О вычислении ядра уравнения

О вычислении ядра уравнения. Привести интеграл (2.133) к интегралу в конечных пределах так, как это сделано в п. 1.3, не удается. Поэтому представим этот интеграл в виде К х, + 2), где [c.118]

Построение этой функции наметил Пуанкаре [4]. Вычисление приведено Г. Бертраном [2]. Формула для Я показывает, что обобщенная функция Грина не существует при X = +е. Однако, исключительность характера этих значений Л для интегрального уравнения пропадает, если принять во внимание, что ядро уравнения умножается на — 8 . [c.61]

Решение для бесконечно длинной оболочки можно также получить, используя метод и соотношения данного раздела. Нужно лишь в исходном уравнении (8.39) положить, равным улю ядp К (а— ai), а при вычислении ядра К по формуле (8.40) коэффициенты ft вычислять по формуле (8.41), оставив там только первое и последнее слагае мое h = bn 0) — 1. [c.346]

Этим мы убираем ядро Ki в уравнении (8.39), а при вычислении ядра К по формуле (8.40) коэффициенты k вычисляем как для бес- конечной оболочки, оставляя в формуле (8.41) первое и последнее слагаемое. Я [c.352]

При численном решении уравнений (9.26) интервал интегрирования разбивался на десять равных частей (Ад= п /10) и, таким образом, решалась система (9.29) из 11 уравнений (Л =10) с четырьмя правыми частями. При вычислении ядра (9.15) в ряду (9.5) для функции A i(6,, ) бралось пять слагаемых, а для функции Ai(3, Я ) —десять (в обоих случаях максимальное число п=кт в (9.5) было равно 30). [c.401]

Уравнение (7.2.53) является точным, но, конечно, довольно сложным, в особенности, когда взаимодействие между частицами включено в невозмущенную часть гамильтониана Я . Поэтому при вычислении ядра K t) в конкретных задачах приходится прибегать к разного рода приближениям разложениям по амплитуде взаимодействия электрона с примесным атомом или по концентрации примесей. [c.112]

Расчетные значения Т е, вычисленные по уравнению (22), составляют 266—286 К, что хорошо согласуется с экспериментальными данными [141]. Благодаря высокой степени турбулентности газа в поперечном сечении струи происходит выравнивание температуры с передачей теплоты от более нагретых поверхностных слоев к менее нагретому ядру струи. По мере продвижения струи в глубь разреза происходит дальнейшее повышение ее температуры АТ вследствие передачи ей теплоты от расплава с температурой Гре = 1873 К на поверхности реза. Температура на выходе струи нз нижней части реза составляет 300—420 К. [c.28]

С (г), ф, /], р = 1,. .. является сильно сходящейся, даже если исходная последовательность оптических характеристик т р)(г), р=1,. . . сходится слабо. Значит, требования к точности задания профилей т(г) при вычислении ядра K[D,Q) могут быть существенно ослаблены при прочих равных условиях. Указанное свойство имеет также первостепенное значение для сходимости итерационных процедур, лежащих в основе программных комплексов обработки оптической информации. Необходимо отметить, что все сказанное выше о свойствах ядра К[0 0) в полной мере относится и к функционалу Я(0,Р), играющему роль функции источника в уравнениях переноса вдоль секущих. На этом можно закончить анализ свойств интегрального уравнения (3.72) как теоретической основы дистанционного исследования оптических свойств земной поверхности с использованием данных зондирования системы атмосфера — подстилающая поверхность. [c.221]

Преобразование ядра уравнения. Несмотря на то, что интеграл (1.60) абсолютно сходится, для упрощения вычислений его целесообразно привести к интегралу в конечных пределах. [c.27]

Остановимся на вопросе о вычислении напряжений и смещений уже после непосредственного решения интегрального уравнения. Собственно говоря, речь должна идти о вычислении напряжений в точках граничной поверхности, поскольку вычисление смещений и напряжений во внутренних точках области сводится к вычислению интегралов с аналитическими ядрами, а вычисление смещений в точках поверхности — к вычислению несобственных интегралов ), которые могут быть вычислены известными методами. Следует, правда, обратить внимание на необходимость в процессе проведения вычислений в точках, расположенных вблизи границы, введения вторичной дискретизации поверхности в зоне, расположенной в окрестности рассматриваемой точки. При этом используемая при вычислениях плотность должна получаться посредством того или иного интерполирования, исходя из полученного решения интегрального уравнения. Искомые значения напряжений и смещений могут считаться определенными с достаточной степенью точности (диктуемой степенью точности решения интегрального уравнения) лишь тогда, когда при вторичной (все более мелкой) дискретизации не произойдут изменения в искомых величинах. [c.580]

Для вычисления величины живой силы в любом сечении ядра постоянной массы осесимметричной струи в теории свободной струи [33] имеются соответствующие уравнения. [c.36]

Решение уравнения (8.15). Уравнение (8.15) можио решать непосредственно численным способом, указанным в разд. 7.6. Однако в рассматриваемом с. учае из-за простоты ядра (8.10) такое решение можно построить в виде ряда, коэффициенты которого буд т определяться из решения бесконечной системы алгебраических уравнений. Рассмотрим этот способ решения, хотя формально он и сложнее, так как требует вычисления ряда интегралов. [c.330]

Применяя формулу (8.96) к вычислению внутреннего интеграла в уравнении (8.94) и учитывая, что ядро /С(а) (8.88) является кососимметричным (/С(а) = —/С(—а)), а значит [c.365]

Полученные интегральные уравнения легко решаются численно. Для этого интервал интегрирования разбивают шагом Д на М равных участков и на каждом из участков искомую функцию предполагают постоянной, а ядро, имеющее слабую особенность, интегрируют. В результате получают систему линейных алгебраических уравнений. Матрица этой системы треугольная, причем ее элементы в диагоналях, параллельных главной, равны друг другу, поэтому для формирования матрицы достаточно вычислить первый столбец. На рис. 11.1 показано вычисленное таким образом напряжение оее на контуре отверстия для значений исходных параметров ve=l/16, vr=l/4, т = =-0,5. [c.267]

В данном случае нужно решить бесконечную систему (2.28) с ядром (2.53) и при правых частях (2.54), подставляя в последние формулы коэффициенты Ур из (2.55) и учитывая, что = 0. При различных значениях параметров X и бо на ЭВМ ЕС-1022 была решена соответствующая (2.28) укороченная система линейных уравнений, состоящая самое большее из 40 уравнений. Затем по формуле (2.50) в различных точках были вычислены значения тангенциальных контактных напряжений т( ). Коэффициенты их интенсивности на концах накладки и Лг были вычислены по формулам (2.51). Результаты вычислений, полученные с точностью до 10" приведены в табл. 2.2—2.5. [c.123]

Многочисленные смешанные задачи теории упругости и математической физики для областей различных геометрических форм (плоскость, нло- скость с круглым отверстием, полуплоскость, полоса, клин, прямоугольник, круговой диск, круговое кольцо, пространство, полупространство, слой, конечный или бесконечный цилиндр, пространство с бесконечной цилиндрической шахтой и т. д.) методом построения функции влияния сводятся к интегральным уравнениям первого рода с ядрами, представимыми в виде своих главных й регулярных частей. Применение к ним метода ортогональных, полиномов приводит к бесконечным системам линейных уравнений, ядра которых выражаются, вообще говоря, трехкратными интегралами. При численном анализе указанных задач возникает необходимость вычисления этих интегралов. В таких задачах наиболее Часто встречаются интегралы следующих типов [c.475]

Рассматриваемая задача сложнее, чем расчет теплообмена при турбулентном течении в трубе жидкости с постоянными физическими свойствами (гл. 9), так как в этом случае отсутствуют опытные данные по профилям скорости, из которых можно определить коэффициент турбулентного переноса импульса. Профиль скорости в этом случае требуется находить расчетным путем. Для вычисления коэффициента турбулентного переноса импульса в подслое Дайсслер использовал уравнение (6-37), а в турбулентном ядре — уравнение Кармана [Л. 7] [c.315]

Основные сложности при вычислении ядра Knnmm t) связаны с тем, что оператор эволюции U t) = exp —itQLQ) в формуле (7.2.25) содержит проекционный оператор Q. Покажем, однако, что если нас интересуют разложения ядра обобщенного уравнения Паули по степеням 7/, то можно сформулировать теорию возмущений, в которой используются только корреляционные функции с обычной эволюцией операторов, не включающей проектирование. [c.108]

Случай и=1 является псключением, так как при вычислениях ядро предполагалось неподвижным. Однако, оказывается, что 01 обращается в нуль при е = ео и становится мнимым при д>дд, как и следовало ожидать. Поправка едва ли будет значительной, но все же можно показать, что если ядро не б дет закреплено, то результат, получаемый из уравнения (9) [c.566]

Для вычисления энергетического выхода ядерной реакции необходимо найти разность масс частиц, вступающих в реакцию, и частиц — продуктов реакции. В реакции участвуют атомные ядра, но в справочных таблицах обычно даются сведения лишь о массах атомов. Можно найти массу каждого атомного ядра вычитанием массы электронов оболочки из массы атома. Можно поступить иначе. Если в уравнении ядерной реакции слева и справа пользоваться только массами атомов (т. е. массой атома водорода, а не массой протона слева, и массой атома гелия, а но массой альфа-частицы справа), то из-за одинаковости числа электронов в атомах, вступающих в реакцию, и в продуктах реакции их вычитание осуществляется автоматически при нахоясдении разности масс. Таким образом, для решения яадачи можно воспользоваться сведениями из справоч-1шка о массах атомов [c.343]

Для вычисления сигнала на выходе нелинейной системы с жесткой отрицательной обратной связью во временной области необходимо реишть интегральное уравнение (99) относительно W t, т), вычислить ядра Воль-терра и затем сам сигнал, естественно, огр шичиваясь числом членов ряда Вольтерра в выражении (100), исходя из фебуемой точности. При этом, чем выше требуется точность, тем выше должна быть размерность полинома Вольтерра. [c.99]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

Уравнения (5.6) также являются сингулярными уравнениями с разрывными ядрами и разрывным коэффициентом при внеинтегральном члене. Исследования условий разрешимости уравнений класса (5.6) также отсутствуют. Однако, безусловно, является полезной разработка эффективных численных методов решения уравнений (5.2), (5.5), (5.6) ). Например, не составляет труда реализация в той или иной форме метода механических квадратур. Для вычисления сингулярных интегралов, входящих в уравнения (5.2), (5.5) и (5.6), можно использовать регулярное представление (3.2) в его модифицированной форме. Если же осуществить полигонализацию поверхности, то можно воспользоваться кубатурными формулами [88, 206]. [c.597]

Предположим теперь, что мы имеем дело не с трубой, а со сплошным цилиндром. Формулы (9.2.1) и (9.2.2) можно применить и к этому случаю, на оси цилиндра при Xi=X2 = 0 напряжения оказываются бесконечно большими. Таким образом, мы получили некоторое сингулярное решение теории упругости. Бесконечно большие напряжения в теле, конечно, невозможны. На самом деле, если напряжения достаточно велики, уравнения линейной теории упругости утрачивают силу. Формулы (9.2.2) имеют смысл тогда, когда г> с, с — некоторая определенная величина. При г < с нужно строить решения, основываясь на истинных нелинейных зависимостях. Линия, на которой напряжения, вычисленные с помощью линейной теории, обращаются в бесконечность, называется линией дислокации, вектор Ь— вектором Бюргерса (рис. 9.2.1). Область г с с, непосредственно примыкающая к линии дислокации, называется ядром дислокации. Теория упругости не дает возможности судить о том, что происходит внутри ядра дислокации. Винтовая дислокация характеризуется тем, что ее линия — прямая и вектор Бюргерса направлен по линии дослокации. [c.282]

Заметим, что при вычислении ядер релаксации. Н ( , т) по заданным ядрам ползучести К I, т) встречаются значительные трудности. В частности, экспериментальное определение функции К ( , т) проще, чем функции К 1, т), так как осуществить испытание на ползучесть легче, чем на релаксацию. Поэтому уравнение состояния (5.11) для указанной выше модели нелинейно-упругоползучего тела имеет самостоятельное значение. [c.300]

Вычисление спектральных частот атома или молекулы из таких первичных констант, как масса атома, заряд ядра, заряд электронов и т. д., в принципе возможно при помощи уравнения Шре-дингера. При этом обычно не ставится задача получения абсолютных значений частот для различных уровней, а имеется в виду лишь систематизация опытных данных и оценка порядка величин. Та же степень приближения применяется и при анализе металли ческих систем. Таким образом, главной задачей является получение приблизительных функциональных зависимостей, включающих параметры, которые могут быть получены из экспериментальных данных. Представляется целесообразным рассмотреть в первую очередь сравнительно простые предельные случаи, а затем искать системы, которые приблизительно соответствуют этим случаям. Следует отметить одно слабое место в теоретическом анализе вопроса. Большинство теоретических приближений базируется на допущении, что концентрация электронов проводимости не зависит от состава сплава или что изменения электронной концентрации весьма незначительны и ими можно пренебрегать при вычислении энергетических функций. В действительности же известны системы с ярко выраженной зависимостью электронной концентрации от состава сплава в этих случаях термодинамические функции об- [c.41]

Стоит только немного усложнить задачу, и мы наталкиваемся на крайне сложные математические операции. Хорошим примером этого могут служить громоздкие, утомительные выкладки, выполненные нами в 2 гл. III, когда усложнение состояло только в том, что мы от неограниченного цилиндра перешли к цилиндру конечной длины только для того, чтобы получить основное решение Ро = Р> были вынуждены ввести вспомогательные параметры s п q] отыскание Pi, р.2 и т. д. потребует еще более трудных или совсем невыполнимых вычислений. О двухсоставных телах и говорить нечего находить всю последовательность корней Sq = s, Sj, s. ,. .. хотя бы, например, такого уравнения, как (6.39) (двухсоставная пластинка с хорошо проводяш,им тепло ядром), — дело, очевидно, безнадежное. [c.147]

При решении уравнения движения Рубезин пренебрегал всеми производными в направлении х, а для вычисления ви использовал теорию пути смешения Прандтля. Затем он рассчитал профили скорости при различных значениях параметра вдува на поверхности, используя двухслойную модель (ламинарный подслой и турбулентное ядро). Распределение коэффициента трения вдоль пластины Рубезин вычислил с помощью интегрального уравнения импульсов. Аналогично, положив ет = Ёи, он решил и уравнение энергии [по существу тем же способом, который был использован при выводе уравнения (11-9)]. Б результате расчета Рубезин получил соотношение между числом St и коэффициентом трения /. Этот метод расчета может [c.380]

К положрггельным элементам одномерного варианта МГЭ (простота логики формирования разрешаюш,ей системы уравнений, хорошая устойчивость численного процесса, непосредственное определение начальных параметров каждого обобш,енного стержня из разрешаюш,ей системы и т.д.) добавляются факторы, существенно важные для расчета пластинчатых систем. Ядра интегральных уравнений (функции Грина) в МГЭ не содержат сингулярных точек. По этой причрше уравнение (7.20) снимает проблему вычисления многомерных сингулярных интегралов. Исключается и проблема построения численного решения в окрестностях угловых точек пластины, что весьма актуально в прямом методе граничных элементов [29]. Как будет показано ниже, этот момент позволяет существенно повысить точность [c.407]

Библиотека математических функций MATLAB — набор самых разнообразных функций, включающий элементарные и специальные математические функции, логические функции, операции с комплексными числами, функции вычислений с матрицами и др. Она основное ядро системы, которое предоставляет пользователю инструменты для выполнения широкого круга математических вычислений, в том числе вычислений с действительными и комплексными числами операций с матрицами, массивами данных, алгебраическими полиномами вычислений ранга, числа обусловленности, сингулярного и спектрального разложений матрицы, функций от матрицы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений численного и символьного дифференцирования и интегрирования решения обыкно- [c.207]

После разбиения областей, занятых паровой и жидкой фазами на сферические слои уравнения с частными производнымипо г ж t переходят в обыкновенные дифференциальные уравнения по определяющими параметры в каждом сферическом слое. Задача решалась в безразмерных переменных методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности, методом Эйлера с пересчетом и т.п. Отладочные расчеты проводились для случая отсутствия твердого ядра в пузырьке (го = 0) и для остывания нагретой частицы в жидкости (р1 = ро). Отладочные результаты хорошо согласуются с результатами [2], подтвержденными экспериментально, и с известными аналитическими решениями [6]. Кроме того, для контроля счета сравнивались значения массы парового слоя, вычисленные двумя разными способами (1.5). [c.717]

После того как оси х, у, г) сориентированы в молекуле по уравнениям (7.119) — (7.121), можно определить координаты х, у, z) для всех ядер молекулы. Такое вычисление можно проводить для ядер в равновесной конфигурации, в результате которого получаются равновесные координаты у , zf) для каждого ядра (. Для заданной искаженной конфигурации ядер смещения Лл . = (х — х ), Д/у. = (у. — у ), Лг = (2 —являются колебательными смещениями. Было бы целесообразно выбрать функции fo, 1ф, fx уравнениях (7.119) —(7.121) таким образом, чтобы кинетическая энергия ядер, выраженная через углы Эйлера и колебательные смещения, полностью распалась на сумму вран1ательной части (завися1цей только от углов Эйлера) и колебательной части (зависящей только от координат колебательных смещений). Эту цель можно было бы достигнуть, выбран такую систему осей (х, у, г), в которой колебательный угловой момент Jv был бы равен нулю. Однако если Jv не равен нулю, то [c.154]

Расхождение между теорией и экспериментом необходимо учитывать добавлением соответствующей части к потенциалу жесткого ядра, и для малых К Ашкрофт и Марч определили, что данные не противоречат величине слагаемого с в 5 (К) (см. уравнение (279)). Однако для количественной проверки теории необходимы значительно более точные экспериментальные результаты, полученные для малых углов рассеяния. В уравнении (141) Ашкрофт и Лекнер [114] применили для 5 К) решение Перкуса — йевика, при вычислении удельного сопротивления жидких металлов. Эта методика дает положительные результаты потому, что первый максимум 5 (К) достаточно хорошо описывается моделью жестких сфер. Однако особенности поведения 5 (/С) при 2kf и форма 5 (К) при малых К для жидких металлов не могут быть правильно рассчитаны на основе такой модели. Заметим, что при вычислении удельного сопротивления это не имеет большого значения. [c.113]

Относительно величин Ад и Аг предположим, что их отношение имеет постоянное значение. В таком случае из равенств (105) и (106) следует, что профили температур и скоростей в ядре потока афинны друг другу. Это обстоятельство облегчает дальнейшие вычисления . Такая афинная связь, которая в одинаковой мере справедлива и для средних значений , может быть записана в виде уравнения [c.534]

Распределение дав.лений в ядре вихря, как видно пз последней формулы, следует параболическому закону, На границе ядра парабола сопрягается с кривой уравнения (12), изображающей распределение давления в иоле вихря. На фиг. 125 представлено распределение давления в плоском Бихре, вычисленное для ядра по форму ле (13), для внешней к нему части — по формуле (12). [c.293]

Последний интеграл отличен от нуля только для искривленной вихревой нити. Прямое его вычисление весьма трудоемко. Поэтому применим способ, описанный в работе Moore, Saffman [1972]. Полагается, что с точностью 0(1/р) элемент ядра вихревой нити можно рассматривать как часть покоящегося вихревого кольца, обтекаемого однородным потоком. Выберем цилиндрическую полярную систему, как показано на рис. 5.18, с компонентами скорости U, Ul, w). В первом приближечгии уравнение поверхности кольца [c.294]

Для дальнейших вычислений, а также оценок некоторых членов нам понадобится интегральное уравнение сохранения массы. Для его вывода рассмотрим цилиндрический элемент ядра вихря длиной ds = sh i n - s , который движется при = onst. Тогда баланс массы запишется как [c.296]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...