Исследование уравнений Тимошенко

Исследование уравнений Тимошенко. [c.23]

Первые результаты были получены, когда в уравнения ввели поправки, которые позволили более полно учесть основные факторы, определяющие распространение упругой волны (Релей [97], Тимошенко [99]). На этом пути существенный вклад сделал С. П. Тимошенко, предложивший (вне связи с исследованиями по распространению волн) уточненное уравнение динамического изгиба (и сдвига) стержня. Как потом было установлено Я. С. Уфляндом [104] и другими, уравнение Тимошенко в отличие от уравнения Бернулли— Эйлера определяет конечные скорости распространения волн и дает результаты, во многих отношениях удивительно близкие к точным результатам, вытекающим из теории упругости. Уравнения Тимошенко и их решения исследовались в ряде работ, в частности, в [73 78 104 120—122 129 142 143]. [c.11]

Уравнения типа С.П. Тимошенко. Под уравнениями типа С.П. Тимошенко здесь понимаются уравнения, устанавливаемые на основе кинематических допущений, принимаемых для пакета слоев в целом и заключающихся в следующем линейный элемент пакета слоев, ортогональный до деформации к отсчетной поверхности Q, остается после деформации прямолинейным и сохраняет свою длину, но ортогональным к деформированной поверхности Q уже не является. Эта кинематическая модель (модель прямой линии") составила основу многих теоретических и прикладных исследований прочности, устойчивости, динамики много- и однослойных оболочек и пластин с конечной сдвиговой жесткостью и всесторонне освещена в литературе [43, 118, 121, 226, 265, 295 и др.]. Соответствующая ей замкнутая система дифференциальных уравнений включает в себя следующие группы зависимостей [c.82]

Как известно, задачи об изгибе и плоском напряженном состоянии для сплошных пластинок весьма похожи. Поскольку дифференциальное уравнение для плоского напряженного состояния и однородная часть в уравнении для изгиба при действии распределенной по поверхности поперечной нагрузки идентичны, то для соответствующих граничных условий их решения будут одинаковыми. Например, задача Тимошенко о плоском напряженном состоянии прямоугольной пластинки при действии в ее плоскости нагрузки [1]. распределенной по параболическому закону, аналогична задаче об изгибе защемленной прямоугольной пластинки от действия равномерно распределенной по поверхности поперечной нагрузки [2]. В работе [2] при исследовании пластинок с одним или несколькими вырезами наибольшее внимание было уделено определению плоского напряженного состояния, а не изгиба пластинок. Трудность решения задач второго класса зачастую обусловливается требованием удовлетворения граничным условиям на краях вырезов. [c.192]

Исследования переходных процессов на основе модели гиперболического типа были начаты Я. С. Уфляндом (1947), который вывел новый вариант уравнения изгиба пластинки путем обобщения на пластинку системы гипотез, предложенной С. П. Тимошенко для уточнения уравнения движения стержня. Уфлянд применил для решения нестационарной задачи метод преобразования Лапласа и получил некоторые численные результаты. [c.252]

В работе Н. Л. Воробьева [1.8] (1968) излагается метод определения собственных частот стержней. Метод прилагается к исследованию колебаний балки Тимошенко, но в дифференциальном уравнении отброшена четвертая производная по времени. Идея метода основана на том, что одному и тому же дифференциальному уравнению можно поставить в соответствие различные функционалы вариационной задачи. Поэтому можно ввести вспомогательную систему, которая отличается от основной каким-либо параметром, например, изгибной жесткостью, и затем рассмотреть изопараметрическую [c.90]

Уточненные по Тимошенко уравнения осесимметричных колебаний ортотропной цилиндрической оболочки применялись при исследовании задач гемодинамики в работе 13.25] [c.220]

Исследование других случаев устойчивости основано на применении либо уравнения (5.143), либо (5.142) при значениях 8Л ,, 84 2 согласно (5.139) оно вполне аналогично исследованию соответствующих упругих задач, поскольку дифференциальное уравнение (5.142) является линейным и содержит только чётные производные от w. Виды функций да(х) и все вычисления для подобных уравнений даны в книге Тимошенко 1. [c.318]

Б последние годы число публикаций но этим вопросам снова стало возрастать. Они посвящены главным образом применению теории Тимошенко для расчета практических конструкций и частично ее обоснованию и улучшению. Среди последних отметим работы, в которых приближенные модели строятся на основе асимптотически точных решений трехмерных уравнений теории упругости [47, 144, 370]. Примечателен также повышенный интерес к построению более сложных моделей (трех- и четырехволновых), позволяющих существенно повысить точность расчетов и расширить частотный диапазон их применимости [144, 225, 308, 317, 343, 391]. Однако практическое их применение связано с громоздкими выкладками. Поэтому двухволновые уравнения, в частности уравнение Тимошенко, являются сейчас общепринятыми в инженерных расчетах конструкций на колебания и в исследовании распространения низкочастотных изгпбиых волн. [c.143]

Известен целый ряд работ, относящихся к теоретическим и экспериментальным исследованиям прямолинейных стержней при ударном нагружении [1—6]. Гораздо меньше работ лосвящено анализу криволинейн хх стержней. В 1961 г. Морли [7] вывел уравнения для криволинейных стержней типа уравнений Тимошенко [8] и получил дисперсионные кривые для непрерывного волнового движения. В работе [9], относяш,ейся к 1965 г., обсуждалась передача энергии волнами напряжений в прямых и криволинейных стержнях с возможным приложением. к высокоскоростным полиграфическим печатным процессам. Теории распространения упругих волн в спиральных пружинах малой кривизны посвящена опубликованная в, 1966 г. работа [10]. Исакович и Комарова [11] в 1968 г. исследовали при помощи теории нулевого момента распространение про-дольно-изгибных волн в пологом кривом брусе. В том же году были представлены теоретические и экспериментальные данные [12], относящиеся к дисперсии упругих волн в спиральном волноводе, а в 1971 г. были опубликованы результаты для иных форм пружин [13]. Позднее в работах [5] была рассмотрена задача о распространении волн напряжений в крутозагнутых стержнях. Наконец, в работе [14] были представлены уравнения Морли [7] в виде, пригодном для исследования распространения волн в криволинейных стержнях, и выполнены некоторые числовые расчеты для типичных примеров. В данной статье обобщена теория работы [14] и дано сравнение результатов теоретических исследований с экспериментальными данными для стержневой конструкции, состоящей из прямых и криволинейных участков. [c.199]

Так как уравнения Тимошенко применимы при более высоких частотах, т. е. для исследования более быстропроте-кающих динамических процессов, чем уравнения классической теории, то естественно было рассмотреть в уточненной постановке поведение стержней в первую очередь при ударном возбуждении. Исследование соударения тел со стержнями имеет большое прикладное значение, но представляет большие математические трудности. Поэтому применение уточненной, но значительно более простой, чем уравнения теории упругости, модели, было бы весьма привлекательным. [c.57]

В работе [1.320] (1962), посвященной исследованию колебаний стержня под действием аксиальной внешней силы, влияние инерции вращения учтено не полностью. В уравнении динамического равновесия моментов (в статье формула (1.3)) пропущен член, оценивающий инерцию вращения, и поэтому уравнение движения стержня отличается от волнового уравнения Тимошенко (2.7). В связи с тем, что отсутствут ет четвертая производная по времени, уравнение можно решить методом разделения переменных. [c.77]

Результаты, предсказываемые уточненной теорией типа Тимошенко, были подвергнуты экспериментальной проверке еще в 1931 г. Е. Goens oM [1.173] в связи с определением модуля Юнга. Он решил задачу о свободных изгибных колебаниях стержня со свободными концами и вывел приближенную формулу для определения модуля Юнга. Было обнаружено, что применение уточненного уравнения Тимошенко дает значительно лучшее соответствие с экспериментальными исследованиями, чем уравнение Релея, учитывающее только инерцию вращения. [c.95]

В статье М. Goland a, Р. D. Wi kersham a и М. А. Den-gler a [1.174] (1955) приведены результаты экспериментальных исследований и их сравнение с теоретическими данными, полученными на основе уравнений Тимошенко. На середину свободно опертой балки прямоугольного поперечного сечения падал с известной высоты шарик. Падая, он ударялся о полусферический сегмент, расположенный на балке. Нагрузка на балку передавалась, таким образом, через основание сегмента. Была достигнута длительность возбуждающего импульса около 10 мксек. При соударении возбуждались волны, которые регистрировались датчиками деформации на различных расстояниях от места удара. Сравнение теоретических и экспериментальных временных историй показало их хорошее соответствие. На фиг. 1.22 приведены графики [c.97]

В работе Крайчиновиса [43 ] построена теория и получены уравнения, описывающие колебания свободно опертой трехслойной балки, которая рассматривалась выше. На основе ряда допущений численно установлено, что при низких частотах колебаний трехслойная балка ведет себя так же, как известная балка Тимошенко. При высоких частотах и малом отношении модуля сдвига заполнителя к модулю упругости несущих слоев деформация поперечного сдвига оказывается существенной и должна учитываться при расчете. Этот вывод подтверждается исследованиями Николаса и Геллера [58], основанными на теории, построенной Ю [92]. [c.144]

Геометрически линейная теория однородных оболочек типа Тимошенко построена в работах [ 1.24, 1.30, 1.33-1.35]. Линейные теории многослойных оболочек в рамках гипотез Тимошен-ко развиты в работах [ 1.4, 1.18,1.19, 1.31 и др.]. Геометрически нелинейная теория является менее исследованной. Общим вопросам нелинейной теории однородных оболочек с учетом поперечных сдвигов посвящены фундаментальные работы [ 1,1, L7, 1.29]. Л.Я. Айнола [ 1,1] построил теорию упругих анизотропных оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона-Остроградского. К.З. Галимо-вым выведены уравнения движения при конечных перемеще- [c.7]

Численному исследованию геометрически нелинейных слоистых ортотропных оболочек в классической постановке посвящены работа [1.16, 7.4]. Для решения нормальной системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений в монографии [ 1.16] использован процесс последовательных приближений, основанный на методе квазилинеаризации. Обобщение упомянутых алгоритмов на оболочки вращения типа Тимошенко дано в работах [73, 1.15], где обсуждаются ортотропные оболочки однородные [73] и многослойные [ 1.15]. В математическом плане зти задачи могут быть также сведены к инто-р1фованию нормальной системы шести нелинейных дифференциальных уравнений, [c.127]

Анализ матрицы жесткости перекрестно армированных оболочек (см. п. 4.3) приводит к мысли, что традиционно используемая для их расчета теория ортотропных оболочек может давать в отдельных случаях качественно неверную картину напряженно-деформированного состояния. Так, пренебрежение влиянием мембранно-изгибных жесткостей (в дальнейшем будем говорить об эффекте анизотропии) при расчете малослойных перекрестно армированных оболочек приводит к недопустимым погрешностям, искажающим напряженное состояние конструкции, особенно на границе раздела слоев. Исследование эффекта анизотропии сопряжено с большими трудностями даже в задачах осесимметричной деформации перекрестно армированных оболочек, так как в зтом случае приходится интегрировать полную систему обыкновенных дифференциальных уравнений десятого порядка в теории оболочек типа Тимошенко и двенадцатого порядка в уточненной теории. [c.209]

Задачи расчета многослойных эластомерных конструкций не являются объектом исследования теорий оболочек, и сущестру-ющие теории многослойных оболочек не применимы для эти,х целей. Резиновые и армирующие слои нельзя отнести к мягким или жестким по классификации, принятой в теории оболочек [22]. Для описания деформации армирующих слоев нельзя использовать имеющиеся теории оболочек. Одни теории не подходят в силу ограниченности заложенных в них гипотез, противоречащих характеру деформации слоя в конструкции к ним относятся классическая теория оболочек, основаиная на гипотезах Кирхгофа — Лява, и сдвиговые теории, использующие гипотезы С. П. Тимошенко. Другие теории, имеющие большую общность, отличаются высоким порядком уравнений, так как содержат большое число искомых функций, что препятствует их практическому использованию. Часто эти теории непоследовательны с одной стороны стремление к общности, с другой — [c.83]

Среди таких моделей наиболее полно разработана модель прямой линии (модель С.П. Тимошенко), составившая основу многих теоретических и прикладных исследований в области механики слоистых оболочек и широко используемая в расчетной практике. Однако область пригодности ее уравнений ограничена (см. параграф 3.10), поэтому корректный расчет многих практически важных классов многослойных оболочек (с сушественным различием жесткостных характеристик слоев, сильной анизотропией деформативных свойств и т.д.) требует отказа от нее и обрашения к моделям более высоких порядков, имеющих более широкие области применимости. Важно подчеркнуть, что при отказе от классической модели или модели С.П. Тимошенко и переходе к той или иной корректной математической модели высокого порядка одновременно приходится отказываться и от традиционных процедур численного интегрирования краевых задач классической теории оболочек. Дело в том, что такой переход сопровождается не только формальным повышением порядка разрешающей системы дифференциальных уравнений, но и качественным изменением структуры ее решений, появлением новых быстропеременных решений, описывающих краевые эффекты напряженного состояния, связанные с учетом поперечных сдвиговых деформаций и обжатия нормали (подробнее этот вопрос рассматривается в параграфе 3.7). На этом классе задач оказывается практически непригодным для использования, например, метод дискретной ортогонализации С.К. Годунова [97], известный [118, 162 и др.] своей эффективностью на классе краевых задач классической теории и теории типа [c.11]

Настоящая точка зрения выдвигается с большой неуверенностью потому, что многие авторы за основу своих изысканий по распространению напряжений брали уравнение (70). Это были Сен-Венан, Буссинеск, Кельвин и Тэт, Рэлей, Д. Перри. Они использовали методы, принцип которых подобен методам 379—383. Их исследования подробно описаны в сочинениях Лява ) и Тимошенко ). С помощью экспериментальных исследований Сирса и Уэгстеффа спорный вопрос едва ли может быть решен, ввиду того, что скорости [c.466]

Применение уравнений трехмерной теории упругости к исследованию устойчивости упругих тел с учетом изменения их граничных поверхностей было предложено А.Ю. Ишлинским и Л.С. Лейбензоном [5, 6]. В трехмерной линеаризованной постановке в работах А. П. Гузя и его учеников [2, 7, 8, 9] были получены решения задач устойчивости анизотропных элементов конструкций, которые послужили основой для оценки точности различных прикладных теорий, использующихся в расчетной практике. Оказалось, что теория оболочек, в которой деформации поперечного сдвига учитываются в соответствии с гипотезой Тимошенко, позволяет находить критические нагрузки с незначительной погрешностью. Эта оценка относится и к таким интегральным характеристикам, как низшие частоты свободных колебаний оболочки из КМ. В то же время решение уравнений теории оболочек типа Тимошенко менее трудоемко, чем уравнений теории упругости, особенно в случае оболочек сложной геометрии. Такими, в частности, являются цилиндрические оболочки с волнообразной срединной поверхностью, которые при большом количестве волн принято называть гофрированными. Устойчивость последних рассматривалась в работах [10, 11] путем замены их эквивалентными ортотропными. Хотя экспериментальные данные обнаруживали более высокую эффективность гофрированных оболочек [10], приближенное дискретное решение не подтвердило возможности увеличения критических нагрузок за счет придания профилю поперечного сечения волнообразного характера. Недостатков приближенного подхода удалось избежать в работах [12-14], где устойчивость гофрированных оболочек рассматривалась с учетом изменяемости геометрических параметров по направляющей. Из проведенных авторами этих работ исследований вытекает, что при равновозможности общей и локальной форм потери [c.105]

Сжатие стержней, сечения которых имеют местные ослабления (вырезы, отверстия, заклепки и т. п.) (рис. 14.13). Если стержень имеет местные ослабления сечения, то изменение параметра а в уравнении (14.5) мало сказывается на деформации стержня. Как показали исследования С. П. Тимошенко, величина Якр с учето.м местных ослаблений очень. мало отличается от величины критической силы, определяемой по формуле Эйлера без учета ослаблений. Даже при больших местных ослаблениях сечений (до 20%) влияние их на величину критической силы невелико. Поэтому практические расчеты на устойчивость сжатых стержней производятся без учета местных ослаблений, т. е. по сечению брутто. [c.412]

В работе А. L. Floren e [1.161] (1965) для исследования колебаний полубесконечной балки, по которой движется поперечная сосредоточенная сила с постоянной скоростью, применяются уравнения типа Тимошенко. На конце удовлетворяются либо условие шарнирного опирания, либо — равенство нулю угла поворота и поперечной силы. Решения построены методом преобразования Лапласа. Приведены кривые распределения поперечных скоростей при различных скоростях движения нагрузки, звуковой V"= o= ( /р)и сверхзвуковой У>Съ, и выполнено сравнение результатов уточненной и классической теорий. Результаты обеих теорий в среднем мало отличаются и тем меньше, чем больше скорость движения нагрузки. Замечено, что удовлетворительного моделирования задачи (В условиях опыта можно достичь, размещая на балке шнуровой заряд, характеризуемый определенной скоростью распространения детонационной волны. [c.70]

На основе уравнений балки Тимошенко с учетом геометрической нелинейности А. С. Вольмир [1.6] (1966) исследовал численно пpoц°J волнообразования при продольном ударе по торцу стержня. В соответствии с исследованиями М. А. Лавр-ентьева и А. Ю. Ишлинского > (11949) фронт волны и бегущая изгибная волна с узловыми точками перемещаются к неподвижному торцу. При этом для каждой полуволны имеется критическая длина, которая является максимальной в течение всего процесса вылучивания, а поперечная скорость резко возрастает (начало выпучивания) после достижения полуволной критической длины. [c.75]

Устойчивость и колебания трансверсально изотропных балок типа Тимошенко, исходя из уравнений (2.18), рассматривал Е. Л. ВгипеПе 1.122, 1.123] (1970). Исследование относится к композитным материалам, характеризуемым отношением продольного модуля Юнга к поперечному сдвиговому /0 = 20- 50. В этом случае деформация сдвига может оказывать существенное влияние на статическую и динамическую устойчивость. Показано, что с увеличением концевых ограничений влияние поперечного сдвига ухудшает устойчивость и что начальные усилия и прогибы мало влияют на частоты толщинно-сдвиговой моды, но оказывают качественное влияние па мнимую ветвь дисперсионной кривой. Установлено очень сильное влияние отношения Е/О на колебания и волны. [c.77]

Дальнейшие исследования в этой области были продолжены С. J. NederveenoM и F. R. S liwarzl eM [1.262] (1964). Авторы исследовали погрешности, возникающие при определении модуля Юнга из уравнения, выведенного с учетом инерции вращения и деформации сдвига. Они исходили из приближенной формулы Тимошенко для частоты колебаний шарнирно опертой балки я показали, что погрешность формулы и потрешность при задании констант, входящих в уравнения, имеют одинаковый порядок. [c.95]

Результаты, относящиеся к стержням, обычно легко распространяются на пластины. В статье Я. С. Уфля1нда [2.59] ( 948) выводятся уравнения поперечных колебаний пластин с учетом инерции вращения и сдвига на основе модели Тимошенко. Там же рассмотрены приложения этих уравнений к исследованию реакции бесконечной пластины на ударное сосредоточенное возбуждение. Оказалось, что построенная двухмодовая аппроксимация, так же как и в случае стержней, является гиперболической и олисывает распространение двух разрывов. [c.116]

Л. Я. Айнола построил геометрически нелинейную теорию упругих оболочек типа Тимошенко на основе обобщенного вариационного принципа Гамильтона—Остроградского 13.2] (1965). Получены также уравнения в возмущениях применительно к исследованию динамической устойчивости начального состояния движения. Исходя из вариационного принципа для геометрически нелинейной теории упругости и вводя основные гипотезы модели Тимощенко, он вывел уточненные уравнения динамики гибких оболочек в криволинейных координатах [3.6] (1968). [c.212]

А. Тюманок исследовал неустановившееся движение полубесконечной цилиндрической оболочки, от защемленного края которой равномерно движется осесимметричная волна давления с докритической скоростью [3.72] (1966). Исследования проводились на основе уравнений типа Тимошенко В работе показано, что при больших временах основной вклад в перемещения оболочки вносит безмоментное решение. В моментной части решения существенными оказываются краевой эффект и группа волн с низкой скоростью. [c.214]

Последним примером рассматриваемого класса является несимметричный изгиб предварительно напряженной кольцевой пластины, исследованный Альц-хаймером и Дэвисом [1968]. Наружная кромка пластины жестко заделана, отверстие кольца содержит твердое включение (показано на рис. 2.5). К твердому включению приложен момент, который стремится повернуть его вокруг диаметра и вывести из плоскости пластины. Для тонкой кольцевой пластины без поверхностного нагружения, на которую действуют силы, направленные по плоскости пластины, Тимошенко и Войновский-Кригер [1959] вывели следующее уравнение относительно поперечного смещения со [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...