Преобразование ядра уравнения

Для анализа характеристик оптических резонаторов полезно учитывать свойства симметрии рассматриваемых уравнений. Свойства симметрии регламентируют изменения собственных функций и собственных значений при определенных преобразованиях ядра уравнения. Перечислим некоторые свойства симметрии, используемые в гл. 3. у [c.195]

Преобразование ядра уравнения. Несмотря на то, что интеграл (1.60) абсолютно сходится, для упрощения вычислений его целесообразно привести к интегралу в конечных пределах. [c.27]

Будем считать, что искомое решение ф(х), правая часть /(х) и ядро уравнения k x — у) имеют соответственно трансформанты Ф(а), F a) и K(ol). Тогда применим преобразование Фурье к обеим частям уравнения и, воспользовавшись теоремой о свертке, получим [c.69]

Как показано в приложении Б, указанное преобразование ядра интегрального уравнения рассматриваемого типа приводит к изменению собственных функций и собственных значений уравнения [c.51]

Ядра интегральных преобразований Характеристические уравнения (До. Ро) [c.536]

Здесь L(a) —преобразование Фурье ядра уравнения, а для / —формула очевидна. Полученная бесконечная система допускает точное решение методом факторизации ( 3, 4). [c.51]

Проведя преобразование над уравнением (41.3) с ядром / У 1 (со г), получим [c.250]

При построении такого рода уравнений довольно часто используют в интеграле ядра, которые совпадают с.ядрами обратных интегральных преобразований, поскольку наличие формул обращения позволяет подчас сводить получаемые интегральные уравнения к алгебраическим. [c.78]

Выражение для средней частоты отказов системы hf. t) в конечном виде, справедливое для любого закона надежности, получить не представляется возможным. Для каждого из указанных выше законов распределения времени возникновения отказов fto(0 будем находить, решая уравнение Вольтерра второго рода с разностным ядром [28] с помощью преобразования Лапласа. [c.117]

В рассматриваемой постановке при = s G S представление (3.9) выражает собой преобразование вектора напряжений на L в вектор перемещений на S. При известных векторах ы (i) иы°(5) и ядре интегрального оператора система уравнений (3,5) является системой интегральных уравнений Фредгольма первого рода относительно неизвестного вектора напряжений Р/с(х) на L. Решение этой системы представляет собой обратную задачу теории упругости, в которой искомый вектор напряжений недоступен для прямого исследования, а изучается его косвенное проявление в виде вектора перемещений на доступном для измерений участке поверхности. [c.65]

Преобразование Лапласа оказывается полезным при решении линейных диференциальных уравнений в обыкновенных и в частных производных, при решении интегральных уравнений Вольтерра с ядром специального вида и в других случаях. [c.233]

Принимая iBO внимание одномерность задачи и плоскую конфигурацию излучающей системы, уравнения (7-11) и (7-12) с ядрами, определяемыми согласно (7-3) и (7-4), (7-7) и (7-8), после всех преобразований [с введением безразмерной координаты (7-47)] будут иметь вид [c.210]

Используем рассмотренные уточнения для решения задачи о теплообмене при развитом турбулентном течении в круглой трубе с постоянной плотностью теплового потока на стенке в более общем виде. Дифференциальное уравнение энергии (9-10) решается теперь без допущений, упрощающих алгебраические преобразования. Отношение коэффициентов турбулентного переноса тепла и импульса по Дженкинсу принимается только для турбулентного ядра течения. Коэффициент турбулентного переноса тепла в подслое (до +=42) вычисляется по [c.207]

Дифференциальное уравнение (1-11-38) было решено для полупространства, когда ядра интегральных соотношений а (6) и X (9) являются степенными или экспоненциальными функциями времени б. Наличие интегральных соотношений в уравнении теплопроводности (1-11-38) не вносит больших трудностей при его решении методом интегрального преобразования Лапласа, поскольку интегрирование в этих соотношениях производится по времени в пределах от О до со [Л. 1-50]. Особый интерес представляют температурные волны в материалах с памятью, они имеют свою особенность, скорости их распространения и коэффициенты затухания отличны от аналогичных соотношений в классической теории теплопроводности. [c.92]

Ядра конечного интегрального преобразования и характеристическое уравнение для неограниченной пластины [c.141]

Ядра интегральных преобразований и характеристи еские уравнения [c.458]

Посто- янная форма Ядра интегральных преобразований Pp (X) Hip (ix ) Характеристические уравнения (Но. Fo> [c.458]

В уравнении (4) матрицы G, G зависят от и типа краевых условий. Элементы матрицы преобразования для составной конструкции Л , связывающей перемещения и усилия на ее краях I и II, являются экспоненциально-тригонометрическими функциями. Амплитуда этих функций экспоненциально возрастает с ростом длины составляющих конструкцию оболочек и достигает величины С ехр где — безразмерная суммарная длина оболочек, С — постоянная, зависящая от геометрии оболочек и не зависящая от их длины. С ростом матрица становится плохо обусловленной и ее точное обращение становится невозможным даже с помощью ЭВМ. Действительно, так как матрица является матрицей перехода от края I к краю II, то обратная ей матрица (Л ) является матрицей перехода о т края II к краю I и по условиям взаимности ее элементы совпадают с элементами матрицы с точностью до некоторых коэффициентов, не зависящих от произведение (Л ) дает единичную матрицу, элементы которой 1 и О являются при больших I малыми разностями больших чисел порядка С ехр 2 . Это наглядно видно, например в случае оболочек, для которых решение дифференциальных уравнений выражается через функции А. Н. Крылова, и матрица содержит в качестве ядра матрицу функций А. Н. Крылова, обладающую свойством ( ) = Y (— I). Однако можно показать, что при решении системы (4) независимо от вида краевых условий достаточно обращения только одного блока второго порядка матрицы Л , которое может быть выполнено точно (при той же длине конструкции). Например, если по краям составной конструкции из [c.78]

Второй способ преобразования уравнений (7.3) и (7.4) к (7.78) состоит в том, что ядра типа th и tg в левой части заменяются ядрами Коши и затем заменой переменной [c.307]

Нижний предел интегрирования можно принять равным нулю, если при 1 < О имеем (т = е = 0. Ядра К 1 — г) и Д(< — г) называются ядрами Ползучести и релаксации. Уравнения являются взаимно обратными линейными преобразованиями. [c.263]

Ядро К (г, 9, г, 9 ) интегрального уравнения (1.13) представлено в виде бесконечного ряда (1.14). Обш ий член (1-15) этого ряда может быть преобразован к виду [c.23]

Сведение к системе уравнений II рода. Следуя изложенному в [11, 38] подходу, уравнение (6.1.1) с ядром К (а) после ряда преобразований сведем к системе интегральных уравнений II рода (берутся по следовательно верхние, затем нижние знаки) [c.103]

Различные специальные вопросы. Недавно С. М. Белоносову И—3] удалось получить интегральные уравнения плоской задачи, пригодные, вообще говоря, и в случае угловых точек ). Рассматриваемая область (конечная или бесконечная), ограниченная кусочно-гладким контуром L, отображается на правую полуплоскость Re С >0 плоскости вспомогательного переменного + iii]. Затем для искомых комплексных потенциалов ф и -ф, регулярных в правой полуплоскости, получаются функциональные уравнения, аналогичные уравнениям, данным в 78. Эти функциональные уравнения после применения к ним одностороннего преобразования Лапласа приводят к интегральному уравнению с действительным симметричным ядром относительно неизвестной плотности интегрального представления. Если контур L не содержит угловых точек и вообще достаточно гладок, то ядро уравнения, определенное для обеих переменных на всей бесконечной прямой, является фредголь-мовым. В общем случае при наличии угловых точек оно уже не будет фредгольмовым, но будет принадлежать к типу ядер Карлемана. Для частных случаев клина и бесконечной полосы интегральное уравнение допускает обращение по формуле Римана — Меллина и решение задачи находится в замкнутом виде (в квадратурах). Ядра интегральных операторов, входящих в решение задачи, не выражаются, правда, в элементарных функциях, но их всегда можно аппроксимировать с достаточной точностью простыми кусочно-аналитическими функциями. В названной выше работе [c.598]

В работе Хантера [71] решена двумерная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству, причем рассмотрен случай, когда можно пренебречь инерционными силами. Исследование выполнено в рамках линейной теории, деформации считаются малыми, и граничные условия на поверхности относятся к недеформированному состоянию среды. Подход, примененный в работе, заключался в представлений нормальной составляющей поверхностного смещения в виде интеграла от существующего решения задачи о движении распределенной линейной нагрузки, что привело к сингулярному интегральному уравнению отцосительно искомой функции поверхностного давления (вязкоупругий аналог формулы Буссинеска). Решение задачи осуществлялось путем эквивалентного преобразования интегрального уравнения в уравнение с обычным логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления. Замкнутый вид решения был получен для материала, физические свойства которого описываются одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространении их на более общий случай вязкоупругого тела, у которого ползучесть характеризуется конечным числом времен релаксации, метод при- [c.401]

Экспериментальная оптическая информация, получаемая с помощью лидара, должна обеспечить прогноз профилей х г) и Dll (А, О, г), с тем чтобы обеспечить данными расчет ядра K h, I) уравнения (3.79) с приемлемой точностью. С математической точки зрения подобную задачу можно считать вполне корректной. Действительно, искомое ядро уравнения (3.79) является интегралом от распределений т(г) и Dn(z, О). Поскольку в функциональных уравнениях интегралы выступают в роли операторов сжатия, то случайные компоненты в функциях т(г) и Du (г), обусловленные измерительными шумами, не должны существенно влиять на ядро K hyl). К тому же следует иметь в виду, что если т(г) и Du (г) оцениваются по данным многочастотного лазерного зондирования, то регуляризирующие методики построения преобразований и 3 ->-Dii заведомо подавляют ошибки лидарных измерений. Таким образом, в любой ситуации можно полагать, что вариации бт(/С) и 6d K) функционала /С[т, D] будут меньше вариаций бти 6D, обусловленных ошибками в определении т(г) и Du(z). В этом смысле мы и называли задачу определения ядра K Uh) методом обращения многочастотных лидарных измерений вполне коррект- [c.212]

Уравнение 1т Д - у = О приобретает вид у" = к к"/у, что определяет гиперболы на комплексной плоскости у (рис. 1.7, а). При к"-> О эти гиперболы стремятся к штрихо- Рис. 1.7. К преобразованию ядра К(х, у) ВЫМ кривым. Следовательно, разрезы на плоскости 7 б - контуры на комштексной плоскости интеп рования в - к извлечению корня [c.27]

Следовательно, пространства входных и выходных сигналов нензо-морфны, и уравнение, которое нес>бходи ио решать относительно ядра преобразования J , недоопрецелено. Такая задача оаносится к классу существенно некорректных. [c.16]

Как известно, для обеспечения едикспа проблемного математического обеспечения при моделировании ОЭП удобно использовать интегральные уравнения. В этом случае ядром npoSnevmoro математического обеспечения САПР является преобразование Фурье. Реализация такого аппарата на ЭВМ имеет ряд особенностей. [c.75]

Интегралы, присутствующие в уравнениях (2.2), (2.3) и (2.5), являются двумерными сингулярными интегралами, и в соответствии с общей теорией ( 3 гл. I) при их вычислении следовало бы каждый раз вводить локальную систему координат, определяемую пересечением поверхности с координатными поверхностями г = onst, ф = onst цилиндрической системы, ось которой Z совпадает с нормалью к поверхности в той точке, в которой интеграл вычисляется. Этот путь сопряжен с серьезными техническими трудностями, которые становятся еще более значительными при переходе к решению интегрального уравнения, когда вычисление сингулярных интегралов следует проводить в большом числе точек поверхности. Однако учет специфики ядер рассматриваемых интегралов позволил избежать отмеченных затруднений. Один способ [171] заключается в преобразовании этих сингулярных интегралов в несобственные (регулярные), а другой [88,206] базируется на возможности вычисления в явном виде интеграла от ядра, когда элемент поверхности есть плоский многоугольник. [c.572]

В задачах наследственной теории упругости приходится вводить несколько операторов Вольтерра и выполнять некоторые операции, состоящие в решении интегральных уравнений, ядра которых представляют некоторые комбинации исходных ядер и их резольвент. Правило умножения операторов и соотношения (17.1.7) позволяют записать и выполнить промежуточные операции преобразований по правилам алгебры, однако заключительный этап будет состоять в решении интегрального уравнения. Ряд Неймана при этом скорее указывает на принципиальную возможность решения интегрального уравнения, чем служит эффективным средством для такого решения. На практике положение облегчается тем фактом, что ядра наследственности, характеризующие свойства материала, выбираются в результате обработки опытных данных, а опытные данные лежат внутри некоторой полосы разброса. Поэтому, как правило, оказывается возможным искать операторы наследственности внутри некоторого класса, достаточно широкого для удовлетворительного воспроизведения опытных данных, с одной стороны допускающего явное выполнение обращения (17.1.7), с другой. Выберем некоторый оператор К, который будем называть порождающим оператором. Тогда оператор Г (Х) будем называть резольвентным оператором, порождаемьш оператором К. Из (17.1.7) следует такое явное выражение для резольвентного оператора Г ( .) [c.579]

Введение. Большая часть исследований в области наследственной теории ползучести, берущих свое начало с основополагающих работ Больцмана [540—541] и Больтерра [642, 643], посвящена нестареющим материалам, т. е. материалам, реологические свойства которых описываются ядрами разностного типа. Для этих материалов выполняется условие замкнутого цикла, вытекающее из того, что уравнения теории ползучести с разностными ядрами инвариантны относительно сдвига начала отсчета времени. К упомянутым уравнениям применима алгебра резольвентных операторов, методы преобразования Лапласа — Карсона, предельные теоремы и др. [c.59]

Пример. Если ядра операторов Lj Q. Mj( ), равны, т. е. операторы Wj(S) пропорциональны, при этом ядра определяются уравнением (2.62), то данные задачи можно решать также при помощи преобразования Лапласа по t и для величин смещений t ,, i<2 и напряжений получим выражения [c.156]

Если ядро преобразования К(р,х) берется в виде sinили os рх, то это интегральное преобразование соответственно называется синус-преобразованием Фурье или косинус-преобразованием Фурье. Если же ядром преобразования выбрана функция Бесселя К(р, x) = xJ px), то оно носит название преобразование Ханкеля. В частном случае, если пределы интегрирования изменяются от —оо до +оо, а ядро имеет вид К р, х) = мы получаем комплексное интегральное преобразование Фурье. Комплексное преобразование Фурье удобно применять для тел неограниченной протяженности синус-преобразование Фурье следует использовать, когда на поверхности тела задано значение функции, т. е. имеем граничные условия I рода, а косинус-преобразование Фурье — когда решаем дифференциальные уравнения переноса при граничных условиях II рода. Преобразование Ханкеля применяется в том случае, когда тело имеет осевую симметрию. Практическое применение названных интегральныхпреобразований после появления хороших таблиц изображения (Л. 28, 16] не вызывает осЪбых затруднений. [c.81]

Формулой обращения интегрального преобразования Лапласа в общем случае является интеграл Римана — Меллина (2-9-2). Эта формула позволяет получать решения в интересующей нас форме, в том числе в замкнутой форме. Идея метода состоит в том, что выбор ядра интегрального преобразования К(р, х) осуществляется в соответствии с днф-деренциальным уравнением и граничными условиями, т. е. с учетом геометрической формы тела и законом его взаимодействия с окружающей средой. Другими словами, ядром преобразования является функция Грина для данной задачи. Изображение функции f(x) получается с помощью интегрального преобразования [c.83]

Умножить дифференциальные уравнения и граничные условия на выбранное ядро 1преобразова1Ния и проинтегрировать полученные выражения в соответствующих пределах по неременной, (подлежащей исключению в результате вместо системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно оригинала функций (мы получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для изображения функций, которые учитывают начальные (при иапользовании преобразования Лапласа) или граничные (при нспользовапии преобразО Ваний Фурье) условия. [c.84]

Модифицированные функции Бесселя Л и К расходятся при действительных значениях аргумента характерястическое уравнение (5-5-41) будет иметь при этом чисто мнимые корни р=г 1. Поэтому более удобно перейти к обыкновенным функциям Бесселя. В этом случае выражения для характеристического уравнения (5-6-41) и ядра преобразования (5-5-40) примут вид [c.193]

В [77] обосновывается применение метода интетрального преобразования с ядром для получения аналитической хотя и очень громоздкой зависимости. Эта зависимость позволяет, по мнению автора, рассчитывать тепловой режим трубопровода. Оценка точности полученных уравнений не приводится, и отсутствует их сопоставление с численными методами расчета аналогичной задачи. [c.79]

Линейные И. у. с ядрами, пс являющимися ядрами Фред ольма, наз. сингулярными интегральными уравнениям и. В этом случае теория Гильберта —Шмидта, вообще говоря, не применима. Одиат(о для иек-рых конкретных классов сингулярных ур-ний удаётся получить важные общие результаты (см., напр., Гильберта преобразование). [c.157]

Дальнейгаее преобразование уравнения (1.16) должно быть направлено на то, чтобы в явном виде выделить ядро интегрального уравнения. Для этой цели необходимо изменить во всех членах порядок интегрирования но не-эеменному г и по переменным if. Предварительно в третьем слагаемом правой части мы должны раз- [c.719]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...