Другие дифференциальные операторы

Другие дифференциальные операторы. Второй, или повторный, градиент—это оператор взятия градиента от градиента. Он обозначается через V2. Если f принимает числовые значения, то значения являются симметричными тензорами. [c.514]

В тех случаях, когда оператор представляет собой дифференциальный оператор для краевой задачи (и его область определения есть множество функций, имеющих производные требуемого порядка, удовлетворяющих однородным краевым условиям), может оказаться, что энергетическое пространство допускает расширение еще за счет других элементов, уже не [c.134]

Здесь [В] — матричный дифференциальный оператор, [О] — матрица упругости, бт. — вектор термических или других начальных деформаций. [c.83]

Другими словами, взятие скобки Пуассона с заданной функцией G является дифференциальным оператором. [c.134]

Таким образом, процедура решения задачи по МКЭ полностью соответствует методам строительной механики стержневых систем. Некоторое отличие можно проследить только в процедуре составления матрицы жесткости для МКЭ всегда используется формула (1.8), для стержневых систем матрица жесткости часто строится из других соображений. Правда, стержневые системы имеют одну особенность гипотеза плоских сечений, лежащая в основе их расчета, с одной стороны, обусловливает совместность конечных элементов, с другой стороны, порождает дифференциальный оператор задачи. Поэтому здесь появляется возможность подобрать такие координатные функции, которые, с одной стороны, являются решением однородного дифференциального уравнения, с другой стороны, дают возможность построить совместные конечные элементы. МКЭ в этом случае для стержневых систем будет точным методом. [c.26]

Но те функции С/( ) = и(Т, ), значение которых в любой точке X = (х, I) зависит только от у (т. е. функции, инвариантные относительно G), оператор Ej переводит в другие функции того же класса, а оператор Fj (группа G транзитивна) переводит их в 0. Поэтому для таких функций оператор D эквивалентен дифференциальному оператору на Е, полученному отбрасыванием всех членов, в которых nij > 0. Этим теорема доказана. [c.179]

Вторичные течения в припороговой области характеризуются наличием сильно различающихся временных и пространственных масштабов. Так, характерное время нарастания колебательных возмущений, вызывающих неустойчивость основного течения (это время определяется вещественной частью инкремента), велико по сравнению с периодом колебаний, а также с характерными временами затухания других мод. Пространственный масштаб огибающей волнового пакета, составленного из возмущений с волновыми числами в узком интервале неустойчивости, много больше длины волны критического возмущения. Это обстоятельство позволяет применить метод многих масштабов. Именно, будем считать, что функции зависят от набора аргументов 2/ = 6 2, Г/ = 6 Г, / = О, 1> 2,.. . При этом в выражениях для дифференциальных операторов производится замена [c.232]

Другая возможность возникает, когда мы пользуемся записью уравнений (1-1) с помощью дифференциальных операторов [c.17]

Прибегая в (1.7) — (1.10) к различным представлениям дифференциального оператора V, запишем в терминах 7, со, -ф двумерные уравнения гравитационной ЕК в других употребительных системах координат [c.11]

Для индексов всех трех видов принимается эйнштейновское соглашение о суммировании, причем суммирование проводится по всему числу измерений соответствующего пространства. Будем вести записи так, чтобы из двух одинаковых индексов, по которым ведется суммирование, один был кова-риантным (нижним), а другой контравариантным (верхним). При этом дифференциальный оператор = д дх считается ковариантной величиной, а дифференциальный оператор д = = д дxi = — контравариантной. [c.94]

Теперь легко написать уравнение движения для О х, х ) в общем виде, справедливом для любого бозевского поля ), взаимодействующего с фермионами по закону (6.17). Для этой цели заметим, что дифференциальные операторы, действующие на 0 (х, х ) в левых частях (7.14) и (7.20), определяют уравнения движения соответствующих свободных полей с другой стороны, множители (вообще говоря, операторные), стоящие при 8-функции и при средних значениях тройных произведений, обусловлены как видом перестановочных соотношений для операторов поля Ф (х), так и видом гамильтониана взаимодействия. Из структуры уравнений явствует, что так же будет обстоять дело и в общем случае (от конкретной природы поля зависит лишь явный вид названных операторов). Обозначим дифференциальный оператор, фигурирующий в уравнении движения свободного бозевского поля, [c.66]

Криволинейные координаты.— Уравнения для давления, колебательной скорости частиц и энергии выражены в прямоугольной системе координат х, у, z) они могут быть также выражены и в других координатных системах. Дифференциальный оператор в уравнении (25.1) может быть написан в виде [c.325]

Вопросам усреднения уравнений с частными производными и их приложениям посвящена обширная литература. Настоящая книга почти не имеет пересечений с другими монографиями, в которых излагаются задачи усреднения дифференциальных операторов. Особое внимание в ней обращено на задачи, связанные с линейной стационарной системой теории упругости. Поэтому для удобства читателя первая глава книги содержит материал, относящийся к исследованию стационарной системы теории упругости. В ней рассматриваются вопросы существования и единственности решений основных краевых задач теории упругости, неравенства Корна и их обобщения, априорные оценки решений и их свойства, краевые задачи в так называемых перфорированных областях и свойства их решений, а также приводятся некоторые вспомогательные сведения из функционального анализа. Все эти результаты используются в последующих главах, многие из них излагаются впервые. [c.6]

Другой подход к построению центрированных компактных схем четвертого порядка связан с определением коэффициентов в равенстве (0.20), понимаемом как связь между искомой сеточной функцией Му и аппроксимацией в узлах дифференциального оператора / = Lu)p входящего в формулировку исходной задачи [30, 35, 36]. Достоинство такого метода состоит в том, что для оператора Lu, содержащего первые и вторые производные, решение разностных уравнений осуществляется трехточечной скалярной прогонкой (в других компактных методах четвертого порядка в таких случаях требуется векторная трехточечная прогонка с матрицами размерности 2X2). Вместе с тем он является в значительной мере ориентированным на решение скалярных конвективно-диффузионных уравнений. Обобщение его для систем уравнений оказьшается весьма громоздким, в то время как для компактных методов, использующих раздельную аппроксимацию первых и вторых производных, оно является элементарным. [c.13]

Гладкий и ядерный методы не покрывают друг друга, и оба находят полезные применения. Их формульные части тождественны, хотя содержательная реализация формул может иметь разный смысл. Когда невозмущенный оператор достаточно прост и хорошо изучен, удобно пользоваться гладким методом. В теории дифференциальных операторов он требует меньших ограничений на поведение коэффициентов возмущения на бесконечности. Ядерный метод уравнивает роли возмущенного и невозмущенного операторов, что позволяет рассмотреть случаи, когда явный спектральный анализ оператора Яо невозможен. [c.19]

Реологическое уравнение, описывающее поведение эластичной жидкости, имеет общий вид Л (т) = В (у), где Л и В — линейные дифференциальные операторы. Решение его для реальных случаев течения весьма сложно. Однако качественную картину подобного течения можно получить на основании механических или каких-либо других моделей (аналогий), которые более или менее близко воспроизводят реологические свойства жидкости. Изучение таких моделей позволяет разработать метод описания жидкости с помощью одного параметра. На рис. 41 приведены примеры подобных механических моделей. Модели представляют собой механические системы, состоящие из пружин, моделирующих упругие свойства объектов и трущихся элементов (например, поршня в цилиндре). [c.85]

Другой Причиной нелинейности оператора, задаваемого дифференциальными уравнениями, является наличие ненулевых начальных условий. Рассмотрим оператор А и(/)—у(/), задаваемый линейным обыкновенным дифференциальным уравнением [c.53]

Из этих примеров видно, что безразмерные комплексы (критерии) могут выступать не только в качестве параметров при дифференциальном и других операторах, но и в качестве обобщенных переменных под знаками операторов. [c.28]

В главе 4 будет дана другая формулировка метода конечных элементов, эквивалентная предыдущей, но использующая непосредственно идеологию методов Ритца и Бубнова — Галеркина. Преимущество этого подхода — в открыФнн возможностей для обоснования, усовершенствования и обобщения на широкие классы краевых задач математической физики, недостаток — в трудностях машинной реализации соответствующего алгоритма для проблем, содержащих в качестве неизвестных вектор-функции илн дифференциальные операторы порядка выше второго. [c.130]

Здесь Ifi] — матричный дифференциальный оператор, [D] — матрица упругости, ej — вектор термических или других начальпы.х деформаций. [c.77]

Уравнения и неравенства могут быть различного вида -алгебраические, трансцендентные, дифференциальные, интегральные, смешанные, например, интегродифференциальные, алгебродифференциальные и т. п. в зависимости от того, как входят в них искомые зависимые переменные, т. е., иначе говоря, под какими символами присутствуют в них такие переменные — под знаком трансцендентных, алгебраических, дифференциальных, интетральных и других математических операторов. [c.12]

СптРп — дифференциальный оператор с коэффициентами с т , , Ьпт, Спт ( = ), учитывающими эффекты гвометриче-ской нелинейности. Величины с индексом О представляют собой дополнительные усилия и моменты, обусловленные нелинейным поведением материала. Введенные обозначения для усилий и моментов показаны на рис. 8.1, выражения для Дг и gl, g2 приведены в работе [8]. В этих выражениях в отличие от [7] г не отождествляется с Гд, что в ряде случаев ведет к уточнению уравнений (8.3). Известны и другие упрощения уравнений (8.3), многие из которых связаны с их линеаризацией, однако при численном решении с использованием ЭВМ более точная формулировка не вносит дополнительных трудностей. [c.153]

Предлагаемая вниманию читателей книга освещает различные методы решения задач механики деформируемого твердого тела. Для иллюстрации возможностей методов выбраны задачи статики, динамики и устойчивости стержневых и пластинчатых систем, т.е. задачи сопротивления материалов, строительной механики и теории упругости, имеющих важное практическое и методологическое значения. Каждая задача механики деформируемого твердого тела содержит в себе три стороны 1. Статическая - рассматривает равновесие тела или конструкпди 2. Геометрическая - рассматривает связь между перемещениями и деформациями точек тела 3. Физическая -описывает связь между деформациями и напряжениями. Объединение этих сторон позволяет составить дифференциальное уравнение задачи. Далее нужно применить методы математики, которые разделяются на аналитические и численные. Большим преимуществом аналитических методов является то, что мы имеем точный и достоверный результат решения задачи. Применение численных методов приводит к получению просто результата и нужно еще доказывать его достоверность и оценивать величину погрепшости. К сожалению, до настоящего времени получено весьма мало точных аналитических решений задач механики деформируемого твердого тела и других наук. Поэтому приходится применять численные методы. Наличие весьма мощной компьютерной техники и развитого программного обеспечения практически обеспечивает решение любой задачи любой науки. В этой связи большую популярность и распространение приобрел универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ). Применительно к стержневым системам алгоритм МКЭ в форме метода перемещений представлен во 2, 3 и 4 главах книги. Больпшми возможностями обладает также универсальный численный метод конечных разностей (МКР), который начал развиваться раньше МКЭ. Оба этих метода по праву занимают ведущие места в арсенале исследований. Большой опыт их применения выявил как преимущества, так и очевидные недостатки. Например, МКР обладает недостаточной устойчивостью численных операций, что сказывается на точности результатов при некоторых краевых условиях. МКЭ хуже, чем хотелось бы, решает задачи на определение спектров частот собственных колебаний и критических сил потери устойчивости. Эти и другие недостатки различных методов способствовали созданию и бурному развитию принццпиально нового метода решения дифференциальных уравнений задач механики и других наук. Метод получил название метод граничных элементов (МГЭ). В отличии от МКР, где используется конечно-разностная аппроксимация дифференциальных операторов, в МГЭ основой являются интегральное уравнение задачи и его фундаментальные решения. В отличие от МКЭ, где вся область объекта разбивается на конечные элементы, в МГЭ дискретизации подлежит лишь граница объекта. На границе объекта из системы линейных алгебраических уравнений определяются необходимые параметры, а состояние во [c.6]

С другой стороны, развитие механики деформируемого твердого тела идет по пути усложнения исследуемых моделей и постановок задач. Исходя из модельных представлений механики, композиционный материал можно определить как неоднородную среду, описываемую с помощью разрывных по координатам быстроосциллирующих материальных функций, которые, как правило, считаются либо периодическими, либо случайными однородными. Необходимость разработки методов решения дифференциальных уравнений с такими коэффициентами привела к появлению относительно новой области математических исследований — теории осреднения дифференциальных операторов с частными производными, позволяющей получить решение исходной задачи с помощью более простых дифференциальных уравнений, называемых осредненными. [c.7]

Вообще говоря, аппроксимация — это замена одного математического объекта другим. Аппроксимация дифференциального оператора Ь разностным оператором Ьк называется согласованной [1], если при стремлении к нулю шагов по времени и по пространству оператор (Ол стремится к нулю. Ясно, что если это условие не выполнено, то построенная математическая модель не соответствует физической. Таким образом, требование согласованности является фундаментальным. Если согласованность разностной схемы отсутствует, то исследованре ее других свойств становится бессмыс-ленн хм. [c.214]

Любые решения уравнений (3.8) могут быть, разумеется, умножены на любую портоянную (т. ё. выражения ля и, Uy, щ могут быть умножены на одну и ту жё постоянную), и при этом они не перестанут быть решениями. Аналогично решения могут быть наложены путем добавления выражения для функции и из одною решения к этой функции из другого решения, и точно также для щ и Пг. Новые формы решений могут быть получены -также воздействием одного и того же дифференциального оператора на выражение для и, и, и Wz с заменой переменных под- >становкой вместо функции ф функции х, у, г), для которой v p = 0, когда V i j = 0 (для примера W = хд /дх+yд /дy + + zd /dz и т. п.). [c.126]

Все другие известные из курса математического анализа дифференциальные операторы и их обобщения получаются с помощью операторов (П1.75) путем их скалярного типа р умножшия (П1.33) друг на друга. Например, скалярный гармонический дифференциальный оператор П.СЛаптса [c.252]

Резюмируя, можно сказать, что аналитичность решения в бесконечно удаленной точке, имеюш,ая место для решения уравнения Лапласа, является следствием наличия целочисленного спектра у оператора Лежандра. Введение возмуш ающего оператора (для уравнения теплопроводпостп это был член и, V) изменяет этот спектр, и собственные зпачения становятся дробными (а может быть и комплексными) величинами. Классическое мультипольное разложение решения уравнепия Лапласа с введением возмущения изменяется, но физический смысл его, по существу, остается прежним. Одним из более сложных примеров применения развитых представлений является задача о неавтомодельной затопленной струе. В этом случае возмущение есть нелинейный дифференциальный оператор (у, V)v, но тем не менее получается картипа качественно сходная с описанной. Задача о неавтомодельной затопленной струе кроме указанных обладает рядом других нетривиальных парадоксальных свойств. Ей посвящена оставшаяся часть главы. [c.275]

В уравнении (0.2), которое часто называют представлением нулевой кривизны, величины Г н О обычно являются матрицами, элементы которых зависят от неизвестных функций, входящих в нелинейное уравнение. Они могут быть также дифференциальными операторами по некоторой дополнительной переменной. И в том, и в другом случае с ними удается связать некоторую алгебру, которая и определяется видом этих матриц и операторов. Уравнения (0.2) обладают богатой ал1 бр.шче крй ст ктуррй. Конкретизируя ее, удается построить.бес-конечные наборы интегрируемых систем. Так, в монографии [7] покат-зано, как каждой полупростой алгебре Ли можно сопоставить непериодическую цепочку Тоды, и предъявлена схема их интегрирования. В работе [4] алгебрам Каца — Муди сопоставляются периодические цепочки Тоды. В работгос [23, 24] с помощью однородных пространств построены системы нелинейных уравнений Шредиигера, а в работах [25-28] изучалась связь супералгебр и суперсимметричных цепочек Тоды. Этот список легко продолжить. Здесь были перечислены лишь самые простые и наиболее известные примеры, иллюстрирующие связи между алгебраическими конструкциями и системами интегрируемых уравнений. Остановимся далее на тех алгебраических конструкциях, которые приводят к построению Ь — Л-пар или Р — С -систем и пс зволяют отыскивать ПБ, а также на самих ПБ, возникающих таким путем, и рассмотрим их детальнее на конкретных примерах. Начнем же мы с того, что дадим определение ПБ. [c.6]

Ранее, при рассмотрении уравнений КдВ, Лиувилля и других обсуждалась связь типа интегрируемости с разм ерностью алгебры продолженных структур и с наличием спектрального параметра в преобразованиях Беклунда и в —< -парах. Точнее говоря, в предыдущих случаях именно наличие спектрального параметра и обеспечивало бесконеч-номерность алгебры, т. к. он играл роль параметра, непосредственно задающего градуировку в алгебре Каца — Муди. В случае уравнения Эрнста в упомянутых здесь преобразованиях Беклунда никаких дополнительных параметров нет, однако входящие в них дифференциальные операторы уже образуют бесконечную алх ебру. Поясним это на примере преобразования Нейгебауера [c.58]

Снектральпый анализ, развитый первоначально д.чя интегральных операторов с ядром К (х, у), определенным и непрерывным в нек-рой ограниченной области, затем был распространен на линейные операторы других типов, напр, интегральные операторы с ядром, имеющим особенность или заданным в пеограпичепио области, дифференциальные операторы и т. д. (Сказалось, однако, что переход к таким операторам приводит к существенным осложнениям, т. к. д.ш них собственные значения и собственные функции, понимаемые в обычпом смысле, могут вообще не сухцество-вать. Поэтому для них спектр должен быть определен пе как совокупность собственных значений, а как совокупность тех значений X, для к-рых оператор А — XEУ не существует или является неограниченным оператором. Все собственные значения оператора принадлежат спектру, их совокупность образует дискретный спектр, остальную часть спектра низ. [c.5]

Всегда, когда это возможно, в математической физике стараются описывать поля с помощью линейных эрмитовых операторов. Линейность желательна по причинам весьма очевидным, а эрмитовость — поскольку эрмитовы операторы дают в качестве наблюдаемых величин действительные собственные значения. Эту тенденцию легко видеть, например, на начальной стадии разработки квантовой теории. Так, в центре схемы Шредингера в волновой механике стоит проблема определения основных собственных значений с помощью линейного дифференциального оператора второго порядка. В матричной механике Гейзенберга все основано на другом, но математически эквивалентном решении уравнения для собственных значений с помощью матричных операторов. Поэтому даже удивительно, что оптическое волновое уравнение, которое было известно гораздо раньше волнового уравнения Шредингера, до самого последнего времени не было представлено в матричном виде. Теперь главным образом благодаря работам Габора [9] и Гамо [10] достигнута полная аналогия между матричным и дифференциальным описанием как в волновой механике, так и в оптике. Мы начнем с того ), что вернемся к выражению (8.4) и, чтобы не загромождать изложение второстепенными деталями, ограничимся только одномерными изменениями. Снова положим [c.189]

Отбирая материал, конечно, автор учитывал уже имеющиеся тексты. Поэтому в книгу не вошли некоторые важные, но хорошо описанные в литературе разделы. В особенности это относится к методам, специально приспособленным для изучения дифференциальных операторов (отметим теорию Лакса— Филлипса и метод Энсса, подробно изложенные в монографиях 12, 34] соответственно). Представляется, что предлагаемая книга существенно отличается от имеющихся текстов по теории рассеяния. В связи с этим упомянем прежде всего третий том широко известного курса М.Рида и Б.Саймона [18]. Тома этого курса стали для многих, во всяком случае для автора настоящей книги, настольными. Вместе с тем, ввиду широты охвата материала, курс [18] по необходимости написан в стиле хрестоматии и, по-видимому, не может заменить последовательного изложения теории. От другой известной монографии по теории [c.7]

Ядерный подход к теории возмущений непрерывного спектра возник в рамках абстрактной теории операторов. Первоначально он развивался независимо от гладких методов и от потребностей приложений. Теорема о существовании (и полноте) ВО при ядерном возмущении была получена в работах Т.Като и М.Розенблюма [106, 107, 136]. Разработка ядерного метода до уровня, на котором оказались возможны применения к теории дифференциальных операторов, осуществлялась в работах С. Куроды, М.Ш.Бирмана, самого Като и многих других. Прежде всего отметим работы М.Ш.Бирмана, где был найден принцип инвариантности [38, 39] и развита локальная техника [40]. Первым ядерную теорию к дифференциальным операторам—к оператору Шредингера—применял, по-видимому, С.Курода [118, 119]. Очень широкий класс дифференциальных операторов рассмотрен М.Ш.Бирманом в [41 на основе аппарата, разработанного им в [39, 40]. [c.402]

Каждое из выражений (15.2) представляет собой, таким образом, линейный дифференциальный оператор первого порядка прил ененный к одной из функций /,, или /у Следовательно, каждое слагаемое в левой части тождества Якоби не содержит вторых частных производных от функций/ , ,/3. С другой стороны/ по определению скобки Пуассона 15.1 в каждом слагаемом тожде- ства Якоби обязательно должна присутствовать вторая частная производная от одной из функций/ , или . Отсюда следует, что все слагаемые в левой части тождества Якоби взаимно сокращаются и их сумма равна нулю. [c.180]

Сравним краевую задачу (П. 14.1), (П. 14.3) с краевой задачей (П. 12.1), (П. 12.3). В них дифференциальное уравнение (П. 14.1), как уже сказано, представляет частный случай (П.12.1). Однако граничные условия (П.14 3) и (П.12.3) друг к другу, вообще говоря, не сводятся. Равенства (П. 12.3) являются классическими условиями Дирихле в них задаются нормальные производные всех порядков до л/2 — 1, а в левых частях условий (П.14.3) стоят дифференциальные выражения (П. 14.2) более общего вида. Темпе меиее, мы будем здесь краевую задачу (П.14.1), (П.14.3) рассматривать как частный случай краевой задачи (П.12.1), (П.12.3) и примем, что по выявленным в П.12, П.13 свойствам последней можно судить о свойствах напряженно-деформированного состояния оболочки. Это, в частности, значит, что края оболочки должны быть неаснмптотическими, так как в П. 12 предполагалось, что граница области нигде не касается характеристик оператора L, а в теории оболочек они совпадают с асимптотическими линиями срединной поверхности (возможное влияние различия в типе граничных условий на окончательные выводы будет обсуждено ниже). [c.499]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...