Постановка автомодельных задач

Для постановки автомодельных задач к (2.40), (2.41) необходимо добавить начальные и граничные условия. По условию А (см. 5 гл. I) решение соответствующей задачи является автомодельным, если среди всех ее размерных определяющих параметров кроме независимых переменных имеется к — постоянных с независимой размерностью, где — число основных единиц измерения. [c.47]

Постановка автомодельных задач [c.131]

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ [c.133]

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 135 [c.135]

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 137 [c.137]

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 139 [c.139]

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 141 [c.141]

ПОСТАНОВКА АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 1 43 [c.143]

В настоящей главе, чтобы выделить роль источников и стоков в процессе движения газа, будем считать, что газ является нетеплопроводным ( О, Ж = 0). Предположим также, что скорость полета частиц совпадает со скоростью газа, т. е. и = у. Приводимая ниже постановка автомодельной задачи о поршне и основные результаты ее решения изложены в работах [23, 24, 30]. [c.198]

Такого вида движения называются автомодельными. Оста новимся на постановке некоторых задач, решение которых легко получить описанным выше методом. [c.169]

Эксперименты свидетельствуют о существенном влиянии краевых эффектов, простирающихся почти до половины радиуса дисков. В связи с этим были рассмотрены некоторые автомодельные задачи для течения между дисками конечного размера [152, 166, 159]. Численные решения показали, что в неавтомодельной постановке наблюдается только одно решение, причем оно неплохо согласуется с результатами эксперимента [166], применительно к условиям которого и был произведен расчет. Отсюда можно сделать вывод о том, что краевые условия на цилиндрической поверхности, ограничивающей диски, являются определяющими при выборе одного из возможных автомодельных решений. Однако вопрос о том, существуют ли такие внешние краевые условия, при которых реализуются устойчивые многоячеистые режимы, остается открытым. Вопросы устойчивости рассматриваемых течений обсуждаются в обзоре [262], укажем также работу [245]. [c.227]

Некоторые из полученных результатов требуют дополнительного обсуждения и интерпретации. В первоначальной постановке задача об автомодельных решениях формулируется в бесконечной области с неограниченными на бесконечности скоростями и Уф. Не этим ли обусловлены выявленные свойства полученных решений Одним из таких свойств является неединственность. Если рассмотреть осесимметричное течение в конечной цилиндрической области радиуса R, то полная постановка краевой задачи включает в себя задание поля скоростей при r = R. При этом автомодельным решениям будут отвечать лишь специальные автомодельные граничные условия. Поскольку разным автомодельным решениям отвечают различные краевые условия, неединственность автомодельных решений ие означает неединственности решений исходной краевой задачи. С этой точки зрения полученная неединственность формально является фиктивной. Однако она может иметь реальное физическое содержание, если допустить, что автомодельные решения обладают свойством асимптотической устойчивости по отношению к вариациям краевых условий при г = R. [c.251]

Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35]

Об автомодельности задачи Блазиуса можно было заключить непосредственно из ее постановки, не прибегая к рассмотрению дифференциальных уравнений. Для этого надо было только прямо использовать прием теории размерностей, изложенный в конце 87. В настоящей главе имеется, однако, новое существенное обстоятельство — предположение о большом (строго говоря, бесконечно большом) значении числа Рейнольдса, — лишающее нас права при рассмотрении связей между масштабами пользоваться равенством i7L = V, выражающим условие конечности числа Рейнольдса, Вот почему из самой постановки задачи Блазиуса, не содержащей задания линейного масштаба I, сразу можно было заключить об автомодельности решения задачи. Вводя условно масштаб I и записав решение в подобной , характерной для пограничного слоя форме [c.574]

Для автомодельности задачи необходимо, чтобы скорость движения плоскости, а также задаваемые на ней значения щ были бы постоянны во времени. Поскольку решение задачи ищется в полупространстве, то оно должно конструироваться только из волн Римана и ударных волн, уходящих от границы. Соответственно, число граничных условий, задаваемых на границе, которое должно удовлетворять требованию эволюционности, меньше порядка системы п. Обычно в конкретных задачах вопрос о постановке граничных условий не вызывает затруднений. Так в задачах об упругих волнах в полупространстве (Глава 5) на границе полупространства могут с равным успехом задаваться (1)вектор скорости среды, (2)вектор нормальных напряжений, (З)три компоненты тензора деформаций. [c.62]

Итак, если задача конически автомодельна, то можио искать ее коническое автомодельное решение. Конечно, вообще говоря, ниоткуда не следует, что такое решение существует. Этот вопрос связан с корректностью постановки краевой задачи в неограниченной области и должен решаться индивидуально для каждой конкретной задачи. На практике обычно используется именно возможность построения решения, которое ищется в надлежащем [c.121]

Дается единый подход к постановке и исследованию автомодельных задач, описывающих нелинейные процессы в механике сплошной среды. Возможности автомодельных решений иллюстрируются на примерах различных задач газовой динамики с учетом теплопроводности и ряда других физических эффектов. Изложенные результаты демонстрируют роль автомодельных решений в исследовании качественных закономерностей, свойственных изучаемой среде, а также в оценке точности и эффективности методов, используемых для численного моделирования задач математической физики. [c.2]

ПОСТАНОВКА ПЛОСКИХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 47 [c.47]

Постановка плоских автомодельных задач [c.47]

ПОСТАНОВКА ПЛОСКИХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 49 [c.49]

ПОСТАНОВКА ПЛОСКИХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 51 [c.51]

ПОСТАНОВКА ПЛОСКИХ АВТОМОДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧ 53 [c.53]

В общем случае решение задачи о входе тела в жидкость представляет большие математические трудности. Простейшими задачами подобного рода являются равномерное погружение прямолинейных клина и кругового конуса в невесомую жидкость, которые автомодельны. Для этих задач, а также в случае погружения слабо искривленных профилей. используются различные приближенные подходы, основанные на методе Вагнера [250, 251]. В точной постановке решение задачи об автомодельном погружении клина было получено 3. Н. Добровольской [46, 49, 167] с использованием ЭВМ. [c.73]

При погружении с постоянной скоростью клина и конуса в невесомую жидкость возникают простейшие автомодельные течения [73, 118, 125]. Автомодельные задачи о погружении тел в жидкость характерны тем, что их решение иногда удается получить в точной постановке. [c.98]

Подробные исследования автомодельных задач о проникании конуса и клина в сжимаемую жидкость проведены в [118] причем решения строились в линеаризированной постановке, когда граничные условия со свободной поверхности переносились на неподвижную горизонтальную поверхность. Там же изложен аналитический аппарат автомодельных течений и приводится библиография по этим вопросам. [c.99]

В книге даны основы механики сплошной среды (МСС) физическая трактовка основных понятий и статистическое обоснование законов МСС аксиоматика МСС кинематика и теория внутренних напряжений в средах физические законы — сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии методы получения замкнутых систем уравнений, основные типы граничных условий и постановки краевых задач МСС. Даны замкнутые системы уравнений для классических сред (газов, жидкостей, упругих тел) и для сред со сложными свойствами (вязко-упругих, нелинейно вязких, упруго- и вязко-пластических, плазмы и др.) при действии электромагнитного поля. Дана теория размерностей и подобия с ревизионным анализом уравнений МСС, критериями подобия и моделирования, с примерами автомодельных решений. [c.3]

Из постановки задач с помощью теории размерности можно установить случаи, когда имеет место автомодельность искомого решения. Легко видеть, что в автомодельных движениях (см. гл. УП, т. 1) с плоскими волнами, когда переменные аргументы X I входят только в комбинации х 1, т. е. когда имеют место формулы, [c.227]

Метод, предложенный Саттоном (Л. 1] для решения задачи о жидкой пленке, можно применить и к решению задачи в общей постановке, т. е. будем искать приближенное автомодельное решение уравнений (1) с граничными условиями (2) — (4). [c.180]

В общем случае установившихся пространственных течений задача локально может быть сведена к задаче о пересечении прямолинейных разрывов постоянной интенсивности на плоскости. В такой постановке задача не содержит масштаба длины и, следовательно, ее решения автомодельны. Эти решения также хорошо изучены во всей области их существования [2, 3]. [c.80]

В дальнейшем придется часто встречаться с такого рода случаями возможности сведения уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В этих случаях решение представляется в функции от одного аргумента, который является некоторым сочетанием основных аргументов задачи. Постоянным значениям этого сложного аргумента соответствуют целые многообразия решений по отдельным аргументам, которые можно рассматривать как подобные между собой. По этой причине вообще решение дифференциального уравнения в частных производных, выраженное в функции одного сложного аргумента, представляющего одночленную совокупность аргументов, содержащихся в постановке задачи, и удовлетворяющее обыкновенному дифференциальному уравнению, к которому в этом случае приводится основное уравнение в частных производных, носит наименование автомодельного (в заграничной литературе — подобного) решения, а сама задача называется автомодельной. [c.153]

Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. [c.153]

Рассматривая размерности величин, указанных при постановке задачи, построим из них, если это удастся, одночленные комплексы, имеющие размерности длины и скорости, и примем их за искомые масштабы длин и скоростей 1/ и У. Если же построение таких комплексов из заданных величин окажется невозможным, то это укажет на необходимость существования безразмерных комплексов переменных, не содержащих масштабы длин или скоростей. Последнее соображение позволяет уменьшить число независимых переменных задачи, сводя их к некоторым комплексам, основных переменных, т. е. убедиться, что искомое решение будет автомодельно. В других случаях в обсуждении структуры решения большую пользу приносит рассмотрение граничных и начальных условий. [c.375]

В случае, когда плоскости Pi и Р2 начинают выдвигаться по произвольному закону, решение задачи можно искать в классе двойных волн. В работе [1] была решена задача о движении двух взаимно перпендикулярных поршней по произвольному закону в изотермическом газе в классе двойных волн. Там же была сформулирована задача Гурса для уравнения двойных волн для случая движения двух поршней в политропном газе. Однако решение только одной задачи Гурса не позволяет, вообще говоря, построить полную картину движения даже в случае простейших законов движения поршней. Это происходит из-за того, что области определения решения задачи Гурса, как правило, не совпадают с естественными областями определения течений ни в физическом пространстве х , Х2, t, ни в плоскости годографа и составляют лишь часть их. Необходимо поэтому ставить дополнительные задачи, чтобы заполнить всю область определения течения. Предлагаемая работа посвящена как раз постановке таких дополнительных задач и исследованию возможных конфигураций течений, возникающих вследствие специфического распада разрыва, когда поршни начинают двигаться с постоянными скоростями. Область течения при этом составляется из областей двойных автомодельных волн, простых волн и областей постоянного движения, причем задача Гурса и смешанные задачи для уравнения двойных волн решаются численно методом характеристик, пока уравнение двойных волн имеет гиперболический тип. [c.100]

В классической постановке регнена автомодельная задача о течениях самогравитирующего газа с детонационными волнами. За счет выбора показателя адиабаты показана возможность конструирования регнений с детонацией типа динамического взрыва равновесия без начального подвода энергии. [c.425]

В работах p 7.29S] задача Броберга была обобщена на случай произвольно заданной на щели нормальной нагрузки, сохраняющей автомодельность задачи. Были рассмотрены плоская и осесимметричная задачи. Приведем один результат, относящийся к динамической плоской упруго-пластической задачу в постановк [c.585]

Развитие теории вдавливания жестких тел в пластическую среду встречает ряд характерных трудностей, связанных с определением подвижной границы выпучивгаегося материала. Метода регаепия подобных задач в настоящее время нет. По существу известно лигаь одно точное регаение автомодельной задачи о вдавливании клипа в пластическое полупространство, данное Хиллом, Ли и Таппером [1]. Одпако в ряде случаев целесообразно использовать эффективные приближенные постановки. [c.357]

Как показывают только что вкратце освещенные вопросы решения некоторых, в сущности говоря, наиболее простых, автомодельных задач динамики ламинарных потоков вязкой жидкости, применение аналитических методов приводит к значительным вычислительным трудностям. Между тем, конечно, научные и практические интересы не могут быть удовлетворены такими упрощенными постановками задач. Как уже отмечалось ранее, изучение протекания вязкой жидкости сквозь диффу-зорный канал требует рассмотрения явления отрыва, нарушающего радиальность, а вместе с тем и автомодельность задачи. Исследование течений вокруг вращающихся дисков л1алого диаметра вызывает необходимость учет конечности размера диска, существенным оказывается влияние окружающего диск кожуха или соседних дисков ). Эти задачи уже не автомодельны, и применение к ним аналитических методов расчета представляет непосильный ""руд. [c.542]

Среди задач, решение которых состоит из центрированных волн Римана и ударных волн, важное место занимают автомодельные задачи и, в первую очередь, задача о распаде произвольного разрыва. Предполагается, что при i = О начальные условия задаются следующим образом при а > О заданы щ = Ui = onst, при а < О заданы щ = и = onst. Требуется построить решение при i > 0. Эта задача называется задачей о распаде произвольного начального разрыва. Кроме самостоятельного значения, она имеет также значение как тестовая. Отсутствие решения или его неединственность во многих случаях служат указанием на необходимость внесения уточнений в постановку задачи. В теории упругости такое уточнение может заключаться в переходе к более конкретизированной модели среды (см. Главу 7, где упругая среда рассматривается как предел вязкоупругой при вязкости, стремящейся к нулю). [c.61]

Таким образом, полученные решения показывают, что решение неавтомодельной задачи может стремиться при оо к разным решениям предельной автомодельной задачи (если это решение неединственно), в зависимости от деталей постановки и граничных условий, соответствующих ограниченным значениям времени. [c.342]

Нелинейная автомодельная задача о равномерном погружении жесткого клина в полупространство, занятое идеальной несжимаемой и невесомой жидкостью, рассмотрена в [46] (рис. 9) в классической постановке. Следует найти решение уравнения Лапласа при соответствующейх граничных и начальных условиях. [c.98]

Большое внимание уделяется вопросу о методах формирования относительных переменных. Обосновывается представление об эквивалентных группах величин, и на этой основе вводится понятие о характеристическом значении, которое применяется в качестве масштаба отнесения при отсутствии параметрического значения, заданного по условию. Отчетливо противопоставляются комплексы — аргументы и безразмерные переменные камплеконого типа. Тщательно обосновывается понятие критер ия подобия, и строго определяются границы его применимости. Исследуется вопрос о происхождении критериев параметрического типа. Показывается зависимость структуры обобщенных переменных от постановки задачи. Особое место отводится проблеме вырождения критериев и связи ее с выпадением и слиянием аргументов обобщенных уравнений. В этой связи рассматриваются условия возникновения ситуации, хорошо известной под названием автомодельности. [c.18]

В задаче об обтекании плоской подвижной проницаемой поверхности потоком несжимаемой жидкости в изобарических стационарных пограничных слоях рассмотрены случаи неавтомодельных решений, близких к автомодельным. В линейной постановке этот анализ привел к необходимости рассмотреть нестандартные задачи на определение собственных значений и изучить их асимптотику в различных случаях. Исследована асимптотика для больших положительных собственных чисел и скорости поверхности пластины, направленной против скорости внешнего потока. Получено также асимптотическое представление поведения собственных чисел в случае, когда скорость поверхности пластины близка к скорости внешнего потока. [c.108]

В работе [1] рассмотрены одномерные нестационарные течения горючей смеси газов с учетом конечной скорости химических реакций. В ней указаны условия автомодельности таких движений, произведена математическая постановка задачи, приведены результаты ряда численных расчетов. Авторы [1] указывают на необходимость проведения дополнительного исследования, так как им не удалось получить численно, путем предельных переходов, самоподдерживающихся детонационных волн, распространяющихся со скоростью Чепмана-Жуге (ЧЖ). [c.611]

Предположим, что пластические деформации локализованы вдоль некоторых линий скольжения, выходящих из вершины трещины. Из опыта хорошо известна общая тенденция к формированию пластических областей в начале процесса нагружения в виде узких полос скольжения [79]. В осо-бенносш эго характерно для малоуглеродистых сталей, склонных к запаздьтанию текучести. Линии скольжения, очевидно, могут быть только прямыми. Действительно, в указанной постановке задача автомодельна, роль времени в ней играет параметр , а соответствующие автомо- [c.75]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...