Постановка задачи. Условия автомодельности

Постановка задачи. Условия автомодельности [c.198]

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. УСЛОВИЯ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ [c.199]

ВОЙ симметрии течения относительно оси z, когда 9/9ф = 0. Поскольку в этих условиях из заданных параметров v и J нельзя составить масштаб длины, из соображений размерности следует не-обходимость автомодельного решения вида Vi = vfi Q, Re)// , где Re = i//p/v — число Рейнольдса. Тем самым получается постановка задачи об автомодельных струях, наиболее ярким представителем которых является струя Ландау [86]. [c.34]

Некоторые из полученных результатов требуют дополнительного обсуждения и интерпретации. В первоначальной постановке задача об автомодельных решениях формулируется в бесконечной области с неограниченными на бесконечности скоростями и Уф. Не этим ли обусловлены выявленные свойства полученных решений Одним из таких свойств является неединственность. Если рассмотреть осесимметричное течение в конечной цилиндрической области радиуса R, то полная постановка краевой задачи включает в себя задание поля скоростей при r = R. При этом автомодельным решениям будут отвечать лишь специальные автомодельные граничные условия. Поскольку разным автомодельным решениям отвечают различные краевые условия, неединственность автомодельных решений ие означает неединственности решений исходной краевой задачи. С этой точки зрения полученная неединственность формально является фиктивной. Однако она может иметь реальное физическое содержание, если допустить, что автомодельные решения обладают свойством асимптотической устойчивости по отношению к вариациям краевых условий при г = R. [c.251]

Автомодельные решения представляют, конечно, лишь некоторые простейшие частные решения поставленной общей задачи, но вместе с тем в большинстве случаев оказываются полезными, так как позволяют судить об основных сторонах рассматриваемого явления. Стоит отметить — в дальнейшем это будет подтверждено многочисленными примерами,— что возможность существования автомодельных решений обусловливается отсутствием в постановке задачи (уравнениях и граничных и начальных условиях) некоторых характерных масштабов времени, длины, массы или др., т. е. некоторой ограниченностью самой постановки задачи, отказом от общности постановки. Так, например, в предыдущей задаче о центрированных волнах разрежения за движущимся поршнем не могло быть речи о произвольном заданном наперед законе движения поршня, а, наоборот, по ходу решения задачи был определен тот частный закон движения поршня, при котором возможно существование центрированных волн. [c.153]

Рассматривая размерности величин, указанных при постановке задачи, построим из них, если это удастся, одночленные комплексы, имеющие размерности длины и скорости, и примем их за искомые масштабы длин и скоростей 1/ и У. Если же построение таких комплексов из заданных величин окажется невозможным, то это укажет на необходимость существования безразмерных комплексов переменных, не содержащих масштабы длин или скоростей. Последнее соображение позволяет уменьшить число независимых переменных задачи, сводя их к некоторым комплексам, основных переменных, т. е. убедиться, что искомое решение будет автомодельно. В других случаях в обсуждении структуры решения большую пользу приносит рассмотрение граничных и начальных условий. [c.375]

Очень часто с особыми точками связаны автомодельные постановки задач, в которых сокращается число независимых переменных путем их группирования в определенные комбинации. Регуляризация задачи при помощи введения некоторых фиктивных границ, например, окружающих особые точки, требует постановки на этих границах нестандартных условий, совместимых с предписанной автомодельностью, но способных породить некорректность задачи. [c.15]

Причина кроется в существовании скрытого инварианта [36], не замеченного предшествующими исследователями. Этот инвариант, о котором пойдет речь, делает задачу автомодельной, что ее упрощает. В точной постановке задачу о струе можно рассматривать как частный случай истечения из сферического источника радиуса До, па котором дано произвольное распределение скоростей при условии покоя на бесконечности. Понимая в соотношении импульсов (1.16) под поверхностью интегрирования S суммарную поверхность 5о + 5, где через S обозначена поверхность сферы произвольного радиуса Д, из (1.16) получаем интеграл сохранения [c.33]

Математическая сложность уравнений движения сплошной среды позволяет получить точные решения для ограниченного числа относительно простых течений. В одномерном случае это, например, рассмотренные выше ударные волны и простые волны разрежения, в двумерном — течение Прандтля — Майера [4]. Иногда, при определенных начальных и граничных условиях, задача имеет автомодельное решение и система уравнений газодинамики сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [1], анализ которых значительно проще. Широкое развитие получили приближенные методы решения, основанные на упрощении исходной задачи. Здесь прежде всего необходимо отметить асимптотические методы [21], эффективность которых в самых разных областях физики всеми признана. Преимущество точных и приближенных аналитических решений очевидна. Они играют важную роль не только для понимания физической картины явления, но и необходимы при постановке математических задач. Но обычно, даже упрощенные уравнения не удается проинтегрировать, и они должны решаться численно. Поэтому методы численного моделирования широко используются для предсказания и изучения поведения сложных физических систем. [c.35]

Об автомодельности задачи Блазиуса можно было заключить непосредственно из ее постановки, не прибегая к рассмотрению дифференциальных уравнений. Для этого надо было только прямо использовать прием теории размерностей, изложенный в конце 87. В настоящей главе имеется, однако, новое существенное обстоятельство — предположение о большом (строго говоря, бесконечно большом) значении числа Рейнольдса, — лишающее нас права при рассмотрении связей между масштабами пользоваться равенством i7L = V, выражающим условие конечности числа Рейнольдса, Вот почему из самой постановки задачи Блазиуса, не содержащей задания линейного масштаба I, сразу можно было заключить об автомодельности решения задачи. Вводя условно масштаб I и записав решение в подобной , характерной для пограничного слоя форме [c.574]

Для автомодельности задачи необходимо, чтобы скорость движения плоскости, а также задаваемые на ней значения щ были бы постоянны во времени. Поскольку решение задачи ищется в полупространстве, то оно должно конструироваться только из волн Римана и ударных волн, уходящих от границы. Соответственно, число граничных условий, задаваемых на границе, которое должно удовлетворять требованию эволюционности, меньше порядка системы п. Обычно в конкретных задачах вопрос о постановке граничных условий не вызывает затруднений. Так в задачах об упругих волнах в полупространстве (Глава 5) на границе полупространства могут с равным успехом задаваться (1)вектор скорости среды, (2)вектор нормальных напряжений, (З)три компоненты тензора деформаций. [c.62]

Для постановки автомодельных задач к (2.40), (2.41) необходимо добавить начальные и граничные условия. По условию А (см. 5 гл. I) решение соответствующей задачи является автомодельным, если среди всех ее размерных определяющих параметров кроме независимых переменных имеется к — постоянных с независимой размерностью, где — число основных единиц измерения. [c.47]

Как мы увидим дальше, наличие автомодельности для искомого решения можно установить непосредственно, исходя из постановки задачи, с помощью соображений теории размерностей. Для этого не требуется даже выписывать уравнения движения и граничные условия достаточно знать только параметры и характеристики, входящие в эти уравнения и условия. Имея в виду эти соображения, в некоторых случаях можно заранее схематизировать явление и поставить задачу таким образом, чтобы описанные упрощения можно было применить и, в частности, чтобы искомое решение было автомодельным. Автомодельность — весьма ценное свойство решения, так как с точки зрения теории сведение уравнений с частными производными к обыкновенным уравнениям — это уже большое достижение, позволяющее получить численное решение задачи более простыми методами. [c.346]

Метод, предложенный Саттоном (Л. 1] для решения задачи о жидкой пленке, можно применить и к решению задачи в общей постановке, т. е. будем искать приближенное автомодельное решение уравнений (1) с граничными условиями (2) — (4). [c.180]

Эксперименты свидетельствуют о существенном влиянии краевых эффектов, простирающихся почти до половины радиуса дисков. В связи с этим были рассмотрены некоторые автомодельные задачи для течения между дисками конечного размера [152, 166, 159]. Численные решения показали, что в неавтомодельной постановке наблюдается только одно решение, причем оно неплохо согласуется с результатами эксперимента [166], применительно к условиям которого и был произведен расчет. Отсюда можно сделать вывод о том, что краевые условия на цилиндрической поверхности, ограничивающей диски, являются определяющими при выборе одного из возможных автомодельных решений. Однако вопрос о том, существуют ли такие внешние краевые условия, при которых реализуются устойчивые многоячеистые режимы, остается открытым. Вопросы устойчивости рассматриваемых течений обсуждаются в обзоре [262], укажем также работу [245]. [c.227]

Решение задачи для треугольного крыла (ш = 1) в точной постановке, т. е. с расчетом поля течения в невязком ударном слое (5.51)-(5.53), накладывает более жесткие условия на существование автомодельного течения. Анализ показал, что автомодельность внешней задачи имеет место только при I = 3/4. Действительно, если ввести для внешней области течения переменные [c.211]

Подробные исследования автомодельных задач о проникании конуса и клина в сжимаемую жидкость проведены в [118] причем решения строились в линеаризированной постановке, когда граничные условия со свободной поверхности переносились на неподвижную горизонтальную поверхность. Там же изложен аналитический аппарат автомодельных течений и приводится библиография по этим вопросам. [c.99]

В книге даны основы механики сплошной среды (МСС) физическая трактовка основных понятий и статистическое обоснование законов МСС аксиоматика МСС кинематика и теория внутренних напряжений в средах физические законы — сохранения массы, импульса, энергии и баланса энтропии методы получения замкнутых систем уравнений, основные типы граничных условий и постановки краевых задач МСС. Даны замкнутые системы уравнений для классических сред (газов, жидкостей, упругих тел) и для сред со сложными свойствами (вязко-упругих, нелинейно вязких, упруго- и вязко-пластических, плазмы и др.) при действии электромагнитного поля. Дана теория размерностей и подобия с ревизионным анализом уравнений МСС, критериями подобия и моделирования, с примерами автомодельных решений. [c.3]

Большое внимание уделяется вопросу о методах формирования относительных переменных. Обосновывается представление об эквивалентных группах величин, и на этой основе вводится понятие о характеристическом значении, которое применяется в качестве масштаба отнесения при отсутствии параметрического значения, заданного по условию. Отчетливо противопоставляются комплексы — аргументы и безразмерные переменные камплеконого типа. Тщательно обосновывается понятие критер ия подобия, и строго определяются границы его применимости. Исследуется вопрос о происхождении критериев параметрического типа. Показывается зависимость структуры обобщенных переменных от постановки задачи. Особое место отводится проблеме вырождения критериев и связи ее с выпадением и слиянием аргументов обобщенных уравнений. В этой связи рассматриваются условия возникновения ситуации, хорошо известной под названием автомодельности. [c.18]

В работе [1] рассмотрены одномерные нестационарные течения горючей смеси газов с учетом конечной скорости химических реакций. В ней указаны условия автомодельности таких движений, произведена математическая постановка задачи, приведены результаты ряда численных расчетов. Авторы [1] указывают на необходимость проведения дополнительного исследования, так как им не удалось получить численно, путем предельных переходов, самоподдерживающихся детонационных волн, распространяющихся со скоростью Чепмана-Жуге (ЧЖ). [c.611]

Постановка задачи о конических вихревых течениях с переменной турбулентной вязкостью Ут, зависящей только от сферического угла 0, содержится в работах Серрина [236] и Ву [255]. В последней рассматривается автомодельный турбулентный вихрь с условиями при.пипания на плоскости и регулярности на оси. В случае постоянной вязкости подобное движение невозможно. Для данного конического класса циркуляция I2(0) удовлетворяет дифференциальному уравнению второго порядка, допускающему лишь монотонно изменяющиеся решения, и является монотоипой функций угла 0, так что удовлетворить краевым условиям I2(0) = 0(я/2) = О нельзя. Помимо того, хорошо известно [210], что для струи, вытекающей из точечного источника на плоскости, автомодельного решепия, удовлетворяющего условиям прилипания на плоскости и регулярности на оси, не существует. Так, решение Сквайра [240] [c.144]

С точки зрения задачи о пористом вдуве в невращающуюся трубу решения второго тина представляются лишними. Наличие таких решений следовало бы отнести к парадоксам автомодельности, связанным с недостаточно жестким заданием краевых условий если условия автомодельности при % = Ь диг1дг = 0, д игЫ) д% 0) считать однородными, то наличие решений второго тииа свидетельствует о нетривиальной разрешимости такой однородной задачи. Ясно, что обычная постановка задачи путем назначения вектора скорости на границе эту спектральную ситуацию устраняет. Приведенный пример недостаточной жесткости требования автомодельности, используемого вместо обычных граничных условий, не является исключительным, в 4 мы снова стол1 пемся с подобным явлением. [c.199]

Среди задач, решение которых состоит из центрированных волн Римана и ударных волн, важное место занимают автомодельные задачи и, в первую очередь, задача о распаде произвольного разрыва. Предполагается, что при i = О начальные условия задаются следующим образом при а > О заданы щ = Ui = onst, при а < О заданы щ = и = onst. Требуется построить решение при i > 0. Эта задача называется задачей о распаде произвольного начального разрыва. Кроме самостоятельного значения, она имеет также значение как тестовая. Отсутствие решения или его неединственность во многих случаях служат указанием на необходимость внесения уточнений в постановку задачи. В теории упругости такое уточнение может заключаться в переходе к более конкретизированной модели среды (см. Главу 7, где упругая среда рассматривается как предел вязкоупругой при вязкости, стремящейся к нулю). [c.61]

Таким образом, полученные решения показывают, что решение неавтомодельной задачи может стремиться при оо к разным решениям предельной автомодельной задачи (если это решение неединственно), в зависимости от деталей постановки и граничных условий, соответствующих ограниченным значениям времени. [c.342]

Нелинейная автомодельная задача о равномерном погружении жесткого клина в полупространство, занятое идеальной несжимаемой и невесомой жидкостью, рассмотрена в [46] (рис. 9) в классической постановке. Следует найти решение уравнения Лапласа при соответствующейх граничных и начальных условиях. [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...