Асимптотические решения для больших чисел Рейнольдса

С математической точки зрения теорию пограничного слоя следует рассматривать как теорию асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений Навье — Стокса при очень больших числах Рейнольдса. Основная особенность этого предельного перехода заключается в том, что решение уравнений пограничного слоя в общем может быть сведено к так называемой задаче продолжений , т. е. поток с [c.10]

Вследствие общей нелинейной природы уравнений Навье — Стокса получить их точные решения сложно. Известно только-весьма немного таких решений, за исключением относительно тривиальных случаев, таких, как, например, течение в канале, когда нелинейные члены тождественно равны нулю. Так, до сих пор еще не удалось провести полное исследование установившегося течения для обтекания тела вязкой жидкостью при больших числах Рейнольдса. Немногие имеющиеся решения подробно обсуждаются в обычных учебниках по механике жидкости [52, 58] и здесь будут рассмотрены только кратко. Важно отметить, что все известные точные решения подтверждают предположения теории пограничного слоя, которая широко используется для получения приближенных, или асимптотических, решений, справедливых при больших числах Рейнольдса. [c.47]

Представляет интерес сравнение результатов невязкого анализа (см. разд. 4.3) с численными расчетами при больших числах Рейнольдса. Следует отметить, что практически в рамках предлагаемого метода расчета имеется возможность получать решения при больших числах Рейнольдса 10 — 10 только в случае вдува. В случае отсоса с ростом Ие при данном К величины Р, ( )-> - (Рн=1 асимптотически, навиваясь иа предельную точку, что значительно увеличивает требования к точности расчета и при до- [c.242]

Используя метод перевала, иайти асимптотическое решение уравнения Бюргерса (2.2) при больших числах Рейнольдса (5 -> 0). Дать графическую интерпретацию этого решения. [c.153]

Коэффициент сопротивления монотонно уменьшается при увеличении числа Рейнольдса. При больших числах Рейнольдса для решения задачи об обтекании пузыря может быть использовано приближение идеальной жидкости. При этом главный член асимптотического разложения коэффициента сопротивления имеет вид [261] [c.56]

В [3] получено решение уравнений Навье-Стокса для осесимметричной струи без закрутки, возникающей в безграничном пространстве, заполненном несжимаемой жидкостью, если туда поместить точечный источник потока импульса. Это решение относится к классу пространственных конических автомодельных течений. При больших числах Рейнольдса данная задача решена в приближении пограничного слоя [1]. Также представляется интересным случай истечения струи из малого отверстия в вершине конуса. При этом на конусе ставится условие прилипания. В частном случае получается решение задачи о струе, бьющей из малого отверстия в плоской стенке, нормально к последней. Эта задача обсуждается в [4], где указывается, что течение не описывается автомодельным решением в целом, а лишь по отдельности в приосевом пограничном слое и в основной области течения с неизбежным разрывом между ними. При этом в основной области течения задача сводится к задаче о линии стоков, которая моделирует эжекцию струи. Таким образом, непосредственное сращивание главных членов разложения в приосевом пограничном слое и в основной области течения невозможно. Это обстоятельство по мнению авторов [4] является парадоксальным. В действительности это связано с отсутствием области перекрытия этих двух асимптотических разложений. [c.33]

Заключение. Рассмотрено стационарное осесимметричное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием точечного источника потока импульса, расположенного на плоскости. Показано, что при больших числах Рейнольдса течение описывается системой асимптотических разложений, сращивание которых в главных членах требует рассмотрения трех характерных областей, в которых г/г последовательно принимает значения порядка Re, Re" , 1. Течение во всех областях является вязким. В первой области, приосевом пограничном слое, решение соответствует решению Шлихтинга [1]. В третьей области, где r/z = 0(1), задача соответствует задаче о линии стоков, которая была решена в [2]. Но непосредственное сращивание главных членов разложения в этих областях невозможно. Введение промежуточной области позволяет получить автомодельное решение во всей области течения. [c.36]

Асимптотический подход к построению решений уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса является в настоящее время одним из мощнейших средств анализа в механике жидкости и газа. Несмотря на неустойчивость большинства известных течений, что, казалось бы, ограничивает область применимости этого метода для ламинарных потоков, с его помощью удается вскрыть физические механизмы и особенности развития вязких течений. Наиболее эффективно асимптотический подход в течение последних 30 лет используется в современной теории отрывных течений. Именно благодаря методу сращиваемых асимптотических разложений удалось обнаружить явление локального взаимодействия между вязкими и невязкими областями потока и понять иерархию построения решения полной задачи обтекания тел. Монография [1] содержит наиболее полное и ясное изложение двумерной теории отрывных течений со взаимодействием. [c.97]

Все рассмотренные до сих пор случаи интегрирования уравнений Стокса были достаточно просты. Это объясняется тем, что путем тех или других допущений задачи сводились к линейным уравнениям, не заключавшим в себе нелинейного элемента — конвективного инерционного члена V -у) V. Точные аналитические решения полных нелинейных уравнений движения вязкой жидкости немногочисленны. Большой теоретический интерес представляют опубликованные недавно К. И. Бабенко асимптотические решения при малых числах Рейнольдса. [c.434]

Для меридионального течения область можно подразделить па четыре зоны. Внутренний приосевой пограничный слой (струя Шлихтинга) появляется с приближением к границе существования решений и его толщина обращается в нуль при конечных значениях Го и д. Внешний приосевой и пристенные пограничные слои развиваются при больших значениях числа Рейнольдса и связаны с тем, что потенциальное решение, асимптотически приближающее течение в ядре, не удовлетворяет граничным условиям на стенке и на оси. [c.138]

Рассмотрим некоторые общие свойства асимптотических решений уравнений Навье-Стокса при стремлении характерного значения числа Рейнольдса к бесконечности. Для определенности будем считать, что рассматривается задача внешнего обтекания тела с характерным линейным размером I сверхзвуковым потоком вязкого газа. Нетрудно установить, что в большей части течения при Де сх) влияние вязкости исчезает и уравнения Навье-Стокса переходят в уравнения Эйлера. Вблизи поверхности тела в пределе образуется поверхность контактного разрыва (благодаря чему выполняется условие прилипания), которая при некоторых условиях может отрываться от поверхности тела. Если вдоль такой поверхности продольные градиенты параметров течения достаточно малы, то, как известно, ее структура в первом приближении описывается уравнениями типа уравнений пограничного слоя Прандтля. [c.71]

Предельная асимптотическая модель трехмерных возмущений трехмерного пограничного слоя рассматривается в [166] для дозвуковых скоростей набегающего потока и при больших характерных числах Рейнольдса. Нетривиальные решения линеаризованных уравнений существуют, если частота и компоненты волнового вектора [c.11]

При больших числах Рейнольдса представляют интерес течения невязкой жидкости с постулированными на основании опыта тангенциальными (вихревыми) поверхностями разрыва скорости, которые можно рассматривать как отрывные течения при числе Рейнольдса, равном бесконечности. Весьма важные результаты получены с помощью асимптотических методов решения уравнений Навье — Стокса при числе Рейнольдса, стремящемся к бесконечности, которые являются развитием классической теории пограничного слоя Прандтля. Эти методы применяются в тех случаях, когда нарушаются основные предположения теории пограничного слоя, например вследствие изменения граничных условий. К таким случаям относятся и характерные области отрывных течений (отрыва и присоединения). При отрыве сверхзвукового потока эти области могут приобретать общие локальные свойства, не зависящие от конкретного вида отрывного течения, что способствовало дальнейшему развитию теории сверхзвуковых отрывных течений и стимулировало пересмотр представлений об отрыве при малых скоростях. Хотя при достаточно больших числах Рей-лольдса течение в пограничном слое становится турбулентным, интервал больших докритических чисел Рейнольдса представляет практический интерес, а результаты, получаемые с помощью асимптотических методов, позволяют осуществить общий анализ отрывных течений, определить критерии подобия и, несомненно, [c.234]

Основным предположением классической теории пограничного слоя Прандтля [Prandtl L., 1904] является малость продольных градиентов функций течения в пограничном слое (скорости, температуры) по сравнению с поперечными. Однако существует много задач динамики вязких течений газов при больших числах Рейнольдса, для которых это допущение не выполняется. К ним относятся, в частности, задачи с различного рода локальными особенностями течения в окрестности угловых точек контура тела, мест присоединения зон отрыва и др. В настоящей главе исследуются течения, в которых на коротких расстояниях (например, порядка толщи ны пограничного слоя) давление в сверхзвуковом потоке вблизи поверхности тела изменяется на свой основной порядок. Для этого проводится исследование асимптотического поведения решений уравнений Навье-Стокса в возникающих характерных областях течения и используется известный принцип сращивания асимптотических разложений, представляющих решение в различных областях. [c.71]

В рамках классической теории пограничного слоя [Prandtl L., 1904] задача об асимптотическом состоянии вязкого течения около твердого тела при больших числах Рейнольдса приводит к исследованию областей внешнего невязкого потока и пограничного слоя. Пограничный слой описывается системой уравнений параболического типа, а внешний поток при сверхзвуковых скоростях — системой гиперболического типа. Решения краевых задач для таких систем обладают тем свойством, что распределение искомых функций в некоторой области пространства определяется краевыми условиями на границе, лежащей вверх по потоку от этой области. Такая ситуация имеет место, например, при обтекании тонкого тела потоком с умеренной сверхзвуковой скоростью или в случае гиперзвукового обтекания, если только взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком является слабым. Однако если краевые условия заранее неизвестны и подлежат определению при совместном решении задач для обеих областей, то ситуация будет иной. Это относится, в частности, к течению со свободным взаимодействием в области, расположенной перед точкой отрыва потока [Нейланд В. Я., 1969, а глава 1] или перед донным срезом тела [Матвеева Н.С., Нейланд В.Я., 1967 глава 3], а также к гиперзвуковому обтеканию пластинки конечной длины [Нейланд В. Я., 1970] и течению около треугольного крыла при сильном взаимодействии [Козлова И.Г., Михайлов В.В, 1970]. В таких задачах внешнее течение, а значит, и давление в пограничном слое, определяется распределением толщины вытеснения пограничного слоя, которое выражается интегральным образом через искомые функции этого слоя. Следствием интегро-дифференциального характера задачи является то, что возмущения, задаваемые в плоскости симметрии треугольного крыла, могут распространяться по потоку вплоть до его передних кромок. [c.187]

Как правило, пограничный слой тем тоньше, -чем меньше вязкость или, в более общей формулировке, чем больше число Рейнольдса. В главе V мы выяснили на основании некоторых точных решений уравнений Навье — Стокса, что толщина пограничного слоя пропорциональна корню квадратному из кинематической вязкости, т. е. б У V. Долее, при упрощениях, которые несколько ниже будут сделаны в уравне1и . V Навье — Стокса с целью получения из них уравнений погранично о слоя, принимается, что толщина пограничного слоя очень мала по сравнеырш с некоторым характерным линейным размером Ь тела, т. е. б I/. О том, какой именно размер тела надо выбрать за характерный, будет сказано в следующем абзаце. Таким образом, решения уравнений пограничного слоя представляют собой по существу асимптотические решения для очень больших чисел Рейнольдса. [c.125]

Интерес к длинноволновой асимптотике уравнения Орра-Зоммер-фельда возникает, в частности, потому, что собственные решения линеаризованных уравнений свободного взаимодействия [78, 79, 81] являются предельной формой волн Толлмина-Шлихтинга в несжимаемой жидкости с прилегающими к стенке критическими слоями [52, 53]. При этом дисперсионное соотношение, которое в точности совпадает с вековым уравнением задачи Орра-Зоммерфельда, содержит целый спектр решений, не рассмотренный в [51, 174, 175]. Первая мода колебаний из указанного спектра может быть как устойчивой, так и неустойчивой. Ниже строятся решения для каждой из подобластей (включая критический слой), на которые при больших числах Рейнольдса разделяется возмущенное поле скоростей в линейной задаче устойчивости. Выводятся дисперсионные соотношения, описывающие окрестности верхней и нижней ветвей нейтральной кривой для пограничного слоя. Данные соотношения, содержащие нейтральные решения как частный случай, асимптотически переходят друг в друга в неустойчивой области между обеими из этих ветвей. [c.55]

Получено асимптотическое решение уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса, описывающее влияние тонкого продольного вихря постоянной циркуляции на развитие двумерного стационарного ламинарного пограничного слоя несжимаемой жидкости на плоской пластине. Установлено, что в узкой области на поверхности пластины, вытянутой вдоль вихревой нити, вязкое течение описывается уравнениями трехмерного пограничного слоя. Изучено решение этих уравнений при малых значениях циркуляции вихревой нити. Обнаружен коллапс решения уравнений двумерного предотрывного пограничного слоя, вызванный сингулярным поведением трехмерных возмущений вблизи точек нулевого продольного трения. [c.97]

Покажем ), что при использовании формулы Кармана и в предположении постоянства напряжения трения поперек пограничного слоя существует более простой путь построения решения, не требующий предварительного введения понятий о числе Рейнольдса пограничного слоя и законе сопротивления . Этот путь в значительной мере упрощает исследование задач о турбулентном пограничном слое в газовом потоке. Использование простого асимптотического разлонхбния, уже примененного ранее в 103 для несжимаемой жидкости, позволяет обобщить теорию Кармана сопротивления пластины в несжимаемой жидкости на случай газового потока е большими числами М. [c.719]

Асимптотическая теории взаимодействия невязкого потока с пограничным слоем является важной частью динамики вязкого газа при больших значениях числа Рейнольдса Re, В основе ее лежит фундаментальная идея Л. Прандтля о возможности разделения всей области течения на невязкий поток и тонкий пограничный слой Prandtl L., 1904]. Эта идея появилась в связи с попыткой получить рациональное объяснение явления отрыва потока от поверхности обтекаемого тела. Заметим, что идея Прандтля оказалась чрезвычайно плодотворной не только для динамики вязких течений, но и для многих других направлений прикладной математики. Первоначальная формулировка теории пограничного слоя включает предположение о том что, возможно, сначала решить задачу для внешнего течения невязкого газа, а затем для пограничного слоя при найденном распределении давления. Позднее Л. Прандтль [Прандтль Л., 1939] указал на возможность уточнения решения путем учета вытесняющего действия пограничного слоя на внешнее течение. В следующем приближении при этом необходимо учесть влияние изменений внешнего потока на течение в пограничном слое и т. д. Фактически была сформулирована концепция теории слабого взаимодействия. [c.251]

Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье — Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений путем линеаризации при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рейнольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительны у1 степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько зшрощенных уравнений Навье — Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь первым приближением в методе разложения решений уравнений Навье — Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены 2 и 3. [c.508]

В предлагаемой работе подытоживаются исследования [40-42, 52, 53, 176, 177, 209, 213-216, 233-253] различных аспектов нестационарного свободного взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком в условиях до- и сверхзвукового обтекания, включая трансзвуковой диапазон скоростей. Применяемая нестационарная асимптотическая теория позволяет указать на ряд достаточно тонких эффектов, недоступных для изучения другими методами. Решение начальнокраевых задач, поставленных для уравнений Навье-Стокса, чрезвычайно затруднительно из-за наличия малого параметра при старших производных, поскольку круг изучаемых явлений характеризуется большими значениями числа Рейнольдса. Новые возможности в преодолении указанных трудностей появляются в рамках асимптотического подхода. Основная направленность предпринятого в работе асимптотического анализа уравнений Навье-Стокса в пределе больших чисел Рейнольдса связана с раскрытием внутренней структуры возмущенного пограничного слоя в задачах устойчивости и восприимчивости, получением оценок (в терминах отрицательных степеней числа Рейнольдса и амплитуд возмущений) для функций течения в каждой из подобластей, на которые разделяется поле скоростей. Данный подход существенно дополняет имеющиеся представления о реакции пограничного слоя на линейные и нелинейные возмущения различной природы. [c.16]

Значительно более, удовлетворительным представляется положение в отношении плоского течения Пуазейля. Здесь, после того как тщательные расчеты Линя, основанные на асимптотических разложениях, специального типа, применимых при больших Re, подтвердили основной вывод Гейзенберга о неустойчивости этого течения и позволили найти форму кривой нейтральных возмущений с( , Re) =0, эти результаты были еще раз проверены Томасом (1953) с помощью численного решения соответствующей задачи на собственные значения, а затем частично также и Локком (1955), использовавшим усовершенствованную форму асимптотических разложений. Результаты всех этих расчетов оказались вполне удовлетворительно совпадающими друг с другом (см., например, рис. 14). В дальнейшем Шэнь (1954) рассчитал по методу Линя для этой задачи также и форму кривых 3m (fe, Re) = onst, определяющих совокупность возмущений с заданной быстротой возрастания. Форма нейтральной кривой 3>n (fe, Re) = О, где Re = UHilv, и — максимальная скорость невозмущенного течения, найденная Линем и Локком, показана на рис. 14. Критическое число Рейнольдса (отвечающее самой левой точке этой кривой) оказалось равным примерно 6000 по данным Локка и [c.127]

Piv = Pi Vv). p гv = Pi Vv). (г = 1. 2, 3, 4 =1, 2). Чтобы вычислить определитель, нам нужен явный вид решений. Так как можно ожидать, что число Рейнольдса, при котором теряется устойчивость, будет большим, то Гейзенберг использовал для нахождения решений асимптотический ряд, рассматривая только большие значения а/ . Естественный путь получения таких решений состоит в том, что решение записывается в виде формального разложения [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...