Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки [c.123]

В полярной системе координат прогиб пластинки и нагрузка будут функциями г и 0, т. е. w r, 0) и q r, 0). Тогда дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки (7.16) получит вид [c.146]

Дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки, находящейся под действием нагрузок в ее срединной плоскости, проще всего вывести, рассматривая эти нагрузки совместно с поперечными. Для этого достаточно в уравнения равновесия элемента пластинки, находящейся под действием поперечной нагрузки, добавить нагрузки, действующие в срединной плоскости пластинки. Последние показаны на рис. 60, [c.179]

Это и есть дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки, находящейся под действием поперечных сил и сил в ее срединной плоскости. [c.184]

Уравнение (2.131) представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки. [c.184]

Для решения этой осесимметричной задачи воспользуемся дифференциальным уравнением изогнутой срединной поверхности замкнутой круговой цилиндрической оболочки (10.21), в которой поперечная нагрузка q создается при выпучивании оболочки усилиями и по аналогии с выпучиванием пластинки равна [c.255]

ИЗГИБ ПЛАСТИНКИ ПОД СОВМЕСТНЫМ ДЕЙСТВИЕМ ПОПЕРЕЧНЫХ НАГРУЗОК И СИЛ В ЕЕ СРЕДИННОЙ ПЛОСКОСТИ 90. Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности. [c.421]

В предшествующем изложении всюду предполагалось, что пластинка изгибается одними лишь поперечными нагрузками. Если кроме поперечных нагрузок в условиях задачи имеются еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки, то эти последние силы могут оказать значительное влияние на изгиб пластинки, и потому при выводе дифференциального уравнения изогнутой поверхности их необходимо принять в расчет. Поступая, как и в случае поперечной нагрузки (см. 21, стр. 96), рассмотрим равновесие малого элемента, вырезанного из пластинки двумя парами плоскостей, параллельных координатным плоскостям xz и yz (рис. 191). В отличие, однако, от случая, рассмотренного в 21, у нас теперь будут еще и силы, действующие в срединной плоскости пластинки. Обозначим величину этих сил по отнесении их к еди- [c.421]

МОЩЬЮ уравнений (е) можем определить напряжения в срединной поверхности пластинки. Из функции -ш, определяющей изогнутую поверхность пластинки, мы можем получить напряжения изгибу и касательные напряжения, пользуясь теми же формулами, что и в случае пластинки с малым прогибом [см. уравнения (101) и (102)]. Таким образом, исследование больших прогибов пластинки сводится к решению двух нелинейных дифференциальных уравнений (245) и (246). Решение этих уравнений в общем случае не получено. Некоторые приближенные решения, однако, известны, и они будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.463]

Как и в случае стержней, при определении критических нагрузок на пластинку исследуют формы равновесия, бесконечно близкие к начальному состоянию при этом можно считать, что дополнительные напряжения в срединной поверхности пластинки, появляющиеся при выпучивании, малы по сравнению с изгибными напряжениями. Так как при решении бифуркационных задач внешнюю поперечную нагрузку не учитывают, то для получения дифференциального уравнения выпученной поверхности необходимо в уравнении теории жестких пластинок [см. т. I, гл. 17, уравнение (19)] принять 17=0. Одновременно при исследовании смежных состояний изгиба необходимо учесть проекции повернутых внутренних усилий, показанных на рис. 1, где изображен элемент пластинки йх йу в изогнутом состоянии. [c.91]

Статический метод. Для определения критических нагрузок с помощью статического метода необходимо знание дифференциального уравнения изогнутой поверхности пластинки, составленного с учетом усилий, действующих в срединной поверхности. [c.271]

В элементарной теории изгиба пластинок исходят из предположения, что срединная плоскость при изгибе не испытывает растяжений и что линейные элементы, перпендикулярные срединной плоскости, сохраняют после изгиба свою прямолинейную форму и устанавливаются нормально к искривленной срединной поверхности. Точная теория пластинок, разработанная трудами английских ученых, дает основание заключить, что дифференциальное уравнение равновесия изогнутой пластинки [c.314]

Рассмотрим бесконечную горизонтальную пластинку из вязко-упругого материала постоянной толщины Н. Примем за плоскость X, у срединную плоскость пластинки, а положительную координату 2 и смещение т будем отсчитывать вниз. Пластинка слегка изогнута по цилиндрической поверхности, ордината которой хю, представляющая прогиб пластинки, зависит от координаты X и времени I, а также от внешних сил, состоящих из распределенной нагрузки р = Цх, 1 и контактного давления д = —кш, создаваемого основанием. К этому случаю одномерного изгиба пластинки можно применить развитую в гл. 9 теорию изгиба гибкой вязко-упругой балки, предполагая, что последняя изгибается под действием суммы некоторой распределенной нагрузки р и контактного давления д = —кт со стороны основания. Принимая во внимание уравнение (9.9), получаем дифференциальное уравнение для прогибов т такой балки [c.347]

Полученное уравнение представляет собой дифференциальное уравнение изогнутой срединной поверхности пластинки, его обычно называют уравнением Софи Жермен. [c.125]

Таким образом, в уравнениях (8.8) приближенная функция, представляющая собой левую часть дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки (7.17), ортого-нализируется на области з ко всем функциям ряда (ж), входящим в эту приближенную функцию. [c.161]

Таким образом, приближенная функция в уравнениях (9.7), представляющая собой левую часть дифференциального уравнения изогнутой срединной поверхности пластинки (8.16), ортогональна в области S ко всем функциям tpji, ряда (ж), входяа,им в эту приближенную функцию. [c.158]

Один из этих принципов впервые ввел в теорию упругости выдающийся физик Густав Кирхгоф в одной из своих фундаментальных работ, опубликованной в 1850 г. ). Стремясь в этой замечательной статье развить теорию изгиба тонкой плоской упругой пластинки, он сразу же успешно вывел из экстремального условия для потенциальной энергии линейное дифференциальное уравнение в частных производных четвертого порядка для малых прогибов упругой пластинки (уравнение Лагранжа) и дифференциальные выражения для полной системы двух граничных условий, необходимых для определения формы изогнутой срединной поверхности пластинки. Таким образом, он впервые установил корректные выражения для этих двух граничных условий после многочисленных безуспешных попыток, предпринимавшихся в течение первой половины девятнадцатого столетия математиками французской школы (в том числе Пуассоном). Они утверждали, что поверхность слегка изогнутой упругой пластинки и решение указанного дифференциального уравнения четвертого порядка для прогибов пластинки должны удовлетворять трем независимым граничным условиям, тогда как Кирхгоф установил, что достаточно всего двух ). Он достиг этого применением принципа возможных перемещений, приравняв нулю первую. вариацию определенного интеграла, выражающего полную потенциальную энергию изогнутой пластинки как сумму энергии упругой деформации, вызванной внутренними напряжениями, деформирующими пластинку при изгибе, и потенциальной энергии системы внешних сил (нагрузок), изгибающих пластинку. Внеся вариацию под знак интеграла и применив ее к подинте-гральному выражению, он нашел дифференциальное уравнение [c.142]

Дифференциальное уравнение симметричного изгиба поперечно нагруженной круглой пластинки ). Если действующая на круглую пластинку нагрузка распределена по ней симметрично относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластинки и проходящей через ее центр, то изогнутая поверхность, в которую обратится срединная плоскость пластинки, также получится симметричной. Во всех точках, равно удаленных от центра пластинки, прогибы будут одинаковы, и потому мы сможем удовлетвориться рассмотрением их лишь в одном-единственном диаметральном сечении, проходящем через ось симметрии (рис. 27). Поместим начало координат О в центре неизогнутой пластинки, через г обозначим радиальные расстояния точек, лежащих в срединной плоскости, а через w — их прогибы вниз. Тогда максимальный наклон изогнутой поверхности в некоторой точке А будет равен — dwldr, кривизна же срединной поверхности пластинки в диаметральном сечении rz для малых прогибов выразится производной [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...