О решении бесконечных систем алгебраических уравнений

О решении бесконечных систем алгебраических уравнений. Расчет прохождения звука через решетку из щелей в экране конечной толщины может быть выполнен путем решения бесконечной системы уравнений относительно неизвестных коэффициентов. [c.101]

А тогда к системе (2.11) применима альтернатива Гильберта [3] о разрешимости бесконечных систем. Поскольку соответствующее бесконечной алгебраической системе (2.11) решение интегрального уравнения (2.3) существует и единственно в пространстве С ( 2), то в силу леммы существует единственное нетривиальное решение бесконечной алгебраической системы [c.403]

Для отыскания постоянных D , D2, D3, необходимо задать граничные условия по концам балки. Граничные условия, выраженные через Du. .., Di, представляет собой систему четырех линейных алгебраических однородных уравнений относительно Du. .., D4. Нас интересует ненулевое решение системы, так как нулевому (одновременное равенство нулю Du. .., Di) отвечает Z(z) = о, т. е. отсутствие колебаний. Система линейных однородных алгебраических уравнений имеет решение, отличное от нуля, тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю. Уравнение, получаемое в результате приравнивания определителя системы уравнений относительно Du , Di нулю, в свою очередь представляет собой трансцендентное (содержащее тригонометрические и гиперболические функции) уравнение относительно и. Из этого уравнения и находим корни (бесконечное число корней), каждому из которых соответствуют свои частота и форма колебаний. [c.180]

Рассматривается плоская контактная задача о взаимодействии бесконечной пластины и полубесконечного стрингера через бесконечную систему жестких круглых включений (заклепок). Задача приводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений с коэффициентами, зависящими от разности индексов точное решение этой системы строится сведением ее к изученной проблеме Римана - Гильберта. Данную задачу можно рассматривать как дискретный аналог задачи Койтера о континуальном взаимодействии пластины с полубесконечным стрингером [81]. [c.183]

Для исследования задачи используется метод однородных решений, что позволяет свести ее к решаемой при любых значениях параметров бесконечной системе линейных алгебраических уравнений типа нормальных систем Пуанкаре-Коха. Задача о кручении штампом бесконечного конуса изучалась в работах [236, 364. [c.172]

Индекс S может принимать любые значения в пределах от 1 до N, индекс т меняется в пределах от —оо до +оо. Поэтому выражение (20.8) является бесконечной системой уравнений относительно коэффициентов С п Если при суммировании по п можно с достаточной степенью точности ограничиться п rii членами, то общее количество неизвестных коэффициентов будет (2 + 1) N. Придавая индексу S значения s = I, 2,. . ., N, а индексу п — значения п = = —rii, — 1 + 1,. . ., 1, получаем систему (2 + 1) алгебраических уравнений с таким же количеством неизвестных коэффициентов. Решение этой системы определяет значения неизвестных коэффициентов. Увеличивая число п , можно неограниченно повышать точность расчета. [c.142]

Равновесие круглой толстой плиты, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой, было изучено при помощи однородных решений Г, Н, Бухариновым (1952), применившим соотношение обобщенной ортогональности П, Ф. Папковича (1940) это соотношение было указана Папковичем для краевых условий функций однородных решений, соответствующих обращению в нуль самих функций и их первых производных на параллельных сторонах полосы строгое обоснование метода Папковича было дано позднее Г. А. Гринбергом (1953), Равновесие круглой плиты под действием произвольной осесимметричной нагрузки исследовано при помощи однородных решений В. К, Прокоповым (1958), Осесимметричный изгиб круглой плиты в весьма общей постановке рассмотрен Б, Л. Абрамяном и А, А, Баблояном (1958) точное решение задачи о равновесии защемленной по боковой поверхности плиты при помощи бесконечных систем алгебраических уравнений дали В. Т. Гринченко и А, Ф. Улитка (1963) аналогичные результаты получены Г, М, Валовым (1962), Некоторые частные случаи осесимметричного изгиба толстых плит рассмотрены [c.19]

В работе Морлэнда [76] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась достаточно малой, так что инерционные эффекты не учитывались кроме того, касательные силы на поверхности контакта считались отсутствующими и, таким образом, контактная деформация была обусловлена лишь распределением нормального давления. Длина линии контакта полагалась малой по сравнению с диаметром движущегося цилиндра. Выведены интегральные выражения для перемещений и напряжений в вязкоупругом полупространстве. Математически задача свелась к совместному решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими косинус и синус. Решение этих уравнений осуществлялось путем разложения искомых вспомогательных функций в бесконечные ряды по функциям Бесселя, в то время как для определения коэффициентов ряда требовалось решить бесконечную систему алгебраических уравнений. Если использована связь искомой функции контактного давления с найденными вспомогательными функциями и учтено, что распределение давления не имеет особенностей на краях контактной зоны, то окончательный вид распределения контактного давления представим тригонометрическими рядами. Полученные теоретические результаты проиллюстрированы числовым примером, когда реологические свойства полупространства характеризуются одним временем ретордации. Расчеты дают картину несимметричного распределения нормального давления, являющегося следствием влияния фактора времени. [c.402]

Соотношения (1.35) идентичны равенствам (1.34) и, следовательно, все указанное в подпой мере относится и к ним. На этом этапе, когда описывается существо используемого метода, явные выражения для коэффициентов переразложения выписывать не будем. Совершенно ясно, что использование метода частичных областей приводит к формированию бесконечных систем линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эффективность и возможности метода в значительной мере зависят от эффективности алгоритмов решения бесконечных систем. Построению таких эффективных алгоритмов в последующем изложении уделяется большое внимание. При этом используются сведения о структуре звукового поля в окрестности угловых точек. [c.21]

Фактическое вычисление интенсивностей мультиполей из граничных условий приводит к бесконечной нелинейной алгебраической системе, разрешаемой рекуррентным способом, для чего системы функций у , Г , необходимо последовательно орто-гонализировать. Эта процедура монсет оказаться весьма трудоемкой, если для построения приближенного численного решения требуется большое число собственных функций. Тем не менее расчет течения по полученным решениям в ряде случаев оказывается достаточно эффективным, поскольку не содержит итераций по пе-линейиости, характерных для решений уравнений движения обычными сеточными методами [174, 220]. В частности, вклад членов, возникающих в результате итераций но нелинейности, асимптотически мал при оо, поэтому достаточно ограничиться решением линейной задачи при больших N, что сильно упрощает алгебраическую систему для определения В , С , Д . [c.293]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

В работах [143, 283, 293] рассмотрены задачи о контакте упругого прямоугольника либо с жесткой, либо с упругой [143, 293] полуплоскостью. В работах [45, 48, 89, 90, 291, 315] рассмотрены задачи о симметричном контакте упругого прямоугольника с жесткими штампами конечной ширины. При этом в [89, 90, 291, 315] рассмотрено симметричное обжатие прямоугольника двумя штампами, в [45] —на каждой грани прямоугольника действуют два штампа, в [48] — один штамп. Обычно при решении указанных задач считают, что касательные напряжения отсутствуют по всему контуру прямоугольника, а на участках вне области контакта действует известная нормальная нагрузка. Функция напряжений берется в виде (4.1). Удовлетворяя условию отсутствия касательных напряжений на контуре прямоугольника, находим два уравнения попарной связи между коэффициентами В , С , Р , 0 в конечной форме. Оставшиеся граничные условия заданы на отрезках каждой стороны прямоугольника, а именно на части стороны заданы контактные условия, а на оставшейся - нормальные напряжения. Это усложняет решение контактной задачи в отличие от смешанных задач, разобранных ранее. Удовлетворяя указанным граничным условиям, авторы приходят к парным рядам-уравнениям. Далее, применяя к ним методы решения, предложенные в работах [44, 163, 319], сводят их к совокупности двух бесконечных систем линейных алгебраических уравнений. Далее в работах [45, 47, 48, 89] доказана их квазивполнерегулярность. В остальных работах пе устанавливается факт регулярности. [c.144]

X2j+2 (/ = о, 1,. . . ). Коэффициент Р2 выражается через совокупность величин a2j+2 и может быть определен только после того, как будут найдены коэффициенты (X2j+2. Таким образом, при решении задачи приведения мы сталкиваемся с необходимостью решать бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов. Для того 4to6i.i обойти эти трудности, можно построить некоторый приближенный метод, исходящий из точных соотношений (1.15), (1.17) н (1.20). [c.161]

Соотношения (1.58) — (1.60) образуют бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов бесконечных рядов, представляющих потенциалы скоростей в различных частичных областях. Традиционный подход к рассмотрению задач, приводящих к бесконечным системам, заключается в том, что при отыскании неизвестных используется метод простой редукции. Во второй главе для одного частного случая излучения звука цилиндром приводятся довольно громоздкие выкладки, позволяющие установить квазирегулярность бесконечных систем, возникающих при использовании метода частичных областей. И хотя такой результат несомненно важен, поскольку позволяет убедиться в существовании ограниченного решения, вопрос о единственности решения остается открытым. [c.31]

В работе [3] рассмотрена симметричная задача о полуполосе, продольные грани которой свободны от напряжений, а на торце заданы перемещения. Решение уравнений Ла.ме разыскивается в виде суммы рядов Фурье по переменной г/(0 г/ 1) и интегралов Фурье по переменной X (Q x< o). Удовлетворяя всем граничным условиям, авторы получили линейную алгебраическую систему бесконечного порядка относительно новых коэффициентов, связанных линейно с коэффициентами указанных рядов Фурье. Здесь же установлена вполнерегулярность-этой системы. Приведен численный пример, когда перемещения на торце представлены в виде простейших полиномов от у. [c.146]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...