ом инверсии Р коммутативен также оператор углового момента М = — г/г(г х V), т.к. при инверсии знаки у г и V изменяются одновременно, т.е. система имеет определенную четность вместе с вполне определенным значением М. [c.472]

ТОМ параметра крутки К до нуля на штрихнунктирной кривой. При больших значениях К подъемная сила отрицательна. При дальнейшем увеличении К решение становится неединственным, что проявляется в неодносвязности поверхности. На плоскости Р, Q разрыву поверхности соответствует особая точка (Р, при б = — 1 (F<0). Следует отметить, что выбор области с положительными К не обязательно соответствует значениям О, а в силу инвариантности функции W(х) относительно замены Q на — Q или, что то же самое, К на — К, поверхность решений преобразуется симметрично относительно плоскости К —О, поскольку нри таких заменах "If (ж) меняет только знак. [c.247]

Свойства идеального и изотропного характера пластического течения приводят к тому, что функция (1) сохраняет свой вид во время всего процесса пластического течения, причем свойства изотропии требуют, чтобы функция (1) обладала инвариантными свойствами относительно определенного класса преобразований аргументов, обеспе-чиваюгцих их равноправие. [c.115]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

Б. Инвариантность производящей функции. Выше мы уже отмечали удручающую неинвариантность производящих функций относительно выбора канонической системы координат в симплектическом многообразии. [c.392]

То, что это условие достаточно, ясно из инвариантности R относительно умножения как а, так и на фазовый множитель Необходимость же его непосредственно следует из обращения в нуль коммутатора операторов q и а а. Другой и, возможно, более простой путь доказательства соотношения (6.10) основан на том, что стационарный оператор q является функцией гамильтониана только для одной моды, или аУа. Поэтому он диагонален в представлении п-квантовых состояний, т. е. п q т) = bnmi I Q I ) Исследование ряда (6.2) для R показывает, что он сводится в этом случае к выражению (6.10). [c.87]

Таким образом, цикличность обобщенных координат и сохранение отдельных обобщенных импульсов механической системы тесно связано с инвариантностью ее лангранжиана относительно преобразований (30.10). В свою очередь, инвариантность функции Лагранжиана относительно указанных преобразований связана с симметрией внешних силовых полей и наложенных на систему связей. [c.174]

Доказательство леммы 4.2.4. Так как для каждого множества нулевой меры р его / [-и /х -меры также равны нулю, по теореме Радона — Никодима меры и р могут быть заданы плотностями и относительно р, т. е. J dp = p.ip dp, г = 1, 2. По условию Apj -f- (1 — A)pj = U I Pi dp = P2 dp = и Pi pj. Следовательно, p ф onst, и, поскольку pi — /-инвариантная функция из пространства L , мера р не может быть эргодической. [c.158]

Если процесс рассеяния рассматривают в системе отсчета, в которой первоначальные направления движения сталкивающихся частиц неколли- неарны, то априори не ясно, как определять сечение. Ввиду инвариантности сечения относительно преобразований Лоренца, при которых первоначальные импульсы частиц остаются коллинеарными, обычно сечение определяют, чтобы оно было инвариантным относительно любых преобразований Лоренца. Для этого необходимо только сделать инвариантной величину Р. Но инвариантная функция, значение которой в системе отсчета с Р1 = О совпадает с (8.21), лмеет. вид [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...