Группа Вейля

Корневые системы и группа Вейля. Как отмечалось выше, структура алгебры Ли к) полностью определяется коммутационными соотношениями (2.8) для образующих и Л/, 1 г, порождающего подпространства к) и видом ее матрицы Картана к. Все остальные образующие алгебры к) получаются последовательной коммутацией операторов j, 1 г, не обращающейся в нуль на промежуточных этапах (что легко соблюсти при непосредственных расчетах учетом соотношений (2.13)). Вместе с тем, каноническая градуировка в общей постановке классифицирует подпространства а, 1, лишь по кратности вхождения любого из операторов в многократный коммутатор и не идентифицирует элементы внутри +а. [c.27]

Определим группу Вейля W ) алгебры к) как совокупность линейных преобразований пространства Ф, порожденных отражениями со,-, 1 г, относительно гиперплоскости а а(Ы) = 0 , [c.28]

Важным свойством преобразований из группы Вейля является инвариантность относительно них корневой системы / алгебры к) и билинейной симметричной формы на [c.28]

Таким образом, мультиплетная структура вложения полностью определяется собственными значениями /(/+ 1) матрицы Р, где Р1 = к к1], входящей в формулу (3.6). (Это, в свою очередь, позволяет выразить показатели группы Вейля непосредственно через матрицу Картана.) Матрица Р, как и матрица к, является, вообще говоря, несимметричной, и ее собственные векторы можно нормировать с помощью матрицы 9 такой, что 9 = Матрица 9 для всех простых алгебр Ли диаго- [c.45]

Е означает сумму по перестановкам из группы Вейля О. Сле- [c.242]

В случае простой особенности квадратичная форма отрицательно определена, группа монодромии Г является конечной группой, порожденной отражениями в евклидовом пространстве Яп-1(К., Я) и сохраняющей целочисленную решетку Нп- ЛУ, 2), т. е. группой Вейля. В виду этой связи, в начале параграфа мы описываем необходимые сведения о группах, порожденных отражениями. [c.126]

Системы корней., и группы Вейля ([152]-). Пусть R— конечное множество векторов евклидова пространства R", не содержащее нуля, линейная оболочка которого совпадает с R . Такое множество R называется системой корней в R , если (i) отражение s , a R, переводит множество R в себя, [c.134]

Теорема. Пусть аь---,ац — базис системы корней / . Тогда любой корень р является целочисленной линейной комбинацией элементов базиса (все коэффициенты которой одновременно или нуля). Целочисленные линейные комбинации корней порождают дискретную целочисленную решетку /.с=К , инвариантную относительно группы Вейля W R). [c.135]

Простые особенности и группы Вейля. Пусть f — эллиптическая особенность (п. 3.5). Тогда индекс пересечения (со знаком минус) определяет структуру евклидова пространства на (число переменных л=3(4)), группа мо- [c.136]

Теорема ([26], i[262]). Главное отображение периодов простой особенности продолжается до изоморфизма базы нереальной деформации Л в пространство орбит соответствующей группы Вейля В , переводящего, бифуркационную. диаграмму-нулей, S в ласточкин хвост Б (W ). [c.137]

Множество всех отмеченных базисов исчезающих циклов для простой особенности также допускает описание в терминах соответствующей группы Вейля. [c.137]

Теорема (см. [2]). Фронты, определённые семействами А, D, Е, локально диффеоморфны (в комплексной области) многообразиям нерегулярных орбит соответствующих групп, порождённых отражениями (то есть многообразиям групп Вейля, соответствующим простым группам Ли SUy,+i, Dk О к, ) [c.70]

Замечание. Список кристаллографических групп евклидовых отражений (или групп Вейля простых групп Ли) содержит ещё одну группу, G2 (группа симметрий правильного шестиугольника). Список неприводимых групп евклидовых отражений содержит, помимо групп Вейля, одну бесконечную серию, /г(р) (группы симметрий правильных р-угольников), и две исключительные группы, Яз (симметрий икосаэдра) [c.89]

Замечание. Мы сопоставили любой группе евклидовых отражений в -мерном пространстве (например, группе Вейля простой группы Ли ранга fl) алгебру Ли размерности fi. Соответствующая группа Ли есть группа линейных частей диффеоморфизмов, сохраняющих обобщённый ласточкин хвост . Такие линейные отображения сохраняют касательную гиперплоскость к ласточкину хвосту в его вершине, а также множество касательных пространств к различным стратам естественной стратификации обобщённого ласточкина хвоста (включая линию, соответствующую аннулятору максимального идеала). [c.94]

Краевые особенности. Простые особенности проектирований гиперповерхностей классифицируются (с точностью до комплексной стабильной эквивалентности) группами Вейля А ,. ..,Е4, то есть тем же [c.174]

Каустики и волновые фронты систем лучей изучаются с давних пор. Но только совсем недавно было установлено, что особенностями систем лу-чей управляет теория групп евклидовых отражений и групп Вейля простых алгебр Ли. Это неожиданное и в чём-то загадочное соотношение между геометрической оптикой, вариационным исчислением и теорией оптимального управления, с одной стороны, и теорией инвариантов групп Ли и алгебр Ли, алгебраической топологией и дифференциальной геометрией, с другой стороны, привело к значительному прогрессу в развитии теории распространения волн. [c.341]

В то время как лучи или фронты на многообразии без края связаны с группами Вейля серий А, В ж Е, особенности эвольвент описываются группами В, С, Р (с двойными связями в диаграммах Дынкина). [c.446]

Это вложение будем называть минимальным, имея в виду, что число мультиплетов при других способах вложения Л] в всегда больше ранга . (Имеются и другие названия для него, как-то главное, максимальное и т. п. в зависимости от тех или иных его характеристик, принятых за основу. Нам представляется предпочтительным термин минимальное .) Отметим, что спектр значений I углового момента для минимального вложения совпадает с показателями собственных значений ехр 2яЯу/с преобразования (О = (01. .. (Ог группы Вейля где с — порядок элемента ю (число Кокстера). [c.44]

Корневые пространства всех перечисленных супералгебр Ли за исключением Л (1,1) одномерны (с1 т а=1), а, р)=0 при а + р О, [ а, р1 Ф О, только если а, р и а -Ь р принадлежат Кроме того, системы / о и инвариантны относительно группы Вейля 1 7( ц). Для того чтобы в дальнейшем [c.52]

Обратим внимание на то, что любая перестановка функций Р+ с одновременной перестановкой Р , при которой сохраняется знак в правой части (1.26), также приводит к полному решению рассматриваемой системы и отражает инвариантность корневой системы алгебры Аг относительно ее группы Вейля. Такого рода инвариантность применительно к решениям уравнения Лиувилля впервые была отмечена Бьянки. [c.150]

Поэтому условие (ii) эквивалентно условию n( , а) = = 2<а, >/6Z. Система корней R называется приведенной, если для любого корня а она не содержит пропорциональных ему корней, кроме — а. Отражения в корнях порождают группу W(R), которая называется группой Вейля системы корней. Группа Вейля транзитивно действует на множестве корней одинаковой длины. В случае, когда W R) неприводима, R назы- [c.134]

Замечание. Всякая группа Вейля является группой Кокстера, но не наоборот. [c.135]

Хц+1=0 . Отражение, соответствующее корню ег—е , является перестановкой I и / координат группа Вейля этой системы корней совпадает с кокстеровской группой А . [c.135]

Для каждого зеркала Я группы W(R) имеется пара корней ч=а, ортогональных ему, т. е. 5 — огграженн е в зеркале Я. Пусть С — камера группы Вейля (/ ). Каждой стенке Я камеры С поставим в соответствие корень ортогональный ей и лежащий от нее по ту же сторону, что и С. Набор корней аь. .., ц называется базисом системы корней (относительно камеры С). Скалярное произведение элементов базиса < 1, ><0. Все базисы системы корней / сопряжены в группе Вейля 1Г(/ ). [c.135]

Теорема ( [13]). Пусть f — одна из простых особенностей типа Afi, D Е . Тогда множество исчезающих циклов в гомологиях неосо бого слоя Я -1 (V., R) является системой корней R того же типа, группа монодромии Г совпадает с группой Вейля W(R). Оператор классической монодромии h я вляется преобразованием Кокстера в группе W, его собственные значения exp(2nimj/ A ) определяются показателями ТП) группы Вейля W R). [c.137]

Теорема (Делань). >На>бор элементов Аь.. .,Дц системы корней R является отмеченным базисом исчезающих циклов соответствующей простой особенности в том и только том случае, когда произведение соответствующих им отражений Si ..Sn в группе Вейля W R) является элементом Кокстера h оператора классической монодромии. [c.137]

Конечные подгруппы 5С/з. простые особенности и группы Вейля. Конечная подгруппа 5С/з определяет простую особенность (как фактор по ее действию п. 1. 2.4), которая в свою очередь определяет соответствующую группу, порожденную отражениями (как группу монодромии). Таким образом, каждой группе правильного многогранника соответствует одна из кокстеровоких групп Л , Следующий результат [c.141]

Теорема ([279]). Пусть < —конечная подгруппа в 802, ц — ее естественное двумерное представление. Тогда соответствующий ему граф Г является пополненным графом Дынкина соответствующей группы Вейля, ее матрица Картана С=2Е—М, собственные значения матрицы Картана являются значениями характера представления / . [c.141]

Замечание. Пополненный граф Дынкина (граф аффинной группы Вейля) получается из обычной диаграммы Дынки-ла системы корней присоединением к базису системы корней [c.141]

Таким образом, дополнение к дискриминанту простой особенности является пространством (я, 1), где я — группа кос Брискорна [113], построенная по соответствующей группе Вейля. [c.16]

Здесь А — число Кокстера, а 1 1—порядок одноименно группы Вейля [112]. Напомним, что группа кос из ц нитей — это фундаментальная группа пространства многочленов 2 ,-+-,+а12 2 без кратных корней. [c.16]

Для простых краевых особенностей имеются отмеченные-базисы, в которых их диаграммы Дынкина выглядят как канонические диаграммы групп Вейля Ах, Оп, Еп, В , Си, [112] (рис. 4). [c.19]

Пусть О — дискретная группа, действующая на пространстве Лебега М, Ж, [х) с инвариантной мерой. Рассмотрим пространство ЛIXG и меру (яг—мера Хаара) на нем. В пространстве 2(МхС) рассмотрим слабо замкнутую алгебру операторов, порожденных операторами (х, g) = ср(х) (х, g) и (Uhf)(x,g)=f ThX,hg), где ф L (Лi), h,g G, 1 ЬЦМ Х.О). Эта алгебра ТГ(0, М) называется скрещенным произведением (М) и 1 0) относительно действия О на М, Именно эта конструкция содержится в [99]. Оказывается, что она траекторно инвариантна, т. е. если вместо С взять произвольную траекторно изоморфную ей группу О, то алгебра (С, М) не изменится. Более того, имеется способ строить эту алгебру прямо в инвариантных терминах, не используя действия (например, [69]). Поэтому алгебраические инварианты этой алгебры служат траекторными инвариантами. В настоящее время имеется развитая теория, обобщающая это построение на квазиинвариантные меры, на слоения, на С -алгебры, использующая когомологии я др. (см. обзоры [69], [97], [75], [65]). Много работ посвящено так называемой полной группе, лли группе Дая, состоящей из всех автоморфизмов Т, для которых х Т) более мелкое, чем данное траекторно1е разбиение, например, чем х(С). Полезна такая аналогия алгебра 51>1= М, фбЬ" (М) есть аналог алгебры Картана в W(G,M), а группа Дая, обозначаемая [С],— аналог группы Вейля в теории полупростых алгебр Ли. Эта аналогия [10], [69] оказалась очень шолезной для изз чения -алгебр. В свою очередь, многие продвижения в траекторной теории (например, теорема Фельдмана—Конна—Орнстейна— Вейсса (у нас — теорема 1.2)) были получены после аналогичных теорем теории 1 -алгебр (в данном случае, после теоремы Конна [643). [c.106]

В ЭТОЙ книге собраны главные результаты, полученные при реализации описанной выше программы, начиная с 1972 года, когда была открыта связь между особенностями систем лучей, их каустик, волновых фронтов, преобразований Лежандра, групп, порождённых отражениями, и групп Вейля [2]. Группы Л, О, Е (имеющие только простые рёбра в диаграммах Дынкина) появились в первую очередь. Впоследствии, в 1978 году, была открыта юаимосвязь между группами с двойными рёбрами [В, С, Р) и особенностями на границе (например, особенностями функции расстояния до многообразия с краем) (см. [3]). [c.4]

Пример 2. Дополнения дискриминантов других простых особенностей являются пространствами К(я,1) для соответствующих комплексных версий групп Вейля. Эти обобщённые группы кос были введены и изучены Брискорном [128]. [c.134]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...